精品解析：2019年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学试卷

2019年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的．】 1 已知，设矩阵，若，则（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 9 2. 据《上海市生活垃圾全程分类宣传指导手册》，可回收物包括废玻璃、废金属、废塑料、废纸张、废织物等．若记集合{废玻璃，废金属，废塑料，废纸线，废织物}，集合{废玻璃，废金属}，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 下列幂函数中，在区间上单调递减为（ ） A. B. C. D. 5. 某地风筝锦标赛将设立包括优秀传统风筝比赛、创新风筝比赛在内的8个比赛项目．若这些项目逐一安排，且优秀传统风筝比赛必须排在第一个，创新风筝比赛必须排在最后一个，其它6个比赛项目可任意安排，则不同的安排方法共有（ ） A. 720种 B. 1440种 C. 5040种 D. 40320种 6. 某设备折旧后剩余的价值y（万元）与使用时间x（年）之间的关系可表示为，则该函数的大致图像为（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 函数的定义域为_______． 8. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若其终边经过点，且，则实数__________． 9. 已知函数，若，则实数m取值范围为__________． 10. 若直线l过原点，且与直线垂直，则直线l的方程为__________． 11. 设等差数列的公差为d，前n项和为．若，则________． 12. 设函数为定义在区间上的偶函数，且，若，则_________． 13. 已知向量，设向量，若，其中，则___________． 14. 图是某算法的流程框图，若输入n的值为3，则输出s的值为___________． 15. 如图所示，正六棱锥形小夜灯的底面边长为10厘米，侧棱长为13厘米．若要制作该灯的侧面，则至少需要_____________平方厘米的材料． 16. 在中，三个内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，，，则__________． 17. 为了参加上海市职业技能大赛的珠算项目决赛，某职校选送50名学生作为候选人，其中30名学生来自会计（1）班，其余学生来自会计（2）班．根据比赛规则，大赛办公室将从这50名候选人中任意抽取3名学生参赛，假设每位学生被抽中的可能性相等，那么所抽到的3名学生都来自会计（1）班的概率为___________．（结果用最简分数表示） 18. 若对数函数（a为常数，，且）的图像过点，则该函数在区间上最大值与最小值之差为______________． 三、解答题（本大题共6题，满分46分）【解答下列各题，写出必要的步骤】 19. 设复数，其中，为虚数单位． （1）若复数z在复平面内所对应的点在第一象限，且，求b的值； （2）当时，计算． 20. 现将一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个与其底面相同、高相等的圆锥后，所形成的几何体如图1所示，图2是该几何体的直观图． （1）画出该几何体的主视图； （2）求该几体的体积．（结果保留） 21. 设等比数列的公比为q，前n项和为． （1）若，公比，求及数列通项公式； （2）若，求． 22. 图中的摩天轮上轿舱A的底部距地面的高度y（米）与旋转时间x（分钟）之间的关系可表示为． （1）写出轿舱A的底部距地面可达到的最大高度；求此摩天轮旋转一周所需要的时间； （2）按照“五点法”作图步骤，完成表1的填空，并画出函数在一个周期内的大致图像；问摩天轮在旋转第一周的过程中，旋转时间在什么范围内，轿舱A在下降，且其底部距地面的高度不底于30米？ x y 23. 某银行发售定客为10万元的一年期理财套餐，该套餐出产品A和产品B组成，且每个产品的认购额至少1万元．据预测，A的收益（万元）与其认购额（万元）的关系可表示为，B的收益（万元）与其认购赢（万元）的关系可表示为．张奶奶准备10万元认购该理财套餐． （1）若将10万元平均分配，用于认购产品A和产品B，求此时的预期总收益； （2）如何分配产品A和产品B的认购额，才能使预期总收益达到最大？并求最大预期总收益． 24. 已知圆C的方程为，设直线l的方程为，其中． （1）当时，判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由； （2）设直线l与圆C相交于A、B两点，当k取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的．】 1. 已知，设矩阵，若，则（ ） A 0 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩阵的加法法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 解得. 所以. 故选：C. 2. 据《上海市生活垃圾全程分类宣传指导手册》，可回收物包括废玻璃、废金属、废塑料、废纸张、废织物等．若记集合{废玻璃，废金属，废塑料，废纸线，废织物}，集合{废玻璃，废金属}，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系，集合的交运算即可求解. 【详解】集合废玻璃，废金属，废塑料，废纸屑，废织物， 集合废玻璃，废金属. 对A，B选项，由集合的交运算可得， 废玻璃，废金属 所以A，B错误. 对C，D选项，. 