专题06 空间向量与立体几何一（选填）-备战2025届安徽新高考数学模拟题分类汇编（安徽专用）

专题06 空间向量与立体几何一（选填） 题型一 线面关系有关命题的判断 1．（2024·安徽·模拟预测）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若,,则 ； B．若,,,则 ； C．若，，则 ； D．若，，，,则． 2．（2024·安徽·二模）已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（2024·安徽·模拟预测）已知是三个不重合的平面，且，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（2024·安徽·模拟预测）已知为三个不同的平面，为三条不同的直线，若，，，，则下列结论正确的是（    ） A．与相交 B．与相交 C． D．与相交 5．（2024·安徽·模拟预测）已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（2024·安徽·模拟预测）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2024·安徽·模拟预测）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．（2024·安徽·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．，，，则 9．（2024·安徽·模拟预测）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．（2024·安徽淮北·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 11．（2024·安徽·模拟预测）已知，，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若与异面，则至多有一条与，都垂直 C．若，，，则一定平行于和 D．若，，，则存在同时垂直， 12．（2024·安徽·模拟预测）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．平面内有无数条直线与平面平行的充要条件是 B．平面内有两条直线m，n分别与平面平行，则 C．若，且，则 D．平面内有无数条直线与平面垂直，则 13．（2024·安徽合肥·二模）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A． B． C． D．与相交 （多选）14．（2024·安徽·模拟预测）已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与为异面直线 C．若，且，则 D．若，则 （多选）15．（2024·安徽·模拟预测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（    ） A．若，则 B．若，则与为异面直线 C．若，则 D．若，则 （多选）16．（2024·安徽·模拟预测）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 （多选）17．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，平面，则下列说法错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 题型二 立体几何中面积的相关计算 1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽·模拟预测）如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·安徽安庆·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为 ． 13．（2024·安徽·模拟预测）已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的外接球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为 ． 14．（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为 ． 题型三 立体几何中体积的相关计算 1．（2024·安徽阜阳·一模）降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下： 降水量 等级 小雨 中雨 大雨 曝雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨所属等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 2．（2024·安徽合肥·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D．   5．（2024·安徽·三模）如图，在棱长为2的正方体中，内部有一个底面垂直于的圆锥，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽·模拟预测）已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽·模拟预测）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（    ）    A．cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3 9．（2024·安徽·模拟预测）某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽·模拟预测）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，，为圆台的两条母线，截面与下底面所成的夹角大小为，且劣弧的弧长为，则三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． （多选）12．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，四点在球心为，半径为5的球面上，且满足，，设，的中点分别为，，则（    ） A．