专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（23-24八年级下·广东东莞·期中）中，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·广西贵港·期中）在中，，，，分别是、、的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若的三边长为a，b，c，且满足 ，则这个三角形为 ． 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)直接写出线段、的长度； (2)在图中画线段，使得； (3)请判断、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2019·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．（20-21八年级上·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 3．（20-21八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 2．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点均为格点，给出下列三个命题： ①点到点的最短距离为； ②点到直线的距离为； ③直线所交的锐角为； 其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号） 3．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． (1)在图2中以格点为顶点画一个，使得，； (2)猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，点P为直线上一点，连接，则线段的最小值是（    ）      A．4 B． C． D． 2．（22-23八年级上·重庆·期中）已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为 ． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在中，，是上一点，且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 3．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的度数． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．② B．①② C．①④ D．①③④ 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，．    (1)求证：； (2)求的面积． 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（22-23八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 2．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 3．（20-21八年级上·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（19-20八年级下·山西太原·期中）如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ）    A． B． C． D． 1．（2020·广西百色·模拟预测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，，，则下列线段首尾顺次相接能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 4．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2024七年级下·全国·专题练习）已知为的三边，且满足，则为 三角形． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知，则以，，为边的三角形是 三角形． 8．（23-24八年级下·重庆酉阳·期末）如图，在四边形中，，，，，，则阴影部分面积为 ． 9．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 10．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是等边三角形内的一点，且，以为边在外作，连接，则以下结论中正确的有 （填序号） ①是等边三角形  ②是直角三角形   ③  ④    11．（广东省中山市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点A，B，C都在网格点上，观察并猜想的形状，然后通过计算证明你的猜想． 12．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）观察与绘图 已知正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点都叫做格点．    (1)如图1，A，B，C是小正方形的顶点，则______． ______． (2)在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形． (3)在图3中以格点为顶点画一个三角形，使该三角形的三边长分别为2，，． 13．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，已知，． (1)求的长； (2)当，时，求的面积． 14．（23-24八年级下·四川泸州·期末）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，， ，，，，求四边形的面积．    15．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个，使其三边长分别，，； (3)在图2的的边上找一点D，使得； (4)直接写出（2）中最长边上的高的长度是_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理的逆定理重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 判断三角形的三边能否构成直角三角形 题型二 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型三 在网格中判断直角三角形 题型四 利用勾股定理的逆定理求长度 题型五 利用勾股定理的逆定理求角度 题型六 利用勾股定理的逆定理求面积 题型七 勾股定理逆定理的实际应用 题型八 勾股定理逆定理的古代问题 题型九 勾股定理逆定理的综合问题 知识点一：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【经典例题一 判断三角形的三边能否构成直角三角形】 【例1】（23-24八年级下·广东东莞·期中）中，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，三角形内角和为 ∴最大角为， ∴此时三角形不是直角三角形， 故B符合题意； ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 1．（23-24八年级下·广西贵港·期中）在中，，，，分别是、、的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A．设 ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； B．∵， ∴ 又 ∴ ∴ ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； C．∵， ∴设 ∵ ∴ ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故选项C符合题意； B．∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）若的三边长为a，b，c，且满足 ，则这个三角形为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理等知识点，能求出a、b、c的值是解此题的关键． 先根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴，，， 即， 所以， 所以是直角三角形． 3．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)直接写出线段、的长度； (2)在图中画线段，使得； (3)请判断、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，利用网格的性质解题是关键． （1）结合网格的特点，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理画出； （3）利用勾股定理得逆定理，即可判断三角形． 【详解】（1）解：由网格可知，，； （2）解：如图，，即即为所求作； （3）解：以、、三条线段能构成直角三角形，理由如下： ，，，且， ， 以、、三条线段能构成直角三角形． 【经典例题二 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例2】（22-23八年级下·浙江台州·期中）在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 1．（2019·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论． 【详解】 解：分三种情况考虑（如图所示）： 当∠OAB＝90°时，m＝0； 当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5； 当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25， 解得：m1＝1，m2＝4． 综上所述：m的值可以为0，5，1，4． 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键． 2．（20-21八年级上·江西九江·期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0） 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上， ∴P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为（m，0）． 当△PAC为直角三角形时， ①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠ACP＝90°时，如图， ∵∠ACP＝90° ∴AC2＋PC2＝AP2， ， 解得，m＝， ∴点P的坐标为（，0）； 当△PBC为直角三角形时， ①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠BCP＝90°时， ∵∠BCP＝90°，CO⊥PB， ∴PO＝BO＝2， ∴点P的坐标为（﹣2，0）． 综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 3．（20-21八年级上·广东深圳·期末）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【经典例题三 在网格中判断直角三角形】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴是直角三角形，是斜边， 又∵是边上的中线， ∴ 故选：D． 1．（22-23八年级下·山东济宁·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在格点上，已知D是边的中点，连接，则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出各边长度，根据勾股定理的逆定理判断出，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】解：∵，，， ，， ∴， 是边上的中线， ， 故选：B． 2．（2024·江苏无锡·一模）如图，在网格图中（每个小正方形的边长为1），点均为格点，给出下列三个命题： ①点到点的最短距离为； ②点到直线的距离为； ③直线所交的锐角为； 其中，所有正确命题的序号为 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，等腰三角形性质，平行线的性质，①利用勾股定理求解可得结论；②构造，利用面积法求解即可；③平移线段到，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：由图可知点A到点的最短距离为，故①正确； 如图，取格点E，连接，，则C，D，F，E共线，过点A作于点H，   ， ， ，故②正确； 取格点J，连接，，延长，交于点K，则， ∵， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， 直线，所交的锐角为，故③正确； 综上分析可知，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 3．（23-24八年级下·河南洛阳·期末）如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫为格点，利用正方形网格可以画出长度为无理数的线段，如图1，，请参考此方法按下列要求作图． (1)在图2中以格点为顶点画一个，使得，； (2)猜想是什么形状的三角形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用网格结合勾股定理得出答案； （2）直接利用勾股定理逆定理进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形．(答案不唯一) （2）为等腰直角三角形 理由如下： 即为直角三角形． 又 ∴为等腰直角三角形． 【经典例题四 利用勾股定理的逆定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点M，的垂直平分线交于点E，交于点N，若，，，则AC的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据垂直平分线的性质，得，，结合，确定，根据勾股定理计算即可．本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键. 【详解】连接， 根据垂直平分线的性质，得，， ∵， ∴， ∴, 解得，负的舍去， 故选C. 1．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，点P为直线上一点，连接，则线段的最小值是（    ）      A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作于，由题意知，最小，根据，可得是直角三角形，，根据，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，过作于，    由题意知，最小， ∵，，， ∴，即， ∴是直角三角形，， ∵， ∴，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短．解题的关键在于确定最小的线段． 2．（22-23八年级上·重庆·期中）已知等腰的底边，是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得出，设，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】设， ，，， ∴， ，即， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在中，，是上一点，且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． （1）根据勾股定理的逆定理得到； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 由勾股定理得：， 即的长是． 【经典例题五 利用勾股定理的逆定理求角度】 【例5】（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，点都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，由图可知，为旋转角，可利用的三边关系解答． 【详解】解：如图，    设小方格的边长为1，得 ， ∵ ∴ 由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形． ∴ 即旋转的角度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了几何图形的旋转，涉及勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键利用勾股定理的逆定理求得． 1．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图所示，，，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，求解，证明，延长至，使，连接， 证明为等边三角形，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 延长至，使，连接，而 ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的应用，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．由等边三角形的性质得，根据全等三角形的性质得，，，，证明是等边三角形，得，证明，得，可得结论．掌握等边三角形的判定和性质及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由由含30度的直角三角形的性质可求出答案； （2），连接，求出，，再证明，即可由求解． 【详解】（1）解： ， ， ，， ． （2）解：连接，如图， ，为的中点， ， ， ，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【经典例题六 利用勾股定理的逆定理求面积】 【例6】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在四边形中，，，，且，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出是直角三角形是解此题的关键．根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理求出，根据三角形的面积公式分别求出和的面积，即可得出答案． 【详解】解：，，， ， ，， ， ， 四边形的面积 ． 故选：A． 1．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．② B．①② C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到，进而证明，推出是直角三角形，且，由四边形内角和定理得到，再由得到，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到，即可判断③． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且，故①正确； ∴，故②正确； ，故④错误； 根据现有条件无法得到，故③错误； 故选B． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知等腰三角形的底边，是腰上的一点，且，．    (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理，垂线定义，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明即可得证； （2）设，则，，在中，由勾股定理得，，从而利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】（1）解：，，， ， ， ． （2）解：设，则，， 在中， ∵， ∴即， ， 【经典例题七 勾股定理逆定理的实际应用】 【例7】（2024·山西阳泉·一模）某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 1．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：米，米，米，米，且．请同学们计算一下这块草坪的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．正确做出辅助线、构造直角三角形是解题的关键数． 如图：连接，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答． 【详解】解：连接，如图， ∵， ， ∵米，米， ∴米， ∵米，米， ， ∴为直角三角形， ∴这块草坪的面积． 故选：B． 2．（23-24八年级下·天津河西·期中）如图，有一四边形空地，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可． 本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ． ， 为直角三角形，， ． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】此块空地全部种植花卉共需花费3600元 【分析】本题考查三线合一，勾股定理及其逆定理，过A作于点E，三线合一求出的长，勾股定理逆定理，得到是直角三角形，利用等腰三角形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积，再乘以单价即可． 【详解】解：如图，过A作于点E， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴（元）． 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元． 【经典例题八 勾股定理逆定理的古代问题】 【例8】（22-23八年级下·广东广州·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（    ）平方里． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形即可解答． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形，直角边为里，斜边为里， ∴这块沙田的面积为（平方里）， 故选． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边是且，那么这个三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 1．（22-23八年级下·湖南益阳·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国南宋时期长度单位，则该沙田的面积为（    ） A．平方里 B．平方里 C．平方里 D．平方里 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵三角形的三条边长分别为里，里，里， 又，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， ∴ 这个三角形的面积为：平方里, 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 2．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 3．（20-21八年级上·河北衡水·期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数． 【探究1】 （1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数； （2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数； （3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ． 【探究2】 观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股___ _；弦___ _； （2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股___ ；弦__ _； （3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过． _； 请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_ ；和弦的长_ _． 【答案】探究1（1）6，8，10；（2）详见解析；（3）；探究2（1）,；（2），；（3）①80，②，弦 【分析】探究1：（1）根据勾股定理，令k＝2即可求解（答案不唯一）； （2）根据完全平方公式求出、根据勾股定理逆定理即可求证； （3）根据勾股定理逆定理计算，证明结论，根据题意写出勾股数； 探究2：（1）根据规律即求解； （2）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股＝，弦＝； （3）根据规律可得股比弦小2，根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)，根据所给3组数据找出规律即可得结论． 【详解】探究1：（1）6,8,10（答案不唯一)；· （2）证明： ， ， 满足以上公式的是一组勾股数； （3）∵＝ ∴满足以上公式的是一组勾股数； 当时，， ∴构成一组勾股数．(答案不唯一） 探究2：（1）依据规律可得，如果勾为， 则股， 弦， （2）如果勾用，且为奇数）表示时， 则股， 弦 （3）①b＝80． ②根据规律可得，如果是符合同样规律的一组勾股数，为偶数且)， 则另一条直角边 弦 【点睛】本题主要考查勾股数的定义、勾股定理及其逆定理，数字类规律问题，掌握完全平方公式、满足的三个正整数均为勾股数是解题的关键． 【经典例题九 勾股定理逆定理的综合问题】 【例9】（19-20八年级下·山西太原·期中）如图，已知中，的垂直平分线分别交于连接，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD，由此根据勾股定理求出CD. 【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴, ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ∵DE垂直平分AB， ∴AD=BD， 在Rt△BCD中， , ∴, 解得CD=， 故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解. 1．（2020·广西百色·模拟预测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用配方法对b2+c2=2b+4c-5变形配方，从而求得b，c的值，再将其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC为直角三角形，从而其面积易得． 【详解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5 ∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0 ∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0， ∴b﹣1＝0，c﹣2＝0， ∴b＝1，c＝2． 又∵a2＝b2+c2﹣bc， ∴a2＝1+4﹣2＝3， ∴或（舍） ∵， ∴△ABC是以1和为直角边的直角三角形， ∴△ABC的面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了应用配方法进行变形，以及偶次方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形的面积计算等基础内容，本题难度中等． 2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 3．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 已知如图②，中，，，E，F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质以及旋转的性质可证明为等边三角形，再利用勾股定理的逆定理证明，即得答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转的性质证明，得到，再利用勾股定理即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转至处，连接，先证明，再证明C，O，，四点共线，再利用勾股定理计算得出，由此即得答案． 【详解】（1）解：， ，，， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， 在中，，，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得， ，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，将绕点B顺时针旋转至处，连接， 在中，，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转， ，， ， ， 绕点B顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， C，O，，四点共线， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 1．（23-24八年级下·河南信阳·期末）在中，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定是直角 三角形的是（　　） A． B．