第1章 直线与方程章末题型归纳总结-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：斜率与倾斜角的关系 经典题型二：直线方程的求法及应用 经典题型三：两直线的平行与垂直 经典题型四：两直线的交点与距离问题 经典题型五：线段和差最值问题 经典题型六：直线与坐标轴围成的面积问题 经典题型七：点线对称、线点对称、线线对称问题 经典题型八：距离新定义问题 经典题型九：坐标法的应用 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：斜率与倾斜角的关系 例1．（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·高二·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例3．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·高二·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例6．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 经典题型二：直线方程的求法及应用 例7．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 例8．（2024·高二·上海·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，.求: (1)边的中线所在直线的方程； (2)边的中垂线所在的直线的方程. 例9．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 例10．（2024·高二·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 例11．（2024·高二·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 例12．（2024·高二·福建三明·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求： (1)直线的一般式方程； (2)求的边的长． 例13．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 例14．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 经典题型三：两直线的平行与垂直 例15．（多选题）（2024·高二·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 例16．（多选题）（2024·高二·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 例17．（多选题）（2024·高二·福建漳州·期末）已知直线，，则（   ） A．过定点 B．当时， C．当时， D．当时，的斜率不存在 例18．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 例19．（2024·高二·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 例20．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 例21．（2024·高二·上海·阶段练习）设，若直线和直线平行，则 . 例22．（2024·高二·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 经典题型四：两直线的交点与距离问题 例23．（2024·高二·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 例24．（2024·高二·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 例25．（2024·高二·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 例26．（2024·高二·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 例27．（2024·高二·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 例28．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 例29．（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 例30．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 例31．（2024·高二·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 例32．（2024·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 例33．（2024·高二·全国·专题练习）已知点到直线的距离为1，则a的值为 . 例34．（2024·高二·福建福州·期中）若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 . 例35．（2024·高二·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 例36．（2024·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 经典题型五：线段和差最值问题 例37．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 例38．（2024·高二·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 例39．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 例40．（2024·高二·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知点，，P是x轴上的点，则的最小值等于 ． 例41．（2024·高二·上海闵行·阶段练习）函数的值域为 . 例42．（2024·高二·湖北孝感·开学考试）已知点，点P是直线上动点，则的最小值是 ． 例43．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）若直线l：x－2y＋8＝0上存在一点P到两点A（2，0），B（－2，－4）的距离之和最小，则点P的坐标为 ． 例44．（2024·高二·福建龙岩·期中）已知直线，点为直线l上任意一点，则的最小值为 ． 经典题型六：直线与坐标轴围成的面积问题 例45．（2024·高二·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 例46．（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 例47．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 例48．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线l：． （1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 例49．（2024·高二·四川成都·期中）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 例50．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例51．（2024·高二·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 例52．（2024·高一·湖南长沙·期末）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 经典题型七：点线对称、线点对称、线线对称问题 例53．