第05讲 有理数的乘方（3大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假新七年级数学衔接讲义（人教版）

第05讲 有理数的乘方（3大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 有理数四则混合运算 题型七 有理数四则混合运算的实际应用 题型八 程序流程图与有理数计算 题型九 含乘方的有理数混合运算 题型十 计算器--有理数 题型十一 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型十二 将用科学记数法表示的数变回原数 题型十三 求一个数的近似数 题型十四 指出一个近似数精确到哪一位 题型十五 由近似数推断真值范围 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）表示的意义是（    ） A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘 C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘 3．（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）－14表示的意义是 4．（22-23七年级上·河北保定·期末）在(－2)5中，底数是 ，指数是 ，表示的意义是 5．（2023七年级上·全国·专题练习）把下列各式写成幂的形式： （1）； （2）（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×5×5； （3）． 6．（22-23七年级上·福建三明·阶段练习）（1）计算下面两组算式： ①与；②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【典型例题二 有理数的乘方运算】 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）为任意整数，则下列四组数字都不可能是的末位数字的应是（    ） A．3，4，9，0 B．2，3，7，8 C．4，5，6，7 D．1，5，6，9 2．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）的值为 ． 4．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）计算：的值是 ． 5．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：． 6．（23-24六年级上·山东烟台·期中）已知与互为相反数，求的值． 【典型例题三 有理数乘方逆运算】 1．（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）一个数的平方为16，则这个数是（   ） A．4 B．-4 C．4或-4 D．8或-8 2．（22-23六年级下·全国·课后作业）若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知a和n都是正整数，且，则a可能取的值是 ． 4．（22-23七年级·全国·假期作业）如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝ ． 5．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 6．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【典型例题四 乘方运算的符号规律】 1．（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）已知a＝110，b＝（﹣2）6，c＝（﹣3）5，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 2．（22-23七年级上·湖南衡阳·阶段练习）联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23七年级上·广西南宁·期中）计算：的结果为 ． 4．（22-23七年级上·山东潍坊·期末）若，则 ． 5．（22-23七年级·全国·假期作业）如果|m﹣5|＋（n＋6）2＝0，求（m＋n）2020＋m3的值． 6．（22-23七年级上·河南漯河·期中）记a1＝﹣2，a2＝（﹣2）×（﹣2），a3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），……an＝n个-2相乘． （1）填空：a4＝　 　，a23是一个　　 （填“正”或“负”）； （2）计算：a5+a6； （3）请直接写出2020an+1010an+1的值． 【典型例题五 乘方的应用】 1．（23-24七年级上·河南南阳·期中）接近于（    ） A．一张纸的长度 B．一层住宅楼的高度 C．三层住宅楼的高 D．珠穆朗玛峰的高度 2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·广东佛山·期中）将一张毫米厚的白纸对折10次后，其厚度为 毫米（只要求列算式）． 4．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）我国平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，北京陆地面积约是，则在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 t煤所产生的能量． 5．（22-23六年级下·全国·课后作业）的个位数字是什么？ 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）某种球形病毒的直径约是0.01纳米，一个该种病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己完全相同的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人体就会感到不适．（1米纳米） （1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是多少纳米？ （2）从感染到第一个病毒开始，经过多少分钟，人体会感到不适？ 【典型例题六 有理数四则混合运算】 1．（23-24七年级上·山西大同·期末）在计算时，首先计算的应该是（） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）若使的运算结果最小，则□里应填入的符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 3．（23-24七年级上·贵州铜仁·期中）已知为有理数，定义运算符号为，则 ． 4．（23-24七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏的规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24或．现有1，8，10，四个数，则列出一个求“24点”的式子是 ． 5．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算下列各题： (1)． (2)． 6．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）计算与解释． 小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？__________（填写“正确”或“错误”）； (2)如有错误，他在第__________步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【典型例题七 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）已知水结成冰的温度是，酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低．要使这杯酒精冻结，需要（    ）分钟． A．86 B．78 C．70 D．8 2．（23-24七年级上·四川达州·期中）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形中，，，以点A为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点F，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·重庆垫江·期中）一商家进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润率为15%，则售价应为 元． 4．（23-24七年级上·广东珠海·期中）某地气象资料表明：高度每增加1000米，气温就下降大约，现在5000米高空的气温是，则海拔1000米某处A地的气温约是 ． 5．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）水果店运来24箱苹果，每箱12千克，水果店一共运来多少千克苹果？苹果每千克卖3元，一共能卖多少钱？ 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品放到网上直播销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出______斤； (2)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周七天一共收入多少元？ 【典型例题八 程序流程图与有理数计算】 1．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值，则输出的值是（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24七年级上·河北保定·期中）按照如图所示的程序进行计算，若输入的数是4，则输出的数是（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 4．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的y的值为 ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）小力在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加键，再输入b，得到运算：． （1）求的值； （2）小华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，可能是出现了什么情况？为什么？ 6．（22-23六年级上·全国·单元测试）根据下边的流程图回答下列问题： （1）输入后，得到的输出结果是____________． （2）如果输出的结果，请推测输入的数可能是哪些？并写出结果． 【典型例题九 含乘方的有理数混合运算】 1．（23-24七年级上·河南周口·期末）下列各式化简后结果最大的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广西贵港·期末）用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定，如，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 3．（23-24七年级上·山东济南·期中）新定义一种运算“”：，则的值为 ． 4．（23-24七年级上·广西贵港·期中）某种濒危动物的数量每年以的速度减少，年后该动物数量与现有数量之间的关系式是．如果该动物现有数量为8000只，那么3年后该动物还有 只． 5．（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题十 计算器--有理数】 1．（2023·山东东营·二模）用计算器计算，按键顺序是2，xy，3，＝，显示的结果是（    ） A． B．6 C．8 D．9 2．（2023·山东淄博·一模）用型号为“大雁牌”的计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D．（ 3．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算: . 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）若按键顺序是，则表示的运算式子是 ，计算出的结果是 . 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算（写出按键顺序）： （1）；    （2）． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： （1）；    （2）； （3）；    （4）． 【典型例题十一 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习）玉溪市位于云南省中部，是云南省第三大城市，常住人口约2224000人．将2224000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·三模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入“地月转移”轨道，由此开启世界首次“月背挖宝”之旅．该探测器近地点高度约200千米，远地点高度约38万千米．数据38万用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·二模）神舟五号飞船总重克，用科学记数法表示为 克． 4．（2024·山西晋城·二模）2024年3月22日，我国自主研制的全球最大、吊装能力最强，全球首款1桥轮式起重机，在河北衡水将单机容量的风机顺利吊装到位，完成首吊．本次吊装需要将120t的风力发电机组机舱，以及长、重28t的扇叶吊至的高空，相当于50多层楼高．数据“”用科学记数法表示为 kg． 5．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 6．（22-23八年级上·云南昆明·期中）已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是，外径D为，内径d为．每立方米钢的质量为，则25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是多少？（取，最后结果的数值用科学记数法表示） 【典型例题十二 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2023七年级下·江苏·专题练习）年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 2．（2023·河北衡水·二模）已知，下列关于值的叙述正确的是(   ) A．小于0 B．介于0与1两数之间，两数中比较接近0 C．介于0与1两数之间，两数中比较接近1 D．大于1 3．（22-23七年级上·江苏南京·期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为6.25×108，则原数中“0”的个数为 ． 4．（22-23八年级上·广西南宁·期末）月球距地球大约为千米，一架飞机的速度约为千米/时，如果乘坐此飞机从地球飞到月球，那么这架飞机要飞行 小时． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ (1) ；(2) ；(3) . 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）把下列用科学记数法表示的数还原成原数： （1）3.5×106；（2）1.20×105； （3）-9.3×104；（4）-2.34×108. 【典型例题十三 求一个数的近似数】 1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到） D．（精确到千分位） 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）圆周率，用四舍五入法将精确到百分位，得到的近似值为（    ） A．3.1 B．3.142 C．3.14 D．3.15 3．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）精确到万位 ． 4．（23-24七年级上·北京顺义·期末）用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为 ． 5．（22-23六年级上·全国·课后作业）将下列数精确到千分位． （1）3.141592； （2）﹣54.87949. 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值： （1）245.635（精确到0.1）；    （2）175.65（精确到个位）； （3）12.004（精确到百分位）；    （4）6.5378（精确到0.01）． 【典型例题十四 指出一个近似数精确到哪一位】 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）用四舍五入法取的近似数正确的是（    ） A．精确到的结果是 B．精确到的结果是 C．精确到百分位的结果是 D．精确到千分位的结果是 2．（2024七年级·全国·竞赛）下列说法正确的是（    ） A．近似数与精确度相同 B．近似数与8000的有效数字相同 C．近似数精确到百位，有3个有效数字1，8，0 D．近似数精确到百分位，有4个有效数字1，8，1，8 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对0.05019精确到千分位是 ． 4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）“神七飞天”实现了中国人的飞天梦并实现了中国第一次航天行走，中国人的第一次太空行走共进行了19分35秒．期间，宇航员翟志刚与飞船一起飞过了．属马的翟志刚，由此成为“走”得最快的中国人．请求出宇航员翟志刚此间的“行走”速度是 （结果保留一位有效数字）． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）38200；（2）0.040；（3）20.05000 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）今年某种汽车的销售目标定为772 000辆,与去年相比增长28.7%,对于772 000请按要求分别取这个数的近似数. (1)精确到千位;(2)精确到万位;(3)精确到十万位. 【典型例题十五 由近似数推断真值范围】 1．（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期中）近似数的准确值a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·湖北黄石·阶段练习）一个数由四舍五入得到的近似数是，这个数可能是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期中）若a的近似值为3.7，求a的取值范围 ． 4．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）在《神奇的》中提到：在公元前1700年，古埃及人使用的圆周率，如果我们把它精确到千分位则为 ；在公元263年，我国古代数学家刘徽通过“割圆术”求得，根据近似数的相关知识，这个数表示的范围是 ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）试比较近似数3.6和近似数3.60的精确范围的大小． 6．（22-23七年级上·浙江·课后作业）小张与小李的身高都约为1.7×102 cm，但小张说他比小李高9 cm，有这种可能吗？请举例说明． 【变式训练1 有理数幂的概念理解】 1．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）下列对于式子的说法， 错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 3．（23-24七年级上·广西钦州·期中）中，指数是 ． 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把写成乘方的形式是 ，底数是 ，指数是 ，读作 ． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各幂的底数与指数： （1）在()6中，底数是________，指数是________； （2）在a4中，底数是________，指数是________； （3）在(－6)4中，底数是________，指数是________ 【变式训练2 有理数的乘方运算】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）计算的结果是（    ） A．1 B． C．2024 D． 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习） ； ； . 4．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）已知 ， 若， 则 ； 若， 则 ； 5．（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 6．（23-24七年级上·内蒙古乌海·期末）我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【变式训练3 有理数乘方逆运算】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知，若，则的值（    ） A．86.2 B． C． D． 2．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 3．（22-23七年级上·全国·单元测试）立方得的数是 ． 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如果一个数的平方是，那么这个数是 ． 5．（22-23七年级·江苏·阶段练习）计算： （1）      （2） 6．（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知一个棱长为的立方体铁块． (1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为），则溢出水的体积为________． (2)将铁块恰好分割成16个棱长为的立方体与6个棱长为的立方体，求的值． 【变式训练4 乘方运算的符号规律】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若，那么下列哪种情形一定符合要求（    ） A．m为奇数 B．m为偶数且 C．m为奇数且 D．为偶数 3．（22-23七年级下·宁夏银川·期中）= ． 4．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n= ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式训练5 乘方的应用】 1．（2024·河南周口·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：若，则，则根据此规定， ． 4．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则 ． 5．（22-23六年级下·山东淄博·期中）请你用几何图形直观地解释． 6．（22-23七年级·全国·假期作业）当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去． (1)当对折3次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？ 【变式训练6 有理数四则混合运算】 1．（22-23七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知，则的值是（     ） A．－15 B．9 C．－3 D．无法确定 2．（2023·天津南开·二模）计算2–（–3）×4的结果是（   ） A．10 B．–20 C．–10 D．14 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义一种新的运算：，则 ． 4．（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B分别是正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为（网格中最小的正方形面积为1个平方单位），请观察图形并解答下列问题，则的值 ． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 6．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）下面是佳佳同学一道题的计算过程： (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是___________． (2)请给出正确的计算过程． 【变式训练7 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某项工作由甲单独做三小时完成，由乙单独做四小时完成，乙单独做了一小时后，甲乙合作完成剩下的工作，完成这项工作共用（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）小明妈妈买了一盒蛋黄酥（共计6枚），小明将蛋黄酥进行称重，情况如下表所示（单位：克，标准质量为100克/枚，超过部分记为正，不足部分记为负），则这盒蛋黄酥的实际重量是（    ） 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 A．596克 B．594克 C．593克 D．592克 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）2020年元旦是星期三，那么同年的国庆节是星期 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）旅游团共有50人，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间170元/间，二人间140元/间，单人间100元/间，该旅游团的住宿费最少是 元． 5．（22-23七年级上·山东济南·期中）某天气象员在山顶测得气温是，同时测得山脚是，已知这个地区高度每增加，气温大约下降，这座山峰的高度大约是多少米? 6．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； (3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【变式训练8 程序流程图与有理数计算】 1．（23-24七年级下·陕西·期中）如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ． 4．（22-23七年级上·海南海口·期中）已知为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为时，所输入的较大的数是 ．    5．（22-23七年级上·吉林长春·期中）定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 6．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为-2，求输出的y值． 【变式训练9 含乘方的有理数混合运算】 1．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）计算：的结果是（   ） A． B． C．1 D．7 2．（2024·山东聊城·一模）体重指数（）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重50千克，则小张的体重状况是（    ） 体重指数（）的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ． 4．（23-24七年级上·重庆南岸·阶段练习）数学课上，老师编制了一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是输入的有理数的平方与1的差的2倍，若输入，并将显示的结果再次输入，则这时显示的结果是 ． 5．（2024·广西·中考真题）计算： 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【变式训练10 计算器--有理数】 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）使用计算器进行计算，其按键顺序为：，则输出结果为(    ) A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果应为（   ） A．6 B．2 C．5.171 D．1.171 3．（23-24六年级上·山东烟台·期中）若用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算结果是 ． 4．（22-23六年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则输出结果应为 ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： （1）； （2）． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如6731）．用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数．对于新得到的四位数，重复上面的过程，又得到一个新的四位数．一直重复下去，你发现了什么？请借助计算器帮助你进行探索． 【变式训练11 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约本电子书籍，将用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·三模）年末，南京市常住人口为万人，将“万”用科学记数法表示为 ． 4．（2024·广东东莞·三模）“嫦娥六号”在月球背面缓缓伸出的小小国旗引发网友热议，而它的上一任，“嫦娥五号”带回的月球土壤让科学家推断出月球早在20亿年前死亡，20亿用科学记数法表示为 ． 5．（22-23八年级上·云南昆明·期中）已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是，外径D为，内径d为．每立方米钢的质量为，则25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是多少？（取，最后结果的数值用科学记数法表示） 6．（22-23七年级上·四川宜宾·阶段练习）根据测算，太阳能热水器每平方米集热面积平均每月所产生的能量相当于10千克煤燃烧所产生的能量．某新建居民小区共600户，开发商统一为每户安装一台2平方米集热面积的太阳能热水器．这个小区一年中所产生的太阳能能量大致相当于多少千克煤燃烧所产生的能量？（结果用科学记数法表示） 【变式训练12 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）实数1200用科学记数法表示为，则 表示的原数为（    ） A．1200000 B．120000 C．14400000 D．1440000 2．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级上·河北沧州·期中）156000000用科学记数法表示为 ，的原数是 4．（22-23六年级上·全国·单元测试）用科学记数法表示人体中约有的红细胞为个，不用科学记数法表示，原来的数据是 个． 5．（2020七年级上·全国·专题练习）把下列用科学记数法表示的数转化成原数.   （1）；  （2）；  （3）千米 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为； （2）人体中约有个红细胞； （3）全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【变式训练13 求一个数的近似数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）下列数据中，是近似数的是（    ） A．足球比赛开始时每方有11名球员 B．我国有31个省、直辖市、自治区 C．光明学校有856人 D．光的速度为米/秒 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）近似数有 个有效数字． 4．（22-23七年级上·广东·开学考试）有一个三位小数，用“四舍五入”法保留整数是3，保留一位小数是3.0，保留两位小数是3.00，这个小数各个数位上的和是25，这个三位小数是 ． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： (1)38063（精确到千位）； (2)（精确到百分位）： (3)（精确到）； (4)（精确到十分位）． 6．（2023七年级上·浙江·专题练习）某人买了一辆小轿车，他记录了连续七天中每天行驶的路程： 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程/千米 36 29 27 40 43 72 33 请你用学过的统计知识解决下面的问题： (1)此人的轿车每月（按30天计算）要行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升6.61元，请你算出此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是多少元（精确到百元）． 【变式训练14 指出一个近似数精确到哪一位】 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）近似数0.8和0.80所表示的意义（    ） A．相同 B．不同 C．无法比较 2．（22-23七年级上·山东济南·期中）下列说法正确的是（　　） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）近似数亿精确到 位 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）温州市苍南县在龙港独立建市后的常住人口为万人，由四舍五入得到的近似数万精确到 位． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）7.93；      （2）0.0405；      （3）25.9万；      （4）． 6．（20-23七年级上·全国·课后作业）按括号里的要求对下列各数取值 （1）0.9541（精确到十分位）； （2）2.5678（精确到千分位）； （3）14595（用科学记数法表示） （4）﹣30130978（用科学记数法表示）； （5）789532000（用科学记数法表示） 【变式训练15 由近似数推断真值范围】 1．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南周口·期中）近似数是由四舍五入得到的，那么（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一个三位小数保留两位小数约是5.43，这个三位小数的最大值与最小值的差是 ． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·期末） ． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）若k的近似值为4.3，求k的取值范围． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员质检错误？ 1．（23-24七年级下·山西运城·期中）计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）中底数是（　　） A．