期末强化练12 必修一、二知识清单及期末测试-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

期末强化练12 必修一、二知识清单及期末测试 一、 集合 1 二、 常用逻辑用语 1 三、等式性质与不等式性质 2 四、一元二次不等式及其解法 3 五、基本不等式 4 六、函数的概念与性质 4 七、幂函数 7 八、指数式、对数式的运算 7 九、指数函数 8 十、对数函数 9 十一、函数的图象 9 十二、函数与方程 10 十三、三角函数 11 十四、平面向量 14 十五、解三角形 17 十六、复数 19 十七、立体几何 19 十八、统计 23 十九、概率 25 期末测试卷 28 2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 集合 1.元素与集合 （1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； （2）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. 提醒　（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 （1）子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； （2）真子集：若A⊆B，存在x∈B，且xA，则AÞB； （3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； （4）⌀是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x｜x∈A，或x∈B} {x｜x∈A，且x∈B} {x｜x∈U，且xA} 2、 常用逻辑用语 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/p p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/q且q⇒/p 提醒　若p是q的充分条件，则q是p的必要条件.反之，若p是q的必要条件，则q是p的充分条件，而如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 2.全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示； （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题与存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，p（x） ∀x∈M，p（x） 4.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系 设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 5.等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件. 3.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 三、等式性质与不等式性质 1.两个实数的大小比较 （1）a＞b⇔a－b＞0； （2）a＝b⇔a－b＝0； （3）a＜b⇔a－b＜0. 2.等式的基本性质 （1）对称性：如果a＝b，那么b＝a； （2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； （5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒＞ （n∈N，n≥2）. 4.倒数性质 （1）a＞b，ab＞0⇒＜； （2）a＜0＜b⇒＜； （3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 5.分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 （1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）； （2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 四、一元二次不等式及其解法 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 2.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 3.一元二次不等式恒成立的条件 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 五、基本不等式 1.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0； （2）等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号； （3）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 2.利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）； （2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）. 3、常用结论 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）. （2）＋≥2（a，b同号）. （3）ab≤，ab≤（a，b∈R）. （4）≥（a，b∈R）. 六、函数的概念与性质 1.函数的概念与表示 （1）函数的概念 ◙ （2）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法； （3）同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 提醒　若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2. 2.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. 提醒　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 3.求给定函数解析式的定义域 （1）求给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域. 4.求抽象函数定义域的方法 5.函数的单调性 （1）增函数和减函数 增函数 减函数 定义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求f（x1）与f（x2） 都有f（x1）＜f（x2） 都有f（x1）＞f（x2） 结论 函数f（x）在区间I上是增函数 函数f（x）在区间I上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f（x）的单调区间. 6.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有f（x）≤M； ②∃x0∈D，使得f（x0）＝M ①∀x∈D，都有f（x）≥M； ②∃x0∈D，使得f（x0）＝M 结论 M是函数y＝f（x）的最大值 M是函数y＝f（x）的最小值 7.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）当f（x），g（x）都是增（减）函数时，f（x）＋g（x）是增（减）函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. 8.函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D（x1≠x2），则： （1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在D上单调递增； （2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在D上单调递减. 9.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 提醒　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 10.函数的周期性 （1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 11.函数奇偶性常用结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 12.函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. 13.函数图象的对称性 （1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称； （2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称； （3）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x）或f（a＋x）＝f（a－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 14.判断抽象函数对称性的常用结论 y＝f（x）在定义域内恒满足 y＝f（x）的图象的对称中心（对称轴） f（a＋x）＋f（a－x）＝0 点（a，0） f（a＋x）＋f（b－x）＝0 点 f（a＋x）＋f（b－x）＝c 点 f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝ （表中a，b，c为常数） 七、幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数. 提醒　幂函数的特征：（1）自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；（2）xα的系数为1；（3）只有一项. 2.常见的四种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性 质 定义域 R R {x｜x≥0} {x｜x≠0} 值域 {y｜y≥0} R {y｜y≥0} {y｜y≠0} 奇偶性 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在（－∞，0]上单调递减；在（0，＋∞）上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞）上单调递增 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减 3.幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 （1）恒过点（1，1）； （2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大. 八、指数式、对数式的运算 1.根式与有理数指数幂 （1）根式 ①如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根； ②式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③（）n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝｜a｜＝ （2）有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算性质 ar·as＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 2.对数 （1）概念：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数； （2）对数的性质、运算性质与换底公式 ①性质：（ⅰ）＝N；（ⅱ）logaab＝b（a＞0，且a≠1）. ②运算性质：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （ⅰ）loga（MN）＝logaM＋logaN；（ⅱ）loga＝logaM－logaN；（ⅲ）logaMn＝nlogaM（n∈R）. ③换底公式：logab＝（a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1）. 注：1.换底公式的变形 （1）logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）； （2）lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）. 九、指数函数 1.指数函数的概念 函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 提醒　形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 2.指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为R，值域为（0，＋∞） 图象过定点（0，1） 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 增函数 减函数 提醒　指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究. 3.指数函数图象的特点 （1）指数函数的图象恒过点（0，1），（1，a），，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象； （2）函数y＝ax与y＝（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称； （3）在第一象限内，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象越高，底数越大. 十、对数函数 1.对数函数的概念 函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，＋∞）. 提醒　对数函数y＝logax的3个特征：（1）底数a＞0，且a≠1；（2）自变量x＞0；（3）系数为1. 2.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 图象过定点（1，0），即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论 3.