第11讲 完全平方公式 （2个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第11讲 完全平方公式 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【例1】（闵行区期末）已知，，那么的值是　　 A．12 B．14 C．16 D．18 【变式1】（2023秋•宝山区期末）如果，，那么　　． 【变式2】（2023秋•奉贤区期中）若，，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D．无法判断 【变式3】（2023秋•松江区月考）若，则　　． 【变式4】（2022秋•浦东新区校级期中）利用完全平方公式计算：． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【例2】（2021秋•徐汇区校级月考）若一个正方形的边长增加，则面积相应增加了，那么这个正方形的边长为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020秋•奉贤区期中）如图，已知长方形的两边、分别为、，且，以、为边向外作正方形和正方形，如果这两个正方形的面积之和为，那么长方形的面积是 　　． 【变式2】（2022秋•浦东新区期中）如果一个正方形的周长为（其中，，则该正方形的面积为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（其中，，则该正方形的面积为 　　． 【变式4】（2020秋•浦东新区期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以，即：， 又因为 所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）填空：①若，则　　． ②若，则　　． （3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 经典题型汇编 题型一、运用完全平方公式进行运算 1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）（1）已知：、满足，求的值． （2）已知：，，求的值． 题型二、通过对完全平方公式变形求值 4．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 5．（21-22七年级上·上海·期末）若，则 ． 6．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知，求（1）的值；（2）的值． 题型三、求完全平方式中的字母系数 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）若是一个关于的完全平方式，那么k值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若多项式是一个完全平方式，则 ． 9．（20-21七年级上·上海闵行·期中）已知化简的结果中不含项和项． (1)求，的值； (2)若是一个完全平方式，求的值． 题型四、完全平方式在几何图形中的应用 10．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23七年级上·上海静安·期末）如图，长方形的周长为，面积为，以为边向外作正方形和，求正方形和的面积之和． 题型五、整式的混合运算 12．（七年级上·上海松江·期中）在下列各式：①a-b=b-a ；②(a-b)2=(b-a)2 ；③(a-b)2=-(b-a)2 ；④(a-b)3=(b-a)3；⑤(a+b)(a-b)=(-a-b)(-a+b) 中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 14．（22-23七年级上·上海宝山·期中）先化简再求值：，其中，． 题型六、完全平方公式在几何图形中的应用 15．（22-23七年级上·上海普陀·期中）如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（    ） A．6平方厘米 B．8平方厘米 C．9平方厘米 D．10平方厘米 16．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分面积为 ． 17．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）如图，点是线段的中点，为线段上一点，分别以、、、为一边作正方形，其面积对应地记作，，，，设，， (1)用含有，的代数式表示正方形的面积． (2)与具有怎样的数量关系？并说明理由． (3)用含有，的代数式表示多边形CDHGFE的面积． 试题练习 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海虹口·期中）如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（    ） A．6 B． C． D．9 2．（22-23七年级上·上海闵行·期中）若多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．6或 B．12或 C．12 D． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期末）已知一个圆的半径为a厘米，若将它的半径增加1厘米，则面积增加（    ）平方厘米 A．1 B． C． D． 4．（23-24七年级上·上海·期末）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 5．（19-20七年级上·上海青浦·阶段练习）如果，那么等于（    ） A．25 B．23 C．27 D．21 6．（七年级上·上海崇明·期中）教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可以用下图对三项的完全平方公式：(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca作说明，那么其中用来表示b2的是区域是（    ） A．⑧ B．⑥ C．⑤ D．② 二、填空题 7．（七年级上·上海虹口·期中）若2=427,的值为 ． 8．（20-21七年级上·上海·期中）已知，如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是 ． 9．（23-24七年级上·上海金山·期末）如果是完全平方式，那么的值是 ． 10．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知：，，那么代数式的值是 ． 11．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知：，则 ． 12．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）已知，则的值是 ． 13．