精品解析：四川省德阳市2023-2024学年高一下学期期末教学质量监测考试数学试卷

德阳市高中2023级第一学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再求两集合的交集. 【详解】由，得，解得， 所以， 因为， 所以. 故选：A 2. 若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的判断方法，借助于数轴理解即得的取值范围. 【详解】因是的充分不必要条件，可得，但， 故得，即的取值范围是. 故选：B. 3. 省教厅复查验收省一级示范校之际，某学校将从高一年级21个班中用分层抽样的方法抽个班进行问卷调查，已知1—14班为物理班，15—21班为历史班，则抽到物理班的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义结合题意直接求解即可. 【详解】由题意得抽到物理班的个数为 . 故选：C 4. 下列说法正确是（ ） A. 平面，使得有且只有一个公共点 B. 若直线平面，则 C. 三平面最多把空间分成7部分 D. 若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用基本事实3分析即得；对于B，由直线平面的情况即可排除；对于C，结合长方体的模型即可排除；对于D，对于符合条件的情况，结合模型即可分析得到. 【详解】对于A，利用基本事实3知，平面如果有一个公共点，那么它们必有一条含该公共点的直线，故A错误； 对于B，由直线平面，则或与相交，当时，则有，故B错误； 对于C，当三个平面是长方体中两两垂直的平面时，可以将空间分成8部分，故C错误； 对于D，当3个平面两两相交，且交线互不相同时，则这3个平面可看成一个三棱柱或三棱锥的三个侧面， 利用棱柱与棱锥的定义可得，3条交线互相平行或交于一点，故D正确. 故选：D. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则即可求解. 【详解】，又因为， 所以. 故选：B 6. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由已知条件求出，再由化简后可求得结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：B 7. 定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的递推公式，将转化为，再由时，计算，代入即得. 【详解】因，则， 又， 故. 故选：C. 8. 若，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由求得值，根据投影向量的定义公式计算即得. 【详解】由可得，，解得，则， 在方向上的投影向量为. 故选：D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列函数为奇函数，且在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求出各函数的定义域，根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，再结合函数单调性的定义和复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于，定义域为， ，所以为奇函数， 在，上单调递增，但在定义域内不是单调递增，故错误； 对于，定义域为， ， 所以为奇函数， ，，且， ， 所以， 所以在上单调递增，故正确； 对于，定义域为， ，所以为奇函数， ， 令，因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 又为增函数，所以在上单调递增，故正确； 对于，定义域为， ， 所以为奇函数， ，，且， ， 不恒大于，故在定义域内不单调递增，故错误. 故选：. 10. 关于中位数、方差、众数、标准差，下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的中位数也增加2 B. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的方差也增加2 C. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的众数也增加到2倍 D. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的标准差也增加到2倍 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据中位数的定义分析判断，对于B，根据方差的性质分析判断，对于C，根据众数的定义分析判断，对于D，根据标准差的性质分析判断. 【详解】对于A，将一组数据的每个数都增加2，则可知这一组数的最中间的数或最中间两个数的平均数也增加2， 所以这组数据的中位数也增加2，所以A正确， 对于B，将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的平均也增加2， 所以由方差公式可知，这组数据的方差不变，所以B错误， 对于C，将一组数据的每个数都增加到2倍，则出现次数最多的数也增加到2倍， 所以这组数据的众数也增加到2倍，所以C正确， 对于D，将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的方差增加到4倍， 所以这组数据的标准差也增加到2倍，所以D正确， 故选：ACD 11. 如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. C. 若先把的图象左移2个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍得函数的图象，则在的值域为 D. 若先把图象的横坐标伸长到原来的2倍，再左移2个单位得函数的图象，则是偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据“五点法”，结合图形求得，根据正弦函数的图象与性质，结合选项依次计算判断即可. 