第15讲 由平行线截得的比例线段（4大考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第15讲 由平行线截得的比例线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.了解平行线分线段成比例得基本事实及其推论 2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题。 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 教材习题01 如图 ，直线 l 1∥l 2∥l 3，直线 AC 分别交 l 1，l 2，l 3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l 1 ，l 2 ，l 3 于点 D，E，F.已知 DE＝3，EF＝6，AB＝4，求 AC 的长. 解题方法 要求AC的长度，由题意， l 1∥l 2∥l 3三条直线平行，根据平行线截得的线段成比例的性质，可以做出相应的求解。 【答案】 解：∵ l 1∥l 2∥l 3 ∴ = （两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例） ∴ = 解得AC=12 考点一： 利用平行线分线段成比例定理求线段的长 例1．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（   ） A． B． C． D． 变式1-1．在中，，，，则等于（　　） A．10 B．8 C．9 D．6 变式1-2．如图，，若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．4 考点二：利用平行线分线段成比例定理求比值 例2．如图，已知直线，直线m分别交直线于点直线n分别交直线于点，若，，则的值（）    A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 变式2-1．如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 考点三：构造“A字模型”“X字模型”求线段长或比值 例3．如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 考点四：平行线分线段成比例在解析几何中应用 例4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么； ．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．如图，直线交坐标轴于点A，B，交反比例函数于点M，N，若，则k的值为 ． 1．如图，直线，直线交，，于点，，；直线交，，于点，，，若，，则的长为(  ) A．2 B．4 C．5 D．10 2．如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 3．如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 4．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 5．如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，若， 则的长是（   ） A． B．8 C． D． 6．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．6 7．如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 8．如图，中，，D为中点，在的延长线上取一点E，使得，与交于点F，则的值为（        ）    A． B． C． D． 9．在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 10．如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 11．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．    12．如图，正方形的边长为，是的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ． 13．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 14．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则 ． 15．如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 16．如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 17．如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长． 18．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，且．    (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)请直接写出在第一象限当时，的取值范围． 19．【推理】 （1）如图1，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：四边形为平行四边形． 【应用】 （2）如图2，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且．在，上分别找一点P，Q，使四边形为平行四边形．若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 由平行线截得的比例线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.了解平行线分线段成比例得基本事实及其推论 2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题。 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 教材习题01 如图 ，直线 l 1∥l 2∥l 3，直线 AC 分别交 l 1，l 2，l 3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l 1 ，l 2 ，l 3 于点 D，E，F.已知 DE＝3，EF＝6，AB＝4，求 AC 的长. 解题方法 要求AC的长度，由题意， l 1∥l 2∥l 3三条直线平行，根据平行线截得的线段成比例的性质，可以做出相应的求解。 【答案】 解：∵ l 1∥l 2∥l 3 ∴ = （两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例） ∴ = 解得AC=12 考点一： 利用平行线分线段成比例定理求线段的长 例1．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再由可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选C． 变式1-1．在中，，，，则等于（　　） A．10 B．8 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行可得，问题即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴＝， 解得：， 故选：D． 变式1-2．如图，，若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到的关系，再根据可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 考点二：利用平行线分线段成比例定理求比值 例2．如图，已知直线，直线m分别交直线于点直线n分别交直线于点，若，，则的值（）    A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．作分别交、于、，如图，易得，利用平行线分线段成比例得到，所以，于是可判断． 【详解】解：作分别交、于、，如图：    可得四边形、四边形为平行四边形， ， 直线， ，即， ． 故选A． 变式2-1．如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例的性质求的值． 【详解】解：∵， ， ． 故选：B． 变式2-2．如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 考点三：构造“A字模型”“X字模型”求线段长或比值 例3．如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式3-1．如图，在平行四边形中为的中点，为上一点，与交于点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】解：延长交的延长线于点G，如图所示：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：，经检验符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明，求出． 考点四：平行线分线段成比例在解析几何中应用 例4．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么； ．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点， ∴点与点关于原点对称，故正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小， 当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故正确； ∴正确结论有个， 故选：． 变式4-1．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 变式4-2．如图，直线交坐标轴于点A，B，交反比例函数于点M，N，若，则k的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系． 