反函数 指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.y＝ax与y＝logax的函数图象关于y＝x对称. 4.对数函数图象的特点 （1）对数函数的图象恒过点（1，0），（a，1），，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象； （2）函数y＝logax与y＝lox（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称； （3）在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 十一、函数的图象 1.利用描点法作函数图象的步骤 2.函数图象的变换 十二、函数与方程 1.函数的零点 （1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点； （2）几个等价关系：方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f（x）有零点. 提醒　函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 提醒　函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3.二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤 （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0； （2）求区间（a，b）的中点c； （3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间： ①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点； ②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c； ③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）. 5.有关函数零点的结论 （1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点； （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； （3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 十三、三角函数 1.角的概念的推广 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形； （2）分类： （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}. 提醒　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍. 2.弧度制的定义和公式 （1）定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示； （2）公式 角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示） 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 l＝｜α｜r 扇形面积公式 S＝lr＝｜α｜r2 提醒　有关角度与弧度的两个注意点 ①角度与弧度换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；②利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 3.任意角的三角函数 （1）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝（x≠0）； （2）任意角的三角函数的定义（推广）：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）； （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 4.同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）； （2）商数关系：tan α＝. 提醒　平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）. 5.同角三角函数关系式的常见变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）； （2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）； （3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； （4）sin α＝tan αcos α. 6.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 提醒　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在象限的符号. 7.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β））；  （2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C（α＋β））；  （3）sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β（S（α－β））；  （4）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β（S（α＋β））；  （5）tan（α－β）＝（T（α－β））； （6）tan（α＋β）＝（T（α＋β））. 8.二倍角公式 （1）基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；  ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan 2α＝. （2）公式变形 ①升幂公式：1－cos α＝2sin2；1＋cos α＝2cos2；tan α＝；1±sin α＝； ②降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；tan2α＝. 提醒　（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍. 9.公式的常用变式：若α＋β＝，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝2；tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）；tan α·tan β＝1－＝－1. 10.常用拆角、拼角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－等. 11.辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin（α＋φ）. 12.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：（0，0），，（π，0），，（2π，0）； （2）在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：（0，1），，（π，－1），，（2π，1）. 13.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z） 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {xx≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 （kπ，0） 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 提醒　（1）正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调；（2）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时要注意A和ω的符号，应首先化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆. 14.对称性与周期 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期； （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 15.与三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）. 16.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念 y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 17.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图 用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0 18.函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径 提醒　（1）两种变换的区别：①先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度；②先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位长度. （2）变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看“角ωx＋φ”的变化. 十四、平面向量 1.向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（模）； （2）零向量：长度为0的向量，记作0； （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量； （4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行； （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量； （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 提醒　单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋（－b） 续表 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ（μa）＝（λμ）a； （λ＋μ）a＝λa＋μa； λ（a＋b）＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 提醒　当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一. 4.平面向量基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2； （2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 提醒　（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一. 5.平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、数乘及向量的模 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝； （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），｜｜＝. 提醒　若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b⇔ 6.平面向量共线的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 提醒　（1）a∥b的充要条件不能表示为 ＝，因为x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 ＝ 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 7.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作<a，b>； （2）范围：夹角θ的范围是[0，π].当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向. 提醒　只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角. 8.平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cos θ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.  规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影向量： 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝·； （3）运算律 ①交换律：a·b＝b·a； ②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）； ③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c. 提醒　（1）乘法结合律，（a·b）c≠a（b·c）（这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c⇒/ b＝c（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））. 9.