【详解】A：由图可知，，得，又，所以. 将代入，得，由解得， 所以. 由，得， 即的单调增区间为，故A正确； B：由选项A可知，，，故B错误； C：把的图象左移2个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍， 得，由，得， 所以，所以，故C错误； D：把图象的横坐标伸长到原来的2倍，再左移2个单位， 得， 则，所以为偶函数，故D正确. 故选：AD 12. 圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（ ） A. 圆台的表面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台外接球表面积为 D. 圆台能装下最大球的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到圆台的母线长，进而求出侧面积，加上上下底面积，得到表面积；B选项，利用台体体积公式进行计算；C选项，作出辅助线，得到外接球半径，求出表面积；D选项，当为球的直径时，球的体积为，故得到圆台能装下最大球的体积小于等于，D错误. 【详解】A选项，圆台的上底面面积为，下底面面积为， 由题意得，过点作⊥于点， 则，由勾股定理得， 故侧面积为， 故表面积为，A错误； B选项，圆台的体积为，B正确； C选项，设外接球球心为，连接，则， 设，则， 由勾股定理得，即， 同理可得， 故，解得， 故，故圆台外接球表面积为，C正确； D选项，当为球的直径时，即半径为1，此时球的体积为， 故圆台能装下最大球的体积不会大于，D错误. 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分：将答案直接填在答题卡上） 13. 若，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】将对数式化成指数式，再利用幂的运算性质，化简代入计算即得. 【详解】由可得，，则. 故答案为：9. 14. 正方体的棱与体对角线所成角的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的对称性，只需求正方体的某条体对角线与任一条棱所成的角即得. 【详解】 如图，由正方体的对称性可知，体对角线与正方体的八条棱所成的角都相等， 现仅以与所成的角为例来求解.在正方体中，因, 故即与所成的角或其补角. 因平面，平面，则, 在中，, 即正方体的棱与体对角线所成角的正切值为. 故答案为： 15. 若函数的最大值为，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式变形后，求出其最大值，列方程可求出的值. 【详解】 （其中） 所以当时，取得最大值， 因为函数的最大值为， 所以，解得. 故答案为： 16. 定义在上的函数满足，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据两个等式进行赋值推理得到函数的周期性，再赋值求得，最后利用函数的周期性即可求得. 【详解】由 可得，因， 代入可得：，即，于是，， 即函数的周期为4， 又由可得，则有，解得. 于是，. 故答案为：0. 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 17. 在一次数学考试中，某同学根据全年级800名同学的考试成绩，绘制了如下频率分布直方图．因失误第二组高度磨损，用代替．请根据该频率分布图，回答下列问题． （1）求的值； （2）估计这次考试全年级由高到低前240名同学的平均分（精确到整数）． 【答案】（1） （2）123分 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图性质，即频率和为1，再来计算面积和即可; （2）利用高分数段的频数累加确定前240名学生落在哪些区间里，然后用区间中点值和频数来估计平均分即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，， 解得：． 【小问2详解】 由频率分布直方图可计算： 考试成绩在内的有：（人）， 考试成绩在内的有：（人）， 故由高到低前240同学的平均分（分）. 18. 已知中，角所对的边分别为，已知． （1）若有两解，求边长的取值范围； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得出，再结合已知条件有两解得出的范围，即可得出的取值范围；（2）利用两角和的余弦公式以及余弦定理求出相应的边，再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由正弦定理， 得：， 由内角和定理知， 要使有两解， 则与有两个交点 所以有， 故边长的取值范围是． 【小问2详解】 ， ， 可得，， 由余弦定理得：， 故的面积． 19. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体，如图，五面体是一个刍甍，其中底面是矩形，侧面是直角三角形，.求证： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由线线平行得到平面，再根据线面平行的性质得到线线平行； （2）证明出平面，结合平行关系得到平面，得到结论. 小问1详解】 底面是矩形，， 又平面平面， 平面， 又平面，平面平面， ； 【小问2详解】 由题意，平面平面， 平面， 又，平面， 平面，. 20. 如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过建系，求出的坐标，代入等式列出方程组求解即得； （2）将理解为，利用两向量夹角坐标公式即可求得. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 由题意，易得，,过点作轴于点， 则,故, 则又，则 故得，，解得， 故． 【小问2详解】 由图知， ， 即的余弦值为. 21. 