专题1-数轴与绝对值 课件 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第二章 有理数及其运算 专题1 数轴与绝对值 数学 七年级上册 BS版 数学 七年级上册 BS版 专题解读 典例讲练 目录 CONTENTS 问题综述 数轴是一个非常重要的数学工具,它使数与直线上的点建 立起对应关系,可以用来揭示数与形之间的内在联系,它是数 形结合的基础,通常与绝对值问题综合考查. 要点归纳 1. 数轴的三要素: 、 和 . 原点 正方向 单位长度 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (1)有理数 a 的相反数为 ;若 a , b 互为相反数,则 a + b = . (2)在数轴上表示相反数的两个点位于原点的两侧,并且到原 点的距离 . - a 0 相等 2. 相反数. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 3. 绝对值. (1)正数的绝对值是 ,负数的绝对值是 ,0的绝对值是 ; (2)几何意义:一个数的绝对值,就是在数轴上表示这个数的 点到原点的 . 它本身 它的相反 数 0 距离 数学 七年级上册 BS版 返回目录 数学 七年级上册 BS版 典例讲练 0 2 类型一 有理数在数轴上的表示 如图是一条不完整的数轴,请将它补画完整,并用数轴上 的点表示数: ,0,3,-(-1),- ,并用“<”将它 们连接起来. 【思路导航】先化简这些数,在数轴上表示出来;再根据数轴 上,右边的点表示的数总比左边的大将它们连接起来. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 解:-(-1)=1,- =- . 在数轴上表示数,如图所示: 由数轴可知,- <0<-(-1)< <3. 【点拨】解答此类问题的步骤:(1)化简;(2)按规范画出 数轴,并在数轴上标记各数;(3)根据“数轴上,右边的数始 终比左边的数大”,按大小顺序排列连接各数. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 如图,已知数轴上的刻度为1个单位长度,点 A 表示的数是-3. (1)在数轴上标出原点,并指出点 B 所表示的数是 ; (1)【解析】如图,点 O 为原点,点 B 所表示的数是4. 故答案为4. 4 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (2)在数轴上找一点 C ,使它与点 B 的距离为2个单位长度, 则点 C 表示的数为 ; (2)【解析】由题意,知点 C 表示的数为4-2=2或4+2=6. 故答案为2或6. 2或6 数学 七年级上册 BS版 返回目录 2.5,-|-4|,5 ,-2 ,|-1.5|,-(+1.6). (3)解:在数轴上表示数,如图所示: 由数轴可知,-|-4|<-2 <-(+1.6)<|-1.5|< 2.5<5 . (3)在数轴上表示下列各数,并用“<”把这些数连接起来. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型二 利用数轴、绝对值比较大小 如图,已知 a <0, b >0,且| a |>| b |,试把 a ,- a , b ,- b 这四个数用“<”连接起来. 【思路导航】在数轴上找到表示数- a ,- b 的点,按照在数轴 上右边的数大于左边的数排列即可. 解:如图所示: 由数轴可知, a <- b < b <- a . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【点拨】(1)我们常常通过图形(如此题中的数轴)来帮助理 解,以数的形式(如此题中的答案)作答;(2)数形结合是初 中数学一种重要的思想方法. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 若有理数 a , b , c 在数轴上的位置如图所示,下列结论正确的 是( D ) A. b > a > c B. b >- a > c C. a > c > b D. | b |>- a > c D 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型三 利用数轴、相反数和绝对值进行计算 已知有理数 a , b , c 在数轴上的位置如图所示: (1)判断正负,用“>”或“<”填空: b + c 0, c - a 0; < > 【思路导航】(1)先判断 a , b , c 的正负,再根据加法、减法 法则确定 b + c , c - a 的正负; 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (2)化简:-|- a |+| c - a |+| b + c |. 【思路导航】(2)先判断正负,再化简绝对值,进行加减. (1)【解析】由数轴可知, b < a <0< c ,且| b |>| c |. 所以 b + c <0, c - a >0. 故答案为<,>. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (2)解:由(1)可知, a <0, b + c <0, c - a >0, 所以|- a |=- a ,| b + c |=-( b + c )=- b - c , | c - a |= c - a . 所以原式=-(- a )+ c - a +(- b - c ) = a + c - a - b - c =- b . 【点拨】正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反 数,0的绝对值是0.