专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 已知两点坐标求两点距离 题型九 勾股数问题 题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十四 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）背景介绍： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到．______，______，______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到． （提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） [知识运用] （1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点)，，垂足分别为A，B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出的距离． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（　　） ①    ②    ③    ④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 1．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 3．（23-24八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长为（    ） A． B．12 C．15 D．3 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，斜边上的中线，斜边上的高，则边长为 ． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知中，，，边上的高，求边的长． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知中，，，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则的值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为 ． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 1．（2024·云南大理·一模）已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的面积等于（    ） A．8 B． C．或 D． 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为 ． 3．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，四边形的周长为5，求四边形的面积． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A． B． C． D． 1（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，长方形中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点所表示的数为 ． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： (1)借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得__________；（选搷“>”．“<＂或“=”） (3)若为的小数部分，为的整数部分，求． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分，且交于，若，则等于（    ） A．6 B．25 C．36 D．49 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，于点，和交于点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，点D为的中点，，于E，连接，若，则的长为 ． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，过点作于点，的平分线交于点，交于点，过点作于点，． (1)求的长； (2)求证：． 【经典例题八 已知两点坐标求两点距离】 【例8】（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)请用含的代数式表示和的值， ， ； (2)请求出使得时的x值； (3)请求出的最小值． 【经典例题九 勾股数问题】 【例9】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例10】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（） A．5 B．6 C．7 D． 2．（23-24八年级下·广西防城港·期中）张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ． 3．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 【经典例题十一 勾股定理与网格问题】 【例11】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 1．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ； （2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠． 3．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】 【例12】（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 3．（23-24八年级下·广东河源·期中）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为，若，，求的长 (2)如图2，小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，求： ①的度数； ②若，求的长 【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例13】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2023·广东东莞·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】 【例14】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，以点C为圆心，以长为半径作弧，交边于点，再分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线交边于点D，点E是的中点，且，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在中，，，，点分别在上，则的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 4．（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．在中，直角边，．若将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．49 B．51 C．72 D．76 6．（广东省茂名市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如题图，在中，，，，用尺规作图法构造的平分线，交于点，则的长为 ．    7．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为 ． 8．（23-24八年级下·四川广元·期末）荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动、有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地面EF的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地面的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是 ． 9．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D，E在边上，连接，，满足，，若，，，则的面积为 ． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期末）用一个平面截棱长为1的正方体（如图），截面形状可能是 ．