已知函数，且的图象关于轴对称． （1）求的值并证明在区间上单调递增； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象关于轴对称即可求解，利用单调性的定义即可证明； （2）结合（1）可得，将不等式对恒成立转化为在恒成立，利用换元法分情况讨论即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 的图象关于轴对称，得：， ，解得， 当时，，图象关于轴对称， ，， ，则 ， 在上单调递增，，， ，， 故在区间上单调递增； 【小问2详解】 由题意，偶函数在单调递增，在上单调递减， ，即， 得：， 令，则恒成立， ①当，即时，由，得， ②当，即时，由，得， ③当，即时，由， 得：或， 综上所述，所求实数的取值范围是. 22. 如图，已知平面是圆柱的轴截面，底面直径，母线为底面圆心，为底面半圆弧上的动点（不含端点），为母线上的动点（含端点），． （1）请用的三角函数值表示三棱锥的体积，求的取值范围并求的最大值； （2）若三棱锥的体积为，当最小时，求直线与半圆柱底面所成角的大小． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】（1）过作于，从而得面，再利用等体积法，即可求出结果； （2）利用（1）结果及条件得到或，再由线面角的定义知即与圆柱底面所成的角，在直角三角形中，利用几何关系，即可求解. 【小问1详解】 由题意，又，，所以， 过作于，因为，，面， 所以面， 因为 当时，． 【小问2详解】 由，则， ， 当且仅当，即时取得最小值， 此时，又，所以或， 由圆柱性质，底面，即与圆柱底面所成的角， 有 ①当时， ②当时， 综上，直线与半圆柱底面所成角的大小为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 德阳市高中2023级第一学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2．本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 省教厅复查验收省一级示范校之际，某学校将从高一年级21个班中用分层抽样的方法抽个班进行问卷调查，已知1—14班为物理班，15—21班为历史班，则抽到物理班的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平面，使得有且只有一个公共点 B. 若直线平面，则 C 三平面最多把空间分成7部分 D. 若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 5. （ ） A. B. C. D. 6. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 0 8. 若，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列函数为奇函数，且在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 关于中位数、方差、众数、标准差，下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的中位数也增加2 B. 将一组数据的每个数都增加2，则这组数据的方差也增加2 C. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的众数也增加到2倍 D. 将一组数据的每个数都增加到2倍，则这组数据的标准差也增加到2倍 11. 如图所示，则（ ） A. 在上单调递增 B. C. 若先把图象左移2个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍得函数的图象，则在的值域为 D. 若先把图象的横坐标伸长到原来的2倍，再左移2个单位得函数的图象，则是偶函数 12. 圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（ ） A. 圆台的表面积为 B. 圆台的体积为 C. 圆台外接球表面积为 D. 圆台能装下最大球的体积为 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分：将答案直接填在答题卡上） 13. 若，则______． 14. 正方体的棱与体对角线所成角的正切值为______． 15. 若函数的最大值为，则实数______． 16. 定义在上的函数满足，则______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 17. 在一次数学考试中，某同学根据全年级800名同学的考试成绩，绘制了如下频率分布直方图．因失误第二组高度磨损，用代替．请根据该频率分布图，回答下列问题． （1）求的值； （2）估计这次考试全年级由高到低前240名同学平均分（精确到整数）． 18. 已知中，角所对的边分别为，已知． （1）若有两解，求边长的取值范围； （2）若，求的面积． 19. 我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体，如图，五面体是一个刍甍，其中底面是矩形，侧面是直角三角形，.求证： （1）； （2） 20. 如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． （1）若，求值； （2）求的余弦值． 21. 已知函数，且的图象关于轴对称． （1）求的值并证明在区间上单调递增； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 22. 如图，已知平面是圆柱的轴截面，底面直径，母线为底面圆心，为底面半圆弧上的动点（不含端点），为母线上的动点（含端点），． （1）请用的三角函数值表示三棱锥的体积，求的取值范围并求的最大值； （2）若三棱锥的体积为，当最小时，求直线与半圆柱底面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$