（七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知正方形的边长是，如果边长增加4，那么面积增加 已知，则 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 15．（23-24七年级上·上海青浦·期中）现规定一种运算，则 ． 16．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 17．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果（其中a为常数）成立，那么 ． 18．（22-23七年级上·上海青浦·期中）如图（1），是一个长为，宽为的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积为 ． 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）用乘法公式计算：． 20．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知，求的值 21．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图所示，学校有一块长为米，宽为米的长方形空地，现想要开辟用于种植．为了方便通行，横向修一条宽为c米的一个长方形小路，纵向再修一条宽为c米的一个长方形小路，剩余部分作为种植园地，求种植园地的面积．（用含有a、b、c的多项式表示） 22．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知（如图）用四块大小一样，两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，有    (1) （用a、b表示）； (2) （用c表示）； (3)由（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为： ． 23．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知：和互为倒数，且，求的值． 24．（七年级上·上海·阶段练习）多项式9x+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式是什么? 25．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知的展开式中不含和项． (1)求m与n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 26．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，正方形是由两个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的． (1)根据上图，利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ； (2)若x满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)如图所示，正方形、长方形、长方形和正方形的面积分别为，，和，已知，，求及的值． 27．（21-22七年级上·上海普陀·期中）已知正方形ABCD与正方形EFGH，，（）． （1）如图l，若点C和点H重合，点E在线段CB上，点G在线段DC的延长线上，连接AC、AG、CG，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=______（用含有a、b的代数式表示）． （2）如图2，若点B与点E重合，点H在线段BC上，点F在线段AB的延长线上，连接AC、AG、CG，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=______（用含有a、b的代数式表示）． （3）如图3，若将正方形EFGH沿正方形ABCD的边BC所在直线平移，使得点E、H在线段BC上（点H不与点C重合、点E不与点B重合），连接AC、AG、CG，设，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=______（用含有a、b、x的代数式表示）． （4）如图4，若将正方形EFGH沿正方形ABCD的边BC所在直线平移，使得点H、E在BC的延长线上，连接AC、AG、CG，设，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=______（用含有a、b、x的代数式表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 完全平方公式 （2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 【例1】（闵行区期末）已知，，那么的值是　　 A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】把两边平方，即可得到，然后把代入即可求解． 【解答】解：， 即， ． 故选：． 【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：． 【变式1】（2023秋•宝山区期末）如果，，那么　1　． 【分析】利用完全平方公式展开，再代入数据计算即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：1． 【点评】本题是对完全平方公式的考查，学生经常漏掉乘积二倍项而导致出错． 【变式2】（2023秋•奉贤区期中）若，，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D．无法判断 【分析】根据完全平方公式的变形，将化简，进而与比较即可求解． 【解答】解：， ， 故． 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 【变式3】（2023秋•松江区月考）若，则　6　． 【分析】已知等式左边利用完全平方公式化简，再利用多项式相等的条件求出与的值，再代入计算即可求解． 【解答】解：已知等式整理得：， 可得，， 解得：，， ． 故答案为：6． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式4】（2022秋•浦东新区校级期中）利用完全平方公式计算：． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解： 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握解题的关键． 知识点2．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【例2】（2021秋•徐汇区校级月考）若一个正方形的边长增加，则面积相应增加了，那么这个正方形的边长为　　 A． B． C． D． 【分析】设这个正方形的边长为，根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：设这个正方形的边长为， 由题意得，， 解得，， 故选：． 【点评】本题考查的是完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式是解题的关键． 【变式1】（2020秋•奉贤区期中）如图，已知长方形的两边、分别为、，且，以、为边向外作正方形和正方形，如果这两个正方形的面积之和为，那么长方形的面积是 　19.5　． 【分析】由和的值，可求得的值． 【解答】解：由题意得， ， 又， ， ， ， 即长方形的面积是， 故答案为：19.5． 【点评】此题考查了公式变形的能力，关键是能对完全平方公式进行准确变形应用． 【变式2】（2022秋•浦东新区期中）如果一个正方形的周长为（其中，，则该正方形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方求解． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了完全平方公式，正方形的面积是解题的关键． 【变式3】（2022秋•静安区校级期中）如果一个正方形的周长为（其中，，则该正方形的面积为 　　． 【分析】根据正方形的周长公式求出其边长，再根据面积公式进行计算即可． 【解答】解：一个正方形的周长为，所以边长为， 所以面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 【变式4】（2020秋•浦东新区期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以，即：， 又因为 所以 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值； （2）填空：①若，则　10　． ②若，则　　． （3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【分析】（1）根据完全平方公式的变形，即可求出的值； （2）①将看作，根据（1）中的方法可求出答案； ②将，，利用题目提供的方法可求出答案； （3）设，，将问题转化为，，求出的值即可． 【解答】解：（1）， ， 即，， 又， ； （2）①， 故答案为：10； ②， ， ， 故答案为：17； （3）设，，则，， 由可得，，而， 而， ， ， 又， ， ， 即，阴影部分的面积为． 【点评】本题考查多项式乘以单项式，多项式乘多项式以及完全平方公式等知识，将实际问题转化为数学问题是正确解答的关键． 经典题型汇编 题型一、运用完全平方公式进行运算 1．（23-24七年级上·上海宝山·期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的特征：； 根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】解：A.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； B.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； C.，不能用完全平方公式进行计算，故本选项错误； D.，能用完全平方公式进行计算，故本选项正确； 故选：D． 2．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）（1）已知：、满足，求的值． （2）已知：，，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查完全平方公式变形求值； （1）配方后利用非负数的性质求解即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴． 题型二、通过对完全平方公式变形求值 4．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）若a＝2020×2021+1，b＝20202﹣2020×2021+20212，在下列判断结果正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的变形，将化简，进而与比较即可求解 【详解】a＝2020×2021+1， b＝20202﹣2020×2021+20212 ＝（2020﹣2021）2+2020×2021 ＝2020×2021+1， 故a＝b． 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 5．（21-22七年级上·上海·期末）若，则 ． 【答案】32 【分析】将两边平方为求出的值，再将要求的式子展开计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变形求值，正确记忆完全平方公式是解题的关键． 6．（23-24七年级上·上海长宁·期中）已知，求（1）的值；（2）的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形公式的应用，求解代数式的值； （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）先根据求解，再整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴ ， ∴． 题型三、求完全平方式中的字母系数 7．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）若是一个关于的完全平方式，那么k值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键． 8．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 这里首末两项是和8这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和8积的2倍，依此求出m的值． 【详解】多项式是一个完全平方式 这两个数是和8 故答案为：． 9．（20-21七年级上·上海闵行·期中）已知化简的结果中不含项和项． (1)求，的值； (2)若是一个完全平方式，求的值． 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得 ，即可求解； （2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中 作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∵化简的结果中不含项和项， ∴ ， 解得：； （2）解： ∵是一个完全平方式， ∴， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键． 题型四、完全平方式在几何图形中的应用 10．