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的 充要条件 a＝λb（λ∈R） x1y2－x2y1＝0 ｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤ 提醒　（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 10.平面向量数量积运算的常用公式 （1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2； （2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2. 11.有关向量夹角的两个结论 （1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）； （2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）. 十五、解三角形 1.正弦定理 ＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径）. 正弦定 理的常 见变形 （1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； （2）sin A＝，sin B＝，sin C＝； （3）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （4）＝ 2.余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B；  c2＝a2＋b2－2abcos C.  余弦定 理的常见变形 （1）cos A＝； （2）cos B＝； （3）cos C＝ 3.三角形的面积公式 （1）S△ABC＝aha（ha为边a上的高）； （2）S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；  （3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）. 4.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B. 5.三角形中的三角函数关系 （1）sin（A＋B）＝sin C；（2）cos（A＋B）＝－cos C； （3）sin＝cos；（4）cos＝sin. 6.三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 7.在△ABC中，S＝＝. 8.测量中的几个有关术语 #术语名称 #术语意义 #图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α 例： 坡角与 坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比（坡度），即i＝＝tan θ 十六、复数 1.复数的有关概念 （1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的实部和虚部.当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数； （2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）； （3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）； （4）复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝. 2.复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）； （2）复数z＝a＋bi平面向量 提醒　复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）. 3.复数的运算 （1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. （2）复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）. （3）复数乘法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律： ①交换律：z1z2＝z2z1； ②结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）； ③乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3. 十七、立体几何 1.基本立体图形 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 提醒　四棱柱、四面体的结构特征及关系 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 续表 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 长度相等且延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 提醒　球的截面的性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝. 2.立体图形的直观图 （1）画法：常用斜二测画法； （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°（或135°），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r＋r'）l 提醒　（1）几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；（2）圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl. 4.空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝（S上＋S下＋）h 球 S＝4πR2 V＝πR3 5.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图. 6.几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝； （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 7.平面的基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 提醒　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面. 8.空间两直线的位置关系 （1）空间中两直线的位置关系 （2）异面直线所成的角 ①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）； ②范围：. （3）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行； （4）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 9.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况； （2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 10.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”） ⇒a∥α 续表 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） ⇒l∥b 11.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”） ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 1.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面； （2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°； （2）范围：. 3.平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角； ③范围：[0°，180°]. （2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直； （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 4.空间距离 （1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离； （2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离； （3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 十八、统计 1.随机抽样 （1）简单随机抽样 ①定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样； ②常用方法：抽签法和随机数法. （2）分层随机抽样 ①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配； ②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样. 2.常用统计图表 （1）频率分布直方图 ①纵轴表示，即小长方形的高＝； ②小长方形的面积＝组距×＝频率； ③各小长方形的面积的总和等于1. （2）频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. （3）条形图、折线图及扇形图 ①条形图：建立直角坐标系，用横轴（横轴上的数字）表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本（或某个范围内的样本）的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图； ②折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图； ③扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图. 3.总体百分位数的估计 （1）百分位数 定义 意义 百分位数 一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点 （2）求一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据； 第2步：计算i＝n×p%； 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 4.总体集中趋势的估计 （1）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数； （2）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； （3）平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数 ＝（x1＋x2＋…＋xn）. 提醒　（1）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值影响；（2）众数体现了样本数据的最大集中点，一组数据可能有n个众数，也可能没有众数；（3）与中位数、众数比较，平均数反映出样本数据的更多信息，对样本数据中的少数极端值更加敏感. 5.总体离散程度的估计 （1）假设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则： ①标准差 s＝； ②方差 s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]. （2）分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数据分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数据，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则＝xi，＝（xi－）2，＝yi，＝（yi－）2. ①则＝＋； ②s2＝{m[＋（－）2]＋n[＋（－）2]}. 十九、概率 1.随机事件 （1）事件的相关概念 （2）概率和频率 ①在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率； ②对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）. 2.事件的关系和运算 （1）两个事件的关系和运算 事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 A发生导致B发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 事件的关系和运算 含义 符号表示 并事件（和事件） A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB 互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝⌀ 互为对立事件 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝⌀， A∪B＝Ω （2）概率的几个基本性质 ①概率的取值范围：0≤P（A）≤1； ②必然事件的概率P（Ω）＝1； ③不可能事件的概率P（⌀）＝0. （3）互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）； （4）对立事件的概率：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A）或P（A）＝1－P（B）. （5）A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B) 3.古典概型 （1）古典概型的特征 （2）古典概型的概率公式 P（A）＝. 4．事件的相互独立性 (1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．简称为独立． (2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． (3)公式的推广 ①n个事件相互独立 对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． ②n个相互独立事件的概率公式 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立． (4)两个事件独立与互斥的区别 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响． 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提． 5．相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) [说明]　①(A)＋(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生． ②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B. 6．概率的统计定义 (1)对频率随机性的理解 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性． (2)对频率稳定性的理解 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且0≤P(A)≤1. 7．频率与概率的关系 (1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的． (2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)＝. (3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 注：①概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小． ②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关． ③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 期末测试卷 一、单选题 1．（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z满足，则复数z的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】设，根据复数相等可得方程组，求解即可. 【详解】设，根据题意，可得， 化简为， 根据复数相等，得，解得， 所以，即复数z的虚部是3. 故选：C 2．（23-24高一下·广东江门·期末）底面积为，侧面积为的圆锥的体积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由底面积可求底面半径，根据侧面积可求母线，由圆锥的轴截面可求圆锥的高，代入体积公式即可求解. 【详解】因为底面积为，所以底面半径， 因为侧面积为，设母线为， 所以， 所以， 设圆锥的高为，所以， 所以圆锥的体积为. 故选：. 3．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数的零点从小到大分别为．若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】令可得，根据题意结合正弦函数性质分析求解. 【详解】令，可得， 且，则，则， 可得，即，则. 故选：C. 4．（2024·河北邢台·一模）如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算水的体积，再计算放入球后水和球的总体积，可得铁球的体积，利用体积公式可得答案. 【详解】正四棱台容器的高为12cm，，， 正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为， 其体积为； 放入铁球后，水位高为9cm，沿作个纵截面，从分别向底面引垂线，如图， 其中是底面边长10 cm，是容器的高为12 cm，是水的高为9 cm， 由截面图中比例线段的性质，可得,此时水面边长为4 cm， 此时水的体积为， 放入的57个球的体积为， 设小铁球的半径为，则，解得. 故选：A 5．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为 ． 故选：D． 6．（2024·广东茂名·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的图形，利用数量积的运算律及定义求解即得. 【详解】连接，，设，依题意，，，， 则， 由，得，所以. 故选：C 7．（2023·河南开封·模拟预测）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行向量的坐标表示求出，再将所求表达式化为，代入即可得出答案. 【详解】因为向量，，且， 所以，则， 而. 故选：A. 8．（2023·四川成都·二模）将最小正周期为的函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．对称轴为， B．在内单调递增 C．对称中心为， D．在内最小值为 【答案】C 【分析】根据周期可得，再通过平移变换可得，然后由正弦函数的对称性、单调性求解即可. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，解得， 则由平移变换可得， A选项：令得对称轴方程为，A错误； B选项：由得，所以在上单调递增， 由得，所以在上单调递减，B错误； C选项：令得，所以的对称中心为，C正确； D选项：因为，， 所以结合B中分析可得在内的最小值为，D错误. 故选：C 二、多选题 9．（22-23高一下·河北石家庄·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若直线与平面不平行，则l与相交 B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内 C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行 D．如果是异面直线，，，则，是异面直线 【答案】BD 【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误； 对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交， 故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确； 对C，若直线与平面相交， 直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误； 对D，如果是异面直线，，则异面， 则是异面直线，故D正确. 故选：BD 10．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C．若为纯虚数，则 D．若z满足，则 【答案】ACD 【分析】直接利用复数的概念，几何意义及运算逐项判断即可. 【详解】对A, 的虚部为，故A正确； 对B, 在复平面内对应的点为，在第四象限，故B错误； 对C, 若为纯虚数，则,解得，故C正确； 对D, ,故D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高一下·广东佛山·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则周长的最大值为 B．若，且只有一解，则的取值范围为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 【答案】ACD 【分析】由正弦定理可得，再由余弦定理、基本不等式求出的最大值可判断A；由正弦定理得，利用可判断B；求出，利用为锐角三角形求出的范围，由正弦定理得，求出的范围可判断C；作交于点点，则点为的中点，设可得，利用数量积公式计算可判断D. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即，即， 因为，所以，所以， 对于A，因为，由余弦定理得， 由，，可得， 则， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最大值为，故A正确； 对于B，若，且，由正弦定理得， 所以，当即时，所以时，也只有一解，故B错误； 对于C，若，所以，且为锐角三角形， 所以，解得，所以， 由正弦定理得，故C正确； 对于D，如图作交于点点，则点为的中点，且， 设，所以， 所以，故D正确.    故选：ACD. 三、填空题 12．（2024·广东惠州·一模）若角的终边在第四象限，且，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可求得，再利用两角差的正切公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 又角的终边在第四象限，可得，即； 所以. 即. 故答案为： 13．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据数量积的几何意义，找到最值时点M的位置，用基底、表示、，再结合数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】如图所示，    根据数量积的几何意义知：当点M在C点时，在上的投影向量与同向，且长度最长， 所以此时最大， 因为，， 所以 ， 所以的最大值为. 故答案为： 14．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是 . 【答案】 【分析】由几何关系和勾股定理确定关于的方程，解出半径，再计算面积即可. 【详解】 如图，因为，所以球心在的延长线上， 因为正四棱锥的底面边长为，高为，所以， 设，， 则，解得，所以半径， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在中，角所对的边分别为，，，且 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得，得到，即，即可求解； （2）由（1）和余弦定理，得到，再由的面积为，求得，得到，进而求得的周长. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以. （2）解：由（1）知，且， 根据余弦定理得，所以， 又因为的面积为，可得，所以， 所以，可得，所以的周长为. 16．（23-24高一下·河南洛阳·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足，现将沿折起到的位置，使得. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为菱形，，为等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理得到，证明出线面垂直，得到面面垂直； （2）作出辅助线，得到为二面角的平面角，根据边长求出余弦值. 【详解】（1）平面图形中，连接，因为，， 所以，故，又， 所以四边形为平行四边形， Rt中，由勾股定理得，且， 因为，， 所以为等边三角形，四边形为菱形，为等边三角形， 取中点，连接，则， 连接，，又， 故，即， 又，平面， 平面，平面， 平面平面； （2）由（1）知，平面，平面，所以， 作于，连接， 因为，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 在直角中，，，可得， ，故二面角的余弦值为. 17．（23-24高一下·山西大同·期末）当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (3)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 【答案】(1)0.1； (2)7.4小时； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图tk 小矩形面积和为1求出值. （2）利用频率分布直方图估计平均数的算法，列式计算即得. （3）利用分层抽样求出指定的两个区间的人数，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，所以. （2）每天玩网络游戏的平均时间（小时）. （3）每天玩网络游戏的时间在和内的人数比为， 则用分层抽样的方法抽取的5人中，在内的有1人，记为，在内的有4人，记为， 这5人中随机抽取2人的试验的样本空间，共10个样本点， 玩网络游戏的时间所在区间不同的事件，共4个样本点， 所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 18．（23-24高一下·广东梅州·期末）如下图，四棱锥的底面是等腰梯形，平面，． (1)求证：平面PAB； (2)点为PA上一点，，求证：平面BDQ； (3)点为PD的中点，求AM与平面PBD所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先求，再证明，最后根据线面垂直的判断定理，即可证明； （2）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，根据比例关系，构造线线平行，即可证明； （3）根据（1）的结果，结合线面角的定义，即可求解线面角的正弦值. 【详解】（1）由题意可知，，所以， ，得， 则，所以， 又因为平面，平面， 所以，，且平面， 所以平面； （2）连结，交于点，连结， 因为，且，所以， 又因为，所以， 且平面，平面， 所以平面； （3）由（1）可知，平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 过点作，连结， 则平面，为直线与平面所成的角， 因为是等腰直角三角形，且，所以， 中，，，所以， ， 所以 【点睛】关键点睛：解答立体几何类型的题目关键在于要明确空间的位置关系，特别是求线面角时，要根据定义找出所求角，进而求解. 19．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足： ① 函数在上是单调函数； ② 函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”. (1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果） (2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（ ） (3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】(1)直接由“理想区间”的定义判断即可. (2)由题意结合函数的单调性得，即方程有两个不等实根. 