精品解析：山西省吕梁市2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题

吕梁市2023-2024学年第二学期期未调研测试 高二数学试题2024.7 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A B. C. D. 3. 函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则是的（ ）条件． A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 若的展开式中常数项是20，则（ ） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 7. 根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（ ） A. 86 B. 100 C. 114 D. 136 8. 已知函数若关于的方程有个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的取值范围为 C. 当时， D. 当时，的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 10. 已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的个样本数据和新的经验回归方程中（ ） A. 相关变量具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随着自变量值增加，因变量值增加速度变小 D. 样本的残差为 11. 已知是定义在实数集上的偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 对于 B. 在上为减函数 C. 的值域为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为奇函数，则实数的值为_____________． 13. 一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为___________． 14. 已知函数的定义域均为为奇函数，为偶函数，，，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，其中． （1）若，求； （2）设命题，命题，若是必要而不充分条件，求实数的取值范围． 16 已知函数，其中． （1）若，求函数的定义域； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 17. 某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的. （1）根据所给信息完成下列列联表： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 女 合计 （2）基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关? （3）某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩X近似服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体． （1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？ （2）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望． （3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考数据：若，则：；；． 19. 定义一种新的运算“”，都有． （1）对于任意实数，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，求实数的取值范围； （3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 吕梁市2023-2024学年第二学期期未调研测试 高二数学试题2024.7 本试题满分150分，考试时间120分钟.答案一律写在答题卡上. 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数定义域求法可求得集合；根据指数函数值域求法可求得集合；根据交集定义可得结果. 【详解】由得，则； 当时，，所以；所以. 故选：. 2. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式，作出函数图象，可得答案. 【详解】解析：，作出图象， 可以得到函数的单调递减区间是． 故选：B. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过奇偶性排除部分选项，再由又的取值范围判断. 【详解】解：因为函数， 所以是奇函数，则排除A， 又， 且， 等号不同时成立，则， 故选：B 4. 已知，，则是的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】首先解分式不等式求出命题，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，等价于，解得， 所以， 又，所以由推得出，故充分性成立； 由推不出，故必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再求的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D 6. 若的展开式中常数项是20，则（ ） A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，从而得到展开式中常数项，即可得解. 【详解】， 的展开式的通项公式为， 令，解得，则的展开式的常数项为； 令，解得，则的展开式的常数项为， 因为的展开式中常数项是20，所以，解得. 故选：D. 7. 根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（ ） A. 86 B. 100 C. 114 D. 136 【答案】C 【解析】 【分析】先将5个施工队按照3，1，1和2，2，1两种模式分成3组，注意排除甲、乙两个施工队放在一个组的种数，然后再将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口，即可得出答案. 【详解】解：若将5个施工队分成3组，则有如下两种情况， 第一种，按照3，1，1模式分组，则有种分组方法， 第二种，按照2，2，1模式分组，则有种分组方法， 所以将将5个施工队分成3组，共有种分组方法， 其中，如果甲、乙施工队和另外一个队构成一个组，则有种分组方法， 如果甲、乙施工队单独构成一个组，则有种分组方法， 所以将甲、乙两个施工队放在一个组，共有种分组方法， 所以将5个施工队分成3组，甲、乙两个施工队不在一个组的分组方法有种， 现将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口，则有种安排方法， 所以符合题意的安排方法共有种. 故选：C. 8. 已知函数若关于的方程有个不等的实根，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的取值范围为 C. 当时， D. 当时，的取值范围为 【答案】C 【解析】 【分析】令，求出方程的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关于的不等式组，求出的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项. 【详解】令，则，， A.当时，，，由有解，有4解，故，A错； B.当时，则方程、各有一解， 当时，，当且仅当时，等号成立， 由图可得，解得，B错； C.当时，如下图所示： 由图象可知，点、关于直线对称，则， 由图可知，，，由可得，所以，， 则，因此，，C对； D.当时，有两种情况：或， 从而可得的范围为，D错. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A. B. 的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意得， 根据，,，，, 则； 作出Venn图: 则，A正确； 集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确； 由于，C正确； 因为，且，故，D错误， 故选：ABC. 10. 已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，去除两个样本点和后，得到新的经验回归方程为．在余下的个样本数据和新的经验回归方程中（ ） A. 相关变量具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随着自变量值增加，因变量值增加速度变小 D. 