精品解析：2020年上海市普通高等学校面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试数学试题

2020年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数，下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ） A B. C. D. 5. 下列函数中，其图像都在x轴上方的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图像如图所示，则该函数在下列区间上单调递减的是（ ） A. [0，8] B. [8，16] C. [12，20] D. [16，24] 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 设集合，，若，则实数______． 8. 函数的定义域为_________. 9. 设矩阵，，．若，则实数______． 10. 某共享自行车租赁费用y（元）与租赁时间x（小时）之间的关系如图所示．若输入的x为3，则输出的y为______． 11. 若向量，，则______． 12. 若直线l与直线垂直，则直线l的斜率为______． 13. 函数的最小正周期为______． 14. 若，则______． 15. 某学校在“职业体验日”中开设了交通运输和旅游服务两大专业类的体验活动，其中交通运输类包含4个项目，旅游服务类包含5个项目．若参加活动的某同学想在两大专业类中各选2个项目体验，则不同的选法共有______种． 16. 已知年某市企业退休人员的人均养老金为元．若从年起，该市企业退休人员每年的人均养老金都是上一年的倍，则年该市企业退休人员的人均养老金是______元． 17. 设，若函数在区间上是偶函数，则______． 18. 某职校有2位女生和5位男生人围该校“才艺之星”决赛，这7位选手逐一上场比赛的次序由随机抽签决定．若每位选手抽到任一次序的可能性相等，则最后一位上场的选手是女生的概率为______．（结果用最简分数表示） 三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤． 19. 如图所示的是一种无盖的圆柱形垃圾桶，其底面半径为10cm，高为25cm．（桶底和桶壁的厚度均忽略不计） （1）求该垃圾桶的容积；（结果保留） （2）现在制作一个这样的垃圾桶，至少需要多少面积的材料?（结果保留） 20. 设复数，，其中，虚数单位． （1）若，，求； （2）若是实数，求a的值． 21. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．求： （1）a的值； （2）的面积． 22. 如图所示的木琴共有15根木条，从左往右，第1根木条长为11.2cm，从第2根起，每一根木条都比前一根木条长0.9cm．求： （1）该木琴第2根和第15根木条的长度； （2）这架木琴15根木条的总长度． 23 已知函数，． （1）在坐标系中画出区间的大致图象；写出函数在区间上的最大值和最小值； （2）若直线与函数的图像相交且只有一个公共点，求m的取值范围． 24. 已知圆C的方程为． （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）若斜率为的直线l被圆C截得的线段长为，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2020年上海市普通高等学校 面向应届中等职业学校毕业生招生统一文化考试 数学试卷 （满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式即可求解. 【详解】由不等式解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 2. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由几何体的三视图判断即可. 【详解】几何体的主视图为 ； 俯视图为 ； 左视图为. 故选：D. 3. 设函数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的单调性分析即可. 【详解】由于对数函数的底数， 所以函数在内为增函数， 又因为，所以，即，故D选项正确，C选项错误， 根据对数的运算性质可得， 故，故A选项错误，B选项错误. 故选：D. 4. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，已知角终边上任意一点，，运用公式直接求值即可. 【详解】由题意可得，. 故选：A 5. 下列函数中，其图像都在x轴上方的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给函数解析式分析函数图像即可. 【详解】A：，当时，，此时图像在x轴下方， B：，由于，，图像在x轴下方， C：，定义域为R，值域为，且图像一直在x轴上方， D：，当时，，此时图像在x轴下方， 综上，C选项正确. 故选：C. 6. 已知函数的图像如图所示，则该函数在下列区间上单调递减的是（ ） A. [0，8] B. [8，16] C. [12，20] D. [16，24] 【答案】B 【解析】 【分析】在所选定的区间上观察函数的图像是否一直是下降即可求解. 【详解】在区间[0,8]上函数的图像有上升也有下降， 所以函数在区间[0,8]上不是单调递减的，故A选项不正确； 在区间[8,16]上函数一直下降的， 所以函数在区间[8,16]上单调递减，故B正确； 因在区间[12,20],[16,24]上函数的图像有上升也有下降，故C选项，D选项都不正确， 故选：B. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 设集合，，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由交集的运算结合求解即可. 【详解】集合，. 若，则集合中都有元素. 故. 故答案为：. 8. 函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式大于等于0和分式的分母不为0列式计算即可. 【详解】函数为， 所以， 即， 解得, 所以定义域为. 故答案为:. 9. 设矩阵，，．若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩阵的计算公式即可得解. 【详解】因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以. 解得. 故答案为：. 10. 某共享自行车租赁费用y（元）与租赁时间x（小时）之间的关系如图所示．若输入的x为3，则输出的y为______． 【答案】 【解析】 【分析】由程序框图，按要求逐步计算即可. 【详解】由题中程序框图， 输入的x为3，因为，所以， 所以输出，即输出的y为. 故答案为：. 11. 