第1章 直线与方程（单元测试）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与方程（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 5．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 6．当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 7．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 8．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 10．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线平行，则 13．在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 14．平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： （1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； （2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个； （3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个． 以上命题中，正确的命题是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 16．（15分） 已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 17．（15分） 已知直线l过直线和的交点P. (1)若直线l过点，求直线l的斜率； (2)若直线l与直线垂直，求直线l的一般式方程； (3)若原点到直线l的距离为1，求直线l的方程. 18．（17分） 已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 19．（17分） 在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线的倾斜角为， 直线可转化为, 故. 又因为, 所以. 故选：C. 2．过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 3．若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即交点为， 因为交点在第一象限，所以. 故选：A 4．，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【解析】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 5．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 6．当直线过点，当取得最小值时，直线的方程为：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线过点， 则，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线方程为，即. 故选：C. 7．曲线：上到直线距离最短的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设曲线：上的点的坐标为，， 则点到直线的距离， 当且仅当，即时，等号成立，此时点的坐标为. 故选：B. 8．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【解析】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．过点且在轴，轴截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程表示． 【答案】AD 【解析】对于A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确. 对于B：当时，直线与直线斜率分别为，斜率之积为，故两直线相互垂直，所以充分性成立， 若“直线与直线互相垂直”，则， 故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误. 对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 当截距不为0时，调直线方程为，又直线过点， 所以可得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误； .对于D：经过平面内任意相异两点的直线： 当斜率等于0时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不存在时，，方程为，能用方程表示； 当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为， 也能用方程表示，故D正确. 故选：AD. 10．（2024·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 11．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为，，将军的出发点是点，军营所在位置为，则下列说法错误的是（    ） A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为 B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是 C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是 D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是 【答案】ABD 【解析】对于A，如图①所示，设点关于直线的对称点为， 由解得， 所以将军在河边饮马的地点的坐标为，故A错误； 对于B，如图②所示，因为点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再返回军营的最短路程是，故B错误； 对于C，如图③所示，因为点关于直线的对称点分别为，； 点关于直线的对称点为， 所以将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程，故C正确； 对于D，如图④所示，设点关于直线的对称点分别为， 由解得；点关于直线的对称点为， 将军先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回军营的最短路程是，故D错误. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与直线平行，则 【答案】2 【解析】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 13．在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【解析】由两点式可得直线的方程为，即为， 再由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离， 且两点间的距离为， 所以的面积为. 故答案为： 14．平面中两条直线、相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”．已知常数，，给出下列命题： （1）若，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个； （2）若，，则“距离坐标”为的点有且仅有2个； （3）若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个． 以上命题中，正确的命题是 ． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】对于（1），只有当点M与点O重合时，满足题意.故（1）正确； 对于（2），不妨假设，则点在直线上. 又点到直线的距离为， 如图1，作的两条平行线，使得与的距离均为. 由定义结合图象可知，直线与的交点满足条件. 所以，“距离坐标”为的点有且仅有2个.故（2）正确； 对于（3），如图2，作的两条平行线，使得与的距离均为；作的两条平行线，使得与的距离均为. 由定义结合图象可知，满足条件的点有且仅有4个.故（3）正确. 故答案为：（1）（2）（3）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【解析】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 16．（15分） 已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【解析】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 17．（15分） 已知直线l过直线和的交点P. (1)若直线l过点，求直线l的斜率； (2)若直线l与直线垂直，求直线l的一般式方程； (3)若原点到直线l的距离为1，求直线l的方程. 【解析】（1）直线l过直线和的交点P， 由，解得，即点，又直线l过点， 所以直线l的斜率. （2）直线l与直线垂直，则直线l的斜率，方程为， 所以直线l的一般式方程为：. （3）原点到直线l的距离为1，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程：， 由原点到直线l的距离为1，得，解得，直线l的方程：， 所以直线l的方程为：或. 18．（17分） 已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为. 19．（17分） 在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）①根据定义可得，； ②设是轨迹上任意一点， 由已知可得， 根据定义可得，. 所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； ③设曲线G上任意一点， 由已知可得，， 所以有， 整理可得，. （ⅰ）当时，该式可化为， 即. 当且时，为； 当且时，为； （ⅱ）当时，该式可化为， 整理可得，即； （ⅲ）当时，该式可化为， 整理可得. 当且时，为； 当且时，为； 作出曲线满足的图象 所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 故答案为：5；；6. （2）设，则，所以， 所以，. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 综上所述，当时，有最小值，此时. 所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为. （3）（ⅰ）当，时， 由条件②可得，， 即有. 因为，所以. 由条件①可得，， 所以有. 又， 所以有，所以. 因此，所求的点为； （ⅱ）当，时， 由（ⅰ）同理可得，所求的点为； （ⅲ）当，时，不妨设. ①若， ，，， 所以，. 当且仅当与同时成立， 所以有，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为； ②若， 由条件①可得，，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为. 综上所述，所有符合条件的点的集合为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$