专题三 平行四边形基础练-2023-2024学年人教版数学八年级下册

专题三 平行四边形 一、单选题 1．在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于0，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，则图中的全等三角形共（　　） A．5对 B．6对 C．7对 D．8对 3．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　    A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为（　　） A．3 B．5 C．2或3 D．3或5 6．如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，．添加一个条件使四边形是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（  ） A． B． C． D． 7．如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（　　）    A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结若，，则的度数为　　    A． B． C． D． 9．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 10．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（    ） A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF 二、填空题 11．如图，在矩形中，，点从开始沿边以的速度向终点移动，点从开始沿边以的速度向终点移动，如果点分别从同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．则 时，四边形为矩形． 12．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为 . 13．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为 ． 14．如图，菱形ABCD的边长为2，，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB+PE的最小值为 ． 15．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为的中点）所在的直线上，得到经过点的折痕，则的度数为 ． 三、解答题 16．如图，在中，于点E，延长BC至F点使，连接AF，DE，DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若，，，求AE的长． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线． (1)求证：∠ACD＝∠ADC； (2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形． 18．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接. （1）求证：. （2）若正方形边长是5，，求的长. 19．已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接．    (1)求证：； (2)当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 参考答案： 1．B 如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠EAD=∠BAD，∠ADE=∠ADC， ∴∠EAD+∠ADE=（∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠E=90°， ∴△ADE是直角三角形， 2．C ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC， 在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SSS）， 同理：△ABC≌△CDA； 在△AOD和△COB中， ， ∴△AOD≌△COB（SAS）， 同理：△AOB≌△COD， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵AC⊥BD，AE⊥BD， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， 同理：△ADE≌△CBF， 综上，全等三角形共有7对. 3．B ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， 由折叠可得∠ADB=∠BDF， ∴∠DBC=∠BDF， 又∠DFC=40°， ∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°， 又∵∠ABD=48°， ∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°， ∴∠E=∠A=112°， 4．A 解：∵平行四边形， ∴为其对角线， ∴线段的中点为同一个点， ∵的中点为， ∴的中点也是， ∵， ∴； 5．D 解： ①如图1在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB， ∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF， ∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF， ∴AB=BE，CF=CD， ∵EF=2， ∴BC=BE+CF=2AB﹣EF=8， ∴AB=5； ②如图2在▱ABCD中， ∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB， ∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC， ∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F， ∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF， ∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF， ∴AB=BE，CF=CD， ∵EF=2， ∴BC=BE+CF=2AB+EF=8， ∴AB=3； 综上所述：AB的长为3或5． 6．D 添加A、，无法得到ADBC或CD=BA，故错误； 添加B、，无法得到CDBA或，故错误； 添加C、，无法得到，故错误； 添加D、 ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 7．D 解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm， ∴AD+DC=13﹣4=9（cm）． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm． 8．B ，， ， ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点， 是的中位线， ， ， 9．C 解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE， ∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE， 在△BNA和△BNE中， ， ∴△BNA≌△BNE， ∴BA=BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一）， ∴MN是△ADE的中位线， ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12， ∴DE=BE+CD-BC=5， ∴MN=DE=． 10．B A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意； C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AF//CE， ∴∠FAO=∠ECO， 又∵∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE， ∴AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， 又∵∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF，∠AEB=∠CFD， ∴∠AEO=∠CFO， ∴AE//CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意， 11．4 解：根据题意得：，，， ∵四边形是矩形， ∴，， 即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 故答案为：4． 12．2.5 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=10，BO=DO=BD， ∴OD=BD=5， ∵点P、Q是AO，AD的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴PQ=DO=2.5． 故答案为2.5． 13．（4，4） 解：连接AC、BD交于点E，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AE=CE=AC，BE=DE=BD， ∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2）， ∴OD=2，BD=8， ∴AE=OD=2，DE=4， ∴AC=4， ∴点C的坐标为：（4，4） 故答案为：（4，4） 14． 解：如图，连接DE交AC于点P，连接DB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点B、D关于AC对称（菱形的对角线相互垂直平分）， ∴DP=BP， ∴PB+PE的最小值即是DP+PE的最小值（等量替换）， 又∵ 两点之间线段最短， ∴DP+PE的最小值的最小值是DE， 又∵，CD=CB, ∴△CDB是等边三角形， 又∵点E为BC边的中点， ∴DE⊥BC（等腰三角形三线合一性质）， 菱形ABCD的边长为2， ∴CD=2，CE=1， 由勾股定理得， 故答案为：. 15．75° 解：连接， ∵四边形为菱形， ∴AD=AB，，AB∥CD， ∴， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴为的平分线，即， ∴， 由折叠的性质得到， 在中，． 故答案为：75°． 16．（1）见解析；（2） （1）证明：∵CF=BE， ∴CF+EC=BE+EC． 即 EF=BC． ∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC， ∴AD∥EF且AD=EF． ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF=90°． ∴四边形AEFD是矩形； （2）∵四边形AEFD是矩形，DE=8， ∴AF=DE=8． ∵AB=6，BF=10， ∴AB2+AF2=62+82=100=BF2． ∴∠BAF=90°． ∵AE⊥BF， ∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE． ∴AE=． 17．（1）详见解析；（2）详见解析 证明：(1)∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 在△ABC中， ∠FAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B. ∵AD平分∠FAC， ∴∠FAC＝2∠FAD＝2∠CAD， ∴∠FAD＝∠B， ∴AD∥BC. ∴∠D＝∠DCE. ∵CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE. ∴∠ACD＝∠ADC　 (2)∵∠B＝60°， ∴∠ACB＝∠CAD＝60°， ∵AB＝AC，∠ACD＝∠ADC， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形． ∴AB＝BC＝AC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形. 18．（1）证明见解析；（2）. 解: （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°， ∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵BH⊥AE， ∴∠BHE=90°， ∴∠AEB+∠EBH=90°， ∴∠BAE=∠EBH， 在△ABE和△BCF中， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE=BF； （2）解：∵AB=BC=5， 由（1）得：△ABE≌△BCF， ∴CF=BE=2， ∴DF=5-2=3， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=5，∠ADF=90°， 由勾股定理得：AF=． 19．(1)见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 （1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形．            理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形，        ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $$