精品解析：河南省平顶山市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年第二学期期末调研试题卷八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分 120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 新能源汽车产业发展对减少交通领域污染物排放、促进高质量碳达峰、降低石油进口依赖、支撑建设全球汽车强国具有重要意义.在以下四种国产品牌的车标中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，他最多还能买（ ）根火腿肠． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是（　　） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 8. 如图，是边AB上的高，且．分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧的交点为M，N，直线恰好经过点D，则的度数为（　　）． A. B. C. D. 9. 为提升城市充电基础设施建设，某公共停车场计划购进A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个．设A型充电桩的单价为x万元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：____________． 12. 已知不等式组解集为，写出一个满足题意的a的值____． 13. 如图，是边上的高，且，，则的面积为__________． 14. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，当时，的长为__________． 15. 如图，点 D 是等边边上一点，且 ．将绕点A 顺时针旋转α（）得到，其中点B，D的对应点分别为．当直线经过的顶点时，的度数为____________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）解不等式组 ，并把不等式①，②的解集表示在数轴上． （2）解方程： ． 17. 先化简，再求值 ，其中． 18. 如图，O，M，N在正方形网格纸格点上，每个小正方形的边长为1个单位长度，连接． （1）先将线段向左平移4个单位长度得到线段．，其中M，N的对应点分别为，再将线段绕点 O 逆时针旋转得线段 ,的对应点分别为． （2）连接 ，利用尺规作图画出平分线，并在射线上描出点Q，使得． 19. 如图，在 中，E、F是对角线上的两点，并且 ．求证： ． 20. 如图，平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点A且直线 与x轴相交于点 B，直线 与y轴相交于点 C． （1）求出m与b的值； （2）根据图象，直接写不等式组 的解集； （3）连接，求 的面积． 21. 问题提出： 如图，是四边形的对角线， 于 E，于 F，且．在不添加辅助线的情况下，要证明四边形是平行四边形，需增加一个怎样的条件． 小萌的想法：增加条件． 理由如下： ． 又 ，则 （依据①），． 由可得：． ∴四边形是平行四边形．（依据②） 小燕的想法：增加条件． 理由如下：… 数学思考： （1）请你写出小萌推理过程中的依据①和依据②的内容： 依据①： ； 依据②： ． （2）请你帮助小燕写出推理过程； （3）如图，是的对角线，于点E，于点 F，连接，，，，直接写出的面积． 22. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300 支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人． （1）请你利用解不等式组，求八年级的学生总数x的取值范围? （2）如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人? 23. 如图，在 中，已知 ，垂足为 D．点 P是线段上的动点（不与点 D，C 重合），将线段绕点 P顺时针旋转得到线段，连接． （1）观察猜想：如图1，当点 E 落在线段上时， 与 的数量关系为 ； 的形状是 ． （2）探索证明：如图2，若在线段上存在点Q（不与点 B，P重合）满足．，连接，判断 的形状，并说明理由．（提示：延长到F，使得 ，连接） （3）解决问题：在（2）的条件下，若 °，．当点 P 为线段的三等分点时，直接写出四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期期末调研试题卷八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分 120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 新能源汽车产业发展对减少交通领域污染物排放、促进高质量碳达峰、降低石油进口依赖、支撑建设全球汽车强国具有重要意义.在以下四种国产品牌的车标中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 分式 有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零成为解题的关键． 根据分式有意义的条件列出关于x的不等式求解即可． 【详解】∵分式 有意义， ∴，解得． 故选：B． 3. 下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】解：是乘法运算，不是因式分解，则A不符合题意； 是乘法运算，不是因式分解，则B不符合题意； ，则C符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：C． 4. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 详解】解：A．∵， ∴，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，故本选项不符合题意； C．∵， ∴，故本选项不符合题意； D．∵， ∴，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：， ， 当时，四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； 当时，，四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； 当时，四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 当时，不能推出四边形是平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 6. 小明准备用26元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，他最多还能买（ ）根火腿肠． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设他买了x根火腿肠，利用总费用不超过26元列不等式2x+5×3≤26，然后求出不等式的最大整数解即可． 