（只填序号） ①边长为1的正方形 ②长为、宽为1的矩形 ③边长为的正三角形 ④三边长分别为1、1、的三角形 11．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．每个小方格的顶点叫格点． (1)求值：① ， (2)仅用无刻度直尺，作出的中线（注意标上字母），并保留作图痕迹． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 13．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，四边形的周长为5，求四边形的面积． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）问题背景：在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上： ； 思维拓展： （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． 探索创新： （3）若三边的长分别为（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积． 15．（四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年七年级下学期6月期末数学试题）在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E．    (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证∶； (2)在射线上取点G，使，连接与交于点H． i)如图2，若，求线段的长； ii)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 勾股定理的证明方法 题型二 以弦图为背景的计算题 题型三 勾股定理的基本计算 题型四 利用勾股定理求长度 题型五 利用勾股定理求面积 题型六 勾股定理与无理数 题型七 用勾股定理解三角形 题型八 已知两点坐标求两点距离 题型九 勾股数问题 题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型十一 勾股定理与网格问题 题型十二 勾股定理与折叠问题 题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十四 用勾股定理构造图形解决问题 知识点一：勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【经典例题一 勾股定理的证明方法】 【例1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（    ） A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】在①选项中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故①不能说明勾股定理； 在②选项中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故②可以证明勾股定理； 在③选项中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故③可以证明勾股定理； 在④选项中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故④可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的是②③④． 故选：D． 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 2．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】 本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）背景介绍： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩纷呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀： 把两个全等的直角三角形如图（1）放置，其三边长分别为a，b，c显然，，，请用a，b，c分别表示出梯形 ，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到．______，______，______，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到． （提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半） [知识运用] （1）如图（2），铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C，D为两个村庄（看作两个点)，，垂足分别为A，B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图（3）中作出P点的位置并求出的距离． 【答案】【背景介绍】，，， [知识运用] （1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握勾股定理和基本作图是解题的关键．根据题意，设，根据题意，得，，继而得到，，根据题意，，整理即可． [知识运用] （1）过点C作于点E，判定四边形是矩形，得到，利用勾股定理解答即可； （2）作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P即为所求，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：根据题意，设， 根据题意，得，， ∴，， 根据题意，， 整理，得． （1）解：连接 过点C作于点E，由， 则四边形是矩形， ∴， 由勾股定理，得； 故答案为：． （2）解：根据题意，得作线段的垂直平分线，与交于点P，如图所示， 则点P即为所求． 设， 根据题意，得， 故， 根据勾股定理，得， 故， 解得 故的距离为． 【经典例题二 以弦图为背景的计算题】 【例2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（　　） ①    ②    ③    ④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据勾股定理，可判断①正确，如图可判断②正确，根据：大正方形面积4个直角三角形面积小正方形面积，可判断④错误，由，可判断③正确， 本题考查了，勾股定理的证明方法，解题的关键是：从图中提取信息，列出等量关系式． 【详解】解：∵大正方形面积为49，小正方形面积为4， ∴大正方形边长为7，小正方形边长为2， 由勾股定理可得：，故①正确， ∵4个全等直角三角形， ∴，故②正确， ∵大正方形面积4个直角三角形面积小正方形面积， ∴，整理得：故④错误， ∵， ∴，故③正确， 综上所述，①②③正确， 故选：． 1．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，设小直角三角形的较长边长为较小直角边长为，根据题意求出的值，再根据图形表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】，设小直角三角形的较长边长为较小直角边长为， 则， ∵直角三角形的一个锐角为， ∴ ∴ ∴， 由图②可知，阴影部分的面积， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的面积是14， ∴， ∴， ∵小正方形的面积是2， ∴直角三角形的面积为， 又∵直角三角形的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】（1），，，，证明见解析；（2） 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）根据是边上的高，，代入数值进行计算，即可作答． 本题考查了证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 化简得：； （2）设 ∵是边上的高， ∴ ∴ 即 解得． ∴． 【经典例题三 勾股定理的基本计算】 【例3】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的中线长是（    ） A．2 B． C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边的中线，关键是掌握勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 由勾股定理求出直角三角形斜边长为，由直角三角形斜边上中线的性质即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得到：直角三角形斜边长， ∴直角三角形斜边上的中线长． 故选：B． 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长为（    ） A． B．