精品解析：江苏省南通市启东市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023～2024学年度第二学期期末质量测试 八年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置上． 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上， 1. 如图，四边形中，，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C D. 2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 3. 对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象 D. 函数图象与x轴的交点坐标是（0，4） 4. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 据统计，目前某市5G基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全市基站数是目前的4倍，到2026年底，全市基站数最终将达到17.34万座．则2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 8. 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：①甲、乙同学都骑行了18km；②甲、乙同学同时到达B地；③甲停留前、后的骑行速度相同；④乙的骑行速度是；其中正确的说法是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 9. 如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形，．当AC平分时，与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ） A. B. 24 C. D. 12 二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上 11. 在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝_____°． 12. 甲、乙两名篮球运动员进行每组10次投篮训练，5组投篮结束后，两人的平均命中数都是7次，方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝0.85，则在本次训练中，运动员 　 　的成绩更稳定． 13. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标为______． 14. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为______尺 15. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形，如果，那么的长为_______． 16. 图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． 则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为_________________； 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为_____cm． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，已知，将绕点逆时针旋转后得到，若，求证：∥BC． 21. 关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 22. 如图，在中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点E，过点E作交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，则菱形的面积是_________． 23. 为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各名学生进行“交通法规知识测试”（满分分）．现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计，整理如下： 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 八年级 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）规定分数不低于分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？ （2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平． 24. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示． （1）求y关于x的函数解析式 （2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面． （3）在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米，若存在求出此时的下行时间． 25. 如图，点E为正方形边上的一点，平分正方形的外角，将线段绕点顺时针旋，点的对应点为点． （1）当点落在边上且时，求的度数； （2）当点落在射线上时，求证：； （3）在（2）条件下，连接并与交于点，连接，探究，与之间的数量关系，并说明理由． 26. 综合与探究 如图，直线分别交轴，轴于点，过点A作直线分别交轴，轴于点，． （1）求直线的解析式． （2）在轴左侧作直线轴，分别交直线，于点．当时，过点作直线轴，交轴于点．能否在直线上找一点，使的值最小，求出点的坐标． （3）为直线上一点，在（2）的条件下，轴上是否存在点使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期期末质量测试 八年级数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置上． 3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上， 1. 如图，四边形中，，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A．，， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B． ， ， ， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； C．根据，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项错误，符合题意； D． ，， 四边形为平行四边形，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A. 9cm B. 12cm C. 15cm D. 18cm 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长. 【详解】根据题意可得图形： AB=12cm，BC=9cm， 在Rt△ABC中：AC==15（cm）， 则这只铅笔的长度大于15cm． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键． 3. 对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（　　） A. 函数值随自变量的增大而减小 B. 函数的图象不经过第三象限 C. 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象 D. 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4） 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0， ∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确； B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0， ∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确； C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确； D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 4. 下列图形中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解题关键是中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 5. 一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可． 【详解】解：原数据的3，4， 4，5的平均数为， 原数据的中位数为， 原数据的众数为4， 方差为； 新数据3，4，4，4，5的平均数为， 新数据3，4，4，4，5的中位数为4， 新数据3，4，4，4，5的众数为4， 新数据3，4，4，4，5的方差为， ∴添加一个数据4，方差发生变化， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键． 6. 据统计，目前某市5G基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全市基站数是目前的4倍，到2026年底，全市基站数最终将达到17.34万座．则2024年底到2026年底，全市基站数量的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程—增长率问题，设年平均增长率为，列出方程解题即可． 