3 B．4 C． D． 3．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）下列数据中，是近似数的是（    ） A．足球比赛开始时每方有11名球员 B．我国有31个省、直辖市、自治区 C．光明学校有856人 D．光的速度为米/秒 4．（22-23七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 5．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，小李在某运动中，设定了每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，如3日，小李少于目标数500步，则从2日到5日这四天小李平均每天走（    ） A．8260步 B．8694步 C．8010步 D．8000步 6．（222-23七年级上·黑龙江·期中）一个数的平方等于64，则这个数为 ． 7．（222-23七年级上·浙江·期末）近似数精确到 位；1.30所表示的准确数x的取值范围是 ． 8．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数定义运算：，如，则的结果为 ． 9．（2024·广东佛山·二模）佛山市联合图书馆搭建由市中心馆、镇街分馆、邻里图书馆、智能图书馆、学校图书馆等多维公共图书馆服务体系，推动了城乡公共文化服务一体建设．截止2023年馆藏图书总量已超1625万册．“1625万”用科学记数法可表示为 ． 10．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个整数（每个数必须用一次且只能用一次，可以加括号）进行加减乘除四则运算，使运算结果为24，例如，整数1，2，3，4可列运算式子：现有整数，，，请运用上述规则，写出一种运算式子，使其结果等于24，运算式子为 11．（23-24八年级下·广西贵港·期中）计算： 12．（23-24八年级上·福建福州·期末）计算：． 13．（22-23七年级上·河南漯河·期中）记a1＝﹣2，a2＝（﹣2）×（﹣2），a3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），……an＝n个-2相乘． （1）填空：a4＝　 　，a23是一个　　 （填“正”或“负”）； （2）计算：a5+a6； （3）请直接写出2020an+1010an+1的值． 14．（22-23六年级上·全国·课后作业）某粮店有10袋小麦准备出售，称得质量如下（单位：千克）：182.3，178，177.7，183，183.2，182，182，176.8，177，180． （1）计算10袋小麦的总质量为多少千克？ （2）若每千克小麦的售价为2.6元，则这10袋小麦能卖多少元？（精确到1元） 15．（23-24七年级上·江西赣州·期末）赣州享有“世界橙乡”的美誉，中华名果赣南脐橙热销世界各地．刚大学毕业的小明把自家的脐橙产品放到了网上售卖，他原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出______． (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______． (3)若脐橙按5元出售，且小明需为买家支付运费（平均1元），则小明本周一共赚了多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘方（3大知识点+15大典例+变式训练+随堂检测） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 有理数四则混合运算 题型七 有理数四则混合运算的实际应用 题型八 程序流程图与有理数计算 题型九 含乘方的有理数混合运算 题型十 计算器--有理数 题型十一 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型十二 将用科学记数法表示的数变回原数 题型十三 求一个数的近似数 题型十四 指出一个近似数精确到哪一位 题型十五 由近似数推断真值范围 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 1．（23-24七年级上·湖南邵阳·阶段练习）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查幂的定义及乘法的区别，熟练掌握幂的定义是解题关键． 【详解】解：，， ， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期中）表示的意义是（    ） A．2个6相乘的相反数 B．6个2相乘 C．6个2相乘的相反数 D．6个相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握有理数的乘方的定义． 根据有理数乘方的定义解答可得． 【详解】解：表示的意义是6个2相乘的积的相反数， 故选：C． 3．（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）－14表示的意义是 【答案】1的4次方的相反数/1的4次幂的相反数 【分析】根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：表示1的4次方的相反数， 故答案为：1的4次方的相反数． 【点睛】本题考查了乘方的意义，理解有理数乘方的意义是解题的关键． 4．（22-23七年级上·河北保定·期末）在(－2)5中，底数是 ，指数是 ，表示的意义是 【答案】 -2 5 5个-2相乘 【分析】根据乘方的意义可得答案． 【详解】解：在(－2)5中，底数是－2，指数是5，表示的意义是5个-2相乘， 故答案为：−2，5，5个−2相乘． 【点睛】本题考查了乘方的意义．熟知底数是相同的因数，指数是相同因数的个数，幂表示相同因数的积是解题的关键． 5．（2023七年级上·全国·专题练习）把下列各式写成幂的形式： （1）； （2）（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×5×5； （3）． 【答案】（1）；（2）（－3.7）4×52；（3） 【分析】原式各项利用乘方的意义变形即可得到结果． 【详解】解：（1）； （2）（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×（－3.7）×5×5＝（－3.7）4×52； （3） 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 6．（22-23七年级上·福建三明·阶段练习）（1）计算下面两组算式： ①与；②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时， 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1） ①225，225,=;②36，36，=， （2） （3）见详解 （4）． 【分析】（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， ②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， （2）直接按（1）写结果即可， （3）利用乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为与乘积即可． （4）利用积的乘方的逆运算把，然后=，再简便运算即可． 【详解】（1）①=152=225， =9×25=225， =， ②=(-6)2=36， =4×9=36， =， （2） （3）． （4）=． 【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键． 【典型例题二 有理数的乘方运算】 1．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）为任意整数，则下列四组数字都不可能是的末位数字的应是（    ） A．3，4，9，0 B．2，3，7，8 C．4，5，6，7 D．1，5，6，9 【答案】B 【分析】分别计算0至9这10个数字的平方，观察其末位数字，从而得出结果． 此题考查了整数的乘方，由于a为任意实数，分析出计算0至9这10个数字的平方，是解题的关键． 【详解】，，，，，，，，，， ∴1个数的平方的末位数字可以是0， 1， 4， 5， 6， 9， ∴没有一个数的平方的末位数字能得到2，3，7，8， ∴a为任意整数，的末位数字不可能是2，3，7，8． 故选：B． 2．（23-24九年级下·山东德州·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可．本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 【详解】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为， 故的结果是， 故选A． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题 考查了有理数的乘方．熟练掌握有理数的乘方是解题的关键． 根据有理数的乘方计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的运算，原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后加减运算即可. 【详解】解： ； 6．（23-24六年级上·山东烟台·期中）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了相反数和绝对值得定义的应用能力，关键是能准确理解几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0； 根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0列出算式，求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】与互为相反数， ， ∴， 即：， ∴， ， ， 【典型例题三 有理数乘方逆运算】 1．（22-23七年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）一个数的平方为16，则这个数是（   ） A．4 B．-4 C．4或-4 D．8或-8 【答案】C 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得． 【详解】因为， 所以这个数是4或， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的运算法则是解题关键． 2．（22-23六年级下·全国·课后作业）若，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘方的逆运算即可得出结论． 【详解】解：若 ∴a=±b，故A、B、C不一定成立； ∴，故D正确 故选D． 【点睛】此题考查的是有理数的乘方逆运算，掌握有理数乘方的意义是解决此题的关键． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）已知a和n都是正整数，且，则a可能取的值是 ． 【答案】4或2或16 【分析】运用有理数乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，和都是正整数， ∴，或，或， ∴a=4，n=2或a=2，n=4或a=16，n=1， 故答案为：4或2或16． 【点睛】此题考查了乘方运算，解题的关键是熟记有理数乘方法则． 4．（22-23七年级·全国·假期作业）如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝ ． 【答案】3 【分析】根据规定可得3n＝5，9n＝m，从而得到m＝25，然后设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，再由33＝27，即可求解． 【详解】解：∵[3，5]＝n，[9，m]＝n， ∴3n＝5，9n＝m， ∴9n＝（3n）2＝52＝25， ∴m＝25，即m+2=27， 设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27， ∴33＝27， ∴[3，m+2]＝3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用，理解新规定是解题的关键． 5．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 6．（22-23七年级上·福建三明·期中）（1）计算下面两组算式： ①与；     ②与； （2）根据以上计算结果想开去：等于什么?（直接写出结果） （3）猜想与验证：当为正整数时，等于什么?请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）；（3）；理由见解析；（4） 【分析】（1）前式先乘法再平方，后式先平方再乘法，据此即可计算求值； （2）根据（1）的结果即可得到答案； （3）根据乘方的意义写成n个数相乘，利用交换律转化为和的乘积即可证明猜想； （4）利用乘方的逆运算进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ； ②， ； （2）； （3），理由如下： ； （4） ． 【点睛】本题考查了有理数乘法法则，乘方的意义，以及对师资普遍规律的猜想和验证，熟练运用乘方运算以及逆运算来简便运算是解题关键． 【典型例题四 乘方运算的符号规律】 1．（22-23六年级上·山东淄博·阶段练习）已知a＝110，b＝（﹣2）6，c＝（﹣3）5，则a，b，c的大小关系为（    ） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b 【答案】D 【分析】先根据有理数的乘方的运算化简，然后再比较大小即可． 【详解】解：∵a＝110＝1，b＝（﹣2）6＝26，c＝（﹣3）5＝﹣35， ∴c＜a＜b． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的运算，掌握有理数乘方运算的符号规律成为解答本题的关键． 2．（22-23七年级上·湖南衡阳·阶段练习）联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当时，，故不正确； ④当时，，故不正确． ∴正确的个数为2个 故选B． 【点睛】本题考查了是有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 3．（22-23七年级上·广西南宁·期中）计算：的结果为 ． 【答案】1 【分析】根据的偶次幂等于1，即可求得结果． 【详解】解：． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，掌握有理数乘方的定义及计算法则是解题的关键． 4．（22-23七年级上·山东潍坊·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方式的非负性求出x和y的值，再根据有理数的乘方运算得出结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，即，， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题考查绝对值和平方式的非负性，以及有理数的乘方运算，解题的关键是掌握这些知识点进行求解． 5．（22-23七年级·全国·假期作业）如果|m﹣5|＋（n＋6）2＝0，求（m＋n）2020＋m3的值． 【答案】126 【分析】根据绝对值和平方非负的性质求出m，n的值，代入所求的代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n满足|m﹣5|＋（n＋6）2＝0， ∴m﹣5＝0，n＋6＝0， 即：m＝5，n＝﹣6， ∴（m＋n）2020＋m3＝（5﹣6）2020＋53＝1＋125＝126． 【点睛】本题考查的非负数的性质，掌握绝对值和平方非负的性质，理解当这几个非负式子相加为0时，这个式子都为0是解题的关键． 6．（22-23七年级上·河南漯河·期中）记a1＝﹣2，a2＝（﹣2）×（﹣2），a3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），……an＝n个-2相乘． （1）填空：a4＝　 　，a23是一个　　 （填“正”或“负”）； （2）计算：a5+a6； （3）请直接写出2020an+1010an+1的值． 【答案】（1）16，负；（2）32；（3）0． 【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）利用规律计算即可； （3）对原式进行变形，得出与规律有关的式子，即可得出结果． 【详解】（1）根据规律可知：a4＝(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)＝16， a23是23个﹣2相乘，是负数； （2）由规律可总结出：， ； （3） = = = = = 【点睛】本题考查规律型：数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【典型例题五 乘方的应用】 1．（23-24七年级上·河南南阳·期中）接近于（    ） A．一张纸的长度 B．一层住宅楼的高度 C．三层住宅楼的高 D．珠穆朗玛峰的高度 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方的实际应用，对于生活常识的把握是解题的关键． 【详解】解：， 则它接近于一层住宅楼的高度， 故选：B． 2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，发现的末位数字按照，，，循环，用即可得出答案，根据题意找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，…， ∴， ∴的末位数字是， 故选：． 3．（22-23七年级上·广东佛山·期中）将一张毫米厚的白纸对折10次后，其厚度为 毫米（只要求列算式）． 【答案】 【分析】根据题中的折叠性质得出其厚度即可． 【详解】解：根据题意可得：（毫米）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 4．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）我国平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量，北京陆地面积约是，则在北京陆地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧 t煤所产生的能量． 【答案】 【分析】根据已知得出，计算即可． 【详解】解： 即一年内从太阳得到的能量相当于t的煤所产生的能量， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数乘方的应用，弄清题意是解本题的关键． 5．（22-23六年级下·全国·课后作业）的个位数字是什么？ 【答案】的个位数字是9 【分析】分别求出，即可找出个位数字的变化规律，从而得出结论． 【详解】解： ∴个位数字是7、9、3、1四个数字一循环 而2006÷4=501……2 ∴的个位数字是9 答：的个位数字是9． 【点睛】此题考查的是探索规律题，掌握乘方的意义和找出个位数字变化规律是解决此题的关键． 6．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）某种球形病毒的直径约是0.01纳米，一个该种病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己完全相同的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人体就会感到不适．（1米纳米） （1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是多少纳米？ （2）从感染到第一个病毒开始，经过多少分钟，人体会感到不适？ 【答案】（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米；（2）从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适． 【分析】（1）根据题意，每个病毒每分钟繁殖出9个病毒连同本身共10个病毒，然后根据有理数乘方的意义计算即可； （2）先将1分米转化为纳米，从而求出结论． 【详解】解：（1）由题意可知：经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是0.01×1×105=1000（纳米） 答：从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米； （2）1分米=米纳米 而÷（0.01×1）= ∴从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适 答：从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适． 【点睛】此题考查的是有理数乘方的应用，解题关键是理解每个病毒每分钟繁殖出9个病毒连同本身共10个病毒． 【典型例题六 有理数四则混合运算】 1．（23-24七年级上·山西大同·期末）在计算时，首先计算的应该是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键． 根据有理数的混合运算顺序可直接进行排除选项． 【详解】解：∵在计算时，首先计算的应该是， 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）若使的运算结果最小，则□里应填入的符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题目中的数字，将选项中的运算符号代入求值，即可解答本题，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】∵， 又∵， ∴的值最小， ∴□里应填的运算符号是×， 故选：C． 3．（23-24七年级上·贵州铜仁·期中）已知为有理数，定义运算符号为，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 根据．可以计算出所求式子的值． 【详解】解：∵， 故答案为：7． 4．（23-24七年级上·福建宁德·期中）“24点”游戏的规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24或．现有1，8，10，四个数，则列出一个求“24点”的式子是 ． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则列式即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：例如：，， 故答案为：（或等，答案不唯一）． 5．（23-24七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算下列各题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键； （1）按照从左往右的顺序计算，即可； （2）先算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）计算与解释． 小杨同学做一道计算题的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ 根据小杨同学的计算过程，回答下列问题： (1)他的计算过程是否正确？__________（填写“正确”或“错误”）； (2)如有错误，他在第__________步出错了（只填写序号），并请写出正确的解答过程． 【答案】(1)错误 (2)①；解答过程见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据小杨的解答过程，可知他的计算错误； （2）根据小杨的解答过程，可以发现他在第①步出错了，然后先算括号内的式子，再算乘除法，最后算加法即可解答本题． 【详解】（1）解：由小杨的解答过程可知，他的计算过程是错误的， 故答案为：错误； （2）解：由小杨的解答过程可知，他在第①步出错了， 正确解答过程： 解：原式 ． 故答案为：①． 【典型例题七 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）已知水结成冰的温度是，酒精冻结的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低．要使这杯酒精冻结，需要（    ）分钟． A．86 B．78 C．70 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 【详解】解：（分钟）， 故选：A． 2．（23-24七年级上·四川达州·期中）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形中，，，以点A为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点F，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，圆的面积，阴影部分的面积等于长方形的面积加上圆形的面积，再减去的面积． 【详解】解：由题意知，， 阴影部分的面积 ， 故选A． 3．（23-24七年级上·重庆垫江·期中）一商家进了一批商品，进价为每件800元，如果要保持销售利润率为15%，则售价应为 元． 【答案】920 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意找出数量关系，列出算式求解即可． 【详解】解：根据题意可得： （元）， 故答案为：920． 4．（23-24七年级上·广东珠海·期中）某地气象资料表明：高度每增加1000米，气温就下降大约，现在5000米高空的气温是，则海拔1000米某处A地的气温约是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解该地区高度每增加1000米，气温就下降大约这一条件． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为：1． 5．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）水果店运来24箱苹果，每箱12千克，水果店一共运来多少千克苹果？苹果每千克卖3元，一共能卖多少钱？ 【答案】共运来288千克，买864元 【分析】根据“总质量每箱质量数量，总价钱总质量单价”列式计算即可得到答案； 本题主要考查有理数的乘法，熟知总价、数量、单价之间的关系是解题关键． 【详解】总质量为： (千克)， 一共能卖 (元)， 答：水果店一共运来288千克水果，一共能卖864元． 6．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品放到网上直播销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出______斤； (2)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周七天一共收入多少元？ 【答案】(1)296 (2)小明本周一共收入3585元 【分析】此题考查正数和负数的应用问题，以及有理数的混合运算，解此题的关键是读懂题意，找出关系，然后列式计算． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将总数量乘以价格差，即可得到答案． 【详解】（1）解：（斤）， 故答案为：； （2）解：（元）． 答：小明本周一共收入3585元． 【典型例题八 程序流程图与有理数计算】 1．（23-24七年级上·江西景德镇·期中）按如图所示的程序计算，若开始输入的值，则输出的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值．理解程序流程图的运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 2．（23-24七年级上·河北保定·期中）按照如图所示的程序进行计算，若输入的数是4，则输出的数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是程序框图与含乘方的有理数的混合运算，理解题意，准确的计算是解本题的关键；本题先把代入计算可得结果为1，再把1代入再计算即可得到输出的数． 【详解】解：输入的数是4，则输出的数是： ， ∴ ， ∴输出的是， 故选C 3．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）根据如图所示的程序计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算．根据程序的计算顺序将x的值代入就可以计算出y的值．如果计算的结果，则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出y的值． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：， ∴应该按照计算程序继续计算，， ∴． 故答案为：． 4．（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）根据如图所示的流程图计算，若输入x的值为，则输出的y的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查流程图与有理数运算．根据流程图列出算式进行计算即可． 【详解】解：输入时：， 继续输入：，输出； 故答案为：4． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）小力在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加键，再输入b，得到运算：． （1）求的值； （2）小华在运用此程序计算时，屏幕显示“该程序无法操作”，你猜小华在输入数据时，可能是出现了什么情况？为什么？ 【答案】（1）；（2）有两种可能：输入或者；理由见解析． 【分析】（1）把-2当作a，当作b，代入运算程序中计算； （2）由于程序中有分数，分母不能为0；程序中有除法，除数不能为0，围绕这两方面找原因． 【详解】解：（1）原式 ． （2）由于程序中有分数，而分母不能为0，即当时程序无法操作；程序中含有的项，且为除数，而除数不能为0，即当时程序无法操作，所以有两种可能：输入或者． 【点睛】本题是信息题，把-2当作a，当作b，代入运算程序中进行计算．同时考查了有理数的混合运算，利用了分母和除数不能为0求第二小题． 6．（22-23六年级上·全国·单元测试）根据下边的流程图回答下列问题： （1）输入后，得到的输出结果是____________． （2）如果输出的结果，请推测输入的数可能是哪些？并写出结果． 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据流程图直接进行列式求解即可； （2）根据题意分两种情况：一是大于输出的结果，二是小于或等于输出的结果，然后分别求解即可． 【详解】解：（1）由流程图可得： ， ， ； 故答案为； （2）①当输出的结果是由大于计算而得的，则有： ； ②当输出的结果是由小于或等于计算而得的，则有： ； 答：输入的数可能是或． 【点睛】本题主要考查分数的混合运算，熟练掌握分数的混合运算是解题的关键． 【典型例题九 含乘方的有理数混合运算】 1．（23-24七年级上·河南周口·期末）下列各式化简后结果最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据有理数的混合运算，逐项计算，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ∵， ∴各式化简后结果最大的是． 故选：C 2．（23-24七年级上·广西贵港·期末）用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定，如，则的值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解新定义是解答本题的关键．根据新定义转化为有理数的混合运算计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 3．（23-24七年级上·山东济南·期中）新定义一种运算“”：，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算，根据题意正确理解新的新的运算法则是解题关键．根据题干中的新运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 4．（23-24七年级上·广西贵港·期中）某种濒危动物的数量每年以的速度减少，年后该动物数量与现有数量之间的关系式是．如果该动物现有数量为8000只，那么3年后该动物还有 只． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算的实际应用，根据题意把对应的数字代入公式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·广西南宁·期中）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （3）利用乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典型例题十 计算器--有理数】 1．（2023·山东东营·二模）用计算器计算，按键顺序是2，xy，3，＝，显示的结果是（    ） A． B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据按键顺序列式为：23，再根据乘方法则计算即可. 【详解】解：由题意得：23=8． 故选：C． 【点睛】本题考查了计算器-有理数的乘方的应用，关键是考查学生的理解能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 2．（2023·山东淄博·一模）用型号为“大雁牌”的计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D．（ 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出正确的按键顺序，从而可以解答本题． 【详解】解：用型号为“大雁DY-570”的计算器计算（-2）10，按键顺序是：（、（-）、2、）、yx、1、0， 故选：D． 【点睛】本题考查计算器，解答本题的关键是明确计算器的按键顺序． 3．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算: . 【答案】608914.7281 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器；注意乘方的输入法． 【详解】将算式的数字、运算符号依次输入计算器，然后按等号． 得608914.7281 故答案为608914.7281 【点睛】此题考查计算器—有理数，解题关键在于熟练运用计算器. 4．（22-23七年级上·全国·课后作业）若按键顺序是，则表示的运算式子是 ，计算出的结果是 . 【答案】 -124 【分析】根据计算器上各个键的功能和基本应用，即可得出答案． 【详解】按照计算器的基本应用表示的运算式子是： ； 计算出的结果是-124； 【点睛】此题考查计算器—有理数，解题关键在于熟练运用计算器. 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算（写出按键顺序）： （1）；    （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据计算器运算程序按顺序键入即可； （2）根据计算器运算程序按顺序键入即可． 【详解】解：（1）按键的顺序为： 计算器显示的结果为． 则； （2）按键的顺序为： 计算器显示的结果为． 则． 【点睛】本题考查用计算器计算算式，要熟悉计算器使用方法是解题关键． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： （1）；    （2）； （3）；    （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据有理数的计算法则用计算器求解即可； （2）根据有理数的计算法则用计算器求解即可； （3）根据有理数的计算法则用计算器求解即可； （4）根据有理数的计算法则用计算器求解即可． 【详解】解：（1），两种型号计算器的按键顺序为 显示器显示的结果为，所以； （2），两种型号计算器的按键顺序为 显示器显示的结果为，所以； （3），两种型号计算器的按键顺序为 显示器显示的果为，所以； （4），两种型号计算器的按键顺序为 A型计算器显示的结果为，B型计算器显示的结果为，所以． 【点睛】本题主要考擦了计算器的使用，解题的关键在于能够熟练掌握计算器的相关按键的功能． 【典型例题十一 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（23-24九年级下·云南玉溪·阶段练习）玉溪市位于云南省中部，是云南省第三大城市，常住人口约2224000人．将2224000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．（2024·广东深圳·三模）2024年5月3日，嫦娥六号探测器准确进入“地月转移”轨道，由此开启世界首次“月背挖宝”之旅．该探测器近地点高度约200千米，远地点高度约38万千米．数据38万用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：38万， 故选：C 3．（2024·广东广州·二模）神舟五号飞船总重克，用科学记数法表示为 克． 【答案】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：依题意，将克用科学记数法表示为克． 故答案为： 4．（2024·山西晋城·二模）2024年3月22日，我国自主研制的全球最大、吊装能力最强，全球首款1桥轮式起重机，在河北衡水将单机容量的风机顺利吊装到位，完成首吊．本次吊装需要将120t的风力发电机组机舱，以及长、重28t的扇叶吊至的高空，相当于50多层楼高．数据“”用科学记数法表示为 kg． 【答案】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 【详解】解：依题意， ， ∴将数据用科学记数法表示为 故答案为：． 5．（22-23七年级下·江苏苏州·阶段练习）“神威·太湖之光”超级计算机运算速度达每秒次，它工作可进行多少次运算？（结果用科学记数法表示） 【答案】它工作可进行次运算 【分析】先将化为，再进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：， （次）， 答：它工作可进行次运算． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 6．（22-23八年级上·云南昆明·期中）已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是，外径D为，内径d为．每立方米钢的质量为，则25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是多少？（取，最后结果的数值用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先根据体积=底面积×高，求出每台的体积，再求出25台的总质量即可． 【详解】解：每台体积： 25台的总质量：． 答：25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是． 【点睛】本题主要考查了求圆柱体的体积，科学记数法，解题的关键是熟练掌握相关体积公式和科学记数法的表示形式． 【典型例题十二 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2023七年级下·江苏·专题练习）年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】C 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 2．（2023·河北衡水·二模）已知，下列关于值的叙述正确的是(   ) A．小于0 B．介于0与1两数之间，两数中比较接近0 C．介于0与1两数之间，两数中比较接近1 D．大于1 【答案】B 【详解】， ，且比较接近0． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义，正确的移动小数点位数是解答本题的关键． 3．（22-23七年级上·江苏南京·期末）一个整数6250…0用科学记数法表示为6.25×108，则原数中“0”的个数为 ． 【答案】6 【分析】根据科学计算法还原这个数，进而即可求得则原数中“0”的个数 【详解】解：用科学记数法表示为6.25×108的原数为625000000， 所以原数中“0”的个数为6， 故答案是：6． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4．（22-23八年级上·广西南宁·期末）月球距地球大约为千米，一架飞机的速度约为千米/时，如果乘坐此飞机从地球飞到月球，那么这架飞机要飞行 小时． 【答案】/ 【分析】将科学计算法还原成整数，再根据时间等于路程除以速度即可求得答案 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ (1) ；(2) ；(3) . 【答案】(1)1000000；(2) 3200000；(3)-68000000. 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：(1) =1000000； (2) =3200000； (3) =--68000000. 【点睛】本题考查了写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）把下列用科学记数法表示的数还原成原数： （1）3.5×106；（2）1.20×105； （3）-9.3×104；（4）-2.34×108. 【答案】（1）3 500 000.（2）120 000.（3）-93 000.（4）-234 000 000. 【分析】将科学记数法表示的数“还原”成通常表示的数，就是把小数点向右移动所得到的数，移动几位要看10的指数，指数是几就向右移动几位． 【详解】（1）3.5×106 =3 500 000； （2）1.20×105 =120 000； （3）-9.3×104 =-93 000； （4）-2.34×108 =-234 000 000． 【典型例题十三 求一个数的近似数】 1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到） D．（精确到千分位） 【答案】D 【分析】本题考查的是近似数与精确度的问题，掌握按四舍五入的方法取近似数是解题的关键．分别按照各选项的要求按四舍五入的方法取近似数即可得到答案． 【详解】解：A．把精确到为：，正确，不符合题意； B．把精确到百分位为：，B正确，不符合题意； C．把精确到为：，C正确，不符合题意； D．把精确到千分位为：，D错误，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）圆周率，用四舍五入法将精确到百分位，得到的近似值为（    ） A．3.1 B．3.142 C．3.14 D．3.15 【答案】C 【分析】本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．根据四舍五入法可以将题目中的数据精确到百分位． 【详解】解：（精确到百分位）， 故选：C 3．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）精确到万位 ． 【答案】万                    【分析】本题考查求精确到哪位的数字，根据精确到哪位在哪位的后一位四舍五入即可得到答案； 【详解】解：精确到万位是：万， 故：答案为：万． 4．（23-24七年级上·北京顺义·期末）用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到的结果为， 故答案为：． 5．（22-23六年级上·全国·课后作业）将下列数精确到千分位． （1）3.141592； （2）﹣54.87949. 【答案】（1）3.142；（2）﹣54.880 【详解】【分析】（1）运用“四舍五入”法取近似值：要看精确到哪一位，从它的下一位运用“四舍五入”取值； （2）运用“四舍五入”法取近似值：要看精确到哪一位，从它的下一位运用“四舍五入”取值． （1）3.141592精确到千分位为3.142； （2）﹣54.87949精确到千分位为﹣54.880． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值： （1）245.635（精确到0.1）；    （2）175.65（精确到个位）； （3）12.004（精确到百分位）；    （4）6.5378（精确到0.01）． 【答案】（1）245.6；（2）176；（3）12.00；（4）6.54． 【分析】（1）精确到0.1，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可； （4）精确到0.01，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 【点睛】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． 【典型例题十四 指出一个近似数精确到哪一位】 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）用四舍五入法取的近似数正确的是（    ） A．精确到的结果是 B．精确到的结果是 C．精确到百分位的结果是 D．精确到千分位的结果是 【答案】B 【分析】本题主要考查了近似数的精确度和有效数字等知识点，掌握近似数的确定方法（①精确到多少位或者精确到小数点后第几位；②保留几个有效数字.确定有效数字时，要注意两点：一是从左边第一个不是零的数字起；二是到精确到的数位止，所有的数字，都是这个数的有效数字）是解题的关键． 根据近似数的确定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 精确到的结果是，故该选项错误，不符合题意；     B. 精确到的结果是，故该选项正确，符合题意；     C. 精确到百分位的结果是，故该选项错误，不符合题意；     D. 精确到千分位的结果是，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 2．（2024七年级·全国·竞赛）下列说法正确的是（    ） A．近似数与精确度相同 B．近似数与8000的有效数字相同 C．近似数精确到百位，有3个有效数字1，8，0 D．近似数精确到百分位，有4个有效数字1，8，1，8 【答案】C 【分析】本题考查精确数位和有效数字．根据题意逐一对选项进行分析即可． 【详解】解：∵精确到十分位，精确到百分位，A不正确； ∵有1个有效数字，8000有4个有效数字，B不正确； ∵有5个有效数字，D不正确， 故选：C． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）用四舍五入法对0.05019精确到千分位是 ． 【答案】 【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断； 【详解】解：（精确到千分位） 故答案为：； 【点睛】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 4．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）“神七飞天”实现了中国人的飞天梦并实现了中国第一次航天行走，中国人的第一次太空行走共进行了19分35秒．期间，宇航员翟志刚与飞船一起飞过了．属马的翟志刚，由此成为“走”得最快的中国人．请求出宇航员翟志刚此间的“行走”速度是 （结果保留一位有效数字）． 【答案】 【分析】根据速度路程时间即可得到答案． 【详解】解：19分35秒， 由于速度路程时间， 速度． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查速度的计算，熟练掌握速度路程时间是解题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）38200；（2）0.040；（3）20.05000 【答案】（1）个位；（2）千分位；（3）十万分位 【分析】根据近似数的特点即可求解． 【详解】（1）38 200精确到个位； （2）0.040精确到千分位； （3）20.05000精确到十万分位． 【点睛】此题主要考查近似数，解题的关键是熟知近似数的性质特点． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）今年某种汽车的销售目标定为772 000辆,与去年相比增长28.7%,对于772 000请按要求分别取这个数的近似数. (1)精确到千位;(2)精确到万位;(3)精确到十万位. 【答案】(1)7.72×105.(2)7.7×105.(3)8×105. 【详解】试题分析：（1）精确到千位，看百位，（2）精确到万位，就看千位，（3）精确到十万位，就看万位. 试题解析： 解:(1) 772 0007.72×105. (2) 772 0007.7×105. (3) 772 0008×105. 【典型例题十五 由近似数推断真值范围】 1．（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期中）近似数的准确值a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四舍五入法，可以得到似数的准确值a的取值范围． 【详解】解：近似数的准确值a的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查近似数与按照四舍五入的方法取近似数，解答本题的关键是明确近似数的精确度的含义． 2．（22-23七年级上·湖北黄石·阶段练习）一个数由四舍五入得到的近似数是，这个数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四舍五入法的方法，精确到哪一位，就要对保留的数位的后一位的数就行四舍五入． 【详解】A.按照四舍五入法精确到百分位是，故此选项不合题意； B.按照四舍五入法精确到百分位是，故此选项不合题意； C.按照四舍五入法精确到百分位是，故此选项不合题意； D.按照四舍五入法精确到百分位是，故此选项符合题意； 故答案为：D． 【点睛】此题考查的是近似数，熟练掌握求近似数的方法是解决本题的关键． 3．（22-23七年级上·黑龙江鸡西·期中）若a的近似值为3.7，求a的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据四舍五入的特点即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了近似数，解题的关键是熟知四舍五入的概念． 4．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）在《神奇的》中提到：在公元前1700年，古埃及人使用的圆周率，如果我们把它精确到千分位则为 ；在公元263年，我国古代数学家刘徽通过“割圆术”求得，根据近似数的相关知识，这个数表示的范围是 ． 【答案】 3.160 3.14155≤π＜3.14165 【分析】利用近似数的知识结合四舍五入法解答即可. 【详解】解：把精确到千分位则为：3.160， 由于，则表示的范围是：3.14155≤π＜3.14165. 故答案为：3.160；3.14155≤π＜3.14165. 【点睛】本题考查了近似数，掌握近似数的概念是解题的关键. 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）试比较近似数3.6和近似数3.60的精确范围的大小． 【答案】近似数3.6的准确值应介于3.55与3.64之间，它是四舍五入精确到0.1得到的近似数；近似数3.60的准确值应介于3.595与3.604之间，它是四舍五入精确到0.01得到的近似数． 【分析】3.60=3.6，但两者的精确范围不一样，近似数3.60表示精确到百分之一，近似数3.6的准确值在3.55到3.64之间． 【详解】解：近似数3.6的准确值应介于3.55与3.64之间，它是四舍五入精确得到的近似数；近似数3.60的准确值应介于3.595与3.604之间，它是四舍五入精确到0.01得到的近似数． 【点睛】本题考查数的精确度的知识，保留整数精确度为1，一位小数表示精确到十分之一，两位小数表示精确到百分之一，依次类推． 6．（22-23七年级上·浙江·课后作业）小张与小李的身高都约为1.7×102 cm，但小张说他比小李高9 cm，有这种可能吗？请举例说明． 【答案】有可能 【分析】根据近似数的确定方法可知小张身高可以为174cm，小李身高可以为165cm，此时小张比小李高9cm. 【详解】解：有可能，小张身高为1.74×102 cm，小李身高为1.65×102 cm时，小张比小李高9 cm 【点睛】本题主要考查了用四舍五入法求近似数的方法，取近似数的时(即精确到哪一位)，只需对下一位的数字四舍五入. 【变式训练1 有理数幂的概念理解】 1．（23-24九年级下·湖南长沙·开学考试）下列对于式子的说法， 错误的是（    ） A．指数是2 B．底数是 C．幂为 D．表示2个相乘 【答案】C 【分析】本题考查有理数幂的概念，根据有理数幂的概念进行判断即可． 【详解】解：， 对于，底数是，指数是2，表示2个相乘，幂为16； 故错误的是C； 故选C． 2．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 3．（23-24七年级上·广西钦州·期中）中，指数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，据此作答即可． 【详解】解：依题意，中，指数是3， 故答案为：3 4．（23-24七年级上·全国·课堂例题）把写成乘方的形式是 ，底数是 ，指数是 ，读作 ． 【答案】 5 的5次方的相反数 【分析】根据有理数幂的概念进行作答即可． 【详解】解：由题意知，写成乘方的形式是，底数是，指数是5，读作的5次方的相反数， 故答案为：，，5， 的5次方的相反数． 【点睛】本题考查了有理数的幂的概念．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 5．（24-25七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出下列各幂的底数与指数： （1）在()6中，底数是________，指数是________； （2）在a4中，底数是________，指数是________； （3）在(－6)4中，底数是________，指数是________ 【答案】（1）；6；（2）a；4；（3）-6；4 【分析】（1）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论； （2）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论； （3）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论． 【详解】解：（1）在()6中，底数是，指数是6； 故答案为：；6； （2）在a4中，底数是a，指数是4； 故答案为：a；4； （3）在(－6)4中，底数是-6，指数是4 故答案为：-6；4． 【点睛】此题考查的是有理数乘方的相关概念，掌握底数的定义和指数的定义是解决此题的关键． 【变式训练2 有理数的乘方运算】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，熟知有理数的乘方计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·浙江·模拟预测）计算的结果是（    ） A．1 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 3．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习） ； ； . 【答案】 1 9 【分析】本题考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：；；． 故答案为：1；9；． 4．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）已知 ， 若， 则 ； 若， 则 ； 【答案】 2 【分析】本题考查了有理数乘方的运算，根据作答即可． 【详解】解：， ， 若， 则； 若， 则； 故答案为：2，． 5．（23-24七年级上·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后相加即可得到结果，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 6．（23-24七年级上·内蒙古乌海·期末）我们已经学习过“乘方”运算，下面给同学们介绍一种新的运算，即对数运算．定义：如果)，则b叫做以a为底N的对数，记作，例如：因为，所以；因为，所以. (1)填空：_______，______； (2)如果，求m的值． 【答案】(1)1，3 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方； （1）根据有理数的乘方和对数的定义求解即可； （2）根据结合对数的定义可得，进而可求m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：1，3； （2）∵，而， ∴， ∴． 【变式训练3 有理数乘方逆运算】 1．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知，若，则的值（    ） A．86.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x的值． 【详解】解：∵，， ∴， 则． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键． 2．（22-23七年级上·广东东莞·期中），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 3．（22-23七年级上·全国·单元测试）立方得的数是 ． 【答案】 【分析】根据立方的定义即可求解． 【详解】解：， 即的立方等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方；掌握立方的定义是解题的关键． 4．（22-23七年级下·上海杨浦·期末）如果一个数的平方是，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：， 这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算，本题属于基础题型． 5．（22-23七年级·江苏·阶段练习）计算： （1）      （2） 【答案】(1)-1；（2）5． 【分析】有理数混合运算，按运算顺序进行计算，先乘方，再乘除把除法转化为乘法计算，最后加减，有括号先算括号内的，同级运算从左向右即可． 【详解】 （1）， = ， =， =-8+9-2， =-1． （2）， =-1-1×3×[4-6]， =-1+6， =5． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则，会按法则进运算，会求倒数，会把除法转化为乘法计算是解题关键． 6．（22-23七年级上·浙江温州·期中）已知一个棱长为的立方体铁块． (1)如图，把铁块放入装满水的圆柱形杯子中（杯子底面直径和高度均为），则溢出水的体积为________． (2)将铁块恰好分割成16个棱长为的立方体与6个棱长为的立方体，求的值． 【答案】(1)512 (2) 【分析】（1）求出铁块的体积即可得出排开水的体积； （2）用铁块的体积减去16个棱长为的立方体的体积，得出6个棱长为的立方体的体积和，再求出一个立方体的体积，即可得出答案． 【详解】（1）解：溢出水的体积为：， 故答案为：512． （2）解：棱长为的立方体的体积为： ， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考出乘方的应用，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则． 【变式训练4 乘方运算的符号规律】 1．（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 2．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若，那么下列哪种情形一定符合要求（    ） A．m为奇数 B．m为偶数且 C．m为奇数且 D．为偶数 【答案】D 【分析】根据任何非零数的偶数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：因为， 所以 所以， 所以m是偶数， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的幂运算，熟练掌握任何非零数的偶数次幂都是正数，负数的奇次幂是负数是解题的关键． 3．（22-23七年级下·宁夏银川·期中）= ． 【答案】 【分析】根据乘方去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了乘方，注意和的区别． 4．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）n是正整数，则（-2）2n+1+2×（-2）2n= ． 【答案】0 【分析】先根据有理数的乘方进行计算，然后再合并即可． 【详解】解：（-2）2n+1+2×（-2）2n =-22n+1+22n+1 =0． 故答案为：0 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，掌握负数的偶次方为正、奇次方为负是解答本题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，然后求解即可； （2）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，为奇数，然后求解即可； 【详解】解：，则为偶数，为奇数 （1）， （2），， 【点睛】此题考查了有理数乘方的有关性质，解题的关键是根据题意判定出为偶数，为奇数． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正； （2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负； （3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负； （4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【变式训练5 乘方的应用】 1．（2024·河南周口·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据乘方的意义和乘法的意义，根据个3相乘为，个5相加为，即可得出结果为． 【详解】解：个3相乘为，个5相加为， ， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）一张纸的厚度大约为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ） A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 【答案】D 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次操作后纸张的厚度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次操作后的厚度为：； 第2次操作后的厚度为：； 第3次操作后的厚度为：； ， 所以第次操作后的厚度为：； 当时， ， 所以第10次操作后的厚度最接近于一支中性笔的长度． 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）规定：若，则，则根据此规定， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，根据题意直接计算即可求解．理解新定义结合有理数乘方运算法则计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ； 故答案为：． 4．（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是下部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，受此启发，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用；根据题意可以写出前几部分的面积，从而可以发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面积和部分⑥的面积相等，进而即可求解． 【详解】解：由题意可知， 部分①面积是， 部分②面积是， 部分③面积是， …， 则阴影部分的面积是， 阴影部分的面积是； ∴． 故答案为：． 5．（22-23六年级下·山东淄博·期中）请你用几何图形直观地解释． 【答案】解释见解析 【分析】利用正方形的面积计算方法进行解答即可． 【详解】解：设小正方形的边长为，则正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， ∵正方形是由个边长为的小正方形拼接而成， ∴正方形的面积为：， ∴． 【点睛】本题考查积的乘方的实际意义．抓住面积的不同表示方法是解题的关键． 6．（22-23七年级·全国·假期作业）当你把纸对折一次时，就得到2层，当对折两次时，就得到4层，照这样折下去． (1)当对折3次时，层数是多少； (2)如果纸的厚度是0.1mm，求对折8次时，总厚度是多少mm？ 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据题意可知对折3次，层数就是层； （2）先算出层数，再乘0.1即可得出结果． 【详解】（1）解：∵23＝8， ∴对折3次时，层数是8； （2）解：28×0.1 ＝256×0.1 ＝25.6（mm）， ∴总厚度是25.6mm． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是解题的关键． 【变式训练6 有理数四则混合运算】 1．（22-23七年级上·湖南邵阳·阶段练习）已知，则的值是（     ） A．－15 B．9 C．－3 D．无法确定 【答案】B 【分析】将的值代入进行有理数的乘除法、减法运算即可得. 【详解】 故答案为：B. 【点睛】本题考了有理数的乘除法、减法运算，将所求式子进行变形直接利用已知条件是解题关键. 2．（2023·天津南开·二模）计算2–（–3）×4的结果是（   ） A．10 B．–20 C．–10 D．14 【答案】D 【分析】原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式＝2＋12＝14， 故选D． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义一种新的运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解；由题意得，， 故答案为：． 4．（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）如图所示，A，B分别是正方形网格上的两个轴对称图形（阴影部分），其面积分别为（网格中最小的正方形面积为1个平方单位），请观察图形并解答下列问题，则的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，根据格点图的特点分别求出两个阴影部分的面积，进而求出对应的比值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 5．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 【答案】14 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，乘法分配律等知识，先将除法改乘法，再运用乘法分配律计算即可，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 6．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）下面是佳佳同学一道题的计算过程： (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是___________． (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）先计算括号内的加法，然后计算除法求解即可． 【详解】（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是①； （2） ． 【变式训练7 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）某项工作由甲单独做三小时完成，由乙单独做四小时完成，乙单独做了一小时后，甲乙合作完成剩下的工作，完成这项工作共用（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，先根据题意得到甲、乙的工作效率分别为，再求出甲乙合作的工作时间即可得到答案． 【详解】解：小时， ∴完成这项工作共用小时， 故选：C． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）小明妈妈买了一盒蛋黄酥（共计6枚），小明将蛋黄酥进行称重，情况如下表所示（单位：克，标准质量为100克/枚，超过部分记为正，不足部分记为负），则这盒蛋黄酥的实际重量是（    ） 第n枚 1 2 3 4 5 6 与标准质量的差 A．596克 B．594克 C．593克 D．592克 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用．根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解： （克）， 即这盒蛋黄酥的实际重量是594克， 故选：B． 3．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）2020年元旦是星期三，那么同年的国庆节是星期 ． 【答案】四 【分析】本题考查的是同余问题，正确认识2020年每个月的天数是解题的关键．计算出2020年从元旦到国庆节的总天数，用总天数除以7，根据余数解答即可． 【详解】解：1月、3月、5月、7月、8月是31天，10月是1天，2月是29天，4月、6月、9月是30天， ， ， ∵2020年元旦是星期三， ∴同年的国庆节是星期四， 故答案为：四． 4．（2024七年级·全国·竞赛）旅游团共有50人，住宿客房有三人间、二人间、单人间三种，收费标准是三人间170元/间，二人间140元/间，单人间100元/间，该旅游团的住宿费最少是 元． 【答案】2860 【分析】本题考查了实际生活中的最优问题；由题意知，尽可能多住三人间，其次住二人间，最后考虑单人间，根据这一原则去考虑即可． 【详解】解：， 因此先安排三人间客房16间，剩下2人安排二人间1间，即可全部住下去，此时住宿费最少，最少为：（元）； 故答案为：2860． 5．（22-23七年级上·山东济南·期中）某天气象员在山顶测得气温是，同时测得山脚是，已知这个地区高度每增加，气温大约下降，这座山峰的高度大约是多少米? 【答案】这座山峰的高度大约是． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 ， ， 答：这座山峰的高度大约是． 6．