12 C．15 D．3 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形性质，涉及等腰三角形“三线合一”性、勾股定理等知识，由题意作出图形，结合等腰三角形“三线合一”性质可知，且，在中用勾股定理求解即可得到答案，熟记等腰三角形“三线合一”性、勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 等腰三角形的腰长为13，底边长为10， ，， 是的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”性质可知，且， 在中，，，，则由勾股定理可得， 它的顶角的平分线的长为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，斜边上的中线，斜边上的高，则边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形高线的定义，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．由题意可分类讨论：当时和当时，分别画出图形，结合直角三角形斜边中线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵斜边上的中线，斜边上的高，即， ∴不是等腰直角三角形． 分类讨论：当时，如图， ∵为斜边上的中线， ∴． ∵为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵为斜边上的中线， ∴，． ∵为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可知边长为或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知中，，，边上的高，求边的长． 【答案】的长为或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当为锐角三角形时，②当为钝角三角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为锐角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴； ②当为钝角三角形时，如图： ∵， ∴， ∵，， 在中，， 在中，， ∴， 综上所述，的长为或． 【经典例题四 利用勾股定理求长度】 【例4】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，延长，过点C作于点E，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，． 【详解】解：延长，过点C作于点E，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，已知中，，，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则的值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，关键是得出．由勾股定理逆定理求出，再由线段垂直平分线性质可得，从而得出，再由直角三角形性质得出，可得，最后得出的长． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 故选：D 2．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， 故答案为：3． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论； （2）连接，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）连接，如图所示∶    ∵，，， ∴，， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∴ 解得， ∴． 【经典例题五 利用勾股定理求面积】 【例5】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（    ） A．4 B．5 C．10 D．25 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．理解以直角三角形两直角边为边长的正方形面积之和等于以斜边为边长的正方形面积是解决此题的关键．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 【详解】解：如图 根据勾股定理得到：正方形C与D的面积的和是正方形P的面积；正方形A与B的面积的和是正方形Q的面积；而正方形P，Q的面积的和是正方形M的面积． 正方形M的面积为， 正方形A，B，C，D的面积的和为25． 故选：D． 1．（2024·云南大理·一模）已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的面积等于（    ） A．8 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，选判断这个等腰三角形的底为4，腰为8，再根据勾股定理求出底边上的高即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当4为腰，底为8时，， ∴不能构成三角形， 当8为腰，底为4时，4，8，8能构成三角形， ∴这个等腰三角形的底为4，腰为8，如图，为底边上的高， ∴，， ∵为等腰三角形，为底边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理求出，从而得到，根据三角形的面积公式可得的面积为，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ， ， 又∵ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 3．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，四边形的周长为5，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，结合题意可求出，再根据勾股定理解答即可； （2）过点D作，交反向延长线于点E．易求出 ，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，再根据勾股定理可求出，从而得出，；再由四边形的周长为5，可得出，结合（1），可求出，进而可求出，即得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点D作，交反向延长线于点E． 由题意可知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形的周长为5，即， ∴，即． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积的计算等知识．掌握等边对等角和正确作出辅助线是解题关键． 【经典例题六 勾股定理与无理数】 【例6】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，数轴上点，表示的数分别是，，过点作，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴，先由勾股定理可求得的长，从而得到的长，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， ， ， ， 由勾股定理得：． ． 则点表示的数是， 故选：B． 1（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，数轴上点的平移，熟练掌握左减右加是解题的关键． 根据勾股定理，得，点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数． 【详解】根据题意，得，， 由勾股定理得：， 故点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数，即． 故选：D． 2．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，长方形中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理、数轴上点表示的数，先由长方形性质得到，再由勾股定理求出，根据题意得到，结合数轴上点所表示的数的方法即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，在长方形中，， ， ， 以点为圆心，的长为半径作弧交数轴的正半轴于， ， 表示的数为， 点所表示的数为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考： 我们在学习有理数时，可以根据有理数在数轴上的位置关系比较有理数的大小．数学兴趣小组发现可以用相同的方法比较无理数的大小，请根据他们的探究过程，完成下列问题： (1)借助网格，并用尺规画出与在数轴上的位置； (2)根据与在数轴上的位置，可得__________；（选搷“>”．