【详解】解：设全市基站数量的年平均增长率为， 则， 解得，（舍去） 故答案为：D． 7. 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠DAC，结合图形求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：连接AC， ∵DA＝DC，∠D＝100°， ∴∠DAC＝∠DCA＝40°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°， ∴AC＝， ∵点E，F分别是边AD，CD的中点， ∴EF＝AC＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 8. 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：①甲、乙同学都骑行了18km；②甲、乙同学同时到达B地；③甲停留前、后的骑行速度相同；④乙的骑行速度是；其中正确的说法是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后又用0.5小时到达离出发地18千米的目的地；甲比乙早到0.5小时出发；乙用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，然后根据此信息分别对4种说法进行判断． 【详解】①根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了18km，故原说法正确； ②从图形的横坐标看，甲比乙早到了0.5小时，故原说法错误； ③休息前直线上升得快，休息后直线上升得慢，故休息前的速度大于休息后的速度，故原说法错误； ④乙行完全程需用时2-0.5=1.5时，故其速度为：18÷1.5=12km/h，故原说法正确. 故选B. 【点睛】此题主要考查了学生从图象中读取信息数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 9. 如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形，．当AC平分时，与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得AB=AC，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=，根据旋转的性质可得∠CAC′=∠BAB′=，根据AC平分可得∠B′AC=∠CAC=，即可得出，可得答案． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，， ∴AB=AC， ∴∠BAC=∠BCA==， ∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形， ∴∠CAC′=∠BAB′=， ∵AC平分， ∴∠B′AC=∠CAC=， ∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2=， ∴， 故选；C． 【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质，熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键． 10. 已知a，b，c分别是的三条边长，c为斜边长，，我们把关于x的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是4，则c的值是（ ） A. B. 24 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值． 【详解】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上， ∴＝﹣+， ∴a﹣b＝﹣c， 又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4， ∴ab＝4，即ab＝8， 又∵a2+b2＝c2， ∴（a﹣b）2+2ab＝c2， ∴（﹣c）2+2×8＝c2， 解得c＝2， 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，完全平方公式等知识，根据新定义和直角三角形面积公式、勾股定理得到三个关系式并结合完全平方公式进行转化是解答此题的关键． 二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上 11. 在平行四边形ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝_____°． 【答案】100 【解析】 【分析】利用平行四边形的对角相等、邻角互补可求得答案． 【详解】解：因为四边形ABCD是平行四边形，∠B+∠D=160°， 所以∠B＝∠D=160°÷2=80°，∠B+∠C＝180°， 所以∠C＝180°﹣80°＝100°． 故答案为：100 【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于掌握其性质定理 12. 甲、乙两名篮球运动员进行每组10次的投篮训练，5组投篮结束后，两人的平均命中数都是7次，方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝0.85，则在本次训练中，运动员 　 　的成绩更稳定． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义求解即可． 【详解】解：，， ， 运动员乙的成绩更稳定， 故答案为：乙． 【点睛】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，解题的关键是掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 13. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴于点C，则点C的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、坐标与图形、勾股定理，先求得点A、B坐标，再利用坐标与图形和勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，，当时，由得， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质得， ∴， 故答案为：． 14. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为______尺 【答案】14.5 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 15. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，得到菱形，如果，那么的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据折叠的性质结合菱形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果. 【详解】解：∵为菱形， ∴， 由折叠的性质可知， ，又， ∴， 在中，， 又， ∴ ∴ 故答案为：1 【点睛】解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据的直角三角形中各边之间的关系求得的长． 16. 图1是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙． 则图形的总长度y与图形个数x之间的关系式为_________________； 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，根据规律即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 当两个图拼接时，总长度为：； 当三个图拼接时，总长度为：； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：， ∴y与x的关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图形的拼接规律得出y与x的关系式是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，易证明，求出OE、BE的长即可求出B的坐标． 【详解】解：如图所示，点绕点顺时针旋转得到点， 过点A作x轴垂线，垂足为D，过点B作x轴垂线，垂足为E， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴CD=2，AD=3， 根据旋转的性质，AC=BC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AD=CE=3，CD=BE=2， ∴OE=2，BE=2， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转变换和三角形全等的判定与性质，证明是解题关键． 18. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为_____cm． 【答案】. 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出当E，F运动到AB，CD的中点时，AG最小解答即可． 【详解】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点． 连结OB，取OB中点M，连结 MA，MG，则MA，MG为定长， 可计算得， 当A，M，G三点共线时，AG最小＝cm， 故答案为 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AB，CD的中点时，AG最小是解决本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可． （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∵，，， ∴ ∴， 【小问2详解】 ， ∴或， ∴， 20. 