用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（），则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形和题目中的数据可以分别判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 169−9＝4xy，得xy＝40，故选项C正确， （x＋y）2＝169，得x＋y＝13，故选项A正确， （x−y）2＝9，得x−y＝3，故选项B正确， ，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确题意，巧妙变形，利用数形结合的思想判断各个选项是否正确． 11．（22-23七年级上·上海静安·期末）如图，长方形的周长为，面积为，以为边向外作正方形和，求正方形和的面积之和． 【答案】正方形和的面积之和为． 【分析】先根据题意列出长方形关于周长和面积的代数式，再根据完全平方公式的变式应用即可求出答案． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， ∵长方形的周长为，面积为， ∴， 正方形和的面积之和为， ∵． ∴正方形和的面积之和为． 【点睛】本题主要考查完全平方公式变式应用，根据题意列出等式是解决本题的关键． 题型五、整式的混合运算 12．（七年级上·上海松江·期中）在下列各式：①a-b=b-a ；②(a-b)2=(b-a)2 ；③(a-b)2=-(b-a)2 ；④(a-b)3=(b-a)3；⑤(a+b)(a-b)=(-a-b)(-a+b) 中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据整式乘法和乘法公式进行判断. 【详解】①a-b与b-a互为相反数，不一定相等，本选项错误; ②根据完全平方公式得，，本选项正确; ③根据完全平方公式得，，本选项错误; ④，本选项错误； ⑤，本选项正确; 故选B. 【点睛】本题考查整式乘法和乘法公式，熟记整式乘法法则和乘法公式是关键. 13．（七年级上·上海虹口·期中）计算： ． 【答案】-3a2-4ab+5b2 【分析】根据完全平方式和平方差公式计算即可. 【详解】解： 原式= 【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，必须熟练掌握. 14．（22-23七年级上·上海宝山·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、多项式与多项式的乘法法则进行化简计算，然后合并同类项，再把和的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，涉及到的知识有平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式、合并同类项等知识，解题关键是熟练掌握相关运算法则及乘法公式． 题型六、完全平方公式在几何图形中的应用 15．（22-23七年级上·上海普陀·期中）如图，长方形ABCD的周长是12厘米，以、AB、BC为边向外作正方形ABGH和正方形BCEF，如果正方形ABGH和正方形BCEF的面积之和为18平方厘米，那么长方形ABCD的面积是（    ） A．6平方厘米 B．8平方厘米 C．9平方厘米 D．10平方厘米 【答案】C 【分析】由完全平方公式，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：∵正方形和的面积之和为， ， ∵长方形的周长是， ， ， ， ， ∴长方形的面积是（平方厘米） ． 故选：C． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，关键是应用此公式求出与的积． 16．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，两个正方形的边长分别为a，b，如果，，则阴影部分面积为 ． 【答案】8 【分析】用大正方形的面积减去两个空白三角形的面积即可得出答案． 【详解】解：依题意， 把，代入， 得， 故答案为：8 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，难度适中，需要熟练掌握完全平方公式及其变式． 17．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）如图，点是线段的中点，为线段上一点，分别以、、、为一边作正方形，其面积对应地记作，，，，设，， (1)用含有，的代数式表示正方形的面积． (2)与具有怎样的数量关系？并说明理由． (3)用含有，的代数式表示多边形CDHGFE的面积． 【答案】(1)正方形的面积 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解题意后根据正方形面积公式用含有m、n的代数式分别表示各图形的面积，找到它们之间的关系． （1）根据正方形面积公式即可用含有m，n的代数式表示正方形ACDQ的面积； （2）根据正方形的面积即可得到与的关系． （3）用进行计算即可． 【详解】（1）点是线段的中点， ， 分别以、、、为一边作正方形， 设，， ， ， 正方形的面积． （2）结论： ， ． （3） 试题练习 一、单选题 1．（22-23七年级上·上海虹口·期中）如果（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（    ） A．6 B． C． D．9 【答案】D 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵（k是常数）是完全平方式， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 2．（22-23七年级上·上海闵行·期中）若多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．6或 B．12或 C．12 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴ ∴， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期末）已知一个圆的半径为a厘米，若将它的半径增加1厘米，则面积增加（    ）平方厘米 A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求圆的面积，完全平方公式，熟练掌握圆的面积公式，完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：D． 4．（23-24七年级上·上海·期末）的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，平方差公式． 【详解】解： ． 故选：D． 5．（19-20七年级上·上海青浦·阶段练习）如果，那么等于（    ） A．25 B．23 C．27 D．21 【答案】C 【分析】先把代数式变为，再带入求解即可. 【详解】解：∵， ∴当x+=5时，原式=52+2=27. 故选C. 【点睛】本题考查了本题考查完全平方公式和代数式求值.正确的将代数式进行变形是解决问题的关键 6．