2.1.1等式与不等式（3大题型提分练）数学湘教版必修第一册

2.1.1等式与不等式 题型一 不等式的性质 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 6．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 题型二 作差法比较实数（或式子）的大小 1．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 4．设，且，则与的大小关系是 . 5．如果，那么下列不等式成立的是 ． ①    ②    ③    ④ 6．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则 的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”) 7．求证. 8．设是实数，比较与的值的大小. 题型三 利用不等式求值或取值范围 1．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（多选题）．已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的取值范围是 . 4．已知，，则的取值范围为 ． 5．若实数，且，则的取值范围是 . 6．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 7．若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是 ． 8．已知且满足，则的取值范围是 . 9．已知，，则的取值范围为 . 1．新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（   ） A． B． C． D．或 2．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知为正实数．求证：. 4．已知正实数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.1等式与不等式 题型一 不等式的性质 1．下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则一定有 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】D 【分析】若，，，，可判断A；由已知可得，判断B；作差法比较大小判断C；由不等式性可得，判断D. 【详解】对于A，若，，，，则，故A错误. 对于B，若，则，故B错误. 对于C，， 若，，则，即，所以C错误. 对于D，由，可知，即，所以，故D正确. 故选：D. 2．若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，，所以， 因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B 3．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】取，可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】当时，满足，但，故充分性不成立， 若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确. 故选：B 5．给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若a，b是非零实数，且，则； ④若，则 其中正确的命题是 ．（填对应序号即可） 【答案】③④ 【分析】若，判断①不成立；根据不等式性质判断②不成立；根据不等式的性质，判断③④成立. 【详解】对①，当时，结论错误，故①错误； 对②，当时，即，故结论错误； 对③，因为是非零实数，所以，所以即，故③成立； 对④因为，所以即；即，所以，故④正确. 故答案为：③④ 6．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【答案】 ； ； ； . 【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可． 【详解】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：，由②得：④，由①④得：． 故答案为：，，， 题型二 作差法比较实数（或式子）的大小 1．已知，下列选项中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由不等式的性质判断AD，由作差法判断BC即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A符合题意； 对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意； 对于C，因为，所以，即，故C符合题意； 对于D，取，但有，故D不符合题意. 故选：ABC. 2．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】由 对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，当时，可得，所以B不正确； 对于C中，由，因为的符号不确定，无法比较大小， 所以C不正确； 对于D中，由A知，且，根据不等式的性质，可得，所以D正确. 故选：AD. 3．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】借助作差法计算即可得. 【详解】，故. 故答案为：. 4．设，且，则与的大小关系是 . 【答案】 【分析】作差即可比较大小. 【详解】， 由于，且，则，故， 故答案为： 5．如果，那么下列不等式成立的是 ． ①    ②    ③    ④ 【答案】④ 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质和作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】由，可得， 对于①中，由，所以，所以①不正确； 对于②中，由，所以，所以②不正确； 对于③中，由，所以，所以③不正确； 对于④中，由，所以，所以④正确. 故答案为：④. 6．某生活用品价格起伏较大，每两周的价格均不相同，假设第一周、第二周价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买方式不同：甲每周买3斤该用品，乙每周买10元钱的该用品，则 的购买方式更优惠(两次平均价格低视为更优惠).(填“甲”或“乙”) 【答案】乙 【分析】根据题意，求得甲、乙购买该用品的平均单价，结合作差比较法，即可求解. 【详解】由题意得甲购买该用品的平均单价为， 乙购买该用品的平均单价为， 因为，可得，所以， 即乙的购买方式更优惠. 故答案为：乙 7．求证. 【答案】证明见解析 【分析】利用作差法即可求证. 【详解】因为， 所以. 8．设是实数，比较与的值的大小. 【答案】答案见解析 【分析】两式作差，通过的正负，得到两式子大小关系. 【详解】 ①当，即时， ②当，即时， ③当，即时， 题型三 利用不等式求值或取值范围 1．已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解． 【详解】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 2（多选题）．已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的性质直接求解. 【详解】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 3．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先变形，再转化为求的范围. 【详解】由题意可知，， ，，则，所以. 故答案为： 4．已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以又,两式相加可得 故答案为： 5．若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先得到，并根据得到，从而求出. 【详解】因为，故， 由得，解得，故. 故答案为： 6．已知正整数n满足条件：存在唯一的整数k，使成立.这样的n的最大值是 . 【答案】112 【分析】先将不等式变形为，然后根据求出的范围，进而验证即可. 【详解】由得，，即. 又由整数k的唯一性知，，解得， 而时，，，满足的整数k只有97，故符合. 故答案为：. 7．若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是 ． 【答案】[，] 【详解】 因为(xy2)3∈[1，64]，∈[，]，所以xy5＝(xy2)3·∈[，]. 8．已知且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用待定系数法得到，再结合同向不等式的可加性求解即可. 【详解】设，可得， 解得，， 因为可得， 所以. 故答案为：. 9．已知，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得，因为，，则， 因此，.故答案为：. 1．新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前的同学赋分分．若原始分的最大值为，最小值为，令为满足， 的一次函数．对于原始分为的学生，将的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分，赋分；小叶原始分，赋分；小林原始分，他的赋分是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解. 【详解】设，，， ， ∴，. ∴赋分是或. 故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据特殊值法，以及作差法，不等式的性质，判断选项. 【详解】A.若，此时，故A错误； B.若，则，则，故B正确； C. ，，所以，即，故C错误； D. 若，则，则，故D正确； 故选：BD 3．已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 4．已知正实数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】 【分析】 根据题意，将不等式问题转化为最值问题，再由不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 若不等式恒成立，只需，而， 所以只需即可，即，所以实数的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$