“<＂或“=”） (3)若为的小数部分，为的整数部分，求． 【答案】(1)见解析 (2)> (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，准确的用数轴上的点表示实数并用数轴比较大小及估算无理数大小是本题解题关键． （1）以为斜边的直角三角形的直角边为1和2，以为斜边的直角三角形的直角边为1和3，以此为已知尺规作图即可； （2）由（1）中数轴可直观比较； （3）求出的小数部分和整数部分，再代入计算即可． 【详解】（1）如图，点A为，点B为， （2）∵数轴上右边的点大于左边的点， ∴由图得，为， 故答案为：； （3）∵， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴，， ∴ ． 【经典例题七 用勾股定理解三角形】 【例7】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，平分，且交于，若，则等于（    ） A．6 B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、勾股定理、等角对等边，由角平分线的定义得出，，求出，由平行线的性质得出，，得到，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，于点，于点，和交于点，若，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，证明，得到，则，则，，，根据得到，即可得答案． 【详解】解：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：D． 2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，点D为的中点，，于E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，三线合一，等积法求高，根据三线合一，得到，设，勾股定理求出的长，等积法求出的长，在中，利用勾股定理，求出的值，过点作，等积法求出的长，进而求出的长，，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵在中，，点D为的中点，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴，， 过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；    故答案为：． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，过点作于点，的平分线交于点，交于点，过点作于点，． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由勾股定理求出，再由，求出，即可得出答案； （2）由证得，得出，，则，设，则，，再由勾股定理得，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， 是的平分线， ， 在和中，， ， ，， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线定义、全等三角形的判定与性质、三角形面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【经典例题八 已知两点坐标求两点距离】 【例8】（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】A 【分析】根据两坐标点之间的距离公式求出，，的长度即可判断． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，， ∴，，， 则， ∴是等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查两坐标点之间的距离公式：已知两点坐标，，可得，掌握两坐标点之间的距离公式是解决问题的关键． 1．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵的顶点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 【答案】 3 ，或 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，解题的关键是∶ （1）利用两点间距离公式求出，，，然后根据“最佳间距”定义求解即可； （2）分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴点，，的“最佳间距”是3； 故答案为：3； （2）∵点，，， ∴，， 当时，或 若， ，，符合题意； 若， ，，符合题意； 当时，或， 若， ，，符合题意； 当时，无解， 综上，点的横坐标为，或． 故答案为：，或． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图平面直角坐标系中，已知三点，，． (1)请用含的代数式表示和的值， ， ； (2)请求出使得时的x值； (3)请求出的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理求两点距离，轴对称求线段和的最值问题； （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据（1）的结论，列出方程，解方程，即可求解； （3）取关于轴的对称点，根据，得出的最小值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， （2）解：∵ ∴ ∴ 解得： （3）∵，， 取点，则 则 ∴的最小值为 【经典例题九 勾股数问题】 【例9】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数满足等式，那么正整数叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（　　）    A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得： ， ， ， ∴当时，， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键． 1．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A．67 B．34 C．98 D．73 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得，，，， ，，，（且n为正整数） 当时， 解得：， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 2．（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ． 【答案】625 【分析】本题考查勾股树，根据勾股定理可知正方形A、B的面积之和等于正方形F的面积，同法可求正方形E、G的面积． 【详解】解：由勾股定理可知，， ， ， 故答案为：625． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例10】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理；根据勾股定理可得，再由正方形、三角形面积公式可得，，，， ，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点A作AK⊥HI于点K，交BC于点J， 中，， ， 四边形、四边形、四边形均为正方形， ， 正方形与同底等高， ， ， 正方形与同底等高， ， ， ， ， 故选：A． 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及正方形的面积，熟记勾股定理是解题关键，由正方形的面积公式可得结合勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ， 三个正方形的面积分别为， ， 在及中，由勾股定理可得： ，， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西防城港·期中）张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴图中两个“月牙”即阴影部分面积为 ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用直角三角形的面积公式计算即可求解； （）根据勾股定理计算即可求解； （）利用三角形面积即可求解； 本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题十一 勾股定理与网格问题】 【例11】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（    ） A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算．