设，由零点存在定理知有零点，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间” (3)根据函数在上为单调递增得到，转化为方程在上有两个不等实根进而转化为在至少有一个实根.分、三种情况，分别求得满足条件的k即可. 【详解】(1) 函数存在1级“理想区间”，“理想区间”是[0,1]；不存在1级“理想区间”. (2)设函数存在3级“理想区间”，则存在区间，使的值域是. 因为函数在R上单调递增， 所以，即方程有两个不等实根. 设， 可知，，，， 由零点存在定理知，存在，，使，. 设，，所以方程组有解，即函数存在3级“理想区间”. (3)若函数存在级“理想区间”，则存在区间，函数的值域是. 因为，任取 ，且， 有， 因为，所以， 所以 ，即， 所以 函数在上为单调递增函数. 所以 ，于是方程在上有两个不等实根. 即在上有两个不等实根. 显然 是方程的一个解，所以 在至少有一个实根. （1）当时，，不合题意，舍； （2）当时，方程无实根，舍； （3）时，, 所以  ，解出. 所以 ，又因为，所以 或. 【点睛】本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，属于难题． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$期末强化练12 必修一、二知识清单及期末测试 一、 集合 1 二、 常用逻辑用语 1 三、等式性质与不等式性质 2 四、一元二次不等式及其解法 3 五、基本不等式 4 六、函数的概念与性质 4 七、幂函数 7 八、指数式、对数式的运算 7 九、指数函数 8 十、对数函数 9 十一、函数的图象 9 十二、函数与方程 10 十三、三角函数 11 十四、平面向量 14 十五、解三角形 17 十六、复数 19 十七、立体几何 19 十八、统计 23 十九、概率 25 期末测试卷 28 2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1、 集合 1.元素与集合 （1）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性； （2）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法； （3）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉； （4）五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集（自然数集），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. 提醒　（1）解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；（2）N为自然数集（即非负整数集），包含0，而N*（N＋）表示正整数集，不包含0. 2.集合间的基本关系 （1）子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； （2）真子集：若A⊆B，存在x∈B，且xA，则AÞB； （3）相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； （4）⌀是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 并集 交集 补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x｜x∈A，或x∈B} {x｜x∈A，且x∈B} {x｜x∈U，且xA} 2、 常用逻辑用语 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒/p p是q的必要不充分条件 p⇒/q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒/q且q⇒/p 提醒　若p是q的充分条件，则q是p的必要条件.反之，若p是q的必要条件，则q是p的充分条件，而如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 2.全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示； （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题与存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，p（x） ∀x∈M，p（x） 4.充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系 设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 5.等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件. 3.命题p和p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假. 三、等式性质与不等式性质 1.两个实数的大小比较 （1）a＞b⇔a－b＞0； （2）a＝b⇔a－b＝0； （3）a＜b⇔a－b＜0. 2.等式的基本性质 （1）对称性：如果a＝b，那么b＝a； （2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； （5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒＞ （n∈N，n≥2）. 4.倒数性质 （1）a＞b，ab＞0⇒＜； （2）a＜0＜b⇒＜； （3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 5.分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 （1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）； （2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 四、一元二次不等式及其解法 1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 2.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 3.一元二次不等式恒成立的条件 （1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 （2）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 五、基本不等式 1.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0； （2）等号成立的条件是：当且仅当a＝b时取等号； （3）其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 提醒　应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 2.利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）； （2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）. 3、常用结论 （1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）. （2）＋≥2（a，b同号）. （3）ab≤，ab≤（a，b∈R）. （4）≥（a，b∈R）. 六、函数的概念与性质 1.函数的概念与表示 （1）函数的概念 ◙ （2）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法； （3）同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 提醒　若两函数的值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2. 2.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数. 提醒　分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 3.求给定函数解析式的定义域 （1）求给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式（组）求解； （2）当函数解析式较复杂时，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域. 4.求抽象函数定义域的方法 5.函数的单调性 （1）增函数和减函数 增函数 减函数 定义 要求x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时 要求f（x1）与f（x2） 都有f（x1）＜f（x2） 都有f（x1）＞f（x2） 结论 函数f（x）在区间I上是增函数 函数f（x）在区间I上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做y＝f（x）的单调区间. 6.函数的最值 前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有f（x）≤M； ②∃x0∈D，使得f（x0）＝M ①∀x∈D，都有f（x）≥M； ②∃x0∈D，使得f（x0）＝M 结论 M是函数y＝f（x）的最大值 M是函数y＝f（x）的最小值 7.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： （1）当f（x），g（x）都是增（减）函数时，f（x）＋g（x）是增（减）函数； （2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反； （3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反. 8.函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D（x1≠x2），则： （1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0）⇔f（x）在D上单调递增； （2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0）⇔f（x）在D上单调递减. 9.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D 且f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 提醒　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件. 10.函数的周期性 （1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期； （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期. 11.函数奇偶性常用结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 12.函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. 13.函数图象的对称性 （1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称； （2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称； （3）若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x）或f（－x）＝f（2a＋x）或f（a＋x）＝f（a－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 14.判断抽象函数对称性的常用结论 y＝f（x）在定义域内恒满足 y＝f（x）的图象的对称中心（对称轴） f（a＋x）＋f（a－x）＝0 点（a，0） f（a＋x）＋f（b－x）＝0 点 f（a＋x）＋f（b－x）＝c 点 f（a＋x）＝f（a－x） 直线x＝a f（a＋x）＝f（b－x） 直线x＝ （表中a，b，c为常数） 七、幂函数 1.幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数. 提醒　幂函数的特征：（1）自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；（2）xα的系数为1；（3）只有一项. 2.常见的四种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 图象 性 质 定义域 R R {x｜x≥0} {x｜x≠0} 值域 {y｜y≥0} R {y｜y≥0} {y｜y≠0} 奇偶性 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在（－∞，0]上单调递减；在（0，＋∞）上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞）上单调递增 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减 3.幂函数y＝xα在第一象限的两个重要结论 （1）恒过点（1，1）； （2）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大. 八、指数式、对数式的运算 1.根式与有理数指数幂 （1）根式 ①如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根； ②式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③（）n＝a.