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市场需求计划每天生产5000个，由于各种原因实际每天生产量相比有出入，下表是三月份某一周的生产情况（超出为正，不足为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产多少个口罩； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个； (3)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产10个口罩支付工人2元，本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)前三天共生产15300个口罩 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个 (3)本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元 【分析】此题主要考查了正负数的意义，有理数混合运算的应用． （1）把前三天的记录相加，再加上每天计划生产量，计算即可得解； （2）根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相减计算即可得解； （3）求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解． 【详解】（1）解：（个）． 故前三天共生产15300个口罩； （2）解：（个）． 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产600个； （3）解：（个）， （元）． 故本周口罩加工厂应支付工人的工资总额是7120元． 【变式训练8 程序流程图与有理数计算】 1．（23-24七年级下·陕西·期中）如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求代数式的值，解根据已知条件中示意图和的值，列出算式，求出即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河北邯郸·期末）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．把1921代入程序中计算，判断即可得到结果． 【详解】解：把1921代入得：， 把代入得：， 则输出结果为． 故选D． 3．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）按如图所示的程序计算，若输入x的值为，则输出的y值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数计算．根据题意代入数值按照程序图计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴，，故继续计算， ，，故输出， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·海南海口·期中）已知为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为时，所输入的较大的数是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，本题是操作性题目，正确利用程序图中的程序列出式子是解题的关键．利用分类讨论的方法，根据程序图中的程序列式计算即可． 【详解】解：当时， 输出数值为， 当时， 输出数值为， 综上，中较大的数为 故答案为∶ 5．（22-23七年级上·吉林长春·期中）定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目的新定义可得：；计算即可； （2）根据题目的新定义可得：，计算出括号里的数，然后再根据新定义计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，定义新运算，读懂题意，理解题目所给出的新运算是解本题的关键． 6．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为-2，求输出的y值． 【答案】输出的y值为11 【分析】根据程序计算列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据程序计算，得： ． 答：输出的y值为11． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序，是解题的关键． 【变式训练9 含乘方的有理数混合运算】 1．（23-24九年级下·陕西咸阳·期中）计算：的结果是（   ） A． B． C．1 D．7 【答案】B 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．按顺序先计算乘方，再计算加法即可． 【详解】解：． 故选B． 2．（2024·山东聊城·一模）体重指数（）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高米，体重50千克，则小张的体重状况是（    ） 体重指数（）的范围 体重状况 体重指数 消瘦 体重指数 正常 体重指数 超重 体重指数 肥胖 A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖 【答案】A 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，根据的计算公式求出小张的，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小张的， ∴小张的体重状况是消瘦， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）对于非零有理数a、b，定义运算，例如，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下含乘方的有理数混合运算，按照新定义的运算法则，进行解答即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·重庆南岸·阶段练习）数学课上，老师编制了一个程序，当输入任意一个有理数时，显示屏上的结果总是输入的有理数的平方与1的差的2倍，若输入，并将显示的结果再次输入，则这时显示的结果是 ． 【答案】70 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确列式计算即可得出答案，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得： 若输入，得到的结果为：， 将显示的结果再次输入，得到的结果为：， 若输入，并将显示的结果再次输入，则这时显示的结果是， 故答案为：． 5．（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先确定符号，再计算乘法即可． （2）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可． （3）先算乘方与括号内的减法运算，再计算乘法运算，最后计算加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； 【变式训练10 计算器--有理数】 1．（23-24六年级上·山东烟台·期末）使用计算器进行计算，其按键顺序为：，则输出结果为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查计算器的基础知识，解题的关键是掌握分数的按键和乘方的按键，并依据其功能列出算式；根据计算器的顺序列出算式计算即可． 【详解】解：根据如图所示的按键顺序，输出结果应为： ； 故选：C. 2．（23-24七年级上·山东烟台·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出的结果应为（   ） A．6 B．2 C．5.171 D．1.171 【答案】C 【分析】本题主要考查了计算器的应用，掌握算术平方根的计算器求法是解题的关键． 先将计算器输入转化为算术平方根的形式，然后再根据算术平方根进行计算即可． 【详解】解：由计算器的按键顺序可得：． 故选：C． 3．（23-24六年级上·山东烟台·期中）若用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算结果是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了计算器计算，根据题意，得，解答即可． 【详解】根据题意，得， 故答案为：36． 4．（22-23六年级上·山东烟台·期末）如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下：则输出结果应为 ． 【答案】 【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了计算器，有理数的混合运算，掌握用计算器计算有理数的混合运算是解题的关键． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）用计算器计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）依据数值依次按键输入即可计算得到答案； （2）依据数值依次按键输入即可计算得到答案． 【详解】解：（1）按键顺序为 计算器显示结果为，可以按键切换为小数格式，所以． （2）按键顺序为 计算器显示结果为． 【点睛】此题考查计算器输入方法，利用计算器计算的输入顺序，正确掌握输入计算器的顺序及各键的功能是解题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）写出一个四位数，它的各个数位上的数字都不相等（如6731）．用这个四位数各个数位上的数字组成一个最大数和一个最小数，并用最大数减去最小数，得到一个新的四位数．对于新得到的四位数，重复上面的过程，又得到一个新的四位数．一直重复下去，你发现了什么？请借助计算器帮助你进行探索． 【答案】借助计算器尝试几次后会发现，对任何一个各个数位上的数字都不相等的四位数，总能得到6174这一结果，并固定在这一结果上，似乎掉进了一个“黑洞”里． 【分析】根据题目指示进行计算，得出结果并进行分析． 【详解】解：四位数8631 8631−1368＝7263， 7632−2367＝5265， 6552−2556＝3996， 9963−3699＝6264， 6642−2466＝4176， 7641−1467＝6174， 7641−1467＝6174， … 由上可知，最终得到6174这一结果，并且固定在这一结果上． 【点睛】本题是一个探究性题目，可以激发学生的学习兴趣．但在探究时一定记住6174是个数字黑洞这个规律． 【变式训练11 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·三模）在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约本电子书籍，将用科学记数法表示应为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法“科学记数法表现形式为，其中，n为正整数，当原数的绝对值时，的值为所有整数位减”即可得，掌握科学记数法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）央视新闻年月日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．（2024·江苏南京·三模）年末，南京市常住人口为万人，将“万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故答案为：． 4．（2024·广东东莞·三模）“嫦娥六号”在月球背面缓缓伸出的小小国旗引发网友热议，而它的上一任，“嫦娥五号”带回的月球土壤让科学家推断出月球早在20亿年前死亡，20亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：∵20亿， ∴20亿用科学记数法表示为， 故答案为：． 5．（22-23八年级上·云南昆明·期中）已知每台水压机有四根空心钢立柱，如图，每根高都是，外径D为，内径d为．每立方米钢的质量为，则25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是多少？（取，最后结果的数值用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先根据体积=底面积×高，求出每台的体积，再求出25台的总质量即可． 【详解】解：每台体积： 25台的总质量：． 答：25台这样的水压机的空心钢立柱的总质量是． 【点睛】本题主要考查了求圆柱体的体积，科学记数法，解题的关键是熟练掌握相关体积公式和科学记数法的表示形式． 6．（22-23七年级上·四川宜宾·阶段练习）根据测算，太阳能热水器每平方米集热面积平均每月所产生的能量相当于10千克煤燃烧所产生的能量．某新建居民小区共600户，开发商统一为每户安装一台2平方米集热面积的太阳能热水器．这个小区一年中所产生的太阳能能量大致相当于多少千克煤燃烧所产生的能量？（结果用科学记数法表示） 【答案】千克 【分析】根据题意可直接列式进行求解． 【详解】解：由题意得： （千克）； 答：这个小区一年中所产生的太阳能能量大致相当于千克煤燃烧所产生的能量． 【点睛】本题主要考查有理数乘法的应用及科学记数法，解题的关键是找准题中的等量关系． 【变式训练12 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）实数1200用科学记数法表示为，则 表示的原数为（    ） A．1200000 B．120000 C．14400000 D．1440000 【答案】A 【分析】本题用科学记数法表示的数表示为原数，考查学生的运算能力． 实数1200用科学记数法表示为，则，因此． 【详解】， ， ， 故选：A． 2．（23-24七年级下·河北承德·期中）嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要．数据用科学记数法表示为，则被遮住的0的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示的数还原成原数．把数据写成原数，就是把8的小数点向右移动5位． 【详解】解：把数据中8后的小数点向左移动5位就可以得到，原数中小数点后“0”的个数为4，其中有1个数未被遮住． 所以，被遮住的0的个数为（个） 故选：C． 3．（22-23七年级上·河北沧州·期中）156000000用科学记数法表示为 ，的原数是 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．科学记数法表示的数，直接用乘法法则计算即可得原数． 【详解】解：， ， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 4．（22-23六年级上·全国·单元测试）用科学记数法表示人体中约有的红细胞为个，不用科学记数法表示，原来的数据是 个． 【答案】 【分析】把个写成不用科学记数法表示的原数的形式，就是把的小数点向右移动位即可得到． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当时，是几，小数点就向后移几位． 5．（2020七年级上·全国·专题练习）把下列用科学记数法表示的数转化成原数.   （1）；  （2）；  （3）千米 【答案】（1）3140；（2）-17320000；（3） 【分析】根据科学记数法知识点计算即可；， 【详解】（1）； （2）； （3）千米=千米； 【点睛】本题主要考查了科学记数法的应用，准确计算是解题的关键． 6．（22-23七年级上·全国·课后作业）下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为； （2）人体中约有个红细胞； （3）全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【答案】（1）；（2）25000000000000个；（3） 【分析】用科学记数法还原原数时，时，是几，小数点向右移动几位． 【详解】解：（1）＝； （2）＝25000000000000个； （3）＝． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【变式训练13 求一个数的近似数】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到即对千分位上的数字进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：用四舍五入法对取近似值，精确到的结果是， 故选：D． 2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）下列数据中，是近似数的是（    ） A．足球比赛开始时每方有11名球员 B．我国有31个省、直辖市、自治区 C．光明学校有856人 D．光的速度为米/秒 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和准确数的定义．近似数∶近似数是指与实际接近的数．通常含有约为、大约等字样的数字都为近似数．经过测量的数据都是近似数．准确数∶一个数能表示原来物体或事件的实际数量，这个数称为准确数． 【详解】解：A．足球比赛开始时每方有11名球员，11为准确数，故本选项不符合题意； B．我国有31个省、直辖市、自治区，31为准确数，故本选项不符合题意； C．光明学校有856人，856为准确数，故本选项不符合题意； D．光的速度为米/秒，为近似数，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）近似数有 个有效数字． 【答案】2 【分析】本题主要考查有效数字个数的确定：从左边第一个不是0的数字起往右，有几个数字既有几个有效数字，据此求解即可． 【详解】解：对于近似数，有效数字是4和0，共有2个有效数字． 故答案为：2． 4．（22-23七年级上·广东·开学考试）有一个三位小数，用“四舍五入”法保留整数是3，保留一位小数是3.0，保留两位小数是3.00，这个小数各个数位上的和是25，这个三位小数是 ． 【答案】2.995 【分析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．这个三位小数的整数位不可能为3，否则这个小数各个数位上的和不可能是25，所以这个三位小数的整数位为2，这个三位小数的十分位和百分位上的数字为9，最后确定千分位上的数字． 