点有可能在上 B．线段的长有可能为7 C．四面体的体积的最大值为20 D．四面体的体积的最大值为56 13．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知两个正四棱锥与均内接于球，满足和，则球的体积为 ． 14．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为 . 15．（2024·安徽·三模）已知四棱锥的底面为矩形，其中，点平面，点M，N分别在线段，上（不含端点位置），其中，则四面体的体积最大值为 . 16．（2024·安徽·三模）已知正四棱台中，，则该正四棱台内部能够放入的最大球体的半径为 . 17．（2024·安徽池州·二模）如图，在各棱长均相等的正三棱柱中，给定依次排列的6个相互平行的平面，使得，且每相邻的两个平面间的距离都为1.若，则 ，该正三棱柱的体积为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 空间向量与立体几何一（选填） 题型一 线面关系有关命题的判断 1．（2024·安徽·模拟预测）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中真命题是（    ） A．若,,则 ； B．若,,,则 ； C．若，，则 ； D．若，，，,则． 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】若，，则或与相交或与异面，故A错误； 若，，，则或与相交，故B错误； 若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 若，，，，当与相交时，有，否则，与不一定平行，故D错误． 故选：C 2．（2024·安徽·二模）已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用直线与平面的位置关系的判定和性质即可选出正确答案. 【详解】选项A：根据给定条件有 或； 选项B：根据给定条件有 或； 选项C：根据给定条件有与的位置可能平行、相交或m在α内； 选项D：因为，所以存在直线使得， 又因为，所以，因为，所以. 故选：D 3．（2024·安徽·模拟预测）已知是三个不重合的平面，且，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中线面位置关系的性质定理和判定定理可判断各选项的正误． 【详解】若，则或与相交，故A错误； 若，则或与相交，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则与相交，不一定是垂直，故D错误． 故选：C 4．（2024·安徽·模拟预测）已知为三个不同的平面，为三条不同的直线，若，，，，则下列结论正确的是（    ） A．与相交 B．与相交 C． D．与相交 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面的关系即可结合选项逐一求解. 【详解】，平面，，，故A错误； 同理可得，，故B错误； 由A，B知，故C正确； 由A知，平面，平面，，故D错误． 故选：C 5．（2024·安徽·模拟预测）已知，表示两条不同的直线，表示平面，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则可能平行，异面或者相交，故A错误； 若，，则与可能平行，可能相交，也可能，故B错误； 若，，则与可能平行，也可能，故C错误； 若，，由线面垂直的性质定理可知，故D正确； 故选：D 6．（2024·安徽·模拟预测）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项. 【详解】对于A，由，，则与可能平行，相交，异面，故A错误； 对于B，由，，则或，故B错误； 对于C，由，，则，故C正确； 对于D，由，，则或或，故D错误. 故选：C 7．（2024·安徽·模拟预测）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】对于A，由只需之间的位置关系即可判断；对于B，由面面垂直的判定即可判断；对于C，由线面位置关系即可判断；对于D，由面面垂直的性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则平行、相交或异面； 对于B，若，则存在，使得，又因为，，而，所以，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误； 对于D，若，，，且如果不在内，则不会有，故D错误. 故选：B 8．（2024·安徽·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．，，，则 【答案】C 【分析】根据空间线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可. 【详解】A：若，则与可能相交，可能平行，故A错误； B：若，则与可能相交，可能平行，故B错误； C：若，由线面垂直的性质知，故C正确； D：若，则与可能相交，可能平行，故D错误. 故选：C 9．（2024·安徽·模拟预测）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】由空间中的线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可. 【详解】若，，则或，所以A错；，，，，或，所以B错； 若，，，则，所以C错；若，，，则与两面的交线平行，即，故D对. 故选：D 10．（2024·安徽淮北·一模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】构建正方体，利用其特征结合空间中直线与平面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】   如图所示正方体， 对于A，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故A错误； 对于B，若对应直线与平面，显然符合条件，但，故B错误； 对于C，若对应直线与平面，平面，显然符合条件，但，故C错误； 对于D，若，且，又，是两个不同的平面，则，故D正确. 故选：D 11．（2024·安徽·模拟预测）已知，，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若与异面，则至多有一条与，都垂直 C．