专题03 多边形及其内角和重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题03 多边形及其内角和重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 多边形的相关概念 题型二 多边形截角后的边数问题 题型三 网格中多边形面积比较 题型四 多边形对角线条数计算 题型五 对角线分成的三角形个数问题 题型六 多边形内角和问题 题型七 正多边形的内角问题 题型八 多（少）算一个角问题 题型九 多边形截角后的内角和问题 题型十 复杂图形的内角和 题型十一 正多边形的外角问题 题型十二 多边形外角和的实际应用 题型十三 多边形内角和与外角和的综合 题型十四 平面镶嵌 知识点 1 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点2：多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点3：多边形的内角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 知识点4：截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点 5： 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 【经典例题一 多边形的相关概念】 【例1】（23-24七年级上·四川成都·期末）下列说法正确的有（    ）个 ①如果，那么点是线段的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边形；④三棱柱有六个顶点，九条棱． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 3．（22-23七年级下·广东深圳·期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    【经典例题二 多边形截角后的边数问题】 【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 3．（23-24七年级·全国·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              【经典例题三 网格中多边形面积比较】 【例3】（22-23七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是 3．（23-24七年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【经典例题四 多边形对角线条数计算】 【例4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 1．（23-24八年级上·江西南昌·期中）多边形每一个内角都等于135°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（　　　） A．3条 B．4条 C．5条 D．8条 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ． 3．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【经典例题五 对角线分成的三角形个数问题】 【例5】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24八年级·全国·假期作业）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 2．（23-24八年级上·云南普洱·期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形． 3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【经典例题六 多边形内角和问题】 【例6】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在六边形中，，，分别平分和，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1、（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已知，，王冠两边、的延长线相交于点O，且， 则 （用含有x的式子表示）．    3．（23-24七年级下·河南开封·期末）阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做对顶三角形．如图①，与互为对顶三角形． (1)问题发现： 如图①，试证明：； (2)拓展研究： 如图②，若是的平分线，是的平分线，，，求的度数；（用含、的代数式表示） (3)解决问题 在（2）的条件下，若与分别平分与，，请直接写出的取值范围． 【经典例题七 正多边形的内角问题】 【例7】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，长方形的两个顶点在正五边形的边上，若，则的大小为（     ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 °．    3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则，          解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 【经典例题八 多（少）算一个角问题】 【例8】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）若六边形的最大内角为度，则必有（  ） A． B． C． D． 2．（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ． 3．（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【经典例题九 多边形截角后的内角和问题】 【例9】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 2．（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）现实生活中，各种各样的图形随处可见．我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形． 如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形 通过学习，我们知道三角形三个内角的和为，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内角和问题． 探究：猜想并验证四边形的内角和． 猜想：四边形内角和为 验证：在四边形中，连接，则四边形被分为两个三角形（图． 所以，四边形的内角和 的内角和的内角和 请类比上述方法探究下列问题． (1)探究：猜想并探究五边形的内角和．（图 猜想：　    　 验证： (2)根据上述探究过程，可归纳出边线内角和为　　． (3)证明：①已知一个多边形的内角和为，那么这是个　　边形． ②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他．将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），得到的多边形内角和将会（    ） A．不变  B．增加  C．减少  D．无法确定． 【经典例题十 复杂图形的内角和】 【例10】（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，等于（    ） A． B． C． D． 1．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 3．（23-24八年级上·山西大同·期中）阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【经典例题十一 正多边形的外角问题】 【例11】（23-24八年级下·广东茂名·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（　　） A．22.5° B．45° C．60° D．30° 2．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将中的边CB反向延长，与另一边AC形成的即为的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和． 【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和． 如图，的外角和 ． ． 【自主探究】根据以上提示，完成下列问题： (1)将下列表格补充完整． 名称 图形 内角和 外角和 三角形 180° 360° 四边形 五边形 … … … … n边形 … (2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数． 