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 例54．（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 例55．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 例56．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 例57．（2024·高二·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 例58．（2024·高二·全国·单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 经典题型八：距离新定义问题 例59．（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为 ． 例60．（2024·高二·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ． 例61．（2024·高二·福建厦门·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于 .（保留3位小数）（参考数据：.） 例62．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ． 例63．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“直角距离”，若到点，的“直角距离”相等，其中实数x，y满足，，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 . 例64．（2024·高二·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义两点、之间的“直角距离”为：，现有以下命题： ①若P、Q是x轴上的两点，则； ②已知，，则为定值； ③原点O与直线上任意一点P之间的直角距离的最小值为； ④若表示P、Q两点间的距离，那么． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 例65．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 经典题型九：坐标法的应用 例66．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 例67．（2024·高二·全国·课后作业）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求： (1)外心的坐标； (2)重心的坐标； (3)垂心的坐标． 例68．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 例69．（2024·高二·上海静安·期末）如图，公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形土地，其中，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园． (1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为，求公路BC所在的直线方程． 例70．（2024·高二·安徽安庆·期中）大家知道，等边三角形的重心(三条中线的交点)､外心(三条边的中垂线的交点)､垂心(三条高的交点)三点重合. （1）观察等腰直角三角形(如图)，若其重心是､外心为､垂心为，判断､､的位置关系以及线段和的长度之间的数量关系. （2）若是等腰三角形(如图)，且，，验证（1）的结论是否成立？若成立，请证明你的结论. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 例71．过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D． 例72．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 例73．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 例74．直线与直线平行，则 A．2 B．2或 C． D．或 例75．已知直线：与：垂直，则实数m的值为（    ） A．2或4 B．1或4 C．1或2 D．或2 ②转化与化归思想 例76．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 例77．经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例78．两平行直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 例79．已知直线：恒过点A，已知，动点P在直线：上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例80．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是  （    ） A． B． C． D． ③数形结合思想 例81．已知两点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 例82．如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（    ） A． B．6 C． D． 例83．若直线l过点，不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 例84．已知点，，直线与线段AB相交，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例85．如图所示，已知，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上不含端点，则直线FD的斜率的取值范围是．（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与方程章末题型归纳总结 目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：斜率与倾斜角的关系 经典题型二：直线方程的求法及应用 经典题型三：两直线的平行与垂直 经典题型四：两直线的交点与距离问题 经典题型五：线段和差最值问题 经典题型六：直线与坐标轴围成的面积问题 经典题型七：点线对称、线点对称、线线对称问题 经典题型八：距离新定义问题 经典题型九：坐标法的应用 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：斜率与倾斜角的关系 例1．（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上， 故选：C. 例2．（2024·高二·安徽亳州·期末）已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 例3．（2024·高二·云南昆明·阶段练习）已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为， 故选：B. 例4．（2024·高二·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，其中，可得， 因为，即， 结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角． 故选：A. 例5．（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意点，，则直线的斜率为 ， ∵， ∴，又∵直线倾斜角的范围是， ∴当时，倾斜角有：； 当时，倾斜角有：； 综上，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：A. 例6．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知直线，若直线与连接、两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的方程可得，所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即，因为，所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 经典题型二：直线方程的求法及应用 例7．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）已知点，求下列直线的方程： (1)求经过点，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线的方程； (2)光线自点射到轴的点后被轴反射，求反射光线所在直线的方程． 【解析】（1）当直线过原点时，满足在轴上的截距是轴上截距的2倍， 此时直线方程为，将代入，可得，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为，且， 即，将代入，可得，解得， 则直线方程为，化简可得； 综上，直线方程为或. （2）点关于轴的对称点的坐标为， 由题意可知，反射光线所在的直线经过点与， 所以反射光线所在的直线斜率为， 则反射光线所在的直线方程为， 化简可得. 例8．（2024·高二·上海·阶段练习）已知的三个顶点分别为，，.求: (1)边的中线所在直线的方程； (2)边的中垂线所在的直线的方程. 【解析】（1）因为，，， 所以的中点，所以， 则边的中线所在直线的方程为，即； （2）因为直线的方程为，且线段的中点， 所以边的中垂线所在的直线的方程为，即. 例9．（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【解析】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即， 而边中线所在的直线方程为， 由，解得，则，设点，则点， 于是，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，， 由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或， 当直线过时，直线的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 例10．（2024·高二·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【解析】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 例11．（2024·高二·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【解析】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 例12．（2024·高二·福建三明·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求： (1)直线的一般式方程； (2)求的边的长． 【解析】（1）边上的高所在的直线方程为，斜率，故， 直线方程为，即； （2）设，则的中点坐标为， 则，解得，即，. 例13．（2024·高二·浙江杭州·期中）已知的顶点的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程 【解析】（1）设，顶点的坐标为， 由中点在上， 可得：，即， 又由于点在直线上，得， 联立解得，即； （2）顶点的坐标为， 设A点关于的对称点为， 则有，解得，即， 显然点在BC边所在的直线上，且， 得直线的方程为：， 所以直线的方程为：. 例14．（2024·高二·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【解析】（1），所在直线的斜率为， 又， 所在直线方程是，即． （2）因为， 所以, 又因为， 所以所在直线方程为， 即. 经典题型三：两直线的平行与垂直 例15．（多选题）（2024·高二·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 例16．（多选题）（2024·高二·山东青岛·期末）已知直线与直线，下列说法正确的是（） A．当时，直线的倾斜角为 B．直线恒过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为， 所以，则，所以A不正确； B中，直线，整理可得， 令，可得， 即直线恒过定点，所以B正确； C中，当时，两条直线方程分别为：， 则两条直线重合，所以C不正确； D中，当时，两条直线方程分别为：， 显然两条直线垂直，所以D正确. 故选：BD. 例17．（多选题）（2024·高二·福建漳州·期末）已知直线，，则（   ） A．过定点 B．当时， C．当时， D．当时，的斜率不存在 【答案】ABD 【解析】对于A，直线的方程化为，令，解得， 所以直线过定点，正确； 对于B，当时，，，所以，正确； 对于C，当时，其斜率为2，其斜率为0，故两直线相交，错误； 对于D，当时，，直线的倾斜角为，故的斜率不存在，正确. 故选：ABD. 例18．（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）已知直线，直线．若，则实数的值为 ． 【答案】或 【解析】因为直线，直线，且， 所以，解得或. 故答案为：或. 例19．（2024·高二·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【解析】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 例20．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【解析】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故答案为：. 例21．（2024·高二·上海·阶段练习）设，若直线和直线平行，则 . 【答案】4 【解析】若直线和直线平行， 可得，解得， 则直线为，直线为， 显然两直线平行，故符合题意. 故答案为：4. 例22．（2024·高二·上海·期末）过点且平行于直线的直线方程为 . 【答案】 【解析】设与直线平行的直线方程为， 把点代入可得，解得， 故所求的直线的方程为， 故答案为：． 经典题型四：两直线的交点与距离问题 例23．（2024·高二·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为 ． 【答案】 【解析】当与平行或重合时，， 当与平行或重合时，，解得， 当与平行或重合时，，此时无解； 当三条直线经过同一点时，联立，解得， 故的取值所构成的集合为. 故答案为： 例24．（2024·高二·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【解析】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 例25．（2024·高二·北京房山·期末）已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 答案不唯一（只需写出中的一个即可） 【解析】解方程组，得，所以与的交点坐标为； 由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形， 只需经过，或与平行，或与平行. 当经过时，图1所示，，； 当与平行时，图2所示，，； 当与平行时，图3所示，，. 故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）. 图 1 图 2 图 3 例26．（2024·高二·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 例27．（2024·高二·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 例28．（2024·高二·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【解析】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 例29．（2024·高二·全国·课后作业）若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由两直线相交可得， 联立，解得； 所以两直线的交点坐标为； 又两直线交点在第一象限，所以，解得， 又直线l的倾斜角为，则，所以可得. 