若，，，则一定平行于和 D．若，，，则存在同时垂直， 【答案】D 【分析】借助正方体模型，可依次判定选项. 【详解】 在正方体中， 对于A，令，，，符合题意，但是，故A错误； 对于 B，令，，两直线异面，在正方体中与平行或重合的直线与异面直线都垂直，故B错误； 对于C，令为平面，为平面，，，符合，，，但平面，故C错误； 对于D，令为平面，为平面，，，符合，，，则，故D正确. 故选：D 12．（2024·安徽·模拟预测）已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．平面内有无数条直线与平面平行的充要条件是 B．平面内有两条直线m，n分别与平面平行，则 C．若，且，则 D．平面内有无数条直线与平面垂直，则 【答案】D 【分析】利用面面垂直的判定定理易得D项正确；对于A,B,C，只需借助于正方体模型举出反例即可一一排除. 【详解】 如图,作正方体, 对于A，设平面为平面，平面为平面，在平面内可以作无数条直线与平行，则这些直线都与平面平行， 但平面与平面相交，故错误； 对于B，设平面为，平面为，平面为,在内可以作两条直线m，n与平行，则易得， 但平面与相交，故B错误； 对于C，设平面为，平面为，取直线为，直线为，则，且， 但与相交，故C错误； 对于D，由面面垂直的判定定理知，平面内只要有一条直线与平面垂直，就能得到，故D正确． 故选：D 13．（2024·安徽合肥·二模）设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（    ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】通过举反例可判定ABD，利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C. 【详解】选项A：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面 ，用四边形代表平面，故A错误； 选项B：当满足时，可能相交，如图：用四边形代表平面 ，用四边形代表平面，故B错误； 选项C：因为，又，所以， 故是的一个充分条件，故C正确； 当满足与相交时，可能相交，如图：用四边形代表平面 ，用四边形代表平面，故D错误； 故选：C （多选）14．（2024·安徽·模拟预测）已知为空间中三条不同的直线，为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与为异面直线 C．若，且，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用面面垂直的判定判断A；确定线线位置关系判断B；利用平面基本事实判断C；利用线面垂直的性质、面面平行的性质判断D. 【详解】对于A，显然，又，则，A正确； 对于B，由，得与可能相交、可能平行、也可能为异面直线，B错误； 对于C，由，，知点在平面内， 即为平面的公共点，而，因此，C正确； 对于D，由，得，而，因此，D正确. 故选：ACD （多选）15．（2024·安徽·模拟预测）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（    ） A．若，则 B．若，则与为异面直线 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】运用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理可推理A项正确，利用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可推理D项正确，B , C两项可以通过举反例说明其错误. 【详解】对于A项，因，经过直线可作平面，使，则，因，则，又，故得，即A项正确； 对于B项，若，则与可能相交、平行或异面，故B项错误； 对于C项，若，则或，故C项错误； 对于D项，因，经过直线可作平面，使，则，又，，则，故得，即D项正确． 故选：AD． （多选）16．（2024·安徽·模拟预测）设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】AD 【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面，面面垂直的判定和性质判断即可. 【详解】对于选项A，若，，则，所以A正确； 对于选项B，若，，，则与平行或异面，所以B不正确； 对于选项C，若，，则可能与平行，相交或在平面内，所以C不正确； 对于选项D，设直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为， 因为，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量， 因为，所以，所以，所以D正确. 故选：AD. （多选）17．（2024·安徽·模拟预测）已知直线，平面，则下列说法错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】ABC 【分析】根据线面之间的基本关系判断A，根据面面平行的判定定理判断BCD. 【详解】选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误； 选项B中，与也可能相交，故B错误； 选项C中，与也可能相交，故C错误； 选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确． 故选：ABC． 题型二 立体几何中面积的相关计算 1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截面图分析即可得半径比，然后可得答案. 【详解】如图，等边三角形的内切圆和外接圆的半径即为内切球和外接球的半径， 记内切球和外接球的半径分别为和， 则 所以其外接球与内切球的表面积之比为. 故选：A 2．（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用题给条件求得圆锥的母线长，再利用公式即可求得该圆锥的侧面积. 【详解】球表面积为，则该球半径为， 设圆锥的高为h，则圆锥的母线长为， 则此圆锥的轴截面面积为 ，解之得， 则该圆锥的侧面积为 故选：B 3．（2024·安徽·模拟预测）已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆锥的底面半径为，球心到圆台上底面的距离为，由球的体积可得半径为，结合圆台的结构特征列式解得，进而可求得表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，依题意得该圆台的上底面半径为，且圆台的高为3． 