利用勾股定理求解的长度，再利用无理数的估算即可判断． 【详解】解：， ∵， ∴， 故线段的长度在数轴上对应的点应落在标注的④段， 故选：D． 1．（23-24八年级下·山西大同·期中）如图是由边长均为1的小正方形组成的网格，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点，，均在格点上．若，垂足为点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的求法，正确利用等面积法求出的长是解题关键．利用勾股定理得出的长，再利用等面积法得出的长． 【详解】由题意，得， 由勾股定理，得， ∵， ∴． ∴， 故选：A． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ； （2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 20 【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理计算到点A，B，C的距离即可判断； （2）根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． 3．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积．    (1)在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， (2)解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【答案】(1)，，， (2)图见解析，的面积为3 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可求出的长，利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积； （2）先利用勾股定理和网格特点分别画出，再利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积． 【详解】（1）解：由图可知，， ， ， 的面积为， 故答案为：，，，． （2）解：在图2的正方形网格中画出如下：    则的面积为． 【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】 【例12】（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 【详解】解：如图连接交于，作于． 在中，，， ， ， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，， 故选：A． 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 【答案】 /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 3．（23-24八年级下·广东河源·期中）小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： (1)如图1，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为，若，，求的长 (2)如图2，小王拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，若，求： ①的度数； ②若，求的长 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质，并灵活运用． （1）设，由折叠的性质可知，利用勾股定理建立方程求解，即可解题； （2）①利用直角三角形性质得到，由折叠的性质，即可解题； ②利用折叠的性质得到，再利用直角三角形性质即可解题． 【详解】（1）由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ； （2）①在中， ，， ， 由折叠可知：， ； ②由折叠可知， ，， ， 在中， ，， ； 【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例13】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 1．（2023·广东东莞·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①无法证明；②条件不足，无法证明；③依据，运用勾股定理即可得到；④依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到． 【详解】解：在四边形中，与不一定相等， 故①；②都不一定成立， ∵， ∴中，； 中，； 中，； 中，； ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形，， 是等腰三角形，， ∴ ，故④正确． 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】 【例14】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知：，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 2．（2022·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 或（舍去） 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    【答案】【小试牛刀】（1）5 ；（2）6；（3）5 ；【学以致用】 ；【挑战自我】    ； 【分析】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． 小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式进行解答； （2）利用两点间的距离公式进行解答； （3）利用两点间的距离公式进行解答； 学以致用：利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； 挑战自我：利用、所表示的几何意义解答． 【详解】解：小试牛刀：（1）． 故答案为：5； （2）． 故答案为：6； （3）． 故答案为：5； 学以致用：如图， 点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 此时． 故答案为：． 挑战自我：， 当取最小值时，表示点与点的距离与点与点的距离之和（或表示点与点的距离与点与点的距离之和）， 此时．， 当取最大值时，表示点与点的距离与点与点的距离之差（或表示点与点的距离与点与点的距离之差）， 此时． 故答案为：；． 1．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，以点C为圆心，以长为半径作弧，交边于点，再分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线交边于点D，点E是的中点，且，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，由作图知，根据勾股定理求出，然后利用直角三角形斜边上中线求出即可． 【详解】解∶连接， 由作图知：， ∵， ∴， ∵，点E是AB的中点， ∴ 故选：B． 2．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在中，，，，点分别在上，则的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．作点关于的对称点，连接，，，由轴对称的性质，可得，，，易得，并证明为等边三角形，过点作，交于点， 此时取最小值，即取最小值，为的长度，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，，如下图， 由轴对称的性质，可得，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 过点作，交于点，如下图， 此时取最小值，即取最小值，为的长度， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：B． 3．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，根据等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴由题意知，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的结果为18， 故选：A． 4．（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在中，，，点是内一点，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，延长，过点C作于点E，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，，求出，根据勾股定理求出，． 