【详解】解：设他买了x根火腿肠， 根据题意得2x+5×3≤26， 解得x≤5.5， 所以x的最大整数为5， 即他最多可以买5根火腿肠． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用：由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 7. 用形状、大小完全相同一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．只用下面一种图形能够进行平面镶嵌的是（　　） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十二边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解决几何图形镶嵌成平面的关键．根据“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角”的镶嵌条件即可解答． 【详解】解：A、正五角形的内角为，由不是整数，故不符合题意； B、正六角形的内角为，由是整数，故符合题意； C、正八角形的内角为，由不是整数，故不符合题意； D、正十二角形的内角为，由不是整数，故不符合题意． 故选：B． 8. 如图，是边AB上的高，且．分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧的交点为M，N，直线恰好经过点D，则的度数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线的尺规作图和性质成为解题的关键． 由高的定义可得，再根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质及三角形的内角和可得，，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 由作图可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴． 故选：A． 9. 为提升城市充电基础设施建设，某公共停车场计划购进A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个．设A型充电桩的单价为x万元，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用万元购买A型充电桩的数量比用万元购买B型充电桩的数量多5个可列方程． 【详解】解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元， 依题意得，， 故选：C． 10. 如图，在中，，，，点E为斜边的中点，点D在边上，且．点P为线段上的动点，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，含角的直角三角形的性质，三角形的中位线，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据含角的直角三角形的性质和勾股定理算出，作点D关于的对称点F，连接，根据轴对称的性质得出，取的中点，得出是的中位线，根据三角形中位线定理得出，即可求出，，根据，得出故当三点共线时，最小， 根据勾股定理即可求出最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 作点D关于的对称点F，连接， 则， 取中点， ∵点E为斜边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， 故当三点共线时， 则最小， 最小值． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键． 利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 12. 已知不等式组的解集为，写出一个满足题意的a的值____． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解是解题的关键． 根据不等式组的解及解集可得出a的范围，在范围内选取任一个符合条件的数即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组的解集是， ∴a的值可以是2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一）． 13. 如图，是边上的高，且，，则的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和三角形的外角的性质．熟记直角三角形的性质的内容是解决本题的关键． 根据三角形的外角的性质得出，再根据直角三角形的性质得出，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上高， ∴， ∴， 则的面积． 故答案为：4． 14. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，当时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 根据中点的性质及已知条件可得，根据平行四边形的性质可得，进而得到；然后证明是等边三角形以及等腰三角形的性质可得、，易得，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵，点E是的中点， ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴, ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，点 D 是等边边上一点，且 ．将绕点A 顺时针旋转α（）得到，其中点B，D的对应点分别为．当直线经过的顶点时，的度数为____________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．明确直线经过的顶点时的情况是解题的关键． 由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解；当经过顶点时，如图1，证明是等边三角形，是等边三角形，则，；当时，重合，经过顶点，此时；当经过顶点，时，此时不成立；当重合， 经过顶点，如图3，同理，是等边三角形，则，，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，当直线经过的顶点时，分经过顶点，经过顶点，两种情况求解； 当经过顶点时，如图1， 由旋转的性质可知，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 当时，重合， 经过顶点，如图2， 此时； 当经过顶点时， 当，此时重合，， 当，此时不成立； 当重合， 经过顶点，如图3， 同理，是等边三角形， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. （1）解不等式组 ，并把不等式①，②的解集表示在数轴上． （2）解方程： ． 【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的方法成为解题的关键． （1）先分别解出各不等式组的解集，再确定不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可； （2）先把分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： ． （2） ， 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为． 