设球心到圆台上底面的距离为，球的半径为， 由球的体积为，解得， 因为点在该圆台内，则， 解得， 可得该圆台的母线长， 所以圆台的表面积为． 故选：B 4．（2024·安徽·三模）已知圆台的上、下底面积分别为，，体积为，线段，分别为圆台上、下底面的两条直径，且A，B，C，D四点不共面，则四面体的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台的体积公式即可求出圆台的高，根据四面体的外接球即为圆台的外接球，求出外接球半径，代入球的表面积公式，即可求出结果. 【详解】依题意，设圆台的高为h，则，解得； 四面体的外接球即为圆台的外接球， 设其半径为R，球心为，， 由已知易得圆台的上、下底面圆半径分别为，， 球心O在圆台的轴所在直线上，则， 故，解得，故， 故四面体的外接球表面积为. 故选：B 5．（2024·安徽·模拟预测）已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中（实心钢球与杯中水面、杯底均相切），若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实心冰球融化前后总体积不变列出等式:融化前水的体积+实心冰球的体积+实心钢球的体积=融化后水的总体积，由题钢球恰好淹没在水中得到此时水面高为，列出等式，解出的值，再算出钢球的表面积即可. 【详解】由题意可得，实心冰球融化前后体积不变，则有 ， 化简可得：， 即，，解得：， 所以钢球的表面积为. 故选：D 6．（2024·安徽·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正三棱锥的结构特征可求解高的长度，进而根据勾股定理即可求解半径，即可由表面积公式求解，或者利用空间直角坐标系求解半径. 【详解】方法一：如图，取正三角形的中心为，连接， 则三棱锥的外接球球心在上，连接. 在正三角形中，，所以. 在中，，所以. 设外接球的半径为， 由，，解得， 所以三棱锥的外接球表面积. 故选：C    方法二：在正三棱锥中，过点作底面于点， 则为底面正三角形的中心， 因为正三角形的边长为2，所以. 因为，所以. 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，    则，. 设三棱锥的外接球球心为，半径为. 由，得，解得， 所以， 则三棱锥的外接球表面积. 故选：C 7．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使， 过点作平面的垂线，使，连接， 易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，即 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为是的外心，所以， 所以， 所以即为四棱锥外接球的球心， 因为，， 所以 所以， 故选：C 8．（2024·安徽合肥·一模）已知四面体的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中条件作出外接球球心，利用勾股定理计算得到半径，进一步计算即可. 【详解】过三角形的中心作平面的垂线， 过三角形的中心作平面的垂线， 两垂线交于点，连接， 依据题中条件可知，为四面体的外接球球心， 因为， 所以, 则, 即外接球半径为， 则该球的表面积为， 故选：C 9．（2023·安徽芜湖·模拟预测）已知正三棱台的上、下底面边长分别为，，且侧棱与底面所成角的正切值为3，则该正三棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，由正三棱台的对称性可得，正三棱台的外接球的球心落在上底面中心与下底面中心的连线上，先求出三棱台的高，再由外切球的性质得到外接球的半径. 【详解】分别取、的中心，连结，过作，    因为，由正弦定理得，得，同理可得，所以， 因为正三棱台，所以平面，∥， 所以平面，所以为侧棱与底面所成的角， 所以，所以， 设正三棱台的外接球球心O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以，，， 即，， 当在EF的延长线上时，可得，无解； 当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：D 10．（2024·安徽·模拟预测）如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据侧面积与底面积的关系求出相应的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球的表面积. 【详解】如图1，设以为底边的等腰三角形的中位线为，连接，分别交于点， 则点分别为的中点． 设，则，，①． 折叠后形成的正六棱台如图2所示，设上底面的中心为，连接， 则． 连接，则是正六棱台的高，即． 过点作，垂足为，则底面，故． 在Rt中，②， 由①②得，解得， 所以正六棱台的上、下底面的边长分别为1和2． 由，可知正六棱台的外接球球心必在线段上， 连接，则为外接球的半径，设为． 在Rt和Rt中，由勾股定理得， 可得， 又因为，，， 即，解得， 则， 所以所求外接球的表面积为． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查平面图形的折叠，几何体外接球的半径，解题关键在于平面图形折叠成立体图形后，要明确变化的量和没有变的量，以及线线的位置，线面的位置关系，对于几何体的外接球的问题，关键在于确定外接球的球心的位置. 11．（2024·安徽合肥·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，结合公式计算即可求解. 【详解】如图，km， 由，得，又， 则，得， 所以（）. 即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）. 故选：D 12．（2024·安徽安庆·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为 ． 【答案】 【分析】画出圆锥的截面，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，可得为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得. 