专题02 空间向量的数量积运算9种常考题型归类（65题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题02 空间向量的数量积运算9种常考题型归类（65题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量数量积的概念辨析 （一）空间向量的夹角 （二）空间向量的运算律 题型二 空间向量数量积的运算 题型三 利用空间向量的数量积判断图形的形状 题型四 空间向量数量积的最值问题 题型五 利用空间向量的数量积求夹角 （一）求两个向量的夹角 （二）求异面直线所成角 （三）根据夹角求参数 题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题 题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度) 题型八 利用空间向量的数量积求投影 题型九 新定义问题 知识点1：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点2：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点3：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 解题策略 1．空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 3．空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系． (2)|a|2＝a2，此结论可用于求空间中线段的长度． (3)cos〈a，b〉＝，此结论可用于求有关空间角的问题． (4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论可用于求空间中的距离问题． 4．利用空间向量数量积求夹角问题的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围． (2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 5．求空间两点间的距离或线段长的方法 (1)将此线段用空间向量表示，通过空间向量运算来求对应空间向量的模． (2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用空间向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝. (3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来解决一个空间向量在另一个空间向量所在直线上的投影问题． 注：利用空间向量的数量积求距离 (1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． (2)应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝ . 注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角． 6.利用空间向量数量积判断或证明线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可． 题型一 空间向量数量积的概念辨析 （1） 空间向量的夹角 1．（2024·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 2．（2024·高二课时练习）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 3．（2024·高二课时练习）如图，在长方体中： (1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？ (2)若，分别求向量与，，的夹角. （2） 空间向量的运算律 4．【多选】（2024·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二课时练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 6．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 空间向量数量积的运算 7.（2023春·高二课时练习）已知空间向量满足，且与的夹角为，则__________． 8．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 (1)； (2)． 9．（2024·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 10.（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则______． 11．【多选】（2024·高二课时练习）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______. 13．（2024·全国·高三专题练习）如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．（2024·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 15.（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 16．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. (1)用，，表示； (2)计算. 17.（2024·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 18．（2024·全国·高三对口高考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 20．（2024·高二课时练习）如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求 题型三 利用空间向量的数量积判断图形的形状 21．（2024·高三课时练习）已知四边形满足，，，，则该四边形为（    ）． A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．空间四边形 22．（2024·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 23．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量满足，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形 24．（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，设. (1)若是的中点，用表示； (2)若两两垂直，证明：为锐角三角形. 题型四 空间向量数量积的最值问题 25．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 26.（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______． 27.（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·江西萍乡·高三统考期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________. 题型五 利用空间向量的数量积求夹角 （一）求两个向量的夹角 30.（2023春·高二课时练习）空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 31．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为a，设，则（    ） A． B． C． D． 32．（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 33．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________. 34．（2024·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________. （二）求异面直线所成角 35．（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 36.（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值. 37．