【详解】解：根据题意，这个三位小数的整数位不可能为3，否则这个小数各个数位上的和不可能是25，所以这个三位小数的整数位为2，这个三位小数的十分位和百分位上的数字为9，最后确定千分位上的数字． 这个三位小数是2.995． 故答案为：2.995． 5．（23-24六年级下·全国·假期作业）用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： (1)38063（精确到千位）； (2)（精确到百分位）： (3)（精确到）； (4)（精确到十分位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，即对该位的下一位数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】（1）解：（精确到千位）； （2）解：（精确到百分位） （3）解：（精确到） （4）解：（精确到十分位）． 6．（2023七年级上·浙江·专题练习）某人买了一辆小轿车，他记录了连续七天中每天行驶的路程： 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 路程/千米 36 29 27 40 43 72 33 请你用学过的统计知识解决下面的问题： (1)此人的轿车每月（按30天计算）要行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需汽油8升，汽油每升6.61元，请你算出此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是多少元（精确到百元）． 【答案】(1)此人的轿车每月（按30天计算）要行驶1200千米 (2)此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是7600元 【分析】（1）先利用平均数的计算公式求出每天行驶的路程，再乘以总天数即可． （2）根据每月要行驶的距离求出每年要行驶的距离，再乘耗油量和价格就可求出一年的汽油费用． 【详解】（1）解：根据题意得： ×（36+29+27+40+43+72+33）＝40（千米）， 40×30＝1200（千米）． 答：此人的轿车每月（按30天计算）要行驶1200千米； （2）解：根据题意得： 1200×12××6.61＝7614.72≈7600（元） 答：此人一年（按12个月计算）的汽油费用大约是7600元． 【点睛】本题考查近似数和有效数字，用样本估计总体及算术平均数的知识，平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．用样本估计总体的思想方法要会运用． 【变式训练14 指出一个近似数精确到哪一位】 1．（23-24六年级下·全国·假期作业）近似数0.8和0.80所表示的意义（    ） A．相同 B．不同 C．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了近似数：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．据此解答即可． 【详解】解：近似数0.8表示精确到0.1，近似数0.80所表示精确到0.01， 近似数0.8和0.80所表示的意义不同， 故选：B． 2．（22-23七年级上·山东济南·期中）下列说法正确的是（　　） A．精确到百分位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到千位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数字，利用近似数的精确度对各选项进行判断即可，掌握精确度的概念是解题的关键． 【详解】、精确到千分位，原说法错误，不符合题意； 、万精确到千位，原说法错误，不符合题意； 、精确到十位，原说法错误，不符合题意； 、精确到千位，原说法正确，符合题意； 故选：． 3．（23-24七年级下·上海松江·期中）近似数亿精确到 位 【答案】十万 【分析】本题考查了近似数与精确度，根据近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，即可求解，掌握精确度的定义是解题的关键． 【详解】解：∵近似数亿， ∴近似数亿精确到十万位， 故答案为：十万． 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）温州市苍南县在龙港独立建市后的常住人口为万人，由四舍五入得到的近似数万精确到 位． 【答案】百 【分析】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数万精确到百位． 故答案为：百． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？ （1）7.93；      （2）0.0405；      （3）25.9万；      （4）． 【答案】（1）精确到百分位；（2）精确到万分位；（3）精确到千位；（4）精确到万位． 【分析】根据近似数的定义一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度，即可得出答案． 【详解】解：（1）7.93，精确到百分位； （2）0.0405，精确到万分位； （3）25.9万，精确到千位； （4），精确到万位． 【点睛】此题考查了近似数，用到的知识点是近似数，一个数最后一位所在的数位就是这个数的精确度． 6．（20-23七年级上·全国·课后作业）按括号里的要求对下列各数取值 （1）0.9541（精确到十分位）； （2）2.5678（精确到千分位）； （3）14595（用科学记数法表示） （4）﹣30130978（用科学记数法表示）； （5）789532000（用科学记数法表示） 【答案】（1）1.0；（2）2.568；（3）1.4595×104；（4）﹣3.0130978×107；（5）7.89532×108． 【分析】根据科学记数法的表示和近似数的知识点书写即可； 【详解】解：（1）0.9541≈1.0（精确到十分位）； （2）2.5678≈2.568（精确到千分位）； （3）14595＝1.4595×104（用科学记数法表示）； （4）﹣30130978＝﹣3.0130978×107（用科学记数法表示）； （5）789532000＝7.89532×108（用科学记数法表示）； 【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示，结合近似数的知识点是解题的关键． 【变式训练15 由近似数推断真值范围】 1．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一个数精确到十分位的结果是，那么这个数的范围满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由近似数推断真值范围．根据四舍五入的近似法则，应看数位上的数字，即可得到答案． 【详解】解：把a精确到十分位的近似数是，则a的取值范围是， 故选：D． 2．（23-24七年级上·河南周口·期中）近似数是由四舍五入得到的，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了近似数近似数与精确数的接近程度，可根据近似数的精确度求解． 【详解】解：根据题意得． 故选：B． 2．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）一个三位小数保留两位小数约是5.43，这个三位小数的最大值与最小值的差是 ． 【答案】0.009 【分析】本题考查近似数，根据近似数的含义和四舍五入法，可以写出这个近似数的最小三位数和最大三位数，然后相减即可． 【详解】解：由题意可得， 这个三位小数最小是5.425，最大是5.434， ． 故答案为：0.009． 3．（22-23七年级上·浙江杭州·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算，能灵活运用法则进行变形是解此题的关键．先根据积的乘方进行变形，再求出即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 5．（22-23七年级上·全国·课后作业）若k的近似值为4.3，求k的取值范围． 【答案】4.25≤k＜4.35 【分析】根据四舍五入的特点即可求解． 【详解】解：∵4.3-0.05≤k＜4.3+0.05， ∴4.25≤k＜4.35． 【点睛】此题主要考查近似数，解题的关键是熟知四舍五入的性质． 6．（23-24七年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员质检错误？ 【答案】(1)； (2)小王加工的轴不合格． 【分析】（1）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位， 应当看末位数字实际在哪一位； （2）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格． 【详解】（1）解：近似数的要求是精确到， 所以原轴的范围是. （2）解：原轴的范围是， 故轴长为与的产品不合格，即小王加工的轴不合格． 【点睛】本题考查了近似数及有效数字，小数的位数不同它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同． 1．（23-24七年级下·山西运城·期中）计算的结果是（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方的计算，根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）中底数是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的概念，根据幂的定义进行解答即可． 【详解】解：由中可得为底数，为指数， 故选：D． 3．（22-23七年级下·贵州贵阳·期中）下列数据中，是近似数的是（    ） A．足球比赛开始时每方有11名球员 B．我国有31个省、直辖市、自治区 C．光明学校有856人 D．光的速度为米/秒 【答案】D 【分析】本题考查了近似数和准确数的定义．近似数∶近似数是指与实际接近的数．通常含有约为、大约等字样的数字都为近似数．经过测量的数据都是近似数．准确数∶一个数能表示原来物体或事件的实际数量，这个数称为准确数． 【详解】解：A．足球比赛开始时每方有11名球员，11为准确数，故本选项不符合题意； B．我国有31个省、直辖市、自治区，31为准确数，故本选项不符合题意； C．光明学校有856人，856为准确数，故本选项不符合题意； D．光的速度为米/秒，为近似数，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（22-23七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 5．（23-24七年级上·河南安阳·阶段练习）如图，小李在某运动中，设定了每天的步数目标为8000步，该用目标线上方或下方的柱状图表示每天超过或少于目标数的步数，如3日，小李少于目标数500步，则从2日到5日这四天小李平均每天走（    ） A．8260步 B．8694步 C．8010步 D．8000步 【答案】A 【分析】算出四天的步数之和，再算平均数，即可求出结论； 【详解】解：从2日到5日这四天小李平均每天走（步）； 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解正为超过负为少于是解题的关键． 6．（222-23七年级上·黑龙江·期中）一个数的平方等于64，则这个数为 ． 【答案】±8 【分析】根据平方的定义即可求解． 【详解】∵（±8）2=64 ∴这个数为±8 故答案为：±8． 【点睛】此题主要考查数的平方，解题的关键是熟知平方的定义． 7．（222-23七年级上·浙江·期末）近似数精确到 位；1.30所表示的准确数x的取值范围是 ． 【答案】 百 1.295≤x＜1.305 【分析】根据近似数的精确度分别回答． 【详解】解：=13000， 则原数精确到百位， 1.30所表示的准确数x的取值范围是1.295≤x＜1.305， 故答案为：百，1.295≤x＜1.305． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 8．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）对于有理数定义运算：，如，则的结果为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据新定义的运算代入数值进行计算即可，熟练掌握有理数的运算法则和顺序是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：10 9．（2024·广东佛山·二模）佛山市联合图书馆搭建由市中心馆、镇街分馆、邻里图书馆、智能图书馆、学校图书馆等多维公共图书馆服务体系，推动了城乡公共文化服务一体建设．截止2023年馆藏图书总量已超1625万册．“1625万”用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数,据此解答即可． 【详解】解：1625万． 故答案为：． 10．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）有一种“24点”游戏，其游戏规则是：将4个整数（每个数必须用一次且只能用一次，可以加括号）进行加减乘除四则运算，使运算结果为24，例如，整数1，2，3，4可列运算式子：现有整数，，，请运用上述规则，写出一种运算式子，使其结果等于24，运算式子为 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：（答案不唯一）． 11．（23-24八年级下·广西贵港·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，按照有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里边的．由此即可得答案． 【详解】解：原式 ． 12．（23-24八年级上·福建福州·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算，解题的关键熟知各种运算法则． 根据乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算法则进行计算即可． 【详解】 13．（22-23七年级上·河南漯河·期中）记a1＝﹣2，a2＝（﹣2）×（﹣2），a3＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），……an＝n个-2相乘． （1）填空：a4＝　 　，a23是一个　　 （填“正”或“负”）； （2）计算：a5+a6； （3）请直接写出2020an+1010an+1的值． 【答案】（1）16，负；（2）32；（3）0． 【分析】（1）探究规律，利用规律即可解决问题； （2）利用规律计算即可； （3）对原式进行变形，得出与规律有关的式子，即可得出结果． 【详解】（1）根据规律可知：a4＝(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)×(﹣2)＝16， a23是23个﹣2相乘，是负数； （2）由规律可总结出：， ； （3） = = = = = 【点睛】本题考查规律型：数字问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 14．（22-23六年级上·全国·课后作业）某粮店有10袋小麦准备出售，称得质量如下（单位：千克）：182.3，178，177.7，183，183.2，182，182，176.8，177，180． （1）计算10袋小麦的总质量为多少千克？ （2）若每千克小麦的售价为2.6元，则这10袋小麦能卖多少元？（精确到1元） 【答案】（1）10袋小麦总重量为1802千克；（2）这10袋小麦能卖4685元 【详解】【分析】（1）首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． （2）10袋玉米的金额＝10袋玉米的质量×单价． 【解答】（1）解法1：182.3+178+177.7+183+183.2+182+182+176.8+177+180＝1802（千克） 答：10袋小麦总重量为1802千克． 解法2：以180千克为标准，每袋小麦超过180千克的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10袋小麦对应的数分别为+2.3，﹣2，﹣2.3，+3，+3.2，+2，+2，﹣3.2，﹣3，0，则 2.3+（﹣2）+（﹣2.3）+3+3.2+2+2+（﹣3.2）+（﹣3）+0 ＝[2.3+（﹣2.3）]+[3+（﹣3）]+[3.2+（﹣3.2）]+[（﹣2）+2]+2+0 ＝2 180×10+2＝1802（千克）． 答：10袋小麦总重量为1802千克． （2）1802×2.6＝4685.4≈4685（元）． 答：这10袋小麦能卖4685元． 15．（23-24七年级上·江西赣州·期末）赣州享有“世界橙乡”的美誉，中华名果赣南脐橙热销世界各地．刚大学毕业的小明把自家的脐橙产品放到了网上售卖，他原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出______． (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______． (3)若脐橙按5元出售，且小明需为买家支付运费（平均1元），则小明本周一共赚了多少元？ 【答案】(1)296 (2)26 (3)2868元． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， 根据表格记录的数据与计划量相加即可； 首先找到销售量最多的一天和销售量最少的一天，做差即可； 首先求得本周销售量，再结合售价和运费即可求得赚的钱数． 【详解】（1）解：， 故答案为：296； （2）由题意知销售最多的一天星期六为，销售最少的一天星期五为，则销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售为， 故答案为：26； （3）， （元）， 答：小明本周一共赚2868元． 学科网（北京）股份有限公司 $$