（七年级上·上海崇明·期中）教材中用图形的面积对二项的完全平方公式作了说明，我们也可以用下图对三项的完全平方公式：(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca作说明，那么其中用来表示b2的是区域是（    ） A．⑧ B．⑥ C．⑤ D．② 【答案】B 【分析】观察图形，找出边长为b的正方形即可． 【详解】由图形可知，区域⑥是边长为b的正方形， 所以，用来表示b2的是区域⑥的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图是解题的关键． 二、填空题 7．（七年级上·上海虹口·期中）若2=427,的值为 ． 【答案】3 【分析】首先根据等式的性质，将指数的底数化相等，再根据指数相等联立方程组求解参数即可. 【详解】解：将2x=4可化为： 将27可化为： 所以可得： 解得: 所以可得： 故答案为3 【点睛】本题主要考查同底数幂的指数相等，关键在于将底数化相等. 8．（20-21七年级上·上海·期中）已知，如果一个正方形的面积是，则这个正方形的周长是 ． 【答案】8-4a 【分析】先利用完全平方公式对进行分解因式，再根据正方形面积公式即可求出正方形的边长，然后利用边长即可求出周长． 【详解】解：∵ a2−4a＋4=（a−2）2 ， 又∵， ∴正方形的边长为（2−a）cm， ∴正方形的周长为:4（2−a）=（8-4a）cm， 故答案为：8-4a． 【点睛】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，涉及了正方形的面积和周长的计算问题，掌握公式法分解因式是解题的关键． 9．（23-24七年级上·上海金山·期末）如果是完全平方式，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式的定义，根据完全平方式的定义解答即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴，即 故答案为：. 10．（23-24七年级上·上海普陀·期中）已知：，，那么代数式的值是 ． 【答案】32 【分析】首先将变形为，然后代入求解即可． 【详解】∵，， ∴ ． 故答案为：32． 【点睛】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将变形为． 11．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握的应用，对式子构造完全平方公式，再把，代入，即可． 【详解】∵ ， ∴当，时，． 故答案为：． 12．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）已知，则的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查完全平方公式，设，原式转化为：，展开后求出的值，即可得解． 【详解】解：设，则：，， ∴， ∴， ∴； ∴； 故答案为：11． 13．（七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知正方形的边长是，如果边长增加4，那么面积增加 已知，则 【答案】 8a＋16； 【分析】首先表示正方形增加后的边长是a＋4，根据正方形面积公式得到：增加的面积为：（a＋4）2减去原来的面积；根据同底数幂除法的逆用和积的乘方变形求解. 【详解】解：由题意得，增加的面积为：（a＋4）2−a2＝（a＋4＋a）（a＋4−a）＝8a＋16； ∵， ∴. 【点睛】本题考查了列代数式、整式的混合运算以及幂的运算，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，找到其中的数量关系． 14．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】原式， ， ， ． 故答案为： 15．（23-24七年级上·上海青浦·期中）现规定一种运算，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式“，”，熟记乘法公式是解题关键．根据规定的运算，将所求式子进行转化，再利用乘法公式进行计算即可得． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 16．（23-24七年级上·上海青浦·期中）若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的特点即可求解，解题的关键是熟练掌握公式的应用． 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 17．（23-24七年级上·上海青浦·期末）如果（其中a为常数）成立，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；观察等式不难发现，然后对该等式两边同时平方，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 解得：； 故答案为． 18．（22-23七年级上·上海青浦·期中）如图（1），是一个长为，宽为的矩形，用剪刀沿矩形的两条对称轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积为 ． 【答案】 【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积矩形的面积即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，正方形的边长为， 故正方形的面积为， 又原矩形的面积为， 中间空的部分的面积． 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是求出正方形的边长． 三、解答题 19．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】先把原式化为平方差的形式，再利用平方差公式及完全平方公式进行计算即可． 本题考查的是平方差公式及完全平方公式，熟记以上知识是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知，求的值 【答案】 【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式化简，去括号合并后得到最简结果，然后将整体代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，将化简结果适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 21．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图所示，学校有一块长为米，宽为米的长方形空地，现想要开辟用于种植．为了方便通行，横向修一条宽为c米的一个长方形小路，纵向再修一条宽为c米的一个长方形小路，剩余部分作为种植园地，求种植园地的面积．（用含有a、b、c的多项式表示） 【答案】平方米 【分析】把种植园地剩余部分看成一个整体是一个长方形，其长为：米，宽为：米，即可表示面积． 