第11讲 一元二次方程的应用（二）（1个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第11讲 一元二次方程的应用（二）（1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【例1】（浦东新区期末）某市加大对绿化的投资，2015年绿化投资万元，若以后每年绿化投资金额的年增长率均为，则2017年绿化投资的金额为　　 A． B． C． D． 【变式1】（徐汇区校级月考）元旦期间，某小队每个队员都要给其他每一位队员发一条微信，如果本次活动共发出90条微信，则这个小队的人数是　　 A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【变式2】（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　　． 【变式3】（2023秋•金山区期末）某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元，如果每月产值的增长率相同，则这个增长率是　　． 【变式4】（2023秋•长宁区校级期末）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过的用水量为 　　吨，超过部分应交水费 　　元（用含的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨 交费总数（元 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该吨是多少？ 经典题型汇编 题型一、营销问题(一元二次方程的应用) 1．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 2．某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价 元． 3．杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力，某商家购进了两种类型的吉祥物纪念品，已知每套型纪念品比每套型纪念品的进价多元，套型纪念品与套型纪念品共元． (1)求、两种类型纪念品的进价； (2)当型纪念品销售价为每套元时，每天可以售出套，为了促销，该商家决定对型纪念品进行降价销售．经市场调研，若每套的销售价每降低元，则每天的销售量将增加套．设降价后的售价为元，销售量为套，请直接写出关于的函数解析式； (3)若某天销售型纪念品的利润为元，问此时型纪念品的售价为多少？ 题型二、动态几何问题(一元二次方程的应用) 4．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm, 秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 6．如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求t的值？ (2)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 题型三、行程问题(一元二次方程的应用) 7．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 8．望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 9．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 题型四、其他问题(一元二次方程的应用) 10．将分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形比原正方形面积多，设原正方形的边长为x，则可列方程为 ． 12．2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？ 试题练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·上海静安·期中）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的总营业额万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为（  ） A． B． C． D． 2．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B． C．7 D．9 3．（22-23八年级上·上海·期中）某学校有一块长方形运动场，长70米，宽50米，现计划在这一场地四周（场外）筑一条宽度相等的跑道，其面积为1024平方米．设这条跑道的宽度为x米，可以列出的是（　　） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·上海静安·阶段练习）二次三项式3x2﹣5xy+y2因式分解正确的是（　　） A． B．3（x﹣）（x﹣） C． D．3（x﹣y）（x+y） 5．（19-20八年级上·上海黄浦·期中）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为（    ） A．x(x-1)=45 B．x(x-1)= C．x(x-1)=45 D．x(x+1)=45 6．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（    ）元 A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元 二、填空题 7．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为 ． 8．（20-21八年级上·上海黄浦·期中）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有 个班级． 9．（20-21八年级上·上海·期中）2020年2月17日，除湖北以外其他30个省份和新疆建设兵团新增确诊病例890例，连降两周，降至79例，假设每周降低的百分率为，则可列出方程： ． 10．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某家用电器经过两次降价，每台零售价由400元降到256元，连续两次降价的百率相同，设这个降价的百分率为，则列出关于的方程为 ． 11．（21-22八年级上·上海虹口·期中）用13米长的篱笆围成一个面积为20平方米的长方形场地，其中一边靠墙，若设垂直于墙的一边为x，则可列出的方程是 ； 12．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知一个三角形的面积为， 一条边比这条边上的高短，那么这条边的长度等于 ． 13．（2024·上海松江·二模）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 14．（2022八年级上·上海·专题练习）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为 ． 15．（21-22八年级上·上海·阶段练习）等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形的周长为 ． 16．（21-22八年级上·上海闵行·期中）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 ． 17．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x人，则可列出方程   ． 18．（22-23八年级上·上海·阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 20．（23-24八年级上·上海普陀·期中）某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？ 21．（2022八年级上·上海·专题练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 22．（2022八年级上·上海·专题练习）二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）小毛将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，小毛为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？ 