（2024·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． （三）根据夹角求参数 38．（2024·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题 39．（2024·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 40．（2024·江苏·高二专题练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 41．（2024·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 42.（2024秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 43．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，，． (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若为的中点，证明：． 44.（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度) 45．（2024·安徽·高二校联考开学考试）已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______． 46．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 47．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 48．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.    49．（2024·天津·高二统考期末）在平行六面体中，，，，，则的长为_______． 50．（2024·辽宁丹东·高二统考期末）平行六面体的底面是菱形，，，，线段的长度为，则______． 51．（2024·吉林长春·高二校考期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 52．（2024·高一课时练习）如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（    ） A． B． C．2 D． 53．（2024·高二课时练习）如图所示，在120°的二面角中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．    54．（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 55．（2024·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，，，，. (1)求的值； (2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长. 56.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为________；记分别是方向上的单位向量，且，，则（，为常数）的最小值为________． 题型八 利用空间向量的数量积求投影 57．（2024·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 58.（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____. 59．（2024·高二课时练习）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______． 60.（2023·全国·高二专题练习）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 61．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点. （1）求，的大小； （2）求向量在向量方向上的投影的数量. 62．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 63．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______． 题型九 新定义问题 64．【多选】（2024秋·广西玉林·高二校考阶段练习）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 65．（2024秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： （i）为同时与，垂直的向量； （ii），，三个向量构成右手系（如图1）； （iii）. 如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④.其中，正确结论的序号是______________. $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题02 空间向量的数量积运算9种常考题型归类（65题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量数量积的概念辨析 （一）空间向量的夹角 （二）空间向量的运算律 题型二 空间向量数量积的运算 题型三 利用空间向量的数量积判断图形的形状 题型四 空间向量数量积的最值问题 题型五 利用空间向量的数量积求夹角 （一）求两个向量的夹角 （二）求异面直线所成角 （三）根据夹角求参数 题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题 题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度) 题型八 利用空间向量的数量积求投影 题型九 新定义问题 知识点1：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点2：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点3：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 解题策略 1．空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 2．在几何体中求空间向量数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 3．空间向量数量积性质的应用 (1)a⊥b⇔a·b＝0，此结论可用于证明空间中的垂直关系． (2)|a|2＝a2，此结论可用于求空间中线段的长度． (3)cos〈a，b〉＝，此结论可用于求有关空间角的问题． (4)|b|cos〈a，b〉＝，此结论可用于求空间中的距离问题． 4．利用空间向量数量积求夹角问题的两种方法 (1)结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围． (2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉． 5．求空间两点间的距离或线段长的方法 (1)将此线段用空间向量表示，通过空间向量运算来求对应空间向量的模． (2)因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用空间向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝＝. (3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来解决一个空间向量在另一个空间向量所在直线上的投影问题． 注：利用空间向量的数量积求距离 (1)线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． (2)应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝ . 注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角． 6.利用空间向量数量积判断或证明线面垂直的思路 (1)由数量积的性质a⊥b⇔a·b＝0可知，要证两直线垂直，可在两直线上分别取一个向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． (2)用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可． 题型一 空间向量数量积的概念辨析 （1） 空间向量的夹角 1．（2024·高二课时练习）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【答案】45°；135°；60°；120°；90° 【分析】由图形特征求向量夹角. 