【经典例题十二 多边形外角和的实际应用】 【例12】（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图的七边形中，，的延长线相交于点，若图中，，，的外角的角度和为，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图是科技馆为某机器人编制的程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．不能确定 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 3．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【经典例题十三 多边形内角和与外角和的综合】 【例13】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，正边形纸片被撕掉一块，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 2．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，五边形中，，，，分别是，，的外角，，则 ． 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①，都是四边形的外角，试探究，与之间的数量关系； （2）如图②，都是四边形的外角，试探究与之间的数量关系； （3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③，分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【经典例题十四 平面镶嵌】 【例14】（23-24七年级下·四川乐山·期末）在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（    ） A．正五边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，某休闲广场是用边长相等的正四边形和正八边形的地砖组合，在每个顶点处无缝隙、无重叠的铺设，而且地砖完整．除此之外，还可以选择无缝隙、无重叠铺设的正多边形组合是（　　） A．正三边形、正四边形 B．正四边形、正五边形 C．正五边形、正六边形 D．正六边形、正八边形 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ．    3．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务． 关于同一种正多边形的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．    学习任务： (1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 (2)图3中角1的度数是______． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______． (4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证． 1．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在六边形中，，分别平分和，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东茂名·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则（      ） A． B． C． D． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，求 度． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，E为公共顶点，且顶点A，B，C，D在同一条直线上，则的度数是 ．    8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已知，，王冠两边、的延长线相交于点O，且， 则 （用含有x的式子表示）．    9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P，若，则 ． 10．（2024·浙江温州·三模）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．    11．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 12．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点． (1)如图②，若，则______°； (2)如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由； (3)随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论． 13．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）已知点，分别在和上，且． (1)如图1，若，，则的度数为_____；若，，则的度数为______； (2)如图2，若平分，平分，的反向延长线交于点M，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若转动与使其交于点G，，且平分，平分 ，的反向延长线与交于点 M， 请直接写出与的数量关系． 14．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则，          解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 15．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，． (1)如图1，若，则________度； (2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数； (3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数； ②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 多边形及其内角和重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 多边形的相关概念 题型二 多边形截角后的边数问题 题型三 网格中多边形面积比较 题型四 多边形对角线条数计算 题型五 对角线分成的三角形个数问题 题型六 多边形内角和问题 题型七 正多边形的内角问题 题型八 多（少）算一个角问题 题型九 多边形截角后的内角和问题 题型十 复杂图形的内角和 题型十一 正多边形的外角问题 题型十二 多边形外角和的实际应用 题型十三 多边形内角和与外角和的综合 题型十四 平面镶嵌 知识点 1 多边形 （1） 多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。 （2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 知识点2：多边形的对角线 n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数： 知识点3：多边形的内角和 （1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°； （2）正多边形的每个内角 知识点4：多边形的外角和 （1）n 边形的外角和： 360° （2）正多边形每个外角的度数： 知识点4：截角问题 n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n-2边形 知识点 5： 多边形的内角和和外角和的综合应用 平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 【经典例题一 多边形的相关概念】 【例1】（23-24七年级上·四川成都·期末）下列说法正确的有（    ）个 ①如果，那么点是线段的中点；②两点之间直线最短；③各条边都相等的多边形叫做正多边形；④三棱柱有六个顶点，九条棱． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据线段最短、线段中点、正多边形以及三棱柱的定义和性质，分析判断即可． 【详解】解：①当点三点在同一直线上时，如果，那么点是线段的中点，故原说法错误； ②两点之间线段最短，故原说法错误； ③各条边都相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形，故原说法错误； ④三棱柱有六个顶点，九条棱，该说法正确． 综上所述，说法正确的有④，共计1个． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段、线段中点、正多边形、三棱柱等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 1．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列命题：①各边都相等的多边形是正多边形；②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；③三角形的角平分线是射线；④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；⑥到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．正确的命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】∵不含90°内角的菱形四边都相等，但其不是正四边形， ∴①不正确； ∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角， ∴②正确； ∵三角形的角平分线是线段， ∴③不正确； ∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点， ∴④不正确． ∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线， ∴⑤正确； ∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴⑥正确； 综上，可得正确的命题有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 3．（22-23七年级下·广东深圳·期末）随着科技的发展，在公共区域内安装“智能全景摄像头”成为保护人民生命财产安全的有效手段．如图1所示，这是某仓库的平面图，点是图形内任意一点，点是图形内的点，连接，若线段总是在图形内或图形上，则称是“完美观测点”，此处便可安装摄像头，而不是“完美观测点”．    (1)如图2，以下各点是完美观测点的是_______（只有一个选项是正确的）    A．    B．    C．    D． (2)如图3，在图形内作出两个完美观测点，并分别用字母、表示；    (3)图4是某景观大楼的平面图，请作出该图形中由所有“完美观测点”组成的图形，并用阴影表示．    【答案】(1)D (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （2）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案； （3）根据完美观测点的定义作出完美观测点所在的区域，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图2，阴影部分的区域（含边界）内的点都是完美观测点， 即是完美观测点， 故选：D；    （2）如图，点，点落在图中阴影部分的区域（含边界）即可；    （3）如图所示：阴影部分即为所求.    【点睛】本题考查了多边形的应用，正确理解“完美观测点”的意义是解题的关键． 【经典例题二 多边形截角后的边数问题】 【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 3．（23-24七年级·全国·单元测试）用平面截正方体，其截面可能是某些多边形，如果截去的几何体是三棱锥，剩下的几何体还有多少个顶点？试在图8中画出形状不相同的几种．（至少画三种）              【答案】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点 见解析 【分析】截去正方体的一个顶点，根据截面是否过与该顶点最近的三个顶点可知需要分四种情况. 【详解】剩下的几何体可能有7个、8个、9个、10个顶点，如图所示．（答案不唯一） 【点睛】本题考查平面截几何体,解题的关键是知道平面截正方体时,穿过了几个面或与几条棱相交. 【经典例题三 网格中多边形面积比较】 【例3】（22-23七年级下·广西河池·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】A 【分析】利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可求得． 【详解】解：灰色三角形的面积为：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7， 故选：A． 【点睛】本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解． 2．（23-24七年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成个正方形，那么新正方形的边长是 【答案】 【分析】用阴影部分所在的正方形的面积减去两个直角三角形的面积，得到阴影部分的面积，再根据算术平方根的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 阴影部分的面积为， ∴新正方形的边长是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键． 3．（23-24七年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【分析】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【详解】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 【经典例题四 多边形对角线条数计算】 【例4】（23-24七年级上·广东深圳·期末）过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：， 解得：， 即这个多边形是七边形， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 1．（23-24八年级上·江西南昌·期中）多边形每一个内角都等于135°，则从该多边形一个顶点出发，可引出对角线的条数为（　　　） A．3条 B．4条 C．5条 D．8条 【答案】C 【分析】根据正多边形内角与外角的性质，求出此多边形边数，从而求出这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数． 【详解】解：∵一个多边形的每一个内角都等于135°， ∴此多边形的每一个外角是180°-135°=45°， ∵任意多边形的外角和是：360°， ∴此多边形边数是：360°÷45°=8， ∴这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数是：n-3=8-3=5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了正多边形内角与外角的性质，以及多边形对角线求法，题目综合性较强，同学们应熟练掌握相关公式． 2．（22-23七年级下·湖南衡阳·期中）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ． 【答案】500 【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值． 【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条， ，，，； 则． 故答案为：500 【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条． 3．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②场 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键． （1）连接作图即可； （2）①根据所给数据规律解答即可； ②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：①，； ②（场）， 答：共需要比赛场． 【经典例题五 对角线分成的三角形个数问题】 【例5】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案 【详解】解：设这个多边形的边数是边形， 根据题意可得：， 解得：， 这个多边形的边数是7， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形． 1．（23-24八年级·全国·假期作业）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（　　） A．2001 B．2005 C．2004 D．2006 【答案】C 【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即可求解． 【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形， 则这个多边形的边数为2003+1＝2004． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键． 2．（23-24八年级上·云南普洱·期中）过四边形的一个顶点可以画一条对角线，且把四边形分成两个三角形；过五边形的一个顶点可以画两条对角线，且把五边形分成三个三角形；......猜想：过n边形的一个顶点可以画 条对角线，且把n边形分成 个三角形． 【答案】 【分析】根据四边形可以条对角线，被分成了4-2=2个三角形，五边形可以引条对角线，被分成了5-2=3个三角形，依此类推，n边形可以引条对角线，被分成个三角形． 【详解】从四边形的一个顶点出发，可以引1条对角线，将四边形分成2个三角形；从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，将五边形分成3个三角形；从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，将六边形分成4个三角形；从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，将n边形分成个三角形 故答案为：，． 【点睛】本题考查了多边形的规律问题，掌握对角线和三角形的性质、多边形的规律是解题的关键． 3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1) 1 2 (2) 2 3 (3) (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）如图1： 经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2 （2）如图2： 经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 【经典例题六 多边形内角和问题】 【例6】（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在六边形中，，，分别平分和，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟练掌握多边形的内角和定理，三角形内角和定理是解题的关键．首先求得六边形的内角和，则与的和即可求得，然后根据角平分线的定义求得，然后在中利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：六边形的内角和是：， 则， ，分别平分和， ， 在中，． 故选：D． 1、（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，多边形内角和等知识．熟练掌握对顶角相等，三角形内角和定理，多边形内角和是解题的关键． 如图，记的交点为，则，由，可得，整理作答即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 故选：D． 2．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已知，，王冠两边、的延长线相交于点O，且， 则 （用含有x的式子表示）．    【答案】 【分析】此题考查了多项式内角和，三角形内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，，，首先得到，，，，然后求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，，，    ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南开封·期末）阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做对顶三角形．如图①，与互为对顶三角形． (1)问题发现： 如图①，试证明：； (2)拓展研究： 如图②，若是的平分线，是的平分线，，，求的度数；（用含、的代数式表示） (3)解决问题 在（2）的条件下，若与分别平分与，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）根据三角形外角的性质求出，结合（1）中结论可得，再根据角平分线的定义代入计算即可； （3）根据角平分线定义求出，利用四边形的内角和定理求出，再根据的取值范围求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）如图②， ∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴ ； （3）如图③，∵与分别平分与，是的平分线，是的平分线， ∴，， 即， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义，三角形外角的性质，角的和差计算，四边形的内角和定理以及不等式的性质，准确识别各角之间的关系是解题的关键． 【经典例题七 正多边形的内角问题】 【例7】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，长方形的两个顶点在正五边形的边上，若，则的大小为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和三角形的内角和，先计算出正五边形的内角，再由平角的定义求出，最后由三角形的内角和即可求解，正确理解正多边形的内角与外角的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意得：，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出和的度数，最后根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以， ∵正五边形的每条边相等， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 °．    【答案】67.5 【分析】本题主要考查多边形内角和外角，先求出，再根据正八边形的性质求出和，最后根据三角形的内角和即可求得． 【详解】解：八边形为正八边形， ， 正八边形的对角线、， ， 又由题意得， ， ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则，          解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 【答案】(1)能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 (2)正方形（答案不唯一） (3)2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） (4)1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【分析】本题考查了多边形的内角和，解一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设有x个正三角形，则，解得，因此6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）设有x个正方形，则，解得，因此4个正三角形可以共顶点单一密铺； （3）设有x个正三角形，y个正六边形，则，当时，，当时，，故2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则，故当时符合题意，因此方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【详解】（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正三角形， ∵正三角形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）解：4个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正方形， ∵正方形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴4个正三角形可以共顶点单一密铺； （3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形 设有x个正三角形，y个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， 当时，， 当时，， ∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形， 设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为， ∴， ∴当时符合题意， ∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【经典例题八 多（少）算一个角问题】 【例8】（23-24八年级上·河北保定·阶段练习）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 1．（23-24八年级上·山东泰安·期末）若六边形的最大内角为度，则必有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和和多边形的内角和即可得出答案. 【详解】∵六边形可分为4个三角形，每个三角形的内角和180° ∴m<180° 又∵六边形的内角和为720° 当六边形为正六边形时，6个内角都相等，此时m最小，每个内角=720°÷6=120° 故120°≤m＜180° 故答案选择C. 【点睛】本题考查的是三角形和多边形的内角和，难度适中，需要熟练掌握相关基础知识. 2．（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ． 【答案】6 【分析】根据多边形的内角和进行即可求解． 【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°， 10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键． 3．（23-24七年级下·河南开封·期末）请根据对话回答问题： (1)多加的外角是________°；这个凸多边形的边数是________． (2)求这个多边形的内角和及其对角线条数． 【答案】(1)，13； (2)内角和是，对角线有65条 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和以及多边形的对角线问题． （1）根据多边形的内角和公式可得内角和一定是180的倍数，用2024除以180，得到的余数即为多加的外角，再根据多边形的内角和公式可得边数； （2）用2024减去多加的外角即可得到内角和；根据n边形的对角线条数为求解即可． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是180的倍数， ∵， ∴多加的外角是， 这个凸多边形的边数是； （2）这个多边形的内角和为， 对角线条数为（条）， 答：这个多边形的内角和是，对角线有65条． 【经典例题九 多边形截角后的内角和问题】 【例9】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）将图中的四边形剪掉一个角后得到n边形，设n边形的内角和为，外角和为．嘉嘉认为：，．淇淇说：“嘉嘉只说对了的值，还有其他的值．”下列说法正确的是（    ）    A．嘉嘉说的完全对 B．淇淇说的对，其他的值一定是360° C．淇淇说的对，其他的值为360°或180° D．淇淇说的不对 【答案】C 【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：n边形的内角和是，外角和 边数增加1，则新的多边形的内角和是：， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°， 所以淇淇说的对，其他的值为360°或180°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键． 2．（23-24八年级上·山东济宁·阶段练习）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为 ． 【答案】6或7或8 【分析】设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，根据多边形的内角和定理列式计算可求解． 【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，判定边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论． 3．（2024七年级下·江苏·专题练习）现实生活中，各种各样的图形随处可见．我们知道，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．由三角形定义可知，在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形． 如图1，若有三条边的叫做三角形，有四条边的叫做四边形，有五条边的叫做五边形 通过学习，我们知道三角形三个内角的和为，现在我们类比三角形内角和来研究其他多边形图形的内角和问题． 探究：猜想并验证四边形的内角和． 猜想：四边形内角和为 验证：在四边形中，连接，则四边形被分为两个三角形（图． 所以，四边形的内角和 的内角和的内角和 请类比上述方法探究下列问题． (1)探究：猜想并探究五边形的内角和．（图 猜想：　    　 验证： (2)根据上述探究过程，可归纳出边线内角和为　　． (3)证明：①已知一个多边形的内角和为，那么这是个　　边形． ②一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他．将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），得到的多边形内角和将会（    ） A．不变  B．增加  C．减少  D．无法确定． 【答案】(1)五边形的内角和为．见解析 (2) (3)①十二；②B 【分析】（1）多边形问题，通过添加辅助线，转化为三角形问题即可； （2）探究规律，理由规律即可解决问题； （3）①构建方程即可解决问题； ②一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1，由此即可解决问题，考虑到不过顶点，只有一种情形； 【详解】（1）解：探究：猜想：五边形的内角和为． 理由：如图3中，连接、． 由图可知，五边形的内角和的内角和的内角和的内角和 ， 故答案为：． （2）解：因为：三角形内角和为， 四边形内角和为， 五边形内角和， 所以可以推出边形的内角和， 故答案为：． （3）解：①设是边形，由题意， 解得， 这个多边形是十二边形． 故答案为十二． ②因为一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能：比原多边形边数小1、相等、大1， 所以将一个多边形截去一个角后（没有过顶点），增加， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形综合题，多边形的内角和定理，解题的关键是记住一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，学会把多边形问题转化为三角形问题解决，属于中考常考题型． 【经典例题十 复杂图形的内角和】 【例10】（22-23八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 1．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论． 【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O ∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，， ∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540° ∴∠ODC＋∠OCD=72° ∵∠AOB=∠COD ∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72° 故选B． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键． 2．（2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山西大同·期中）阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°． 【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可； （2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解； ②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可． 【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E． 则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角， ∴∠BDE=∠B+∠BAD， ∠CDE=∠C+∠CAD ∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD． ∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC． （2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∵∠BFE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 故答案为：180° ②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 故答案为：360° 【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键. 【经典例题十一 正多边形的外角问题】 【例11】（23-24八年级下·广东茂名·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角和以及邻补角的性质，三角形的内角和定理等知识．根据正多边形的外角和，分别得出，，根据邻补角的性质，分别得出，的度数，据此求解即可． 【详解】解：由正多边形外角和等于可得： ，， ， ， ∴． ∴． 故选：B． 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（　　） A．22.5° B．45° C．60° D．30° 【答案】B 【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键． 【详解】解：正八边形的外角和为， 每一个外角为， 故选：B． 2．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形的内角与外角等知识，由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， ∴正五边形每个外角的度数为：， ∴正五边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正边形， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将中的边CB反向延长，与另一边AC形成的即为的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和． 【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和． 如图，的外角和 ． ． 【自主探究】根据以上提示，完成下列问题： (1)将下列表格补充完整． 名称 图形 内角和 外角和 三角形 180° 360° 四边形 五边形 … … … … n边形 … (2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数． 【答案】(1)内角和分别为：360°、540°、180°（n-2）；外角和分别为：360°、360°、360° (2)135° 【分析】（1）分别对图中四边形和五边形标注字母，然后根据题目中所给定的方法分别计算其内角和与外角和，最后根据规律确定出n边形的内角和与外角和即可； （2）方法一：根据（1）中内角和公式求出内角和，然后除以角的个数即可；方法二：先求出各个外角的度数，然后用减去一个外角的度数，即为内角度数． 【详解】（1）解：四边形标定字母如图所示，连接CG， 四边形分为两个三角形， ∴四边形内角和为， 外角和为： ， ， ； 五边形标定字母如图所示，连接DA，DB， 五边形分为三个三角形， ∴五边形内角和为， 外角和为： ， ， ； 当为n边形时，可以分为个三角形， ∴n边形内角和为； 外角和为定值； 故答案为：内角和分别为：、、； 外角和分别为：、、； （2）解：方法一：， 方法二：． 【点睛】题目主要考查多边形内角和与外角和定理，理解题意，熟练掌握多边形内角和与外角和定理是解题关键． 【经典例题十二 多边形外角和的实际应用】 【例12】（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）如图的七边形中，，的延长线相交于点，若图中，，，的外角的角度和为，则的度数是（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和是，由，，，的外角的角度和为，可求得的外角，即可根据邻补角的定义求得． 【详解】解：，，，的外角的角度和为，五边形的外角和是， 的外角为， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查多边形的外角和，利用内角和外角的关系求得的外角是解题的关键． 1．（22-23八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图是科技馆为某机器人编制的程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．不能确定 【答案】C 【分析】先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， 每一次都是左转， 多边形的边数， 周长米． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．    (1)该五边形广场的内角和是 度； (2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度； (3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据五边形内角和求解即可； （2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （3）延长NE交AB于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）五边形广场的内角和， 故答案为：； （2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度， 故答案为：； （3）延长NE交AB于点F    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在五边形中 ∴ 【点睛】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点． 【经典例题十三 多边形内角和与外角和的综合】 【例13】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，正边形纸片被撕掉一块，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了多边形的内角和外角和，延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数，掌握相关定义是解题的关键． 解：如图，延长，交于点，    ， ， 正多边形的一个外角为， ， 故选：． 1．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（    ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，正六边形的一个内角为，根据周角的定义有，，得，再讨论即可得n的值． 【详解】解：正六边形的一个内角为， ， 为正n边形的一个内角的度数， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则． 故n的值为3或4或5或6．故选C． 2．（22-23七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，五边形中，，，，分别是，，的外角，，则 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查多边形的内角和和外角的综合应用，根据多边形的内角和定理，结合两直线平行，同旁内角互补，以及平角的定义求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵五边形，， ∴五边形的内角和为，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）（1）如图①，都是四边形的外角，试探究，与之间的数量关系； （2）如图②，都是四边形的外角，试探究与之间的数量关系； （3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③，分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）从外角的定义考虑解答； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）∵， ， ，， ， ； （2）∵， ， ，， ， ， （3）， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 【经典例题十四 平面镶嵌】 【例14】（23-24七年级下·四川乐山·期末）在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（    ） A．正五边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意几种多边形能否进行镶嵌，看它们能否组成的角．分别各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：A、正五边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； B、正七边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； C、正八边形每个内角是，，能密铺，符合题意． D、正九边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； 故选：C 1．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，某休闲广场是用边长相等的正四边形和正八边形的地砖组合，在每个顶点处无缝隙、无重叠的铺设，而且地砖完整．除此之外，还可以选择无缝隙、无重叠铺设的正多边形组合是（　　） A．正三边形、正四边形 B．正四边形、正五边形 C．正五边形、正六边形 D．正六边形、正八边形 【答案】A 【分析】两个或几个正多边形的组合能否平面镶嵌，可以从所给的选项中看其内角和是否能等于360°，并以此为依据进行求解． 【详解】解：A．因为正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，3×60°+2×90°＝360°，所以能铺满，符合题意； B．正四边形每个内角90°，正五边形每个内角108°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意； C．正五边形每个内角108°，正六边形每个内角120°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意； D．正六边形每个内角120°，正八边形每个内角135°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平面镶嵌问题．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合． 2．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ．    【答案】 【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面密铺的知识，解决此类题，记住几个常用正多边形的内角，关键是看位于同一顶点处的几个角之和为． 3．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考：请阅读下面小论文，并完成相应学习任务． 关于同一种正多边形的平面密铺 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是，若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺． 对于一些不规则的多边形，全等三角形或全等四边形也可以进行平面密铺．图4就是利用全等的四边形设计出的平面密铺图案． 对于不规则的凸五边形，迄今为止发现了15种能用于平面密铺的五边形．德国数学家莱因哈特（1895—1941）凭借其出色的平面几何功底与直觉，从1918年开始，陆续发现了前5种五边形密铺方式．2015年，美国华盛顿大学数学教授卡西·曼夫妇发现了第15种能用于平面密铺的五边形．图5就是利用不规则的凸五边形得到的一种密铺图案．    学习任务： (1)填空：上面小论文中提到“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是”，其中体现的数学思想主要是______．（填出字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 (2)图3中角1的度数是______． (3)除“正三角形”“正四边形”外，请再写出一种可以进行密铺的正多边形：______． (4)图6是图5中的一个基本图形，其中，，并且．求证． 【答案】(1)B (2) (3)正六边形 (4)见解析 【分析】题主要考查了平面镶嵌，正多边形的内角和与外角；全等三角形的性质与判定； （1）根据题意将多边形转化为三角形解决问题，体现的是转化思想，据此，即可求解； （2）根据正五边形的三个内角的和与周角的差即可求解； （3）根据平面镶嵌的正多边形的内角能被整除，即可求解； （4）先证明是等边三角形，进而证明，根据平行线间的距离相等可得，进而根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）根据题意，对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，可得体现的数学思想主要是转化思想， 故选：B． （2）解：， 故答案为：． （3）解：∵正六边形的每个内角为，依题意，一种可以进行密铺的正多边形：正六边形， 故答案为：正六边形． （4）如图所示，连接，分别过点作垂足分别为，   ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在六边形中，，分别平分和，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角和，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握多边形内角和，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，六边形的内角和为，则，由分别平分和，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，六边形的内角和为， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查密铺、正多边形的内角度数，根据“密铺图形的公共顶点处的角的度数和为”逐项判断即可． 【详解】解：观察可知“半正密铺”图案记号，则表示由一个正方形和两个正八边形组成的； A．是由一个正三角形、两个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正十二边形的每一个内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； B．是由一个正三角形、两个正方形和一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； C．是由两个正三角形、一个正方形、一个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正十二边形的每一个内角为：， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； D．是由三个正三角形、一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正六边形的内角为： ， ，不能表示“半正密铺”图案，符合题意； 故选D． 3．（23-24八年级下·广东茂名·期末）将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角和以及邻补角的性质，三角形的内角和定理等知识．根据正多边形的外角和，分别得出，，根据邻补角的性质，分别得出，的度数，据此求解即可． 【详解】解：由正多边形外角和等于可得： ，， ， ， ∴． ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 5．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）五边形的边所在直线形成如图所示的形状，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系及四边形内角和定理，（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和为．分析图形，根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知能把，，，，，，全部转化到，所在的四边形中，利用四边形内角和为360度可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， 又∵， ∴． 故选：C． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图所示，求 度． 【答案】540 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、五边形内角和等知识点，将转化为是解题的关键． 把转化成，然后根据五边形的内角和公式计算求解即可． 【详解】解：如图:连接 由题意知，， ∴ ， ∵是五边形的内角和， ∴， 故答案为：540． 7．（2024·陕西西安·模拟预测）将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放，E为公共顶点，且顶点A，B，C，D在同一条直线上，则的度数是 ．    【答案】/63度 【分析】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件求得，的度数是解题的关键．根据多边形内角和公式及正多边形性质求得，的度数，从而求得，的度数，然后根据三角形内角和为计算即可求得答案． 【详解】解：由题意可得，， ，， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期末）爱好绘画的小明在学习英文时看到这句话：“Heavy is the head who wears the crown．”意思是：“欲戴王冠， 必承其重．”，于是他在画本上绘制出如图的王冠， 已知，，王冠两边、的延长线相交于点O，且， 则 （用含有x的式子表示）．    【答案】 【分析】此题考查了多项式内角和，三角形内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，，，首先得到，，，，然后求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接，，，    ∴，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形、四边形内角和定理，角平分线定义，由四边形的内角和为得到，由角平分线定义得出，又根据三角形内角和定理有，，那么，于是，由可得结论 【详解】解：∵， ∵四边形的内角的角平分线交于点Q，的角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴, 故答案为： 10．（2024·浙江温州·三模）如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．    