24．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 25．（21-22八年级上·上海静安·期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 26．（22-23八年级上·上海宝山·期中）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高元，1件产品与1件产品售价和为元． (1)、两种产品的销售单价分别是多少元？ (2)随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值． 27．（20-21八年级上·上海长宁·期末）某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况： 旅游团队名称 团队人数（人） 入园费用（元） 旅游团队1 80 350 旅游团队2 45 200 根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的人是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 一元二次方程的应用（二）（1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【例1】（浦东新区期末）某市加大对绿化的投资，2015年绿化投资万元，若以后每年绿化投资金额的年增长率均为，则2017年绿化投资的金额为　　 A． B． C． D． 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据“2007年用于绿化投资万元”，可得出代数式． 【解答】解：设这两年绿化投资的年平均增长率为，那么2017年绿化投资的金额为， 故选：． 【点评】本题为平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 【变式1】（徐汇区校级月考）元旦期间，某小队每个队员都要给其他每一位队员发一条微信，如果本次活动共发出90条微信，则这个小队的人数是　　 A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【分析】设这个小队的人数是人，则每人需发出条微信，根据本次活动共发出90条微信，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论． 【解答】解：设这个小队的人数是人，则每人需发出条微信， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 这个小队的人数是10人． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（2022•上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为 　　． 【分析】设平均每月的增长率为，根据5月份的营业额为25万元，7月份的营业额为36万元，表示出7月的营业额，即可列出方程解答． 【解答】解：设平均每月的增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） 所以平均每月的增长率为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 【变式3】（2023秋•金山区期末）某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元，如果每月产值的增长率相同，则这个增长率是　　． 【分析】等量关系为：七月份的产值增长率）九月份的产值，把相关数值代入求合适的解即可． 【解答】解：设增长率为． ， ， ， ． 故每月的增长率是． 故答案为：． 【点评】考查一元二次方程的应用；得到九月份产值的等量关系是解决本题的关键． 【变式4】（2023秋•长宁区校级期末）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨元交费． （1）该单元居民8月份用水80吨，超过了“规定的吨”，则超过的用水量为 　　吨，超过部分应交水费 　　元（用含的式子表示）． （2）如表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨 交费总数（元 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表数据，求该吨是多少？ 【分析】（1）超过的用水量为吨，所以，超过部分应交水费元． （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况可以列出方程：． 【解答】解：（1）依题意得：超过的用水量为吨， 超过部分应交水费元． 故答案为：；； （2）根据表格提供的数据，可以知道，根据9月份用水情况可以列出方程： ， 解得，，， ， ． 答：该吨是60吨． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 经典题型汇编 题型一、营销问题(一元二次方程的应用) 1．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【详解】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 2．某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少千克，要使商场每天获利最多，那么每千克应涨价 元． 【答案】7.5 【分析】设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，再根据利润=每千克盈利×日销售量，列出y与x的函数关系式，然后配方求最值即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元， 根据题意得： 当时，y取得最大值，最大值为6 125． 所以要使商场每天获利最多，每千克应涨价7.5元． 故答案为：7.5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论． 3．杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，三个吉祥物以机器人作为整体造型，融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因，既有深厚的文化底蕴又充满了时代活力，某商家购进了两种类型的吉祥物纪念品，已知每套型纪念品比每套型纪念品的进价多元，套型纪念品与套型纪念品共元． (1)求、两种类型纪念品的进价； (2)当型纪念品销售价为每套元时，每天可以售出套，为了促销，该商家决定对型纪念品进行降价销售．经市场调研，若每套的销售价每降低元，则每天的销售量将增加套．设降价后的售价为元，销售量为套，请直接写出关于的函数解析式； (3)若某天销售型纪念品的利润为元，问此时型纪念品的售价为多少？ 【答案】(1)、两种类型纪念品每套的进价分别为元，元； (2) (3)此时型纪念品的售价为元． 【分析】（）、两种类型纪念品每套的进价分别为元，元，根据题意列方程组即可； （）根据题意得数量关系列函数解析式即可； （）设利润为元，得到，当时，转化为解一元二次方程即可； 本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，掌握解一元二次方程． 【详解】（1）设、两种类型纪念品每套的进价分别为元，元， 由题意得：，解得， 答：、两种类型纪念品每套的进价分别为元，元； （2）由题意得，， （3）设利润为元， 由题意得， 当，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：此时型纪念品的售价为元． 题型二、动态几何问题(一元二次方程的应用) 4．如图，在等腰中，，，动点P从点A出发沿向点B移动，作，，当的面积为面积的一半时，点P移动的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据▱PQCR的面积为△ABC面积的一半列方程求解即可． 