故答案为： 例30．（2024·高二·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，联立方程组可得交点的坐标为； 又因为点在第一象限，所以，解得. 即直线的斜率取值范围为，设其倾斜角为， 即，所以倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 例31．（2024·高二·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【解析】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 例32．（2024·高二·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【解析】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 例33．（2024·高二·全国·专题练习）已知点到直线的距离为1，则a的值为 . 【答案】 【解析】由题意知，解得. 故答案为： 例34．（2024·高二·福建福州·期中）若恰有两组的实数对满足关系式，则符合题意的的值为 . 【答案】/ 【解析】可以看成点到直线：的距离， 可以看成点到直线：的距离， 由已知可得，，：不过原点， 又由恰有两组的实数对满足关系式， 所以可以看成有且仅有两条直线满足，直线方程：， 所以满足题意的直线： 第一条是线段的垂直平分线，当：是的垂直平分线时， 因为，所以，符合题意； 第二条只能取自与直线平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点， 此时第二条直线的方程为， 所以此时，即，符合题意； 所以. 故答案为：. 例35．（2024·高二·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【解析】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 例36．（2024·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 经典题型五：线段和差最值问题 例37．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示， 设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 例38．（2024·高二·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【解析】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 例39．（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 【答案】. 【解析】由直线分别交轴和于点，可得， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，即，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 例40．（2024·高二·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知点，，P是x轴上的点，则的最小值等于 ． 【答案】 【解析】 如图，过点作轴的对称点，连接与轴的交点即为点， 此时有最小值. 又坐标为，所以. 故答案为：. 例41．（2024·高二·上海闵行·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【解析】原式为，即可看作是动点到定点的距离之和， 设关于轴的对称点为，连接交轴于 ，此时最小，且最小值为，故函数的值域为， 故答案为： 例42．（2024·高二·湖北孝感·开学考试）已知点，点P是直线上动点，则的最小值是 ． 【答案】13 【解析】作A点关于直线的对称点，如图所示， 易知， 故，此时与直线的交点为P点， 故的最小值是13． 故答案为：13 例43．（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）若直线l：x－2y＋8＝0上存在一点P到两点A（2，0），B（－2，－4）的距离之和最小，则点P的坐标为 ． 【答案】 【解析】设点A关于l：x－2y＋8＝0的对称点为A1（m，n）， 则，解得，故A1（－2，8）． 则直线A1B的方程为x＝－2． 如图所示： 当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，最小， 将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为． 故答案为： 例44．（2024·高二·福建龙岩·期中）已知直线，点为直线l上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】表示直线上的点到点和的距离和， 即, 设点关于直线的对称点为，则， 所以, 当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 经典题型六：直线与坐标轴围成的面积问题 例45．（2024·高二·天津静海·阶段练习）设直线l的方程为 (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. (3)若直线l交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程. 【解析】（1）当直线过原点时满足条件，此时,解得,化为. 当直线不过原点时，则直线斜率为-1，故,解得,可得直线的方程为:. 综上所述，直线的方程为或. （2）, ∵不经过第二象限,∴,解得. ∴实数的取值范围是. （3）令,解得,解得; 令,解得,解得或. 综上有. ∴ , 当且仅当时取等号. ∴(为坐标原点)面积的最小值是6，此时直线方程，即 例46．（2024·高二·湖北武汉·期末）已知直线方程为． (1)若直线的倾斜角为，求的值； (2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【解析】（1）由题意可得. （2）在直线的方程中，令可得，即点， 令可得，即点， 由已知可得，解得， 所以， ， 当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即. 例47．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期末）已知一条动直线， (1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标； (2)若直线l与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线l同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明：将直线方程变形为， 由，可得， 因此，直线恒过定点. （2）设点A的坐标为，若，则， 则、，直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 此时直线与轴的交点为，则，，， 此时的周长为. 所以，存在直线满足题意. 例48．（2024·高二·江苏·专题练习）已知直线l：． （1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 【解析】（1）由方程可知：时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，． 直线不经过第二象限，，解得 当时，直线变为满足题意． 综上可得：k的取值范围是； （2）由直线l的方程可得，． 由题意可得，解得． 当且仅当时取等号． 的最小值为4，此时直线l的方程为． 例49．（2024·高二·四川成都·期中）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 【答案】 【解析】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 则直线的方程为， 直线过点，， ， ， ，即， 当且仅当， 即 时取等号， 面积最小值为. 故答案为：. 例50．