我们常用这一规律去掉绝对值符号. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 有理数 a , b , c 在数轴上的位置如图所示,且表示数 a 的点、 数 b 的点与原点的距离相等. (1)用“>”“<”或“=”填空: ① b 0; ② a + b 0; < = 数学 七年级上册 BS版 返回目录 ③ b - c 0; ④1- a 0. (1)【解析】由有理数 a , b , c 在数轴上的位置可知, b <- 1< c <0<1< a . 又因为表示数 a 的点、数 b 的点与原点的距离相等, 所以 b <0, a + b =0, b - c <0,1- a <0. 故答案为<,=,<,<. < < 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (2)化简:| a + b |+| a - c |+| b |-| b - c |. (2)解:由(1)可知, a + b =0, a - c >0, b - c <0, b <0, 所以原式=0+ a - c - b + b - c = a -2 c . 数学 七年级上册 BS版 返回目录 类型四 利用数轴、绝对值解决距离问题 我们知道| a |的几何意义是:数轴上表示数 a 的点与原点 的距离,即| a |=| a -0|.这个结论可以推广为: ①| a - b |表示在数轴上表示数 a , b 的两点间的距离; ②| a + b |表示在数轴上表示数 a ,- b 的两点间的距离. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 根据以上结论探究下面问题: (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是 ;数轴上表示 -3和-8的两点之间的距离是 ;数轴上表示3和-8的两点 之间的距离是 . 4 5 11 【思路导航】(1)分别根据结论列式计算即可得解; 【解析】(1)|3-7|=4, |(-3)-(-8)|=|-3+8|=5, |3-(-8)|=|3+8|=11. 故答案为4,5,11. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (2)数轴上表示 x 和-3的点 A 和点 B 之间的距离是 ;如果| AB |=5,那么 x 为 . | x + 3| 2或-8 【思路导航】(2)根据结论列出绝对值式子,再根据绝对值的性质计算即可得解; 【解析】(2)由题意,得| x -(-3)|=| x +3|. 因为| AB |=5, 所以| x +3|=5. 所以 x +3=5或 x +3=-5. 所以 x =2或 x =-8. 故答案为| x +3|,2或-8. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (3)当| x +2|+| x -1|取最小值时,相应的整数 x 的值 是 . 【思路导航】(3)根据两点间的距离的表示,数 x 在-2和1之间时有最小值即可求解. -2,-1,0,1 数学 七年级上册 BS版 返回目录 【解析】(3)因为| x +2|+| x -1|表示数 x 到-2和1的距 离的和, 所以当 x 在-2和1之间时,有最小值. 所以相应的整数 x 的值是-2,-1,0,1. 故答案为-2,-1,0,1. 【点拨】若点 A 表示的数为 x ,点 B 表示的数为 y ,则 A , B 两 点间的距离可表示为| x - y |=| y - x |. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 结合数轴与绝对值的知识解决下面问题: (1)|5-2|表示5与2这两个数在数轴上所对应的两点之间的 距离,所以|5-2|= ;|5+2|表示5与-2这两个数在 数轴上所对应的两点之间的距离,所以|5+2|= . (2)数轴上表示数 x 的点在1与5之间移动时,| x -1|+| x -5|的值是一个固定的值,为 . 3 7 4 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (3)| x +1|可理解为 x 与 这两个数在数轴上所对应 的两点之间的距离,要使| x -3|+| x +2|=7,则 x = . -1 - 3或4 (3)【解析】| x +1|可理解为 x 与-1这两个数在数轴上所 对应的两点之间的距离. | x -3|+| x +2|所表示的意义为数轴上表示 x 的点到表示 数3,-2这两个点距离的和. 因为| x -3|+| x +2|=7, 所以 x <-2或 x >3. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 当 x >3时,方程可变为 x -3+ x +2=7, 解得 x =4; 当 x <-2时,方程可变为3- x - x -2=7, 解得 x =-3. 故答案为-1,-3或4. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 (4)当式子| x +1|+| x -2|+| x -3|取最小值时,求 出 x 的值. (4)解:式子| x +1|+| x -2|+| x -3|所表示的意义 为数轴上表示数 x 的点到表示数-1,2,3的点的距离的和. 因为当-1≤ x ≤3时,| x +1|+| x -3|取得最小值, 所以当 x =2时,式子| x +1|+| x -2|+| x -3|取得最 小值. 数学 七年级上册 BS版 返回目录 演示完毕 谢谢观看 数学 七年级上册 BS版 $$