【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O为圆锥的内切球球心，则有为的角平分线， 由O为圆锥的外接球球心，则，故， 故，又，故为等边三角形， 故，，则. 故答案为：. 13．（2024·安徽·模拟预测）已知一个高为6的圆锥被平行于底面的平面截去一个高为3的圆锥，所得圆台的外接球的体积为，且球心在该圆台内，则该圆台的表面积为 ． 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，则圆台的上底面半径为，高为3，再由圆台的外接球的体积为可得圆台半径为，可得圆台的母线长，代入公式计算可求出圆台的表面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，依题意得该圆台的上底面半径为，且圆台的高为3． 设圆台外接球的球心为，半径为，点到圆台上底面的距离为， 因为球的体积为，所以，解得． 因为点在该圆台内，所以,解得， 所以圆台的母线长， 所以圆台的表面积. 故答案为：. 14．（2024·安徽池州·模拟预测）如图所示的“升”是我国古代测量粮食的一种容器，从形状上可抽象成一个正四棱台．现有一个上、下底面边长分别为和的“升”，侧棱长为，要做成一个该“升”的几何体，其侧面所需板材的最小面积为 ． 【答案】 【分析】根据棱台的几何性质确定斜高，再根据侧面性质确定面积即可. 【详解】 如图，由题意知该“升”的各侧面为上底、下底长分别为，腰长为的等腰梯形， 取中点为， 所以其侧面的高为． 若将各侧面展开，可拼接成一个一条边长为，另一条边长为的平行四边形， 该平行四边形的高为，所以所求面积为． 故答案为：. 题型三 立体几何中体积的相关计算 1．（2024·安徽阜阳·一模）降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下： 降水量 等级 小雨 中雨 大雨 曝雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨所属等级是（    ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】C 【分析】根据题意，由圆台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为， 则， 降水量的体积， 降水深度为，属于大雨等级. 故选：C 2．（2024·安徽合肥·三模）已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的底面半径，结合侧面展开图可知底面半径与高，进而可得体积. 【详解】设圆锥的底面圆半径为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得， 又侧面展开图是半径为的半圆，即圆锥的母线长为， 则圆锥的高， 所以该圆锥的体积为， 故选：D 3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得，点在底面的投影即为的外心，再利用正弦定理求得外接圆的半径，然后找到球心的大致位置，根据半径相等列等式求解即可. 【详解】 过点作平面，垂足为，连接、、， 因为，所以， 故点是底面的外心，设外接圆的半径， 由正弦定理，所以，，所以，， 设三棱锥的外接球球心为，显然在线段上， 设，三棱锥的外接球的半径为， 则，，又， 所以，，， 三棱锥的外接球的体积为. 故选：C 4．（2024·安徽·三模）已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B    5．（2024·安徽·三模）如图，在棱长为2的正方体中，内部有一个底面垂直于的圆锥，当该圆锥底面积最大时，圆锥体积最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，记为，当圆锥底面内切于正六边形时该圆锥的底面积最大，结合圆锥体积公式计算即可得解. 【详解】如图所示，取的中点，记为， 易知六边形为正六边形，此时的中点在正六边形的中心， 当圆锥底面内切于正六边形时该圆锥的底面积最大， 设此时圆锥底面圆半径为，因为，所以， 圆锥底面积为，圆锥顶点为（或）处， 此时圆锥体积最大，此时. 故选：C 6．（2024·安徽·模拟预测）已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，探讨圆台两底半径与母线的关系，再利用圆台侧面积公式及圆台、球的体积公式求解即得. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为，母线长为，高为，内切球的半径为， 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则，， 由，整理得，而，解得，， 因此圆台的高，， 则圆台的体积， 内切球的体积，所以. 故选：D 7．（2024·安徽·模拟预测）如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为4（不考虑容器厚度及圆锥容器开口）．现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出底面半径，分别表示出圆锥和圆柱内水的体积再求解即可. 【详解】设圆锥容器的底面半径为， 倒入前圆锥和圆柱容器中水的体积分别为， 则, ， 所以． 故选：D. 8．（2024·安徽·模拟预测）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取）（    ）    A．cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3 【答案】B 【分析】由勾股定理求出，则可得，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体积即可得.. 【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为cm，则cm， 由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有， 即，可得，则， . 故选：B 9．