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 例51．（2024·高二·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 例52．（2024·高一·湖南长沙·期末）过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【解析】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为， 令，解得；令，解得. ， 化为，即①，②， 由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解. 因此直线共有2条. 故选：B. 经典题型七：点线对称、线点对称、线线对称问题 例53．（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程； (3)直线关于点对称的直线的方程． 【解析】（1）设，由得， 则，解得，故. （2）在直线上取一点，如，则关于直线的对称点必在上， 设对称点为，则，解得，即， 设与的交点为，则由，解得，即， 又经过点，故， 所以直线的方程为，即. （3）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 因为在直线上，所以， 即直线的方程为. 例54．（2024·高二·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【解析】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 例55．（2024·高二·江苏无锡·期中）已知直线，点. (1)已知直线与平行，求的值； (2)求点关于直线的对称点的坐标. 【解析】（1）由直线平行直线，可得，解得或， 当时，直线符合题意， 当时，直线与直线重合，不合题意， 所以的值为3. （2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为， 所以可得，解得， 所以的坐标为. 例56．（2024·高二·全国·课后作业）已知直线，，． （1）求直线关于直线的对称直线的方程； （2）求直线关于直线的对称直线的方程． 【解析】（1）因为，所以． 设直线的方程为（，且）． 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得， 即点的坐标为． 把点的坐标代入直线的方程，得，解得， 所以直线的方程为． （2）由，得， 所以与的交点坐标为． 另取上不同于A的一点， 设关于的对称点为， 则，得， 即点的坐标为． 所以过与的直线的方程为， 即． 例57．（2024·高二·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 【解析】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即． （2）设直线的方程为， 由点到直线l和直线的距离相等， 所以，解得， 所以直线的方程为． 例58．（2024·高二·全国·单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． (1)求直线的方程； (2)求直线：关于直线的对称直线的方程． 【解析】（1）选择条件： 因为点关于直线的对称点的坐标为， 所以是线段的垂直平分线，线段的中点坐标为． 因为， 所以直线的斜率为. 所以直线的方程为，即． 选择条件： 因为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． 选择条件， 因为，直线与直线平行， 所以直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，即． （2）联立方程组，解得， 故，的交点坐标为， 设关于：对称的点为. 则，解得. 因为在直线：上， 所以直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即， 所以：关于直线的对称直线的方程为． 经典题型八：距离新定义问题 例59．（2024·高二·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【解析】 由题意设，则，用分别用依次代入该方程，发现该方程不变， 所以曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 不妨设，此时即，它与坐标轴的两个交点坐标为， 它们的距离为， 所以由对称性得动点P的轨迹长度为. 故答案为：. 例60．（2024·高二·上海·期末）在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，若动点P满足，则点P的轨迹所围成图形的面积为 ． 【答案】/0.5 【解析】设，， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 当时，则，即， 联立，解得，同理可得其他点的坐标， 故点的轨迹所围成图形为正方形， 则 故答案为： 例61．（2024·高二·福建厦门·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于 .（保留3位小数）（参考数据：.） 【答案】 【解析】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 例62．（2024·高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【解析】其中①③的讨论见后文． ②设点Q是直线上一点，且，则．由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，此时的范围是，无最值．故P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为． 综上，①②③正确． 例63．（2024·高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“直角距离”，若到点，的“直角距离”相等，其中实数x，y满足，，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 . 【答案】 【解析】因为到点，的“直角距离”相等， 所以， 因为，， 所以当时，，该段轨迹的长度为1， 当时，，该段轨迹的长度为， 当时，，该段轨迹的长度为1， 所以点C的轨迹的长度之和为. 故答案为：. 例64．（2024·高二·上海闵行·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义两点、之间的“直角距离”为：，现有以下命题： ①若P、Q是x轴上的两点，则； ②已知，，则为定值； ③原点O与直线上任意一点P之间的直角距离的最小值为； ④若表示P、Q两点间的距离，那么． 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 【答案】①②③④ 【解析】若P、Q是x轴上的两点，则，故；故①正确； 已知，, 则为定值，故②正确； 设，则， 在上单调递减，在上单调递增，故当时，，故③正确 若表示、两点间的距离，那么， ， ， ，即， 则，故④正确； 故答案为：①②③④ 例65．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于B，设， 则， ， 所以， 所以点是的“好点”； 对于C，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于D，设， 则， 所以点不是的“好点”. 故选：B. 经典题型九：坐标法的应用 例66．（2024·高二·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知直线：和：， (1)求直线与的交点坐标； (2)过点作直线与直线，分别交于点A、B，且满足，求直线的方程． 【解析】（1）由，得，， 所以直线与的交点坐标为； （2）由可知，点是线段的中点， 在直线上任取一点， 所以点关于的对称点, 点在直线上， 把点代入 方程， ，解得 所以，， 即直线方程为：，即. 例67．（2024·高二·全国·课后作业）数学家欧拉在年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．在中，已知，，若其欧拉线的方程为．