【详解】解：种植园地的长为米，宽为：米， 则种植园地面积， 平方米， 答：种植园地的面积为平方米． 【点睛】本题考查列代数式及整式的运算，解题的关键是利用平移思想表示出剩余部分即长方形的长与宽． 22．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）已知（如图）用四块大小一样，两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c的直角三角形拼成一个正方形，求图形中央的小正方形的面积，有    (1) （用a、b表示）； (2) （用c表示）； (3)由（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用大正方形面积减去4个全等小正方形的面积求解即可； （2）直接利用正方形面积公式求解即可． （3）结合（1）和（2）即可得出等式． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：； （3）解：由（1）、（2），可以得到a、b、c的关系为：， 整理，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式．利用数形结合的思想是解题关键． 23．（23-24七年级上·上海静安·期中）已知：和互为倒数，且，求的值． 【答案】11 【分析】根据和互为倒数可得，再将左右平方，然后整体求得的值即可． 【详解】解：∵和互为倒数， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了倒数的性质、完全平方公式的应用等知识点，灵活运用完全平方公式成为解答本题的关键． 24．（七年级上·上海·阶段练习）多项式9x+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式是什么? 【答案】加上的单项式是x或±6x或−9x或−1. 【分析】分9x是乘积二倍项和平方项，加上单项式后是单项式的平方三种情况讨论求解． 【详解】①若9x是乘积二倍项，∵ x+9x+1=( x+1) ， ∴加上的单项式为x， ②若9x和平方项，∵9x±6x+1=(3x±1) ， ∴加上的单项式为±6x， ③若加上单项式后是单项式的平方，则加上的单项式是−9x或−1， 综上所述，加上的单项式是x或±6x或−9x或−1. 【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于分情况进行讨论. 25．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知的展开式中不含和项． (1)求m与n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练运用整式的乘法运算法则和完全平方公式的变形求解代数式的值是解题的关键． （1）根据整式的运算法则进行化简，使得项和项的系数为0即可求出答案； （2）先利用完全平方公式的变型得到，然后代入即可求出答案． 【详解】（1）解： 由于展开式中不含项和项， ∴且， ∴解得：， （2）由（1）可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（23-24七年级上·上海松江·期中）如图，正方形是由两个长为a、宽为b长方形和两个边长分别为a、b正方形拼成的． (1)根据上图，利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ； (2)若x满足，请利用（1）中的数量关系，求的值； (3)如图所示，正方形、长方形、长方形和正方形的面积分别为，，和，已知，，求及的值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）观察图形，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积，即可作答； （2）运用（1）中的数量关系，代入进行化简，即可作答； （3）因为四边形是正方形，所以，因为，，所以，，则，把，代入即可得；结合，得，即得． 【详解】（1）解：依题意，大正方形面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积， 则； （2）解：因为（1）中的数量关系， 所以， 因为 所以， 则； （3）解：依题意，因为四边形是正方形 所以， 因为，， 所以， 则 因为，， 所以， 即； 因为， 所以 因为，且 所以，即，得或 因为和为边长， 所以舍去 则． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用以及平方差公式与几何图形，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 27．（21-22七年级上·上海普陀·期中）已知正方形ABCD与正方形EFGH，，（）． （1）如图l，若点C和点H重合，点E在线段CB上，点G在线段DC的延长线上，连接AC、AG、CG，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=______（用含有a、b的代数式表示）． （2）如图2，若点B与点E重合，点H在线段BC上，点F在线段AB的延长线上，连接AC、AG、CG，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=______（用含有a、b的代数式表示）． （3）如图3，若将正方形EFGH沿正方形ABCD的边BC所在直线平移，使得点E、H在线段BC上（点H不与点C重合、点E不与点B重合），连接AC、AG、CG，设，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=______（用含有a、b、x的代数式表示）． （4）如图4，若将正方形EFGH沿正方形ABCD的边BC所在直线平移，使得点H、E在BC的延长线上，连接AC、AG、CG，设，将阴影部分三角形ACG的面积记作S，则S=______（用含有a、b、x的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）根据列式计算即可； （3）延长DC，FG相交于点M，延长AB，GF相交于点P，则四边形CHGM、四边形BEFP均为长方形，再根据列式计算即可； （4）延长AD，GH相交于点N，则四边形CDNH为长方形，再根据列式计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可得： ， 故答案为：； （2）根据题意可得： ， 故答案为：； （3）如图，延长DC，FG相交于点M，延长AB，GF相交于点P，则四边形CHGM、四边形BEFP均为长方形， 根据题意可得： ， 故答案为：； （4）如图，延长AD，GH相交于点N，则四边形CDNH为长方形， 根据题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式乘法与图形面积，掌握割补法求图形的面积是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$