3.1.2函数的表示法（1）导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第三章 函数的概念与性质 3.1.2　函数的表示法（1） 知识点一　函数的表示法 函数有解析法、列表法、图象法三种表示法． (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 知识点二　函数图像的变换 1．函数图象的平移变换 左加右减：函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到函数y＝f(x＋a)的图象． 上加下减：函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到函数y＝f(x)＋b的图象． 2． 函数图象的对称变换 (1)y＝f(x)y＝－f(x)； (2)y＝f(x)y＝f(－x)； (3)y＝f(x)y＝－f(－x)． 3． 函数图象的翻折变换 (1)y＝f(x)y＝|f(x)|； (2)y＝f(x)y＝f(|x|)． 【典例剖析】 类型一　列表法表示函数 [例1]　已知函数f(x)，g(x)的对应值如下表： x 0 1 －1 f(x) 1 0 －1 g(x) －1 0 1 则g(f(g(－1)))的值为(　　) A．1　　　 B．0 C． －1 D．无法确定 [变式训练1]　已知函数f(x)，g(x)的对应值如下表： x 1 2 3 f(x) 2 －3 1 g(x) 3 2 1 则f(g(2))＝_____. 类型二　图象法表示函数 [例2]　作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [变式训练2]　作出下列函数图象，并求其值域． (1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)． 类型三　解析法表示函数 [例3]　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)． [变式训练3]　求函数的解析式． (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知2f ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)． 类型四　函数图象的变换 [例4]　设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出： (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1) ，y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1，y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系． [例5]　作出y＝的图象，并说明这个图象可由y＝的图象经过怎样的变换得到． [例6]　作出函数y＝|x2－2x－3|的图象，并说明该图象与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系． 【课堂小练】 1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为(　　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1 2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))＝(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式为________. 4．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________． 【答案解析】 【典例剖析】 类型一　列表法表示函数 [例1]　已知函数f(x)，g(x)的对应值如下表： x 0 1 －1 f(x) 1 0 －1 g(x) －1 0 1 则g(f(g(－1)))的值为(　　) A．1　　　 B．0 C．－1 D．无法确定 [思路分析]　这是用列表法表示的函数求值问题，在解答时，找准变量对应的值即可． [解析]　g(－1)＝1，则f(g(－1))＝f(1)＝0， 则g(f(g(－1)))＝g(0)＝－1，故选C. [答案]　C 【方法提炼】 列表法是表示函数的重要方法，这如同我们在画函数图象时所列的表，它的优点是变量对应的函数值在表中可直接找到，不需计算． 用列表法表示的函数问题 (1)读懂表格，明确自变量每个取值所对应的函数值． (2)用数学符号准确表示，如本例中g(－1)＝1，f(1)＝0等． (3)注意分类与整合思想的灵活应用． [变式训练1]　已知函数f(x)，g(x)的对应值如下表： x 1 2 3 f(x) 2 －3 1 g(x) 3 2 1 则f(g(2))＝－3. 解析：由表格数据可得g(2)＝2，f(2)＝－3， 所以f(g(2))＝－3. 类型二　图象法表示函数 [例2]　作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [思路分析]　⇒⇒. [解]　(1)列表： x 0 1 2 y 1 2 3 4 5 描点，作出图象(如图)．当x∈[0,2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]． (2)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 描点，作出图象(如图)．当x∈[2，＋∞)，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]． (3)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 描点，作出图象(如图)，图象是抛物线y＝x2＋2x 在－2≤x≤2之间的部分． 由图可得函数的值域是[－1,8]． 【方法提炼】 用描点法作函数图象的步骤 为了直观地了解函数的性质，有时需要作出函数的较为精确的草图，此时，常用描点法作图，有列表、描点、连线三个步骤： [提醒]　若图象是“点”，则不需要“连线”这一步骤． [变式训练2]　作出下列函数图象，并求其值域． (1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)． 解：(1)因为x∈Z，且|x|≤2， 所以x∈{－2，－1，0,1,2}． 所以该函数图象为一直线上的孤立点(如图①)． 由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}． (2)因为y＝2(x－1)2－5， 所以当x＝0时，y＝－3； 当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5. 因为x∈[0,3)， 故图象是一段抛物线(如图②)． 由图象可知，y∈[－5,3)． 