21.4 二次函数在面积最值中的应用（第1课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.4 二次函数的应用 第一课时 二次函数在面积最值中的应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. （1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法) 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9； （2）开口方向：向下；对称轴：x= ； 顶点坐标：（ ， ）；最大值： . 情景导入 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定. 想一想 1.求二次函数的最大值（或最小值） (1) 当自变量x为全体实数时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值是多少？ (2) 当自变量x有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值如何确定？ 问题 当a＞0时，有 y最小值＝ ，此时x＝－ ； 当a＜0时，有 y最大值＝ ，此时x＝－ . 新知探究 例1.求下列函数的最大值与最小值. (1) y＝x2＋3x－2 (－3≤x≤1) 解：y＝(x＋ )2－2－ y＝(x＋ )2－ ∵－3≤－ ≤1 ∴当x＝－ 时，y最小值＝－ ； 当x＝1时，y最大值＝1＋3－2＝2. x O y －3 1 x＝－ 典例剖析 (2) y＝－ x2－2x＋1 (－3≤x≤1) 解：y＝－ (x＋5)2＋6 ∵－5＜－3 即x在对称轴的右侧. 函数的值随着x的增大而减小. ∴当x＝－3时，y最大值＝ ； 当x＝1时，y最小值＝－ . x O y －3 1 x＝－5 当自变量的范围有限制时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的最值可以根据以下步骤来确定： (1) 配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. (2) 画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. (3) 判断x的取值范围与对称轴的位置关系．根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值．然后根据x的值，求出函数的最值. 概念归纳 例2.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 可以出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 10 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 想一想 11 小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m． t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 12 课本例题 问题1 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗（图21-1）.要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 解：设围成的矩形水面的一边长为m，那么，矩形水面的另一边长应为（20-）m.若它的面积是S㎡，则有S =（20-）. 将这个函数的表达式配方，得 这个函数的图象是一条开口向下抛物线中的一段，如图，它的顶点坐标是（10,100）.所以当x=10时，函数取得最大值， 此时，另一边长=20-10=10（m）. 答：当围成的矩形水面边长都为10m时，它的面积最大为100㎡ 例3.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 典例剖析 解:根据题意得 S=l(30-l), 即 S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 时， S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l s O 变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x x 60-2x 问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 问题1 变式1与例题有什么不同？ S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 设垂直于墙的边长为x米 16 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2. 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ x 问题1 变式2与变式1有什么异同？ 问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？ 问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？ 答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则 18 问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18. 问题6 如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确. 19 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值. 概念归纳 20 1.用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.这里应有x＞0， 故0＜x＜2. 矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是： 练一练 即 配方得 所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5. x=1满足0＜x＜2，这时 因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2. 2. 如图，用长20米的篱笆，一面靠墙(墙长不限)围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？ 练一练 解：设与墙垂直的一边为x米，园子面积为S平方米，由题意得 S＝x(20－2x) ＝－2x2＋20x ＝－2(x－5)2＋50 (0＜x＜10)． ∵－2＜0， ∴当x＝5(在0＜x＜10的范围内)时，园子面积S的最大值为50平方米． 3.如图，有长为 30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为 10 m)，围成中间隔有一道篱笆 (平行于AB)的矩形花圃．设花圃的一边AB为 x m，面积为 y m2. (1) 求y与x的函数关系式； (2) y是否有最大值？如果有， 请求出y的最大值． 练一练 解：(1)由题意得：y＝x(30－3x)，即y＝－3x2＋30x. (2)由题意得：0＜30－3x≤10，即 ≤x＜10. 对称轴为x＝ ＝－ ＝5， ∵当x＞5时，y随x的增大而减小． ∴当x＝ m时面积最大， 最大面积为 m2. 二次函数解决几何面积最值问题的方法： (1) 求出函数解析式和自变量的取值范围； (2) 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； (3) 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 概念归纳 1．用一段长为 15 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，这个矩形菜园的最大面积是_______. 2．某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围是______米． m2 练一练 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4 cm/s的速度移动（不与点C重合）. 如果P、Q分别从A、B同时出发，那 么经过_____秒，四边形APQC的面积 最小. A B C P Q 3 练一练 解：设一直角边长为x，则另一直角边长为 ， 依题意得： 4.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？ 课本练习 1.