【详解】连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以， ， ， ， . 2．（2024·高二课时练习）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据正三角内角为求解. 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 3．（2024·高二课时练习）如图，在长方体中： (1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？ (2)若，分别求向量与，，的夹角. 【答案】(1)； (2)具体见解析. 【分析】（1）由长方体的性质及异面直线的定义即可求得答案； （2）由空间向量夹角的定义并结合线面垂直的性质定理即可求得答案. 【详解】（1）在长方体中，易知底面ABCD，则，，而，所以，于是与直线互为异面直线且互相垂直的直线有. （2）易知，而，所以. 因为，所以与的夹角为； 因为，所以与的夹角为； 因为⊥平面，平面，所以，所以与的夹角为. （2） 空间向量的运算律 4．【多选】（2024·高二课时练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积的定义与运算律一一判断即可； 【详解】解：对于A：，故A正确； 对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：AD 5．（2024·高二课时练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的定义判断A，由数量积的运算律判断BCD． 【详解】若，则由且，不能得出，A错； 由数量积对向量加法的分配律知B正确； 若，则，当时就成立，不一定有，C错； 是与平行的向量，是与平行的向量，它们一般不相等，D错． 故选：B． 6．（2022秋·湖北襄阳·高二校考阶段练习）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可． 【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若，不共线且不垂直，则，故C不一定正确． 故选：C. 题型二 空间向量数量积的运算 7.（2023春·高二课时练习）已知空间向量满足，且与的夹角为，则__________． 【答案】1 【详解】由空间向量数量积的定义，. 故答案为：1 8．（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）已知向量，向量与的夹角都是，且，试求 (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）计算，展开计算得到答案. （2），代入计算得到答案. 【详解】（1）向量，向量与的夹角都是，且， ， ； （2） 9．（2024·广东揭阳·高二统考期末）在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】B 【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解. 【详解】令， 则， ， . 故选：B 10.（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则______． 【答案】/-0.25 【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点， 所以， 故 故答案为： 11．【多选】（2024·高二课时练习）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得. 【详解】方法一：，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 方法二： ，故A正确； 由正方体的性质可知，，， ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC． 12．（2024·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______. 【答案】1 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解. 【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，， . 故答案为：1. 13．（2024·全国·高三专题练习）如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，利用线面垂直的性质及判定，易证、、，而不一定与垂直，再由向量数量积的垂直表示即可确定选项. 【详解】由面，为矩形， A：面，则，而与不一定垂直，不一定有面，故不一定与垂直，所以与数量积不一定为0，符合题意； B：由A知，又且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意； C：由上易知，又 且，则面，又面，所以，即与数量积为0，不合题意； D：由上知，而，所以，即与数量积为0，不合题意； 故选：A. 14．（2024·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 15.（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【详解】 连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则， 故，又， . 故选：C 16．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在平行六面体中，E，F分别为棱，CD的中点，记，，，满足，，，. (1)用，，表示； (2)计算. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据空间向量对应线段的位置关系，用表示出； （2）应用向量数量积的运算律得，结合已知即可求数量积. 【详解】（1）； （2） . 17.（2024·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）正四面体的每个面均为等边三角形，夹角为，再结合空间向量数量积的运算法则，得解； （2）由，代入运算，即可得解； （3）取的中点，连接，，可推出，再在中，利用余弦定理求出的值，从而得解． 【详解】（1） （2）； （3）取的中点，连接，，则，， 在中，，， 由余弦定理知，， 所以． 18．（2024·全国·高三对口高考）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是、的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值. 【详解】由题意，和之间夹角均为，结合平面向量线性运算有     故选：C 19．（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________． 【答案】1 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故答案为：1. 20．（2024·高二课时练习）如图, 在直三棱柱 (即平面),, , 求 【答案】1 【分析】直三棱柱中可得，根据 ，由勾股定理可知，由向量的线性运算可得，从而有转化为化简即可求得答案. 【详解】∵平面，. 又，∴E为BC的中点，． 又 . 题型三 利用空间向量的数量积判断图形的形状 21．（2024·高三课时练习）已知四边形满足，，，，则该四边形为（    ）． A．平行四边形 B．梯形 C．长方形 D．空间四边形 【答案】D 【分析】根据向量夹角的运算与定义，求得都是钝角，得到此四边形是一个空间四边形. 【详解】由，可得， 根据两个向量的夹角的定义，可得四边形中，， 同理可得四边形中，得到， 则这个四边形只能为空间四边形. 故选：D. 22．（2024·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考开学考试）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】由题，可得平面，后由平面，可得答案. 【详解】由，，可知. 又平面，平面，，则平面. 因，平面，则平面. 故，即是直角三角形. 故选：C 23．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量满足，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形 【答案】A 【分析】根据已知条件推出，得为锐角．同理可得也为锐角．由此可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 所以， 即知为锐角．