【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得，即可得． 【详解】解：如图，    由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得： ， 得． 故答案为：． 11．（2024七年级下·全国·专题练习）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题： (1)“多边形内角和为”，为什么不可能？ (2)明明求的是几边形的内角和？ (3)多加的那个外角为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 (3)40° 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，熟记多边形内角和公式是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式判断即可； （2）根据多边形内角和公式判断即可； （3）由（2）即可解答． 【详解】（1）解：由多边形内角和公式可知，多边形内角和是180的倍数，而2020不是180的倍数， 故不可能是多边形内角和． （2）解：由多边形内角和公式可知，， 所以，则， 故多边形是十三边形 （3）解：由（2）计算可知余数为， 所以多加的外角为． 12．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图①，在中，；点在边上．将点绕点按逆时针方向旋转一定角度得到点，连接，，作，的角平分线交于点． (1)如图②，若，则______°； (2)如图③，当点恰好落在边上时，探索之间的关系，并说明理由； (3)随着点的旋转，当点不在边上时，探索之间的关系，直接写出结论． 【答案】(1) (2)； (3)或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，四边形内角和定理，注意角的转换是解题的关键． （1）直接利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可； （2）直接利用直角三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论，当点在外时，利用四边形内角和定理结合角平分线的定义求解；当点在内时，利用三角形内角和定理结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，，∴ ； （3）解：当点在外时，如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 整理得； 当点在内时，如图， 同理， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ， 整理得； 综上，或． 13．（23-24七年级下·重庆巴南·期末）已知点，分别在和上，且． (1)如图1，若，，则的度数为_____；若，，则的度数为______； (2)如图2，若平分，平分，的反向延长线交于点M，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若转动与使其交于点G，，且平分，平分 ，的反向延长线与交于点 M， 请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的相关计算、多边形内角和等知识，添加适当的辅助线和熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，得出，根据平行线的性质得出，，根据，求出结果即可； （2）设，，由平分，平分得到，过点E作，求出，，即可得到，得到结论； （3）设，，平分，平分，则，求出，，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作，如图1，   ， ， ，， ，，， ； 当，时，． 故答案为：， （2）设，， ∵平分，平分， ∴， 过点E作， ∴ ∵．， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴． （3）设，， ∵平分，平分， ∴， ∵，，，， ∴ ∵，，， ∴ ∴， 即． 14．（23-24七年级下·江苏盐城·期末）大到市民广场，小到家居装修，常常用形状各异的瓷砖来铺设． 正多边形是指各边相等、各角相等的多边形． 用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如右图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x 个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为， 若想用x 个围成，则，          解得 （不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺?请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，并说明理由． 共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面.已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺.请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出设计方案． 【答案】(1)能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 (2)正方形（答案不唯一） (3)2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） (4)1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【分析】本题考查了多边形的内角和，解一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设有x个正三角形，则，解得，因此6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）设有x个正方形，则，解得，因此4个正三角形可以共顶点单一密铺； （3）设有x个正三角形，y个正六边形，则，当时，，当时，，故2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则，故当时符合题意，因此方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【详解】（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正三角形， ∵正三角形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）解：4个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正方形， ∵正方形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴4个正三角形可以共顶点单一密铺； （3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形 设有x个正三角形，y个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， 当时，， 当时，， ∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形， 设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为， ∴， ∴当时符合题意， ∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 15．（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在四边形中，，． (1)如图1，若，则________度； (2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数； (3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数； ②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)65 (2) (3)①，②，理由见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据四边形内角和为，结合已知条件求解即可； （2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形内角和定理计算即可得出答案； （3）①先根据四边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （3）解：四边形中， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； ②∵五边形的内角和为， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$