所以C错误，D正确. 故选：D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为不等式， 所以因式分解为， 所以解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 4. 下列幂函数中，在区间上单调递减的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数在第一象限的单调性即可求解. 【详解】由幂函数可知， 当时，函数在区间单调递减， 当时，函数在区间单调递增. 对A，，所以A正确. 对B，，所以B错误. 对C，，所以C错误. 对D，，所以D错误. 故选：A. 5. 某地风筝锦标赛将设立包括优秀传统风筝比赛、创新风筝比赛在内的8个比赛项目．若这些项目逐一安排，且优秀传统风筝比赛必须排在第一个，创新风筝比赛必须排在最后一个，其它6个比赛项目可任意安排，则不同的安排方法共有（ ） A. 720种 B. 1440种 C. 5040种 D. 40320种 【答案】A 【解析】 【分析】根据有限制条件的排列问题即可求解. 【详解】由题意得，首尾项目已经确定， 则只需排中间6个项目. 所以总共有种排法. 故选：A. 6. 某设备折旧后剩余的价值y（万元）与使用时间x（年）之间的关系可表示为，则该函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的分段函数分析图像即可. 【详解】当时，， 图像是过点的一条递减线段， 当时，是在直线右边的递减的指数函数图像， 这部分曲线在x轴上方，与x轴无限靠近不相交. 故选：B. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 函数的定义域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的真数大于即可求解. 【详解】由题意得， ， 解得. 即函数的定义域为. 故答案为：. 8. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若其终边经过点，且，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得， . 则， 解得. 故答案为： ． 9. 已知函数，若，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】由得， . ， 即. 因为底数， 所以指数函数在定义域上单调递增， 所以. 即实数的取值范围为. 故答案为：. 10. 若直线l过原点，且与直线垂直，则直线l的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的垂直，斜率的乘积为，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为直线的斜率为， 又因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为. 因为直线过原点， 由点斜式方程可得， . 即. 所以直线的方程为. 故答案为：. 11. 设等差数列的公差为d，前n项和为．若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和基本量计算即可. 【详解】由等差数列可知，， 解得，则. 故答案为：5. 12. 设函数为定义在区间上的偶函数，且，若，则_________． 【答案】0 【解析】 【分析】先由函数为偶函数求解的值，再求解即可. 【详解】函数为定义在区间上的偶函数， 所以， 所以. 故答案为：0. 13. 已知向量，设向量，若，其中，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用向量相等的坐标运算求解. 【详解】因为， 所以，， 可得 故答案为：9. 14. 图是某算法的流程框图，若输入n的值为3，则输出s的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的流程框图，代入求解即可. 【详解】由程序框图可知，当时， ， 不成立，输入否， 此时， ， 当时， ， 不成立，输入否， 此时， 输出的， 当时， 成立，输入是， 输出. 故答案为：. 15. 如图所示，正六棱锥形小夜灯的底面边长为10厘米，侧棱长为13厘米．若要制作该灯的侧面，则至少需要_____________平方厘米的材料． 【答案】 【解析】 【分析】根据正棱锥的侧面积公式即可求解. 【详解】由题意得， 正棱锥的底面边长为厘米， 侧棱长厘米， 则由勾股定理得， 正棱锥的斜高为， . 所以侧面积平方厘米. 即至少需要平方厘米的材料. 故答案为：. 16. 在中，三个内角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系结合正弦定理即可求解. 【详解】因为是三角形的内角， 所以， 则. 因为， 所以. 由正弦定理可得， ， 即. 解得 故答案：. 17. 为了参加上海市职业技能大赛珠算项目决赛，某职校选送50名学生作为候选人，其中30名学生来自会计（1）班，其余学生来自会计（2）班．根据比赛规则，大赛办公室将从这50名候选人中任意抽取3名学生参赛，假设每位学生被抽中的可能性相等，那么所抽到的3名学生都来自会计（1）班的概率为___________．（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据组合问题的公式即可求解. 【详解】从名学生中抽3名学生有 种. 从名会计中学生抽名学生有 种. 所以所抽到的3名学生都来自会计（1）班的 概率为. 故答案为：. 18. 若对数函数（a为常数，，且）的图像过点，则该函数在区间上最大值与最小值之差为______________． 