【详解】解：延长，过点C作于点E，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选：A． 5．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．在中，直角边，．若将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．49 B．51 C．72 D．76 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出的长度，然后利用外围周长即可求解． 本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 由题意可知， ∵ ，， ∴ ， ∴风车的外围周长． 故选：D． 6．（广东省茂名市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如题图，在中，，，，用尺规作图法构造的平分线，交于点，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，在中，为斜边上的中线，过点D作，连接，若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，为斜边上的中线，， ， ， ， 故答案为：3． 8．（23-24八年级下·四川广元·期末）荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动、有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地面EF的垂直高度，将它往前推送1.8m（水平距离）时，秋千的踏板离地面的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是 ． 【答案】/3米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】解：由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 设绳索的长度为，则， ∴， 解得：， 答：绳索的长度是． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，点D，E在边上，连接，，满足，，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求解，设，则，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为； 故答案为： 10．（23-24八年级下·山东青岛·期末）用一个平面截棱长为1的正方体（如图），截面形状可能是 ．（只填序号） ①边长为1的正方形 ②长为、宽为1的矩形 ③边长为的正三角形 ④三边长分别为1、1、的三角形 【答案】①②③ 【分析】本题考查正方体的截面图形和勾股定理，解题关键是掌握正方体的截面图形知识和勾股定理． 平面截正方体时，分析截面形状特点，通过空间想象和画图即可求得． 【详解】解：①当截面与正方体任意一个面平行时，截面形状为边长为1的正方形，如图： 故①符合题意； ②当截面通过正方体两个相对面的对角线时，由勾股定理得对角线为，所得截面为长为、宽为1的矩形，如图： 故②符合题意； ③当截面经过正方体三个两两相邻的面的对角线时，而一个面的对角线是，所截得的截面为边长为的正三角形，如图： 故③符合题意； ④无论怎样截取，都无法得到三边长为1、1、的三角形，故④不符合题意； 综上：用一个平面截棱长为1的正方体（如图），截面形状可能是①②③， 故答案为：①②③． 11．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．每个小方格的顶点叫格点． (1)求值：① ， (2)仅用无刻度直尺，作出的中线（注意标上字母），并保留作图痕迹． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，网格中求三角形面积，中线作图等． （1）根据题意利用勾股定理即可求出的长，根据网格求边长，利用三角形面积公式即可求出的面积； （2）取线段和线段交点即为中心，利用矩形对角线平分性质即可找到中点，连接即可． 【详解】（1）解：∵边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， ∴，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：如图，取格点为，连接，即和交点即为边中点，连接，即为的中线， ． 12．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． (1)求证：长方形各内角均为； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 【详解】（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 13．（23-24八年级下·四川德阳·期末）如图，在四边形中，，，． (1)求证：； (2)若，四边形的周长为5，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，结合题意可求出，再根据勾股定理解答即可； （2）过点D作，交反向延长线于点E．易求出 ，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，再根据勾股定理可求出，从而得出，；再由四边形的周长为5，可得出，结合（1），可求出，进而可求出，即得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点D作，交反向延长线于点E． 由题意可知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形的周长为5，即， ∴，即． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积的计算等知识．掌握等边对等角和正确作出辅助线是解题关键． 14．（2024八年级下·全国·专题练习）问题背景：在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将的面积直接填写在横线上： ； 思维拓展： （2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为，，，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． 探索创新： （3）若三边的长分别为（，，且），试运用构图法求出这三角形的面积． 【答案】（1）；（2）画图见解析，；（3）构图见解析， 【分析】本题主要考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，熟练掌握勾股定理，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答． （1）利用割补法求解可得； （2）在网格中利用勾股定理分别作出边长为、、的首尾相接的三条线段，再利用割补法求解可得； （3）在网格中构建边长为和的矩形，同理作出边长为、，的三角形，最后同理可得这个三角形的面积． 【详解】解：（1）的面积为， 故答案为：； （2）如图，，，， 由图可得：； 故答案为：； （3）构造所示，， ， ， ∴． 15．（四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年七年级下学期6月期末数学试题）在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E．    (1)如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证∶； (2)在射线上取点G，使，连接与交于点H． i)如图2，若，求线段的长； ii)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)i)；ii) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理以及等腰三角形的性质和判定； （1）由余角的性质可得，再加上以及直角即可证明； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，即可得到，，进一步可证明，得到； i)由可得，得到，得到，然后由勾股定理求出即可； ii)由设，，，则，得到，由可得，解得，即可得到． 【详解】（1）∵等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，    ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； i)∵， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； ii)∵ ∴设，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$