17. 先化简，再求值 ，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，O，M，N在正方形网格纸的格点上，每个小正方形的边长为1个单位长度，连接． （1）先将线段向左平移4个单位长度得到线段．，其中M，N的对应点分别为，再将线段绕点 O 逆时针旋转得线段 ,的对应点分别为． （2）连接 ，利用尺规作图画出平分线，并在射线上描出点Q，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图、旋转作图、作角平分线、垂直平分线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据平移、旋转的性质作图即可； （2）先用尺规作图作出平分线，再的垂直平分线，其与的交点即为点Q． 【小问1详解】 解：如图：线段，即为所求． 【小问2详解】 解：如图：射线，点Q即为所求． 19. 如图，在 中，E、F是对角线上的两点，并且 ．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，即；再根据线段的和差可得，然后根据证得，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴即， 在和, ， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点A且直线 与x轴相交于点 B，直线 与y轴相交于点 C． （1）求出m与b的值； （2）根据图象，直接写不等式组 的解集； （3）连接，求 的面积． 【答案】（1）， （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）由直线的解析式求得，即可得到点的坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）根据图象即可求得； （3）由直线解析式求得、、、的坐标，然后根据求得即可． 【小问1详解】 解：直线过点， ， ， 把点的坐标代入得，， 解得； 故， ； 【小问2详解】 解：观察图象，关于的不等式的解集是； 【小问3详解】 解：设交x轴相交于点 把代入得，， 解得， ， 由直线解析式可知，，， ， ． 21. 问题提出： 如图，是四边形的对角线， 于 E，于 F，且．在不添加辅助线的情况下，要证明四边形是平行四边形，需增加一个怎样的条件． 小萌的想法：增加条件． 理由如下： ． 又 ，则 （依据①），． 由可得：． ∴四边形是平行四边形．（依据②） 小燕的想法：增加条件． 理由如下：… 数学思考： （1）请你写出小萌推理过程中的依据①和依据②的内容： 依据①： ； 依据②： ． （2）请你帮助小燕写出推理过程； （3）如图，是的对角线，于点E，于点 F，连接，，，，直接写出的面积． 【答案】（1）；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，平行四边形的判定定理作答即可； （2）证明，则，，进而结论得证； （3）由，，，可得，由勾股定理得，，可求，证明，则，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，依据①为；依据②为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故答案为：；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 22. 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300 支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人． （1）请你利用解不等式组，求八年级的学生总数x的取值范围? （2）如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人? 【答案】（1）的取值范围为 （2）八年级学生有300人 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出分式方程． （1）根据“给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款；多购买60支，可以按批发价付款”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围； （2）由按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同，可得出批发价是零售价的，利用单价总价数量，结合批发价是零售价的，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得：， 答：的取值范围为； 【小问2详解】 解：按批发价购买360支与按零售价购买300支付款相同， 批发价是零售价的． 根据题意得：， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：这个学校八年级学生有300人． 23. 如图，在 中，已知 ，垂足为 D．点 P是线段上的动点（不与点 D，C 重合），将线段绕点 P顺时针旋转得到线段，连接． （1）观察猜想：如图1，当点 E 落在线段上时， 与 的数量关系为 ； 的形状是 ． （2）探索证明：如图2，若在线段上存在点Q（不与点 B，P重合）满足．，连接，判断 的形状，并说明理由．（提示：延长到F，使得 ，连接） （3）解决问题：在（2）的条件下，若 °，．当点 P 为线段的三等分点时，直接写出四边形的周长． 【答案】（1），直角三角形 （2）是直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，即，根据等边对等角可得，再根据等腰三角形的性质及角的和差得到即可判定的形状； （2）如图：延长到F，使得 ，连接，易得是的中位线进而得到、；设，则，，，进而得到，再证可得，再结合运用等腰三角形三线合一的性质即可解答； （3）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可得，再根据点 P 为线段的三等分点时可得、、，运用勾股定理可得；再证明是等边三角形，进而得到，运用勾股定理可得、，最后根据四边形的周长即可解答． 【小问1详解】 解：如图：∵将线段绕点 P顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，即， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：，直角三角形． 【小问2详解】 解：如图：延长到F，使得 ，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即的形状为直角三角形． 【小问3详解】 解：∵°，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵点 P 为线段的三等分点时， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$