求： (1)外心的坐标； (2)重心的坐标； (3)垂心的坐标． 【解析】（1）中点为且，垂直平分线方程为：， 即， 由得：，即外心. （2）设，则重心， 将代入欧拉线得：，即…①； 由得：…②； 由①②得：或（与重合，不合题意）， ，重心. （3）由（2）知：；由（1）知：， 边的高所在直线方程为：，即； 由得：，垂心. 例68．（2024·高二·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 【解析】（1）由题， 可化为， 由于，令，可得， 所以，解得， 即直线 恒过定点． 所以直线 恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 由题意可知，恰为 的中点， 所以， 因为， 分别在直线 和直线 上， 所以， 解得 ，所以， 将代入直线方程，解得． 所以 的值为 . 例69．（2024·高二·上海静安·期末）如图，公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形土地，其中，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园． (1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为，求公路BC所在的直线方程． 【解析】（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系： ∵，∴直线AN的方程是．设点． ∵点P到直线AM的距离为3，∴． 由点P到直线AN的距离为，得，解得或(舍去)， ∴点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为，．令得． 由，解得． ∴． ∵，∴，解得． 故直线BC的方程为． 例70．（2024·高二·安徽安庆·期中）大家知道，等边三角形的重心(三条中线的交点)､外心(三条边的中垂线的交点)､垂心(三条高的交点)三点重合. （1）观察等腰直角三角形(如图)，若其重心是､外心为､垂心为，判断､､的位置关系以及线段和的长度之间的数量关系. （2）若是等腰三角形(如图)，且，，验证（1）的结论是否成立？若成立，请证明你的结论. 【解析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系， 设等腰直角三角形中，，所以有， 显然重心的坐标为：，外心的坐标为：，显然垂心与点重合，，，所以有， 因此､､三点共线，且； （2）建立如图所示的直角坐标系： 因为，，所以有， 显然重心的坐标为：，设， ， 由，即 且，解得，即， 设，因此有：，即，即， ，，所以有， 因此､､三点共线，且. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 例71．过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（    ） A． B．10 C．20 D． 【答案】C  【解析】 由可得：， 由可得，所以定点， 直线可化为， 由可得，所以定点， 当时，直线方程为，，此时两直线垂直， 当时，由两直线的斜率之积为，可知两直线垂直， 所以， 所以， 故选： 例72．已知直线的方程是，的方程是，则下列各图形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】   ，  直线  与直线  的斜率均存在． 对于A选项，根据直线  的图象可知  ，且  ，因此直线  的斜率应小于0，在 y 轴上的截距应小于0，故A选项不符合； 对于B选项，根据直线  的图象可知  ，且  ，因此直线  的斜率应大于0，在 y 轴上的截距应小于0，故B选项不符合； 对于C选项，根据直线  的图象可知  ，且  ，因此直线  的斜率应大于0，在 y 轴上的截距应大于0，故C选项不符合； 对于D选项，根据直线  的图象可知  ，且  ，因此直线  的斜率应大于0，在 y 轴上的截距应大于0，故D选项符合． 故选： 例73．已知直线l过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C  【解析】 ①当直线经过原点时，在两个轴上的截距都为0，符合题意， 此时直线方程为； ②当直线不经过原点时，设直线方程为， 代入，可得，则直线l的方程为， 综上，符合题意的直线为或 故选 例74．直线与直线平行，则 A．2 B．2或 C． D．或 【答案】B  【解析】 当  即  时， 两直线为  ，  ， 两直线不平行，不符合题意； 当即时， 直线的斜率为 ， 直线的斜率为 ， 因为两直线平行，所以 ， 解得或 ， 故选 例75．已知直线：与：垂直，则实数m的值为（    ） A．2或4 B．1或4 C．1或2 D．或2 【答案】D  【解析】 时，两条直线不垂直，舍去． 时，由， 可得：， 化为：， 解得或2，满足条件． 故选 ②转化与化归思想 例76．直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是 例77．经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 由得， 因为所求直线与直线垂直， 所以可设所求直线的方程为， 代入点，解得， 故所求直线的方程为 故选 例78．两平行直线与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 由直线取一点 ， 则两平行直线的距离等于A到直线的距离 故选 例79．已知直线：恒过点A，已知，动点P在直线：上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 由化简得， 所以， 如下图所示： 由图形可知，点A、B在直线的同侧， 且直线的斜率为1， 设点B关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性可知， 故选 例80．若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是  （    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 联立，解得， 把代入，得，， 点到原点的距离， 当且仅当，时取等号． 点到原点的距离的最小值为 故选 ③数形结合思想 例81．已知两点，，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B  【解析】 如下图示， 当直线l过A时，， 当直线l过B时，， 由图知：或 故选： 例82．如图，一束光线从出发，经过坐标轴反射两次经过点，则总路径长即总长为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C  【解析】 易知点关于y轴对称的点为， 点关于x轴对称的点为， 则 故选 例83．若直线l过点，不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D  【解析】 由直线l过点，且不过第四象限， 可知直线l的可能位置如图中阴影区域所示． 由图可知，当直线过点，时，斜率取到最大值，最大值 故选 例84．已知点，，直线与线段AB相交，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】易知直线经过定点，直线的斜率为，如图所示， ，若直线与线段AB相交，由图可知，或，解得或故选 例85．如图所示，已知，，，，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上不含端点，则直线FD的斜率的取值范围是．（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】  ，，， 直线BC方程为，直线AC方程为， 作F关于BC的对称点P，，， 再作P关于AC的对称点M，则， 连接MA，设ME交AC与点N，则直线ME方程为，， 连接PN、PA分别交BC为点G、H， 则直线PN方程为，直线PA方程为， ， 连接GF，HF，则G，H之间即为点D的变动范围． 直线FG方程为，直线FH的斜率为， 斜率的范围为， 故选 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！58 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$