（2024·安徽·模拟预测）某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线，，，一头连着底座端点，另一头都连在球的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形的外接圆圆心为，连接，由勾股定理及球体积公式计算即可． 【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形为正方形，则， 设正方形的外接圆圆心为，连接交球面于点，如图所示，则， 所以， 因为该艺术吊灯总高度为14，，所以， 设球半径为，则， 在中，，解得， 所以球的体积为， 故选：C 10．（2024·安徽·模拟预测）宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案. 【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米， 下圆台的高为厘米， 故上圆台的体积为立方厘米， 下圆台的体积为立方厘米， 故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米. 故选：D 11．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，，为圆台的两条母线，截面与下底面所成的夹角大小为，且劣弧的弧长为，则三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别取，的中点，，则易知截面与下底面所成的夹角为，作于点，则，且，再根据弧度数公式及解三角形可求出圆台的高，最后根据台体的体积公式，即可求解． 【详解】如图，分别取，的中点，， 则，且，又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以， 截面与下底面所成的夹角为， 过作于点，则，且， 又劣弧的弧长为，弧所在圆的半径为， ，则，， 同理可得，，又， ， 又三角形的面积为， 同理可得三角形的面积为， 三棱台的体积为． 故选：C （多选）12．（2024·安徽淮北·一模）已知，，，四点在球心为，半径为5的球面上，且满足，，设，的中点分别为，，则（    ） A．点有可能在上 B．线段的长有可能为7 C．四面体的体积的最大值为20 D．四面体的体积的最大值为56 【答案】BCD 【分析】A项，分析出点、轨迹即可得出点是否能在上；B项，对点、位置进行变换，即可得出线段的长的可能值；C项，求出面积和点到面最大值，即可得出四面体的体积的最大值；D项，作出四面体，即可得出四面体的体积的最大值. 【详解】由题意， 注意到点、轨迹分别为以为球心，以4、3为半径的两同心球面上，、分别为两球面的切线. A项， 点在内球面上，线段是中球面切线，所以点不可能在线段上，选项A错误. B项， 最大，此时，选项B正确. C项， ∵，点到面最大值为5， ∴最大值为20，选项C正确. D项， 当，最大时，四面体体积最大.连结，，注意到，此时四面体体积为，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何的作图，位置的变化，四面体体积的求法，考查学生分析和处理问题的能力，作图能力具有较强的综合性. 13．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知两个正四棱锥与均内接于球，满足和，则球的体积为 ． 【答案】 【分析】根据题意球心必在上，则可得为直角，设球的半径为，则由勾股定理可得，再由的面积可解出，进而可得体积. 【详解】设球的半径为， 因为正四棱锥与均内接于球，所以四边形为正方形， 如图，取正方形的中心为，连结，则在上，且平面， 球心必在上，， 由，是正方形可得， 因为为球的一条直径，所以为直角， 所以，因为，所以， 又因为，的面积 所以，又，所以可得. 所以球的体积为. 故答案为： 14．（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，，，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【分析】所求体积可表示为，故只需求出三角形的面积即可，其中，由对称性也有，由于是已知的，所以只要求得即可进一步求解. 【详解】如图，易知，，所以， 作于点，易知，所以， ， ， 故三棱锥的体积为 . 故答案为：. 15．（2024·安徽·三模）已知四棱锥的底面为矩形，其中，点平面，点M，N分别在线段，上（不含端点位置），其中，则四面体的体积最大值为 . 【答案】 【分析】设，，根据题意，得到，，，求得的面积为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】在上取点，使得， 由，设，，其中， 又由，，且平面， 因为平面，所以， 可得，且，，， 因为，且平面，所以平面， 在中，由，可得，则的面积为， 故， 当且仅当时等号成立，所以四面体的体积最大值为. 故答案为：. 16．（2024·安徽·三模）已知正四棱台中，，则该正四棱台内部能够放入的最大球体的半径为 . 【答案】/ 【分析】延长交于点，由条件结合棱台的性质求棱台的高，由此证明四棱台内部能够放入的球体的直径，取的中点，求球心到的距离，由此可得结论. 【详解】如图1，延长交于点， 由棱台的性质可得与相似，相似比为， 所以，， 设在正四棱台上、下底面的投影点分别记为，， ，. 首先四棱台内部能够放入的球体的直径，即； 其次取的中点，作纵截面，如图2， 设球的球心为O，O到线段SN的距离为d，则. ，，， 所以，， 所以. 所以. 故答案为：. 17．（2024·安徽池州·二模）如图，在各棱长均相等的正三棱柱中，给定依次排列的6个相互平行的平面，使得，且每相邻的两个平面间的距离都为1.若，则 ，该正三棱柱的体积为 . 【答案】 1 ； 【分析】先根据平行平面的性质可得为的中点，同理可确定与棱的交点为棱的中点，从而可根据平行的性质得到各平面的分布，结合距离为1可求棱长，故可求体积. 【详解】由题设，过点作平面与交于点，且到平面的距离相等， 故为的中点，故， 由正三棱柱的对称性，不妨设与交于点， 而平面，故与棱的交点为棱的中点， 因为，则与平面的交线与平行，且与棱有交点， 故过的平面分布如图所示. 因为的距离均为1，故为的三等分点，且. 设该正三棱柱的底面边长为，则，，则 由正三棱柱可得平面，过点作的垂线，垂足为， 因为平面，平面，故， 而，，平面，故平面， 故为之间的距离，故， 所以，所以体积为. 故答案为：1，. 【点睛】关键点点睛：立体几何中与平面有关的计算问题，注意根据过关键点的平面的位置关系确定其他平面的位置关系. 学科网（北京）股份有限公司 $$