同理可知也为锐角． 故是锐角三角形． 故选：A． 24．（2022秋·浙江·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，设. (1)若是的中点，用表示； (2)若两两垂直，证明：为锐角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由空间向量的线性运算的法则求解； （2）用表示题中向量，然后证明数量积都大于0即可． 【详解】（1）. （2）证明：为锐角三角形，即证每一个角都是锐角，即证三对数量积都大于0， 因为两两垂直，所以， 因为，， 所以， ， 同理，所以为锐角三角形. 题型四 空间向量数量积的最值问题 25．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知点P在棱长为2的正方体的表面上运动，则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】取中点，连接，利用向量的线性运算及数量积的运算性质可得. 【详解】取中点，连接，如图， 则， 当在正方体表面上运动时，运动到或处时，最大， 所以, 所以的最大值为8. 故选：C 26.（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，平面，于点，是的中点，，则的最小值为______． 【答案】/-0.125 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 27.（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设中点为,连接,设中点为,则 , 当与重合时，取最小值0.此时有最小值， 故选：A 28．（2024·四川资阳·高二统考开学考试）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、相等向量将与分别表示为，，代入数量积运算即可. 【详解】由题意知，， 设正方形的中心为，连接、、，如图所示， 则，，，面，面， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ ∵， ∴当时， ， ∴. 故选：C. 29．（2024·江西萍乡·高三统考期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为_______________. 【答案】 【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得，再根据即可求解. 【详解】 如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为， 内切球半径为，取中点为， 则,,所以， 因为， 所以，所以， 因为点P为正四面体表面上的一个动点， 所以，即， 因为, 因为为球O的一条直径，所以, 所以， 因为，所以， 所以， 故答案为: . 题型五 利用空间向量的数量积求夹角 （一）求两个向量的夹角 30.（2023春·高二课时练习）空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 所以 所以， 故选：D． 31．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为a，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意取得，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由题意，正方体中，棱长为，且， 可得，可得， 且， 则， 因为，所以. 故选：D. 32．（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______． 【答案】 【分析】以为基底，，即可求解. 【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则 , 所以 ， 所以, 故答案为： 33．（2024·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考阶段练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是________. 【答案】/ 【分析】利用空间向量基本定理，得到，求出，，再由向量夹角公式求的余弦值. 【详解】由题设，可得如下示意图，    ∴， 设，则，又， 所以，，， 所以以 . ， 所以 故答案为：. 34．（2024·江苏扬州·高二统考期中）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为___________. 【答案】 【分析】设,由可得，又，得，利用数量积的运算律可得. 【详解】正三棱锥中，设, 且侧棱长相等， 因为， 所以，又， 所以， 即， 解得，即的余弦值为. 故答案为： （二）求异面直线所成角 35．（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解. 【详解】设，，， 因为向量不共面，故可构成空间的一组基底， 结合，，，，， 所以=0，，， 则，， 可得 ， ， ， 所以， 又因为异面直线所成角的范围是， 所以与所成角的余弦值为. 故选：B. 36.（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值. 【答案】. 【详解】记，，，则，， ， ，， ，， ，， 又， ， 即与夹角的余弦值为. 37．（2024·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长均相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，然后利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值即可. 【详解】设，，，棱长均为， 由题意，，，， ，， ， ， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A. （三）根据夹角求参数 38．（2024·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考阶段练习）已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，，， 故， ， ， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，即， 则， 解得，即. 故答案为：. 题型六 利用空间向量的数量积解决垂直问题 39．（2024·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 【答案】B 【分析】由和的数量积为0，解出k的值. 【详解】由题意可得，，， 所以，即2k－12＝0，得k＝6. 故选：B. 40．（2024·江苏·高二专题练习）已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得，根据数量积的运算律即可求出，进而求出结果. 【详解】因为与垂直，所以， 即， 所以. 又，所以. 故选：D. 41．（2024·高二课时练习）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】要证，只要证，即证，结合空间向量分析运算． 【详解】因为，所以， 因为，，所以，． 又，所以， 故． 42.（2024秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 43．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，，． (1)求线段的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若为的中点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示再进行模长计算即可； （2）由基底表示、，再代入向量夹角公式计算即可； （3）由计算即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以， ∴， 所以线段的长度为． （2）∵，， ∴， 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）因为为的中点，所以， 又∵， ∴，即． 44.（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 题型七 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度) 45．（2024·安徽·高二校联考开学考试）已知均为空间单位向量，且它们的夹角为，则______． 