【详解】解：设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm， ∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm， ∴∠A＝45°， ∵PRBC， ∴∠APR＝90°， ∴PR＝PA＝xcm， ∵▱PQCR的面积为△ABC面积的一半， ∴， 解得：， ∴点P移动的路程为4cm． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题的关键． 5．如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm, 秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 【答案】2 【分析】设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，此时△PCQ的面积为×（8−x）（6−x），令该式＝×AC×BC，得到方程即可求解. 【详解】设运动x秒后．由题意得： AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm， S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24， 即：×（8−x）×（6−x）＝×24， x2−14x＋24＝0， （x−2）（x−12）＝0， x1＝12，x2＝2； ∵x＜6，∴x1＝12舍去， 所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半． 故填：2. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 6．如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为． (1)若的面积是面积的，求t的值？ (2)的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不可能，见解析 【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可； （2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，， ∴，     整理得，解得， 答：当时的面积为面积的； （2）不能，理由如下： 当时， ， 整理得，     ∵△， ∴此方程没有实数根， ∴的面积不可能是面积的一半． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 题型三、行程问题(一元二次方程的应用) 7．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面26m处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车，问刹车后汽车滑行到16m时约用了（　　） A．1s B．1.2s C．2s D．4s 【答案】A 【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：设约用了x秒． 汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8， ∴16米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x． ∴（20﹣4x）×x=16， 解得：x1=1，x2=4， ∵20﹣8x＞0， ∴x=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值． 8．望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题． 【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 9．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 题型四、其他问题(一元二次方程的应用) 10．将分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解一元二次方程的两个实数根，然后再将二次三项式进行因式分解． 【详解】解：令， ， ， ， ， ； 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握利用一元二次方程的应用，将二次三项式在实数范围内因式分解，是解答此题的关键． 11．若把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形比原正方形面积多，设原正方形的边长为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为，宽为，根据“所得的长方形比原正方形面积多，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为，宽为，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 12．2022年卡塔尔世界杯即将在本月开幕，共有若干支球队参赛．第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛．在小组赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球队之间只踢一场），根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛．已知本届世界杯小组赛阶段共有48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？ 【答案】共有32支队伍参加比赛 【分析】设每组有n支队伍参加比赛，则每个小组需要比赛场，由此列一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每组有n支队伍参加比赛， 则， 整理得， 解得，（舍）， （支）， 即共有32支队伍参加比赛． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，列出一元二次方程是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·上海静安·期中）某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的总营业额万元，如果平均每月增长率为，则由题意列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增长率分别表示出二月、三月的营业额即可求解． 【详解】解：由题意得：二月的营业额为： 三月的营业额为： 故一月、二月、三月的总营业额为： 故根据总营业额为万元，可列方程为： 故选：D 【点睛】本题考查增长率问题．分别表示出二月、三月的营业额是解题关键． 2．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B． C．7 D．9 【答案】A 【分析】设有支队伍，根据双循环比赛的制度规则，一共要赛场； 【详解】解：设有支队伍 由题意得： 解得：，（舍） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练根据题意列出相应的一元二次方程是解题关键． 3．（22-23八年级上·上海·期中）某学校有一块长方形运动场，长70米，宽50米，现计划在这一场地四周（场外）筑一条宽度相等的跑道，其面积为1024平方米．设这条跑道的宽度为x米，可以列出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这条跑道的宽度为x米，则长方形运动场外大长方形的长为米，宽为米，根据题中的面积列出方程即可． 【详解】解：设这条跑道的宽度为x米，则长方形运动场外大长方形的长为米，宽为米， 根据题意得， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题关键． 4．（21-22八年级上·上海静安·阶段练习）二次三项式3x2﹣5xy+y2因式分解正确的是（　　） A． B．3（x﹣）（x﹣） C． D．3（x﹣y）（x+y） 【答案】B 【分析】解关于x的一元二次方程，因式分解即可判断． 