样本的残差为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线性回归方程的求法、意义可判断ABC ，再由残差的概念判断D. 【详解】对于A，新的经验回归方程中系数为正，则相关变量具有正相关关系，故A正确； 对于B，因为在经验回归方程中， 所以， 故去除两个样本点和后， 则余下的8个样本数据的平均值为 ，， 将样本中心点代入新的经验回归方程中得 . 故新的经验回归方程，故B正确； 对于C，由线性回归方程知，随着自变量值增加，因变量值增加速度恒定，故C错误； 对于D，当时，，即残差为，故D错误. 故选：AB 11. 已知是定义在实数集上的偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 对于 B. 在上为减函数 C. 的值域为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,利用的奇偶性求得时的解析式，从而求得在实数集上的解析式；对于B,利用导数法结合指数函数的性质即可得解；对于C, D,利用奇偶性和单调性，得到的值域，也可解决函数值大小比较. 【详解】对于A,因为当时，， 所以当时，，则， 是定义在实数集R上的偶函数， ，从而，又当时， 综上可知，对于，，则A正确； 对于B,因为当时，， 所以， ，，从而，， 在上减函数，故B正确； 对于C,由于在上为减函数，是定义在实数集上的偶函数， 则上单调递增，则时取得最大值, ,函数值域为，故C错误； 对于D, 是定义在实数集R上的偶函数， ， ， ， 又，， 由B可知，在上为减函数， ，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数为奇函数，则实数的值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用的奇偶性建立方程，求解参数并检验即可. 【详解】若函数为奇函数，故有， 可得，解得， 此时，， 显然成立，故是奇函数，故A正确. 故答案为：. 13. 一个袋子中有个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】计算并化简得到，根据对勾函数的性质计算最值得到答案. 【详解】， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 故当或时，有最小值为，故. 故答案为： 14. 已知函数的定义域均为为奇函数，为偶函数，，，则_____________． 【答案】63 【解析】 【分析】根据题意分析可得，进而可得函数是以4为周期的周期函数，且，进而可得结果. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为，则，， 即，可得， 因为为奇函数，则，且， 可得，即，则， 可得， 所以函数是以4为周期的周期函数， 由，可得，， 则， 即， 所以. 故答案为：63. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，其中． （1）若，求； （2）设命题，命题，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入集合，再由交、并、补集的混合运算得答案； （2）由是的必要而不充分条件，得，进一步转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解． 【小问1详解】 ， 或． 若，则或，， ； 【小问2详解】 ， 若是的必要而不充分条件，则， ，解得． 的取值范围是． 16 已知函数，其中． （1）若，求函数定义域； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由真数大于0列出不等式即可求解； （2）先根据函数为单调递增函数，将转化为，根据题意可转化为在上最小值大于0，然后结合二次函数的性质即可求得. 【小问1详解】 当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； 【小问2详解】 由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 17. 某疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了1800名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的，男性患A型疾病的人数为男性患者人数的，女性患A型疾病的人数是女性患者人数的. （1）根据所给信息完成下列列联表： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 女 合计 （2）基于（1）中完成的列联表，依据小概率值的独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关? （3）某团队进行预防A型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为9元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果第一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中1人用于接种疫苗的费用为，求. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析； （2）有关； （3）34. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息计算，完善列联表. （2）求出的观测值，与临界值表比对作答. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，再求出期望作答. 【小问1详解】 设男性患者人数为m，则女性患者人数为，由可得：， 因此男性患者人数为1200，女性患者人数为600， 男性患A型疾病的人数为，女性患A型疾病的人数是 列联表如下： 性别 疾病类型 合计 A型 B型 男 800 400 1200 女 450 150 600 合计 1250 550 1800 【小问2详解】零假设：所患疾病的类型与性别无关， 根据列联表中的数据，经计算得到， 由于， 依据小概率值的独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关. 【小问3详解】 接种疫苗的费用可能的取值为27，54， ，， 则的分布列为 27 54 P 期望为. 18. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩X近似服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体． （1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？ （2）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望． （3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考数据：若，则：；；． 【答案】（1）71 （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）X近似服从正态分布，根据正态分布的对称性可得，即可求解； （2）随机变量服从且即可求出分布列，由二项分布的期望公式即可计算期望； （3）求出的可能值，分别求出对应的概率值，写出分布列，进而计算期望作答. 【小问1详解】 由. 又，，， 所以该校预期的平均成绩大约是. 小问2详解】 由得，， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为. 所以随机变量服从二项分布，所以. 【小问3详解】 X的可能取值为0，1，2，3，4， 由题意可知，， ， ， ， . 所以，的分布列为 X 0 1 2 3 4 所以. 19. 定义一种新的运算“”，都有． （1）对于任意实数，试判断与的大小关系； （2）若关于的不等式的解集中的整数恰有2个，求实数的取值范围； （3）已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数新定义运算即可得解； （2）由函数新定义运算即可得解，再利用函数零点的概念解不等式即可； （3）用换元法可判断出，先由的值域为，可得出的值域为，再由可解得实数m的取值范围. 【小问1详解】 ，， ， ， ； 【小问2详解】 ， 原不等式可化为：，即， 为满足题意，必有，即或①； 令，则对称轴为， 由于，，结合①可得， 的一个零点在区间，则另一个零点在区间， 从而，即②， 由①②可得：或， 综上可得实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， ， 设，， 令，，则， ， ， 所以的值域为， ，当且仅当时取等号，， 所以的值域为， 根据题意可知：，，即， 解得且， 所以实数的取值范围. 【点睛】关键点点睛：理解函数新定义，用对数运算知识得出函数解析式是关键，从而用函数的性质、不等式的性质以及零点的概念解之. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$