【答案】 【分析】根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 故答案为： 46．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答. 【详解】因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，， 所以 . 故选：C 47．（2024·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】以、、作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】 ， 又、、两两的夹角均为，且， ， . 故选：B． 48．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）如图，平行六面体中，，，，，则线段的长为______.    【答案】1 【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可. 【详解】由题可得, ，, 所以,且, 因为, 所以 ， 所以， 故答案为:1. 49．（2024·天津·高二统考期末）在平行六面体中，，，，，则的长为_______． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，平方后得到，得到的长. 【详解】由题意得：， 故 ， 故. 故答案为： 50．（2024·辽宁丹东·高二统考期末）平行六面体的底面是菱形，，，，线段的长度为，则______． 【答案】/0.5 【分析】利用空间向量基本定理得到，平方后，利用数量积公式列出方程，求出. 【详解】因为， 所以 因为，，，， 所以， 解得：. 故答案为： 51．（2024·吉林长春·高二校考期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的基底表示出，两边平方，根据向量的数量积运算律，即可求解. 【详解】因为, 所以， 所以， ， 所以， 故选:C. 52．（2024·高一课时练习）如图，二面角的平面角为，，，，，，，若，则长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长． 【详解】因为，，所以， 因为二面角的余弦值是，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为． 故选:C． 53．（2024·高二课时练习）如图所示，在120°的二面角中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．    【答案】12 【分析】由，结合和 AC⊥AB，BD⊥AB求解即可. 【详解】∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴， 又∵二面角的平面角为120°， ∴， ∴ ∴CD＝12． 54．（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，二面角的大小为，四边形、都是边长为的正方形，则、两点间的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二面角的定义可得出，由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求. 【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，， 又因为二面角的大小为，即，则， 因为，由图易知，， 所以， . 故选：C. 55．（2024·福建三明·高二统考期末）如图，在四面体ABCD中，，，，. (1)求的值； (2)已知F是线段CD中点，点E满足，求线段EF的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取为空间的一个基底，表示出，再利用空间向量数量积求解作答. （2）利用（1）中的信息，利用空间向量数量积计算空间向量的模作答. 【详解】（1）在四面体中，设，，，则，， ，，， . （2）由（1）知，因为，则，因为F是CD中点，则，如图， 于是得， 因此 ，即有， 所以线段EF的长为. 56.（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为________；记分别是方向上的单位向量，且，，则（，为常数）的最小值为________． 【答案】 .【详解】在中，，所以，， 所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得， 所以与的方向相同或与的方向相同， 不妨取与的方向相同， 由平面向量基本定理可得必与共面， 在平面上取一点，故可设， 则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为. 故答案为：； 题型八 利用空间向量的数量积求投影 57．（2024·安徽合肥·高二校考开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【详解】，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． 58.（2023·全国·高二专题练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____. 【答案】 【详解】平面， 则， 向量在上的投影向量为 故答案为：. 59．（2024·高二课时练习）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______． 【答案】 【分析】利用向量投影的概念可求得结果. 【详解】由题意可知，在方向上投影的模为 故答案为：. 60.（2023·全国·高二专题练习）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 【答案】 【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为， 所以 向量 在向量 方向上的投影向量是 向量 在向量 方向上的投影向量的模是， 故答案为： 61．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点. （1）求，的大小； （2）求向量在向量方向上的投影的数量. 【答案】（1），；（2）1 【分析】（1）由，可得，由，可得； （2）由空间向量投影的定义找出在向量方向上的投影即可求解 【详解】（1）在正方体中， 因为， 所以， 因为， 所以； （2）连接， 因为平面， 所以， 又因为， 所以在向量方向上的投影为， 因为， 所以向量在向量方向上的投影的数量为1 62．（2024·高二课时练习）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，； (2)在上的投影向量为，. 【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解； （2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值. 【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 63．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为______． 【答案】 【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围. 【详解】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 题型九 新定义问题 64．【多选】（2024秋·广西玉林·高二校考阶段练习）定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】理解新定义，对选项逐一判断 【详解】对于A，若为负数，可知，故A错误， 对于B，由定义知B正确， 对于C，若，则，共线，故C错误， 对于D，由定义知，故D正确． 故选：BD 65．（2024秋·广东广州·高二广州市真光中学校考阶段练习）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： （i）为同时与，垂直的向量； （ii），，三个向量构成右手系（如图1）； （iii）. 如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④.其中，正确结论的序号是______________. 【答案】①③④ 【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：，且分别与垂直，，故①正确； 由题意，，，故②错误； ，，且与共线同向， ，与共线同向，，与共线同向， ，且与共线同向，故③正确； ，故④成立． 故答案为：①③④． $$