当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝｜a｜＝ （2）有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算性质 ar·as＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 2.对数 （1）概念：如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数； （2）对数的性质、运算性质与换底公式 ①性质：（ⅰ）＝N；（ⅱ）logaab＝b（a＞0，且a≠1）. ②运算性质：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么 （ⅰ）loga（MN）＝logaM＋logaN；（ⅱ）loga＝logaM－logaN；（ⅲ）logaMn＝nlogaM（n∈R）. ③换底公式：logab＝（a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1）. 注：1.换底公式的变形 （1）logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）； （2）lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd＝logad（a，b，c均大于0且不等于1，d＞0）. 九、指数函数 1.指数函数的概念 函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 提醒　形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 2.指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域为R，值域为（0，＋∞） 图象过定点（0，1） 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 增函数 减函数 提醒　指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究. 3.指数函数图象的特点 （1）指数函数的图象恒过点（0，1），（1，a），，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象； （2）函数y＝ax与y＝（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称； （3）在第一象限内，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象越高，底数越大. 十、对数函数 1.对数函数的概念 函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，＋∞）. 提醒　对数函数y＝logax的3个特征：（1）底数a＞0，且a≠1；（2）自变量x＞0；（3）系数为1. 2.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 图象过定点（1，0），即恒有loga1＝0 当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数 注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论 3.反函数 指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.y＝ax与y＝logax的函数图象关于y＝x对称. 4.对数函数图象的特点 （1）对数函数的图象恒过点（1，0），（a，1），，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象； （2）函数y＝logax与y＝lox（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称； （3）在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 十一、函数的图象 1.利用描点法作函数图象的步骤 2.函数图象的变换 十二、函数与方程 1.函数的零点 （1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点； （2）几个等价关系：方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f（x）有零点. 提醒　函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 提醒　函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件. 3.二分法的定义 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 4.用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤 （1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0； （2）求区间（a，b）的中点c； （3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间： ①若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点； ②若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c； ③若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c. （4）判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）. 5.有关函数零点的结论 （1）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点； （2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； （3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 十三、三角函数 1.角的概念的推广 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形； （2）分类： （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}. 提醒　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍. 2.弧度制的定义和公式 （1）定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示； （2）公式 角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示） 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 l＝｜α｜r 扇形面积公式 S＝lr＝｜α｜r2 提醒　有关角度与弧度的两个注意点 ①角度与弧度换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；②利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 3.任意角的三角函数 （1）设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝（x≠0）； （2）任意角的三角函数的定义（推广）：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）； （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 4.同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）； （2）商数关系：tan α＝. 提醒　平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋（k∈Z）. 5.同角三角函数关系式的常见变形 （1）sin2α＝1－cos2α＝（1＋cos α）（1－cos α）； （2）cos2α＝1－sin2α＝（1＋sin α）（1－sin α）； （3）（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α； （4）sin α＝tan αcos α. 6.诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α（k∈Z） π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 提醒　诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α（k∈Z）”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化.“符号看象限”指的是在“k·＋α（k∈Z）”中，将α看成锐角时，“k·＋α（k∈Z）”的终边所在象限的符号. 7.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 （1）cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β（C（α－β））；  （2）cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β（C（α＋β））；  （3）sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β（S（α－β））；  （4）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β（S（α＋β））；  （5）tan（α－β）＝（T（α－β））； （6）tan（α＋β）＝（T（α＋β））. 8.二倍角公式 （1）基本公式 ①sin 2α＝2sin αcos α；  ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan 2α＝. （2）公式变形 ①升幂公式：1－cos α＝2sin2；1＋cos α＝2cos2；tan α＝；1±sin α＝； ②降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；tan2α＝. 提醒　（1）二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况；（2）二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍. 9.公式的常用变式：若α＋β＝，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝2；tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）；tan α·tan β＝1－＝－1. 10.常用拆角、拼角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；β＝－＝（α＋2β）－（α＋β）；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；＋α＝－等. 11.辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin（α＋φ）. 12.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：（0，0），，（π，0），，（2π，0）； （2）在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：（0，1），，（π，－1），，（2π，1）. 13.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（表中k∈Z） 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {xx≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 （kπ，0） 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 提醒　（1）正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域内不单调；（2）求函数y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间时要注意A和ω的符号，应首先化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆. 14.对称性与周期 （1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期； （2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 15.与三角函数的奇偶性相关的结论 （1）若y＝Asin（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ（k∈Z）； （2）若y＝Acos（ωx＋φ）为偶函数，则有φ＝kπ（k∈Z）；若为奇函数，则有φ＝kπ＋（k∈Z）. 16.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念 y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0） 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 17.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图 用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin（ωx＋φ） 0 A 0 －A 0 18.函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的两种途径 提醒　（1）两种变换的区别：①先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是｜φ｜个单位长度；②先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位长度. （2）变换的注意点：无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看“角ωx＋φ”的变化. 