先根据，可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，可得，设的横坐标为，根据，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 把代入函数中，得 ，解得， ∴，， 如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 设的横坐标为， ∴， 联立， 即， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：9 1．如图，直线，直线交，，于点，，；直线交，，于点，，，若，，则的长为(  ) A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求得的长． 【详解】解：， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 2．如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 3．如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴, 解得， 故选：B． 4．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，若， 则的长是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．若图中有等边三角形，常用辅助线作法是做出一边上的高．把所求线段放在一个直角三角形中当斜边也是常用辅助线作法．，，可得为等边三角形．作于点，可得为的中点，可求得的长，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得为的一半．作于点，则 为直角三角形的斜边，利用平行线分线段成比例定理可得的长，利用勾股定理可得的长，进而根据勾股定理可得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接． ， ． ， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ． 故选：D． 6．如图，在矩形中，，对角线、相交于点，为的中点，交于，交于，若，则的值为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得，，可得，由矩形的性质可得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图， ∵M为的中点，，， ∴，， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的应用等知识，证明是解题的关键． 7．如图，正方形中，，点为上一个动点，将沿折叠得到，点的对称点为点，作射线交于点，若点恰好为的中点，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作于点，由正方形的性质得，由，得，则，所以，则，所以，则，由勾股定理得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，连接 四边形是正方形，， ，，， ， ，而点为的中点， ， ， 垂直平分， ， 由折叠得， ， 是等边三角形， ， ∵翻折， ，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、线段的垂直平分线的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．如图，中，，D为中点，在的延长线上取一点E，使得，与交于点F，则的值为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作,交于点, 连接,则为的中点,, 得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，由等腰三角形和三角形的外角性质证出, 由证明, 得出，由等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得出得出，由平行线分线段成比例定理得出 , 因此, 即可得出结果. 【详解】过点作, 交于点, 连接, 如图所示:    ∵为中点,, ∴为的中点,, ∴是的中位线, ∴, ∵, ∴D, ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ∴, ∵, 为中点, ∴ ∴, ， ∴ , ∵, ∴,即, ∴, ∴, ， 故选:. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识； 本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键. 9．在中，点在直线上，过点作，交直线于点，若，，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解并掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．首先解得的值，再结合，由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 10．如图，已知，如果，，那么的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则 ．    【答案】 【分析】过E作，交于，连接交于，连接，推出为中点，求出和关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于，   ，， ， ， ， 是边上的中线，是等边三角形， ， ， ， ， 和关于对称， 连接交于，连接， 则此时的值最小， ∵是等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 12．如图，正方形的边长为，是的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长，，交点为，过点作，交直线于点，连接．由正方形的性质及勾股定理得．再根据平行线分线段成比例证明为的中点，为的中点，从而得．最后利用勾股定理求得，． 【详解】解：如图，延长，，交点为，过点作，交直线于点，连接． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 同理可证：为的中点， ∴． ∵为正方形的对角线， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及正方形的性质是解题的关键． 13．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【详解】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 14．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，过点作于点，设，由，可以假设，由点为中点，得到，由翻折的性质可知：，，因为共线，，推出，推出，可得， 解得或（舍去），从而得到，再利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：过点作于点，如图所示，    设， ， 可以假设， 点为中点， ， 由翻折的性质可知：，， ， ， ， ， ， 共线，， ， ， ， 或（舍去）， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证； （2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴．    16．如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键． 【详解】解： 如图，连接、， 则， ，，， ，，，， ． 17．如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，证明，结合，可得，，从而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，且．    (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)请直接写出在第一象限当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）先求出一次函数的解析式，再根据，可求出点的坐标，据此可解决问题． （2）分别求出和的面积即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：将，两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 一次函数解析式为． 过点作轴的垂线，垂足为， 则有， ∴，   ， ． 又， ， 将代入得， ， 点的坐标为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：联立得， ，， 将代入得， ， 点的坐标为． ； （3）解：由函数图象可知， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 当时，的取值范围是：． 19．【推理】 （1）如图1，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且．求证：四边形为平行四边形． 【应用】 （2）如图2，在平行四边形中，点E，F在对角线上，且．在，上分别找一点P，Q，使四边形为平行四边形．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和判定求证即可； （2）在上作点N，使，过点N作，的平行线，分别交，于点Q，P，可得平行四边形．连结，，，，先证为平行四边形，再根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连结交于点O， ∵平行四边形， ∴，． ∵，即， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）如图2，在上作点N，使，过点N作，的平行线，分别交，于点Q，P，可得平行四边形．连结，，，， 根据（1）中的推理应用可证四边形为平行四边形， 由，可得． ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$