类型三　解析法表示函数 [例3]　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)． [思路分析]　(1)(方法一)令x＋1＝t，将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2可得f(t)，即可得f(x)；(方法二)由于f(x＋1)中x＋1的地位与f(x)中x的地位相同，因此还可以将f(x＋1)变形为f(x＋1)＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6. (2)设出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，再根据条件列出方程组求出a，b，c的值． (3)将f(x)＋2f(－x)＝3x－2中的x用－x代替，解关于f(x)与f(－x)的方程组即可． [解]　(1)方法一：令x＋1＝t，则x＝t－1. 将x＝t－1代入f(x＋1)＝x2－3x＋2， 得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 方法二：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝x2＋2x＋1－5x－5＋6＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)设所求的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1，则f(x)＝ax2＋bx＋1. ∵f(x＋1)－f(x)＝2x对任意的x∈R都成立，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，由恒等式的性质，得∴ ∴所求二次函数为f(x)＝x2－x＋1. (3)∵对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2， ∴将x替换为－x，得f(－x)＋2f(x)＝－3x－2， 联立方程组消去f(－x)，可得f(x)＝－3x－. 【方法提炼】 求函数解析式的四种常用方法 1直接法代入法：已知fx的解析式，求fgx的解析式，直接将gx代入即可. 2待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程或方程组，通过解方程组求出待定系数，进而求出函数解析式. 3换元法有时可用“配凑法”：已知函数fgx的解析式求fx的解析式可用换元法或“配凑法”，即令gx＝t，反解出x，然后代入fgx中求出ft，从而求出fx. 4解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法. [变式训练3]　求函数的解析式． (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)； (3)已知2f ＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)． 解：(1)设f(x)＝kx＋b(k≠0)． 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. 所以 解得k＝3，b＝1，或k＝－3，b＝－2. 所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)方法一：(配凑法) 因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)． 所以f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二：(换元法) 令＋1＝t(t≥1)． 则x＝(t－1)2(t≥1)． 所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)． 所以f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)f(x)＋2f＝x，令x＝， 得f＋2f(x)＝. 于是得关于f(x)与f的方程组 解得f(x)＝－(x≠0). 类型四　函数图象的变换 [例4]　设f(x)＝x2，在同一坐标系中画出： (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系． [解]　(1)(如图1)观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到． (2)(如图2)y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到． [例5]　作出y＝的图象，并说明这个图象可由y＝的图象经过怎样的变换得到． [解]　在同一平面直角坐标系中作出①y＝，②y＝的图象． 观察图象可知，y＝的图象可由y＝的图象作关于y轴的对称变换得到． [例6]　作出函数y＝|x2－2x－3|的图象，并说明该图象与函数y＝x2－2x－3的图象之间有怎样的关系． [解]　y＝|x2－2x－3|＝ 作出函数y＝|x2－2x－3|的图象，如图中的实线所示． 观察函数图象可知，函数y＝|x2－2x－3|的图象可由函数y＝x2－2x－3的图象经过下列变换得到：保持函数y＝x2－2x－3的图象在x轴及其上方的部分不变，将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，即可得到函数y＝|x2－2x－3|的图象． 【课堂小练】 1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为(　D　) A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1 解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有 所以a＝－1，b＝1，f(x)＝－x＋1. 2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))＝(　B　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 解析：由函数图象可知g(2)＝1，由表格可知f(1)＝2，故f(g(2))＝2. 3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式为f(x)＝3x＋2. 解析：方法一：令2x＋1＝t，则x＝. ∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2，∴f(x)＝3x＋2. 方法二：∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，∴f(x)＝3x＋2. 4．若一个长方体的高为80 cm，长比宽多10 cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是y＝80x2＋800x,_x∈(0，＋∞)． 解析：由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0，化简为y＝80x2＋800x，x∈(0，＋∞)． 5．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系． 解：用列表法表示如下： x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 用图象法表示，如图所示． 用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 学科网（北京）股份有限公司 $$