十四、平面向量 1.向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（模）； （2）零向量：长度为0的向量，记作0； （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量； （4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行； （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量； （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量. 提醒　单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋（－b） 续表 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ＞0时，λa与a的方向相同； 当λ＜0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ（μa）＝（λμ）a； （λ＋μ）a＝λa＋μa； λ（a＋b）＝λa＋λb 3.共线向量定理 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 提醒　当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一. 4.平面向量基本定理 （1）定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2； （2）基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 提醒　（1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一. 5.平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、数乘及向量的模 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝； （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），｜｜＝. 提醒　若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＝b⇔ 6.平面向量共线的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 提醒　（1）a∥b的充要条件不能表示为 ＝，因为x2，y2有可能为0；（2）当且仅当x2y2≠0时，a∥b与 ＝ 等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 7.向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角，记作<a，b>； （2）范围：夹角θ的范围是[0，π].当θ＝0时，两向量a，b共线且同向；当θ＝时，两向量a，b相互垂直，记作a⊥b；当θ＝π时，两向量a，b共线但反向. 提醒　只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角. 8.平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量｜a｜｜b｜cos θ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.  规定：零向量与任一向量的数量积为0. （2）投影向量： 如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝·； （3）运算律 ①交换律：a·b＝b·a； ②数乘结合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）； ③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c. 提醒　（1）乘法结合律，（a·b）c≠a（b·c）（这是由于（a·b）·c表示一个与c共线的向量，a·（b·c）表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c⇒/ b＝c（如图，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此时a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））. 9.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝｜a｜｜b｜cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 a∥b的 充要条件 a＝λb（λ∈R） x1y2－x2y1＝0 ｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系 ｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a∥b时等号成立） ｜x1x2＋y1y2｜≤ 提醒　（1）向量平行与垂直的坐标公式不要记混；（2）a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 10.平面向量数量积运算的常用公式 （1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2； （2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2. 11.有关向量夹角的两个结论 （1）两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立（因为夹角为0时不成立）； （2）两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立（因为夹角为π时不成立）. 十五、解三角形 1.正弦定理 ＝＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径）. 正弦定 理的常 见变形 （1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； （2）sin A＝，sin B＝，sin C＝； （3）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； （4）＝ 2.余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B；  c2＝a2＋b2－2abcos C.  余弦定 理的常见变形 （1）cos A＝； （2）cos B＝； （3）cos C＝ 3.三角形的面积公式 （1）S△ABC＝aha（ha为边a上的高）； （2）S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；  （3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）. 4.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B. 5.三角形中的三角函数关系 （1）sin（A＋B）＝sin C；（2）cos（A＋B）＝－cos C； （3）sin＝cos；（4）cos＝sin. 6.三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 7.在△ABC中，S＝＝. 8.测量中的几个有关术语 #术语名称 #术语意义 #图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α 例： 坡角与 坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比（坡度），即i＝＝tan θ 十六、复数 1.复数的有关概念 （1）复数的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a，b分别是它的实部和虚部.当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数； （2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）； （3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）； （4）复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝. 2.复数的几何意义 （1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）； （2）复数z＝a＋bi平面向量 提醒　复数z＝a＋bi（a，b∈R）的对应点的坐标为（a，b），而不是（a，bi）. 3.复数的运算 （1）复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. （2）复数加法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1； ②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）. （3）复数乘法的运算律：设z1，z2，z3∈C，则复数乘法满足以下运算律： ①交换律：z1z2＝z2z1； ②结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）； ③乘法对加法的分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3. 十七、立体几何 1.基本立体图形 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 提醒　四棱柱、四面体的结构特征及关系 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 续表 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 母线 互相平行且相等，垂直于底面 长度相等且相交于一点 长度相等且延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 提醒　球的截面的性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝. 2.立体图形的直观图 （1）画法：常用斜二测画法； （2）规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角为45°（或135°），z'轴与x'轴和y'轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r＋r'）l 提醒　（1）几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和；（2）圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl. 4.空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝（S上＋S下＋）h 球 S＝4πR2 V＝πR3 5.原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：（1）S直观图＝S原图形；（2）S原图形＝2S直观图. 6.几个与球有关的切、接常用结论 （1）设正方体的棱长为a，球的半径为R. ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. （2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝； （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 7.平面的基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面； （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内； （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 提醒　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在同一条直线上的三点才能确定一个平面. 8.空间两直线的位置关系 （1）空间中两直线的位置关系 （2）异面直线所成的角 ①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）； ②范围：. （3）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行； （4）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 9.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 （1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况； （2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 10.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行（简记为“线线平行⇒线面平行”） ⇒a∥α 续表 文字语言 图形语言 符号语言 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”） ⇒l∥b 11.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行（简记为“线面平行⇒面面平行”） ⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 1.直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面； （2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°； （2）范围：. 