3.3抛物线（八大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.3抛物线 知识点一 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 知识点二 抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点三 通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 题型一 抛物线的定义 1．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 2．已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（多选）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过点P作，相交于点Q，则线段FQ的垂直平分线（     ）． A．不经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 4．已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 . 5．已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 6．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为 . 题型二 抛物线的标准方程 7．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 8．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 9．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 12．若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为 13．抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则拋物线的焦点坐标为 ． 题型三 根据抛物线的方程求参数 14．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（    ） A． B． C． D． 15．设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 16．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 17．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（    ） A． B． C． D． 18．已知点F为抛物线：的焦点，点在上，且，则 ． 19．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 20．抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则 ． 题型四 抛物线的对称性 21．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 22．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 24．（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 25．已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ． 26．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 题型五 焦半径公式 27．点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 28．已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 29．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 30．（多选）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 31．若直线与抛物线和圆从左到右依次交于点，则 . 32．已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则 . 题型六 轨迹方程 33．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 34．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 35．在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 36．已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 37．已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 38．点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为 ． 39．已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 题型七 距离的最值问题 40．过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（    ） A．1 B．4 C． D．5 41．已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 43．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 44．抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 . 45．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 46．若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 题型八 实际应用 47．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 48．如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 49．（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 50．如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 . 51．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米． 52．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 m．（精确到0.01） 53．已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3抛物线 知识点一 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线． 注意： ①“”是抛物线的焦点到准线的距离，所以的值永远大于0； ②只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线方程才有标准形式． 知识点二 抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图象 性质 范围 对称轴 x轴 y轴 顶点 焦点 准线 离心率 知识点三 通径与焦半径 1．通径 过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 焦半径 题型一 抛物线的定义 1．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离， 即. 故选：B. 2．已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为5，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，而与P到准线的距离相等， 所以. 故选：C 3．（多选）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过点P作，相交于点Q，则线段FQ的垂直平分线（     ）． A．不经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 【答案】AB 【详解】 如图： 因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上， 根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点，故B正确； 由图可知：A正确，CD错误. 故选：AB 4．已知抛物线：，若上一点到焦点的距离为6，则的值为 . 【答案】6 【详解】抛物线：的焦点为，准线为， 过作于，则，解得 故答案为：6 5．已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ． 【答案】 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 6．已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为 . 【答案】2 【详解】依题意，抛物线上点到拋物线的准线的距离为， 所以到轴的距离为. 故答案为：2 题型二 抛物线的标准方程 7．已知抛物线的准线与圆相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】因为抛物线方程为，即，可知其准线为， 又因为圆，即，可知圆心为，半径， 由题意可得：，解得. 故选：C. 8．若抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】双曲线的右焦点为，所以抛物线的准线为， ，解得. 故选：D. 9．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设抛物线的标准方程为， 将点点代入，得，解得， 所以抛物线的标准方程是. 故选：B 10．已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点在抛物线 上，且， 可得，解得，即抛物线， 所以抛物线C的准线方程是. 故选：D. 11．（多选）以x轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意，若，则焦点为，故，所以，即； 若，则焦点为，故，所以，即； 综上，，则. 故选：AB 12．若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为 【答案】8 【详解】因为抛物线（）的焦点为， 且椭圆的右顶点为， 由题意可得：，解得． 故答案为：8. 13．抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则拋物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【详解】旋转后顶点到直线的距离为， 所以旋转后的抛物线的焦点到准线方程为8， 旋转前后焦点到其对应准线的距离不变，即，， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为： 题型三 根据抛物线的方程求参数 14．在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的外接圆与抛物线C的准线相切，所以的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，因为圆面积为，所以圆的半径为， 又因为圆心在OF的垂直平分线上，所以圆心的横坐标为， 则圆心到准线的距离为，解得， 在中，由正弦定理得，其中R是外接圆半径， 即，所以, 故选：D    15．设抛物线的焦点为，准线为是上一点，是与轴的交点，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】如图所示，作， 由抛物线定义可知，， 在中，， 则在抛物线上， 所以，即，则. 故选：D 16．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由抛物线C：可得，则准线方程为，于是，解得． 故选：B． 17．抛物线C：的焦点为F，P，R为C上位于F右侧的两点，若存在点Q使四边形PFRQ为正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设，不妨设，则，由抛物线的对称性及正方形的性质可得，解得（正数舍去），所以． 故选：A． 18．已知点F为抛物线：的焦点，点在上，且，则 ． 【答案】 【详解】依题意可得抛物线的焦点为，准线为， 又点在上，则，解得， 则抛物线的方程为， 所以，解得 故答案为：． 19．若抛物线的焦点到直线的距离为1，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】由抛物线可化为，可得其焦点为， 因为抛物线的焦点到直线的距离为，可得， 解得或（舍去），故实数的值为． 故答案为：. 20．抛物线的焦点为，且抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则 ． 【答案】 【详解】由，所以， 又在椭圆上，代入可得. 故答案为： 题型四 抛物线的对称性 21．设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：B. 22．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 23．在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据抛物线的对称性以及为线段的垂直平分线， 可得四边形为菱形， 又，可得， 故可设，代入抛物线方程可得，解得， 故， 故四边形的周长为：. 故选：D. 24．（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 25．已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线上，且，则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，且轴， 设，，则，可知， 所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为． 故答案为：. 26．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 题型五 焦半径公式 27．点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】设， 由，得，所以，准线方程为， 因为，所以为的重心， 所以，所以， 所以 ， 故选：C 28．已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则， 因为，则，得， 由抛物线定义得. 故选：D. 29．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以,即, 由得，即，则， 由焦半径公式可得. 故选：A. 30．（多选）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】AC 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 31．若直线与抛物线和圆从左到右依次交于点，则 . 【答案】22 【详解】抛物线的焦点即为，圆的半径为1， 设，由得， 所以，， 故. 故答案为：22. 32．已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；抛物线的焦点为，若直线分别与交于两点；且，则 . 【答案】 【详解】由抛物线，可得， 设， 则， 故，所以， 所以.      故答案为：；. 题型六 轨迹方程 33．若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 34．已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 35．在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 36．已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为 . 【答案】 【详解】设，动圆与圆外切且与直线相切，则有，化简得. 故曲线的方程为. 故答案为： 37．已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程 ； 【答案】 【详解】设外心为，且，，， 由点在的垂直平分线上知 由，得 故即点G的轨迹S为：， 故答案为：. 38．点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设，，则．由点E在y轴上，得，则，即．又，若，则，即．若，则，此时点P，B重合，直线PB不存在．所以点P的轨迹方程是． 故答案为：. 39．已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: .    题型七 距离的最值问题 40．过抛物线上的一点作圆：的切线，切点为，，则可能的取值是（    ） A．1 B．4 C． D．5 【答案】D 【详解】设，则，圆的圆心，半径 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，ABC不是，D是. 故选：D      41．已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 42．设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 所以， 因为 所以. 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为 故选：D 43．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】    由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 44．抛物线上的动点到直线的距离最短时，到的焦点距离为 . 【答案】2 【详解】设，则点到直线的距离为 , 当，即当时， 抛物线 上一点到直线的距离最短，P到C的焦点距离为. 故答案为：2． 45．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值是 ． 【答案】4 【详解】根据抛物线方程，可得，准线方程为， 作准线l，M为垂足，又知， 由抛物线的定义可得， 故当P，A，M三点共线时，取最大值， 最大值为． 故答案为：4.    46．若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】抛物线的焦点，准线，设， 则，解得，显然，不妨设， 关于直线的对称点为，则 因此，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型八 实际应用 47．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】 以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米）， 依题意可得抛物线的方程为． 因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为， 则，所以点到桥面的距离为米． 故选：A. 48．如图1，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等领域，具有结构简单､方向性强､工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为，若，则到该抛物线顶点的距离为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 则，即， 所以，解得（舍去）或，则到顶点的距离为3. 故选：B 49．（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【详解】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确； 故选：AD. 50．如图，是抛物线型拱桥，在平时水面离拱顶3米，水面宽米，由于连续降雨，水位上涨了1米，此时水面宽为 . 【答案】４米 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为，且， 由题意在抛物线上，则，，即抛物线方程为． 水面上升1米，到位置，即，，， ∴水面宽度为 故答案为：４米． 51．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米． 【答案】60 【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴， 和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则抛物线方程为，由题意可知， 代入可得， 即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米， 故答案为：60 52．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面宽EF的长度约为 m．（精确到0.01） 【答案】 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系． 设抛物线的标准方程为， 由题意可得，代入得，得， 故抛物线的标准方程为， 设，则， 则，， 所以截面图中水面宽的长度约为. 故答案为：. 53．已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1) (2)能 (3)3 【详解】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$