【详解】解：把3x2-5xy+y2=0看作是关于x的一元二次方程， △=（-5y）2-4×3×y2=13y2， ∴x=， ∴x1=，x2=． ∴3x2-5xy+y2=3(x-)(x-)， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次三项式的因式分解，掌握利用一元二次方程进行因式分解的方法是解题的关键． 5．（19-20八年级上·上海黄浦·期中）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为（    ） A．x(x-1)=45 B．x(x-1)= C．x(x-1)=45 D．x(x+1)=45 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为x（x﹣1），列方程即可． 【详解】由题意列方程得：x（x﹣1）=45． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准相等关系是解答本题的关键． 6．某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，出售价格每涨价1元，日销售量将减少20千克，现该超市要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价（    ）元 A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元 【答案】A 【分析】设每千克水果涨了x元，那么就少卖了千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6 000元，可列方程求解； 【详解】解：设每千克水果涨了x元，根据题意，得 ， 解得或． 因为同时又要使顾客得到最大优惠，所以应该上涨5元． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用及理解题意的能力，关键是以利润作为等量关系列方程求解． 二、填空题 7．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如图，用33米长的竹篱笆一边靠墙（墙长18米）围一个长方形养鸡场，墙的对面有一个2米宽的门，围成的养鸡场的面积为150平方米，设垂直于墙的长方形的宽为x米，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得出长方形的长为米，再根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的长方形的宽为x米，则长方形的长为米， 根据题意，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确表示出长方形的长是解答的关键． 8．（20-21八年级上·上海黄浦·期中）某校八年级举行足球比赛，每个班级都要和其他班级比赛一次，结果一共进行了6场比赛，则八年级共有 个班级． 【答案】4 【分析】设共有个班级参加比赛，根据共有45场比赛列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设共有个班级参加比赛， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得：或（舍去）． 则共有4个班级球队参加比赛． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系“需安排6场比赛”． 9．（20-21八年级上·上海·期中）2020年2月17日，除湖北以外其他30个省份和新疆建设兵团新增确诊病例890例，连降两周，降至79例，假设每周降低的百分率为，则可列出方程： ． 【答案】 【分析】设每周降低的百分率为x，则根据题意可用x表示连降两周后的病例：，即可得． 【详解】解：设每周降低的百分率为x， 则根据题意可用x表示连降两周后的病例：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列出方程． 10．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某家用电器经过两次降价，每台零售价由400元降到256元，连续两次降价的百率相同，设这个降价的百分率为，则列出关于的方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设这个降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为，据此列出方程即可． 【详解】解：设这个降价的百分率为， 由题意得，， 故答案为：． 11．（21-22八年级上·上海虹口·期中）用13米长的篱笆围成一个面积为20平方米的长方形场地，其中一边靠墙，若设垂直于墙的一边为x，则可列出的方程是 ； 【答案】x（13-2x）=20 【分析】若设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（13-2x）米，根据长方形场地的面积为20平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：若设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（13-2x）米， 依题意得：x（13-2x）=20． 故答案为：x（13-2x）=20． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）已知一个三角形的面积为， 一条边比这条边上的高短，那么这条边的长度等于 ． 【答案】4 【分析】设这条边的长度为，则这条边上的高为，根据三角形面积公式列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设这条边的长度为，则这条边上的高为， ∵三角形的面积为， ∴， 即， 解得，（舍）， 故这条边的长度为． 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是用代数式表示出三角形的长和高，根据面积公式列出一元二次方程． 13．（2024·上海松江·二模）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 【答案】13.2 【分析】本题考查了销售增长率的问题，利用“第二季度的销量=第一季度的销量（1+增长率），第三季度的销量=第二季度的销量（1+增长率）”，即可求解． 【详解】， 故答案为：13.2． 14．（2022八年级上·上海·专题练习）如图，阴影部分是一块长方形的草坪，草坪的长是8米，宽是5米，在草坪的四周准备修建等宽的道路，道路和草坪的总面积为平方米．如果设道路的宽为x米，那么根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】设道路的宽为x米，利用“道路和草坪的总面积为70平方米”作为相等关系可列方程． 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 15．（21-22八年级上·上海·阶段练习）等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形的周长为 ． 【答案】19 【分析】求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系，最后求出即可． 【详解】解：x2-10x+9=0， （x-1）（x-9）=0， x1=1，x2=9， 即分为两种情况： ①三角形的三边是1，1，9， ∵1+1<9， ∴不符合三角形三边关系定理，此种情况不存在； ②三角形的三边是1，9，9， ∵9+9>1 此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是1+9+9=19， 综上所述，该三角形的周长是19． 故答案是：19． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况． 16．（21-22八年级上·上海闵行·期中）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985，则正整数n的值为 ． 【答案】2 【分析】先将进行分母有理化，再分别求出的值，然后将已知等式变形为，最后代入解一元二次方程即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得或（与为正整数不符，舍去）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、二次根式的分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 17．