，， C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理等知识点，灵活运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形成为解题的关键． 根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，则最大角为,即是直角三角形，不符合题意； B、由，符合勾股定理的逆定理，即是直角三角形，不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意； D、由，则,即是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，，，则下列线段首尾顺次相接能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，勾股定理求出的长，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，，，， ∴， ∴首尾顺次相接能组成直角三角形； 故选C． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（   ） A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ，， ， ， 分两种情况： 如图1， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东， 如图2， ， 乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ， 综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西， 故选：A． 4．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理及其逆定理，证明直角三角形，即可得到答案. 【详解】解：连接， ， ∴， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 用同样的方法证明其它点不符合要求， 故选：D 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知的、和的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①；②；③；④；⑤，，．其中能独立判定是直角三角形的条件有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形；故①正确； ∵， 设， ∵， ∴是直角三角形；故②正确； ∵，， ∴， ∴是直角三角形；故③正确； ∵， ∴， ∴是直角三角形；故④正确； ∵，，， ∴， ∴是直角三角形；故⑤正确； 故选D． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）已知为的三边，且满足，则为 三角形． 【答案】直角或等腰 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，先把所给等式因式分解得到，进而得到，据此利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或 即或 ∴为直角三角形或等腰三角形， 故答案为：直角或等腰． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知，则以，，为边的三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了算术平方根、绝对值、偶次方、勾股定理的逆定理的等知识点，掌握勾股定理逆定理成为解题的关键． 根据算术平方根、绝对值、偶次方的非负性求出a、b、c的值，可得，再利用勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 8．（23-24八年级下·重庆酉阳·期末）如图，在四边形中，，，，，，则阴影部分面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键． 连接，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：解：连接， ，，， ， ， ， ， 阴影部分面积． 故答案为：24． 9．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，于点D，则的长为 【答案】2 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理得逆定理和直角三角形斜边高的求法，掌握勾股定理及其逆定理是本题关键．根据勾股定理计算的长，再利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】由勾股定理得：，，， ，，，， 是直角三角形，， ， ， ， 故答案为：2． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，P是等边三角形内的一点，且，以为边在外作，连接，则以下结论中正确的有 （填序号） ①是等边三角形  ②是直角三角形   ③  ④    【答案】①②③ 【分析】本题考查三角形全等的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，根据是等边三角形，得出，根据，得出，，求出，即可判断①；根据勾股定理的逆定理可得，判断②；根据是等边三角形，结合全等三角形的性质即可判断③；若 则 如图，构建的直角三角形，作证明得出与题干互相矛盾的结论即可判断④． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴，故③正确； ∴， 若 则 如图，构建的直角三角形，作    与矛盾，所以④错误． 故答案为：①②③． 11．（广东省中山市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点A，B，C都在网格点上，观察并猜想的形状，然后通过计算证明你的猜想． 【答案】为直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理，根据勾股定理，算出、、，再得到，即可解题． 【详解】解：为直角三角形，证明如下： 由题知，， ， ， 则， ， 为直角三角形． 12．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）观察与绘图 已知正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点都叫做格点．    (1)如图1，A，B，C是小正方形的顶点，则______． ______． (2)在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形． (3)在图3中以格点为顶点画一个三角形，使该三角形的三边长分别为2，，． 【答案】(1)；； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）连接，证明是等腰直角三角形即可． （2）作一个边长为的正方形即可； （3）利用数形结合的思想画出三角形即可； 【详解】（1）解：连接，   正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，由勾股定理得，，，， ， 为直角三角形，； 又， 为等腰直角三角形， ； 故答案为：；； （2）解：画图如图所示．（画法不唯一）    （3）解：画图如图所示．（画法不唯一）    13．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，已知，． (1)求的长； (2)当，时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的内容成为解题的关键． （1）先说明，再运用勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理逆定理得到，再运用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴． ∴是直角三角形，． ∴． 14．（23-24八年级下·四川泸州·期末）如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和三角形，分别摆放两种不同的花卉．经测量，，， ，，，，求四边形的面积．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，三角形面积公式等．根据题意可得，继而得到，，再利用三角形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个，使其三边长分别，，； (3)在图2的的边上找一点D，使得； (4)直接写出（2）中最长边上的高的长度是_______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 (4) 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图、勾股定理逆定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质、等面积法等知识点，解决本题的关键是根据网格准确画图． （1）根据网格利用勾股定理画一个边长为的正方形即可； （2）在图2中，根据网格利用勾股定理即可画一个三角形，使它的三边长分别为：，，； （3）在图3中，画一个以为斜边的等腰直角三角形即可； （4）证明是直角三角形，进而根据等面积法可以计算出边上的高． 【详解】（1）解：如图，在图1中的正方形即为所求， 它的边长，面积； （2）在图2中，三角形即为所求， 它的三边长分别为：，，； （3）解：在图3中，即为所求， ∵， 且， ∴是等腰直角三角形， ∴． （4）解：∵（2）中三角形它的三边长分别为：，，， ， ∴是直角三角形，， 设边上的高为， 即， 解得：． 答：边上的高为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$