3.平面与平面垂直 （1）二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角； ③范围：[0°，180°]. （2）平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直； （3）平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 4.空间距离 （1）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离； （2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离； （3）两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 十八、统计 1.随机抽样 （1）简单随机抽样 ①定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n＜N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样； ②常用方法：抽签法和随机数法. （2）分层随机抽样 ①定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配； ②分层随机抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层随机抽样. 2.常用统计图表 （1）频率分布直方图 ①纵轴表示，即小长方形的高＝； ②小长方形的面积＝组距×＝频率； ③各小长方形的面积的总和等于1. （2）频率分布表的画法 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表. （3）条形图、折线图及扇形图 ①条形图：建立直角坐标系，用横轴（横轴上的数字）表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本（或某个范围内的样本）的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图； ②折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图； ③扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图. 3.总体百分位数的估计 （1）百分位数 定义 意义 百分位数 一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100－p）%的数据大于或等于这个值 反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点 （2）求一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据； 第2步：计算i＝n×p%； 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 4.总体集中趋势的估计 （1）中位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数； （2）众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； （3）平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x1，x2，…，xn的平均数 ＝（x1＋x2＋…＋xn）. 提醒　（1）中位数是样本数据所占频率的等分线，不受少数极端值影响；（2）众数体现了样本数据的最大集中点，一组数据可能有n个众数，也可能没有众数；（3）与中位数、众数比较，平均数反映出样本数据的更多信息，对样本数据中的少数极端值更加敏感. 5.总体离散程度的估计 （1）假设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则： ①标准差 s＝； ②方差 s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]. （2）分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为，样本方差为s2. 以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数据分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为；第二层有n个数据，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为.则＝xi，＝（xi－）2，＝yi，＝（yi－）2. ①则＝＋； ②s2＝{m[＋（－）2]＋n[＋（－）2]}. 十九、概率 1.随机事件 （1）事件的相关概念 （2）概率和频率 ①在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率； ②对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）. 2.事件的关系和运算 （1）两个事件的关系和运算 事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 A发生导致B发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 事件的关系和运算 含义 符号表示 并事件（和事件） A与B至少有一个发生 A∪B或A＋B 交事件（积事件） A与B同时发生 A∩B或AB 互斥事件 A与B不能同时发生 A∩B＝⌀ 互为对立事件 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝⌀， A∪B＝Ω （2）概率的几个基本性质 ①概率的取值范围：0≤P（A）≤1； ②必然事件的概率P（Ω）＝1； ③不可能事件的概率P（⌀）＝0. （3）互斥事件的概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）； （4）对立事件的概率：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A）或P（A）＝1－P（B）. （5）A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B) 3.古典概型 （1）古典概型的特征 （2）古典概型的概率公式 P（A）＝. 4．事件的相互独立性 (1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．简称为独立． (2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立． (3)公式的推广 ①n个事件相互独立 对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． ②n个相互独立事件的概率公式 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)，并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立． (4)两个事件独立与互斥的区别 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响． 一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提． 5．相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) [说明]　①(A)＋(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生． ②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B. 6．概率的统计定义 (1)对频率随机性的理解 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性． (2)对频率稳定性的理解 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且0≤P(A)≤1. 7．频率与概率的关系 (1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的． (2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)＝. (3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 注：①概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小． ②频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关． ③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 期末测试卷 一、单选题 1．（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z满足，则复数z的虚部是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．（23-24高一下·广东江门·期末）底面积为，侧面积为的圆锥的体积是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数的零点从小到大分别为．若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2024·河北邢台·一模）如图，正四棱台容器的高为12cm，，，容器中水的高度为6cm．现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了3cm，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·江苏扬州·阶段练习）已知的外接圆圆心为，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东茂名·模拟预测）如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为O，以O为圆心作半径为2的圆，点M为圆O上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·河南开封·模拟预测）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·四川成都·二模）将最小正周期为的函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．对称轴为， B．在内单调递增 C．对称中心为， D．在内最小值为 二、多选题 9．（22-23高一下·河北石家庄·期中）下列说法中正确的是（    ） A．若直线与平面不平行，则l与相交 B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内 C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行 D．如果是异面直线，，，则，是异面直线 10．（23-24高一下·贵州毕节·阶段练习）下列命题是真命题的是（    ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C．若为纯虚数，则 D．若z满足，则 11．（23-24高一下·广东佛山·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则周长的最大值为 B．若，且只有一解，则的取值范围为 C．若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D．若的外心为，则 三、填空题 12．（2024·广东惠州·一模）若角的终边在第四象限，且，则 ． 13．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且，点N是DC边上的点，且，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值为 . 14．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的城市地标，卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为，高为，若该四棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是 . 四、解答题 15．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在中，角所对的边分别为，，，且 (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 16．（23-24高一下·河南洛阳·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足，现将沿折起到的位置，使得. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值. 17．（23-24高一下·山西大同·期末）当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）； (3)现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率. 18．（23-24高一下·广东梅州·期末）如下图，四棱锥的底面是等腰梯形，平面，． (1)求证：平面PAB； (2)点为PA上一点，，求证：平面BDQ； (3)点为PD的中点，求AM与平面PBD所成角的正弦值. 19．（23-24高一上·北京昌平·期末）已知函数的定义域为，对于给定的，若存在，使得函数满足： ① 函数在上是单调函数； ② 函数在上的值域是，则称是函数的级“理想区间”. (1)判断函数，是否存在1级“理想区间”. 若存在，请写出它的“理想区间”；（只需直接写出结果） (2) 证明：函数存在3级“理想区间”；（ ） (3)设函数，，若函数存在级“理想区间”，求的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$