（20-21八年级上·上海浦东新·期中）一个小组同学互相握手，规定每个同学都与其他同学握一次手，共计握手120次，设小组共有x人，则可列出方程   ． 【答案】 【分析】先根据题意可得每个人都要与个人握一次手，再根据“共计握手120次”建立方程即可得． 【详解】由题意，可列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等量关系是解题关键． 18．（22-23八年级上·上海·阶段练习）在《代数学》中记载了求方程正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．小明尝试用此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示正方形，已知图2中阴影部分的面积和为．该方程的正数解为 ． 【答案】 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积等于阴影部分的面积加四个小正方形的面积，从而可求得大正方形的边长，再用其减去两个空白正方形的边长即可求解 【详解】如图2所示： 先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并数形结合是解决问题的关键 三、解答题 19．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【答案】每件商品售价是41元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．解题的关键的读懂题意，正确的列出方程． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， ∵政府限定每件商品加价不能超过进价的40%， ∴， ∴． 答：每件商品售价是41元． 20．（23-24八年级上·上海普陀·期中）某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？ 【答案】这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元 【分析】设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵售价在25元至40元范围内， ∴； 答：这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 21．（2022八年级上·上海·专题练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，把m当做未知数，n当做常数，用n表示出m，然后分解因式即可； （2）令，把y当做未知数，x当做常数，用y表示出x，然后分解因式即可； （3）令，该方程即为，求出a的值，然后分解因式即可． 【详解】（1）令，解得：，， 则原式可分解为； （2）令，解得：，， 则原式可分解为； （3）令，该方程即为，解得：，， 则原式可分解为． 【点睛】此题考查了主元法的思想一元二次方程的应用，在实数范围内分解因式，解题的关键是把一个字母当做未知数，另一个当做常数列方程求解． 22．（2022八年级上·上海·专题练习）二次三项式，当a取何值时， (1)在实数范围内能分解； (2)能分解成两个相同的因式； (3)不能因式分解． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）首先得到，然后令，表示出判别式，根据题意得，即可求出a的取值范围； （2）根据题意可得，求解即可； （3）根据题意可得，求解即可． 【详解】（1）原式是二次三项是，可知二次项系数，得：， 令， 得， 原式可分解因式，则有， 得：且； （2）原式可分解为两个相同的式子，则有，得：； （3）原式不能分解因式，则有，得：． 【点睛】考查二次三项式的因式分解与方程根的情况之间的关系，注意区分开各种情形之间的区别和联系． 23．（23-24八年级上·上海青浦·期中）小毛将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，小毛为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？ 【答案】80元或60元 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及因式分解解一元二次方程，读懂题意，设定价为元，由等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意，准确列出一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设定价为元， 根据题意可得，，即， ，解得，， 答：定价为80元或60元，利润可达到8000元． 24．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【分析】（1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润＝每件童装的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）（件）， 故答案为：45； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件童装应降价10元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25．（21-22八年级上·上海静安·期末）在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间． 【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26．（22-23八年级上·上海宝山·期中）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知产品的销售单价比产品的销售单价高元，1件产品与1件产品售价和为元． (1)、两种产品的销售单价分别是多少元？ (2)随着时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加；产品产量将在去年的基础上减少，但产品的销售单价将提高．则今年、两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加．求的值． 【答案】(1)产品的销售单价为元，产品的销售单价为元 (2) 【分析】（1）设产品的销售单价为元，产品的销售单价为元，由题意：产品的销售单价比产品的销售单价高100元，1件产品与1件产品售价和为500元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设去年每个车间生产产品的数量为件，根据总销售额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）设产品的销售单价为元，产品的销售单价为元，由题意得： ， 解得：， 答：产品的销售单价为元，产品的销售单价为元； （2）设去年每个车间生产产品的数量为件，由题意得： 解得（舍去）或 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程（组）． 27．（20-21八年级上·上海长宁·期末）某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况： 旅游团队名称 团队人数（人） 入园费用（元） 旅游团队1 80 350 旅游团队2 45 200 根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的人是多少？ 【答案】50 【分析】先根据旅游团队1的入园费用等于200元入园费＋超出的部分的费用列出方程，解得，，再根据旅游团队2的数据可知a≥45，由此可求得a的值． 【详解】解：由题意可得： ， 解得，， 由旅游团队2的数据可知a≥45， ∴a=50， 答：某旅游园区对团队入园购票规定的人是50人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据旅游团队1的入园费用等于200元入园费＋超出的部分的费用列出方程是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$