解答第21.1节的问题. 21.1节：问题2 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？ 设增加 x 人，这时，则共有(15 +x)=个装配工，每人每天可少装配10x个玩具，因此，每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为 y =(190-10x)(15 +x)=. 解：把配方， . 当x=2 时， . 即增加 2 人可使每天装配总数最多，最多时是 2 890个. 课本练习 2.在直角三角形中，两直角边之和为10.问当两直角边的边长各是多少时，这个三角形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设其中一直角边长是x，面积是y， 则 即两直角边长都是5时，直角三角形的面积最大，最大面积是 课本练习 自变量 二次 取值范围 B 分层练习-基础 A 150 5000 3 分层练习-基础 5 12.5 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 70 AB中点 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 20 课堂反馈 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 课堂小结 知识点：面积最值问题和利润问题的应用 面积最值问题：(1)设所求图形的一边长为　 　，所求面积或体积为因变量；(2)建立　 　函数模型；(3)利用二次函数有关知识求得最值，不过要注意自变量的　 　. 1．已知一个直角三角形两直角边之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为(　　) A．25cm2　　　 B．50cm2　　　 C．100cm2　　　 D．不确定 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，某日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价(　　) A．5元 B．10元 C．15元 D．20元 3．某校组织部分学生秋游，人数x与费用y元之间满足y＝2x2－600x＋50000，则当人数为 人时，总费用最少，最少费用是 元． 4．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6－x)个，则当x＝ 元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大． 5．四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC＋BD＝10，则当AC＝　　时，此四边形的面积最大 ，最大面积为　 　. 6．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2. 7．某高中为高一新生设计的学生课桌的抽屉部分是长方体．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm，请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计) 解：已知抽屉底面宽为xcm，则底面长为180÷2－x＝(90－x)cm.由题意得x(90－x)×20＝－20(x2－90x)＝－20(x－45)2＋40500，当x＝45时，y有最大值，最大值为40500.答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3. eq \f(25,2) 8．如图，用长8m的铝合金制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是(　　) A.eq \f(64,25)m2　 B．eq \f(4,3)m2　 C．eq \f(8,3)m2　 D．4m2 9．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，销售单价为 元时，获得的利润最多． 10．如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于 时，正方形EFGH的面积最小． 11．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB、BC两边)，设AB＝xm. (1)若花园的面积为192m2，求x的值； (2)若在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别为15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值． 解：(1)∵AB＝xm，则BC＝(28－x)m，∴x(28－x)＝192.解得：x1＝12，x2＝16.答：x的值为12m或16m；　 (2)由题意可得出：S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m或6m，∴28－x＝15时，S取到最大值为：S＝－(13－14)2＋196＝195.答：花园面积S的最大值为195平方米． 12．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x； (2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由； (3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围． 解：(1)根据题意得：(30－2x)x＝72，解得：x1＝3，x2＝12，∵30－2x≤18，∴x＝12；　 (2)设苗圃园的面积为y，∴y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x，∵a＝－2＜0，∴苗圃园的面积y有最大值，∴当x＝eq \f(15,2)时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大＝112.5平方米；∵6≤x≤11，∴当x＝11时，y最小＝88平方米；　 (3)由题意得：－2x2＋30x≥100，∵30－2x≤18，解得：6≤x≤10. 13．(扬州中考)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围． 解：(1)y＝－10x＋700；　 (2)由题意，得－10x＋700≥240，解得x≤46，设利润为W＝(x－30)·y＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1000x－21000＝－10(x－50)2＋4000，∵－10＜0，∴x＜50时，W随x的增大而增大，∴x＝46时，W大＝－10(46－50)2＋4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，是3840元；　 (3)W－150＝－10x2＋1000x－21000－150＝3600，－10(x－50)2＝－250，x－50＝±5，x1＝55，x2＝45，当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 面积最值问题 1.一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上，要使剪出的长方形CDEF的面积最大，点E应选在何处？ 【思路分析】　可设AE＝x，长方形CDEF的面积为S，然后建立S与x的函数表达式，最后利用函数的性质解决问题． 【规范解答】　设AE＝x，长方形CDEF的面积为S，则BE＝12－x，∵∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴DE＝eq \f(1,2)x，同理BF＝eq \f(1,2)(12－x)，则EF＝eq \f(\r(3),2)(12－x)，∴S＝DE·EF＝eq \f(1,2)x·eq \f(\r(3),2)(12－x)＝eq \f(\r(3),4)x(12－x)＝－eq \f(\r(3),4)(x－6)2＋9eq \r(3)，∴当x＝6时，即E为AB的中点时，长方形面积最大为9eq \r(3). 【方法归纳】　二次函数中的最值应用的关键是：先建立目标函数(二次函数模型)，再用公式法(配方法)求顶点的坐标． 其他最值问题 2.飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)与滑行的时间t(单位：秒)之间的函数关系式是：s＝60t－1.5t2.飞机着陆后滑行 秒才能停下来． 【思路分析】　求停下来时所用时间应指飞机滑行最大距离时所用时间．∵s＝60t－1.5t2＝－1.5(t－20)2＋600，∴当t＝20时，滑行的最大距离为600米，即飞机着陆后滑行20秒才停下来． 【方法归纳】　此题求解时易错误理解题意，误认为停下来就是路程为0，从而错误解得t＝40，此题应求飞机滑行最大距离时所用的时间. $$