若向量，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的减法运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 故答案为：. 12. 若直线l与直线垂直，则直线l的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线垂直，其斜率的关系求解即可. 【详解】直线的斜率为， 因为直线l与直线垂直， 则直线l的斜率为. 故答案为：. 13. 函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期公式直接计算即可. 【详解】函数， 则其最小正周期为. 故答案为：. 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的定义即可得解. 【详解】因为，所以. 因为且. 所以. 故答案为：. 15. 某学校在“职业体验日”中开设了交通运输和旅游服务两大专业类的体验活动，其中交通运输类包含4个项目，旅游服务类包含5个项目．若参加活动的某同学想在两大专业类中各选2个项目体验，则不同的选法共有______种． 【答案】60 【解析】 【分析】由分步计数原理进行计算即可. 详解】由题意可知，需分2步完成，每步选2个项目体验，一共需选4个项目， 用乘法原理得，不同选法有(种). 故答案为：60. 16. 已知年某市企业退休人员的人均养老金为元．若从年起，该市企业退休人员每年的人均养老金都是上一年的倍，则年该市企业退休人员的人均养老金是______元． 【答案】 【解析】 【分析】由指数型函数的实际应用即可得解. 【详解】由题意可知年退休人员的人均养老金为. 年退休人员的人均养老金为元. 故答案为：. 17. 设，若函数在区间上是偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域是关于原点对称的区间即可求出a的值，再由函数为偶函数即可求解. 【详解】因为函数在区间上是偶函数，其定义域关于原点对称， 则， 又因为偶函数， 所以， 即， 解得， 所以. 故答案为：. 18. 某职校有2位女生和5位男生人围该校“才艺之星”决赛，这7位选手逐一上场比赛的次序由随机抽签决定．若每位选手抽到任一次序的可能性相等，则最后一位上场的选手是女生的概率为______．（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】由排列问题的公式即可求解. 【详解】由7位选手逐一随机抽签依次上场得，是排列问题. 则随机抽签上场共有种. 最后一位上场是女生有种. 所以最后一位上场选手是女生的概率为 . 故答案为：. 三、解答题（本大题共6题，满分46分）解答下列各题，需写出必要的步骤． 19. 如图所示的是一种无盖的圆柱形垃圾桶，其底面半径为10cm，高为25cm．（桶底和桶壁的厚度均忽略不计） （1）求该垃圾桶的容积；（结果保留） （2）现在制作一个这样的垃圾桶，至少需要多少面积的材料?（结果保留） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆柱的体积公式即可求得该垃圾桶的容积； （2）由圆柱的表面积公式结合题意即可求解. 【小问1详解】 圆柱形垃圾桶，其底面半径为10cm，高为25cm， 即该圆柱底面半径，高， 由圆柱的体积公式可得， 所以该垃圾桶的容积为. 【小问2详解】 该垃圾桶是一种无盖的圆柱形，圆柱底面半径，高， 所以表面积， 所以制作一个这样的垃圾桶，至少需要面积的材料. 20. 设复数，，其中，是虚数单位． （1）若，，求； （2）若是实数，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的加法运算和模的运算求解即可. （2）先由复数的乘法运算进行运算，再由复数为实数的条件是虚部为零求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因此. 【小问2详解】 由为实数， 得. 因此. 21. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．求： （1）a值； （2）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求解a的值即可； （2）由，求出，再由三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为，，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，又，， 所以的面积. 22. 如图所示的木琴共有15根木条，从左往右，第1根木条长为11.2cm，从第2根起，每一根木条都比前一根木条长0.9cm．求： （1）该木琴第2根和第15根木条的长度； （2）这架木琴15根木条的总长度． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，木琴的15根木条长度成等差数列，利用等差数列的通项即可求出该木琴第2根和第15根木条的长度. （2）利用等差数列的求和公式即可求出木琴15根木条的总长度． 【小问1详解】 由题意可知，木琴的15根木条的长度，从左往右，构成以首项，公差的等差数列， 则， 则，， 故该木琴第2根长度为，第15根木条的长度为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 故. 故这架木琴15根木条的总长度为. 23. 已知函数，． （1）在坐标系中画出的区间的大致图象；写出函数在区间上的最大值和最小值； （2）若直线与函数的图像相交且只有一个公共点，求m的取值范围． 【答案】（1）图象见解析，最大值为；最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）在内，通过对称轴，描点可画出的大致图象，并出写函数在区间上的最大值和最小值； （2）由图象可得出直线与函数的图像相交且只有一个公共点的位置，进而得出m的取值范围． 【小问1详解】 函数，， 函数对称轴为， 函数过点， 所以的区间的大致图象，如下图所示： 由图象可知，函数在区间上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 直线与函数的图像相交且只有一个公共点， 由图象可知，当时，直线与函数恰好只有一个交点， 当时，直线与函数也只有一个交点， 综上，m的取值范围为. 24. 已知圆C的方程为． （1）求圆C的圆心坐标和半径； （2）若斜率为的直线l被圆C截得的线段长为，求直线l的方程． 【答案】（1）圆心坐标为，半径 （2）或 【解析】 【分析】（1）由圆的一般方程化为标准方程，再写出其圆心坐标和半径即可. （2）可设直线l的方程，由圆的弦长公式结合条件列方程解出即可. 【小问1详解】 圆C的方程为，可化为， 故圆C的圆心坐标为，半径. 【小问2详解】 直线l斜率为， 可设直线l的方程，即， 圆C的圆心到直线l的距离， 由直线l被圆C截得的线段长为2可得， ，即，解得或， 所以直线l的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$