【答案】3 【解析】 【分析】先将点代入函数求解a的值，再求解函数在区间内的最大值与最小值的差即可. 【详解】因为点在对数函数的图像上， 将点坐标代入表达式得， 所以，因为对数函数的底数， 所以在区间上为增函数， 即当时，取得最小值，最小值为， 即当时，取得最大值，最大值为. 最大值与最小值之差为3. 故答案为：3. 三、解答题（本大题共6题，满分46分）【解答下列各题，写出必要的步骤】 19. 设复数，其中，为虚数单位． （1）若复数z在复平面内所对应的点在第一象限，且，求b的值； （2）当时，计算． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数对应点所在象限，以及复数的模求解对应的b即可. （2）先根据所给值，计算出共轭复数，再进行化简求值即可. 【小问1详解】 因为z在复平面内所对应的点在第一象限， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以. 20. 现将一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个与其底面相同、高相等的圆锥后，所形成的几何体如图1所示，图2是该几何体的直观图． （1）画出该几何体的主视图； （2）求该几体的体积．（结果保留） 【答案】（1）图见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据主视图的画法即可求解. （2）由圆柱圆锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 如图所示： 【小问2详解】 由题意得， 圆柱体积为， 挖去的圆锥体积为. 则所求几何体的体积为 . 21. 设等比数列的公比为q，前n项和为． （1）若，公比，求及数列的通项公式； （2）若，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列的性质及前项和公式即可求解. 【小问1详解】 由等比数列的通项公式可得， ， 解得. 所以. 【小问2详解】 由得， . 由得 . 解得. 由等比数列的通项公式可得， ， 解得. 所以. 22. 图中的摩天轮上轿舱A的底部距地面的高度y（米）与旋转时间x（分钟）之间的关系可表示为． （1）写出轿舱A的底部距地面可达到的最大高度；求此摩天轮旋转一周所需要的时间； （2）按照“五点法”作图步骤，完成表1的填空，并画出函数在一个周期内的大致图像；问摩天轮在旋转第一周的过程中，旋转时间在什么范围内，轿舱A在下降，且其底部距地面的高度不底于30米？ x y 【答案】（1）最大高度为55米，一周所需要的时间为分钟 （2）表格，图像见详解， 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的周期和值域求解即可. （2）由题意画出函数图像，由图像可知时间的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为， 又因为， 即， 所以轿舱A的底部距地面可达到的最大高度为55米， 摩天轮旋转一周所需要的时间为分钟. 【小问2详解】 表1为： x 0 5 10 15 20 y 30 55 30 5 30 函数图像为： 当轿舱A到达最高点时开始下降，由题意， 由图像可得，即x的取值范围为. 23. 某银行发售定客为10万元的一年期理财套餐，该套餐出产品A和产品B组成，且每个产品的认购额至少1万元．据预测，A的收益（万元）与其认购额（万元）的关系可表示为，B的收益（万元）与其认购赢（万元）的关系可表示为．张奶奶准备10万元认购该理财套餐． （1）若将10万元平均分配，用于认购产品A和产品B，求此时的预期总收益； （2）如何分配产品A和产品B的认购额，才能使预期总收益达到最大？并求最大预期总收益． 【答案】（1）万元 （2）张奶奶拿出万购买产品A，万购买产品B能使预期总收益达到最大， 最大收益为万元. 【解析】 【分析】（1）将分别代入解析式即可求解. （2）根据二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意得，将10万元平均分配， 即分别代入，， 解得万元， 万元. 则预期总收益为万元. 所以若将10万元平均分配，用于认购产品A和产品B， 此时的预期总收益为万元. 【小问2详解】 设A和B产品的总收益为W. 则 . 当时，取最小值. 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增. 所以当时，， 当时，. 综上，，取最大. 即张奶奶拿出万购买产品A，万购买产品B能使预期总收益达到最大， 且最大收益为万元. 24. 已知圆C的方程为，设直线l的方程为，其中． （1）当时，判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由； （2）设直线l与圆C相交于A、B两点，当k取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值． 【答案】（1）相交，证明见详解. （2）时，的面积达到最大值8. 【解析】 【分析】（1）根据圆心到直线的距离，求解圆与直线的关系即可. （2）根据直线与圆的关系求解，再根据三角形面积公式判断最大值即可. 【小问1详解】 圆C的圆心坐标为，半径， 直线l的方程为， 圆心到直线l的距离， 因此，直线l与圆C相交. 【小问2详解】 圆C的圆心坐标为，半径， 圆心到直线l的距离， 由垂径定理可得， 的面积， 当时,不构成三角形， 于是，， 因此，当，即时成立， 所以的面积达到最大值8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$