9.2一元线性回归模型描述《统计学》（西安电子科技大学出版社）

一元线性回归模型描述 1. 一元线性回归模型 古典线性回归模型假设条件 回归方程、回归直线 样本回归方程、样本回归模型 回归分析(Regression) 依据观察数据构建回归方程，即寻找一个适当的数量关系式来描述变量间平均的数量变化关系 对回归方程的可信程度进行检验，并从影响一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的 利用经过检验的数量关系式，依据一个或几个变量的取值来解释或预测另一个特定变量的取值 1.被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable) 2.用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable) 回归分析(Regression) 回归分析(Regression) 回归分析类型 一元线性回归分析 当回归分析中仅涉及一个自变量，且自变量与因变量之间为线性关系时称为一元线性回归分析 5 一元线性回归模型 描述因变量 如何依赖于一个自变量 和误差项 的线性方程称为一元线性回归模型 一元线性回归模型可表示为 表示自变量的各个取值 表示对应的因变量取值 误差项 是随机变量 0 和 1 称为模型的参数 6 古典线性回归模型假设条件 假设一：正态性 随机误差项 是一个服从正态分布的随机变量。 假设二：零均值 随机误差项 的数学期望为0。 假设三：同方差 对于所有的 取值，随机误差项 的方差相同。 假设四：独立性 对于一个特定的 ，它所对应的 与其他 所对应的 不相关。 7 回归方程 描述因变量 的数学期望、平均值如何依赖于自变量 的线性方程称为回归方程 一元线性回归方程绘制的是二维坐标系中的一条直线，称为回归直线 0是直线在 轴上的截距 1是直线的斜率， 称为回归系数，表示自变量每变动一个单位时， 的平均变动值。 8 回归方程 利用观察数据计算出 和 的估计量 和 带入到回归方程中， 用 作为回归方程的估计，记为 该方程称为样本回归方程 与考虑随机误差项的回归模型相对应，样本回归模型可记为 其中， 称为残差，是观察数据与估计值之间的误差。 9 小结 1. 一元线性回归模型 古典线性回归模型假设条件 回归方程、回归直线 样本回归方程、样本回归模型 思考练习 1.阐述相关分析与回归分析两种方法间的关系。 2.使用普通最小二乘法估计一元线性回归模型的参数时， 模模型中的随机误差项需要满足哪些条件？ 一元线性回归模型构建 1.最小二乘法 2.正规方程组 3.一元线性回归模型构建实例 最小二乘法(Method of Least Squares ) 一元线性回归模型 样本回归方程 图 最小二乘法的思路 最小二乘法(Method of Least Squares ) 回归直线应满足的条件是：全部观察值与对应的估计值的离差平方和的总和为最小，即残差平方和最小。 此准则称为最小二乘准则或最小平方准则，依据此准则估计回归模型参数 、 的方法就是最小二乘法。 最小二乘法(Method of Least Squares ) 15 正规方程组 整理得 16 正规方程组 正规方程组 17 最小二乘估计的性质 18 一元线性回归模型构建实例 【例】一大型牙膏制造公司为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与广告费用之间的关系。为此，销售部门人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4个星期）公司生产的牙膏销售量与广告费用的数据。以广告费用为自变量，销售量为因变量，构建一元线性回归方程，解释回归系数的意义。 19 一元线性回归模型构建实例 表 牙膏销售量与广告费用的数据 销售周期 销售量/百万支 广告费用/百万元 1 7.38 5.50 2 8.51 6.75 3 9.52 7.25 4 7.50 5.50 5 9.33 7.00 … … … 26 9.21 6.80 27 8.27 6.50 28 7.67 5.75 29 7.93 5.80 30 9.26 6.80 20 一元线性回归模型构建实例 解 表示广告费用， 表示牙膏销售量。利用观察数据计算得到： 21 一元线性回归模型构建实例 解 广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为： 回归系数 表示广告费用每增加1百万元，牙膏销售量平均增加1.043百万支；广告费用每减少1百万元，牙膏销售量平均减少1.043百万支。 22 一元线性回归模型构建实例 解 INTERCEPT函数的功能是返回依据观察数据构建的线性回归直线截距，SLOPE函数的功能是返回依据观察数据构建的线性回归直线斜率。二者的语法结构相同，为 INTERCEPT（known_y's，known_x's） SLOPE（known_y's，known_x's） 其中：known_y's为因变量观察数据所在区域；known_x's为自变量观察数据所在区域。 23 小结 1.最小二乘法 2.正规方程组 3.一元线性回归模型构建实例 思考练习 利用Excel软件中的LINEST函数求解以广告费用为自变量、销售量为因变量的一元线性回归模型中的参数估计值。 X 轴� Y 轴� $$