如图，中，已知，将绕点逆时针旋转后得到，若，求证：∥BC． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用三角形的内角和定理求解 由旋转的旋转可得 再利用平行线的判定可得结论． 【详解】证明：，， 将绕点逆时针旋转后得到， ，， ， ． 【点睛】本题考查了旋转旋转，三角形的内角和定理，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键． 21. 关于x的一元二次方程x2＋（2m＋1）x＋m2-1=0有两个不相等的实数根． （1）求m取值范围； （2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）m＞-；（2）x1=0，x2=-3． 【解析】 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论； （2）结合（1）结论，令m=1，将m=1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程+（2m+1）x+﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴Δ==4m+5＞0， 解得：m＞； （2）m=1，此时原方程为+3x=0， 即x（x+3）=0， 解得：=0，=﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算． 22. 如图，在中，以点A为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点E，过点E作交于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，则菱形的面积是_________． 【答案】（1）见解析； （2）96． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作法可知，平分，再根据平行四边形的性质可得，从而证明四边形是平行四边形，再利用角平分线的定义证明，即，即可证明结论； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，再由的周长为36，求得，即，利用勾股定理求得，即，再利用菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：由作法可得，平分， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵的周长为36， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：96． 【点睛】本题考查作图−角平分线、平行四边形的性质与判定、菱形的判定与性质、勾股定理及菱形的面积公式，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23. 为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各名学生进行“交通法规知识测试”（满分分）．现分别在七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计，整理如下： 七、八年级测试成绩频数统计表 七年级 八年级 七、八年级测试成绩分析统计表 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）规定分数不低于分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少？ （2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平． 【答案】（1）名 （2）七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可； （2）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：七年级名学生的成绩中不低于分的所占比例为：， 八年级名学生的成绩中不低于分的所占比例为：， ∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：（名）， ∴八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：（名）， ∴（名）． 答：估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共约名； 【小问2详解】 ∵七、八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的方差小于八年级测试成绩的方差， ∴七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好（答案不唯一）． 【点睛】本题考查频数分布表，用样本估计总体，中位数，众数，方差的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． 24. 如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示． （1）求y关于x的函数解析式 （2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面． （3）在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米，若存在求出此时的下行时间． 【答案】（1）y关于x的函数解析式为 （2）甲先到达一楼地面，理由见解析 （3）存在，当下行10秒或25秒时两人竖直高度相差1米 【解析】 【分析】（1）设y关于x的函数解析式为：，将代入即可求解； （2）分别求出时的的值即可进行判断； （3）当或满足题意，据此可求解． 【小问1详解】 解：设y关于x的函数解析式为：， 由题意得：， 解得，， 即y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，得， 当时，，得， ， 甲先到达一楼地面． 【小问3详解】 解：存在，因为甲、乙两人从二楼同时下行，甲先到达地面． ①当 解得： ②当时 解得： 当下行10秒或25秒时两人竖直高度相差1米． 【点睛】本题考查了一次函数实际应用．建立函数与实际问题的联系是解题关键． 25. 如图，点E为正方形边上的一点，平分正方形的外角，将线段绕点顺时针旋，点的对应点为点． （1）当点落在边上且时，求的度数； （2）当点落在射线上时，求证：； （3）在（2）的条件下，连接并与交于点，连接，探究，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转性质可知，由因为可得，因此可判定为等边三角形，即可求得． （2）在上取作，作垂直于点I，由,证得，再求证，所以可求得，又因为，，即可证明． （3）过点作于点， 于点，根据（2）可知，可得和为腰直角三角形，所以，在中，有，于是可得到关系式． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵线段绕点顺时针旋当点落在边上， ∴， ∵四边形边正方形， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故为等边三角形， ∴， 【小问2详解】 证明：如图，在上取作，作垂直于点I, ∵线段绕点顺时针旋当点落在边上 ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 设，，， 在和中, ,， ∴， 即， 整理得：， ∵， ∴解得， ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， ∵,， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 【小问3详解】 解：理由如下： 如图，过点作于点， 于点， 由（2）可知，， ∴， ∴和为腰直角三角形， 即，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 故． 【点睛】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形，矩形的性质等，利用方程的思想，掌握几何问题辅助线的构造是解题的关键． 26. 综合与探究 如图，直线分别交轴，轴于点，过点A作直线分别交轴，轴于点，． （1）求直线的解析式． （2）在轴左侧作直线轴，分别交直线，于点．当时，过点作直线轴，交轴于点．能否在直线上找一点，使的值最小，求出点的坐标． （3）为直线上一点，在（2）的条件下，轴上是否存在点使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先说明，设，则．再根据对称性求得、、，再求得直线的解析式，再令代入即可解答； （3）分平行四边形为、、三种情况，分别画出图形结合平行四边形的判定和点与坐标的关系即可解答． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入中， 得，解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：与轴交于，与轴交于， ∴． ∵， 设，则． 将代入中，解得，即，． 设关于直线的对称点为，连接，则． 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得， ∴的解析式为． 令，得， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或． ①如图1，当，时，四边形是平行四边形； 由（2）得， ∴， ∴， ∴． ②如图2，当，时，四边形是平行四边形； ∵， ∴． ③如图3，当，时，四边形是平行四边形； 过点作轴，垂足为， 过点作轴，垂足为． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为． 将代入中，解得， ∴． 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、轴对称的性质、一次函数的性质、平行四边形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$