2.5.1直线与圆的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系 日出江花红胜火 春来江水绿如蓝 2 问题1：把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，那么在日出的过程中，体现了直线和圆的哪些位置关系？ 相交 相切 相离 地平线 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 直线与圆有两个公共点 直线与圆有一个公共点 直线与圆没有公共点 r d r d r d d < r d > r d = r 问题2：如何判断直线与圆的位置关系？ 1.通过直线与圆的公共点个数判断 2.通过直线到圆心的距离与半径的大小比较 已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系？ 探究交流 观察图形，我们可以通过直线与圆公共点的个数，判定直线与圆的位置关系--直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；只有一个公共点，直线与圆相切，没有公共点，直线与圆相离. 观察图形，我们可以通过直线与圆公共点的个数，判定直线与圆的位置关系--直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；只有一个公共点，直线与圆相切，没有公共点，直线与圆相离. 观察图形，我们可以通过直线与圆公共点的个数，判定直线与圆的位置关系--直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；只有一个公共点，直线与圆相切，没有公共点，直线与圆相离. 观察图形，我们可以通过直线与圆公共点的个数，判定直线与圆的位置关系--直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；只有一个公共点，直线与圆相切，没有公共点，直线与圆相离. 这种判断方法，判断角度是几何直观 .直线与圆相交，它们有两个公共点，之，直线与圆有两个公共点，就能判断，直线与圆的位置关系是相交. 对相切、相离两种关系的判断也是如此. 即用公共点的个数判断它们之间的位置关系.如果将图中的直线看作是可以平行移动的，直线与圆心距离的改变过程中，出现了不同的位置关系. 首先看相切这种特殊的位置关系，此时，圆心到直线的距离等于半径. 记圆心到直线的距离为d. 如果d<r,, 直线与圆相交；d=r ,直线与圆相切；d>r,直线与圆相离.这是第二种判断直线与圆位置关系的方法---通过圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断. 移动直线的过程中，圆心到直线的距离的变化引起位置关系的变化；反之，位置关系的变化导致圆心到直线的距离与半径大小关系的变化. 以相交为例，直线与圆相交、直线与圆有两个公共点、 d<r,它们之间的关系都是充分必要的. 以上是初中研究这一问题的方法. 4 直线与圆的 位置关系 圆心到直线距 离与半径比较 相交 d<r 相切 d=r 相离 d>r 2 1 0 d d d 问题2：已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系？ 公共点个数 探究交流 若判别式大于零，则方程组有两组不同实数解，直线与圆有两个公共点，它们相交；若判别式等于零，则方程只有一组实数解，公共点个数为一，直线与圆相切；判别式小于零，方程组没有实数解，没有任何一个点的坐标同时满足直线和圆的方程，直线与圆没有公共点，它们相离. （其中A , B不同时为0） 几何问题 代数问题 2 问题2 代数方法 几何 图形性质 问题3：本章研究直线与圆的方法是？ 探究交流 在解析几何中，我们用方程研究几何图形. 利用坐标系，把点，用有序数对表示，线，用二元一次方程表示，圆对应一个二元二次方程.研究方法是把几何问题转化为代数问题，运用代数方法研究几何图形的性质. 研究直线与圆的位置关系问题 ，也不例外，我们用直线、圆的方程研究它们的位置关系. 问题4：类比两直线的位置关系的研究过程，如何通过代数方法，研究直线与圆的位置关系？ 两直线的位置关系 联立两直线方程 方程组解的情况 直线与圆的位置关系 联立直线与圆方程 方程组解的情况 探究交流 几何—代数 代数—几何 联立、 解方程组 追问1：直线与圆的方程联立组成的 方程组，如何判断解的个数？ ② ① 消去y,得 方程有两组实数解 相交 方程有一组实数解 相切 方程没有实数解 相离 探究交流 问题3: 如何求直线l与圆C的交点坐标？ ① 探究交流 问题3：本章研究直线与圆关系的方法是？ 追问1：除了代数法还有没有其他判断直线与圆的位置关系的方法呢？ 直线 l 与圆C的位置关系 d 求d 与 r d 与 r的比较 几何—代数 代数—几何 思路2 位置关系 探究交流 【追问4】还有没有其他判断直线与圆的位置关系的方法呢？ 既然是几何问题，如果利用几何图形自身的性质.可以d与r的大小关系进行判断. 这是思路2：把判断直线与圆的位置关系，转化为圆心到直线距离与半径的大小关系 。 O C B A r y x d 追问: 如何求直线l与圆C所截得的弦长？ 探究交流 几何问题代数化 探究交流 12 相交：直线与圆有两个公共点 相切：直线与圆有一个公共点 相离：直线与圆没有公共点 法一 法二 两组解 一组解 无解 ＜ = ＞ 联立方程 计算点线距离 判断直线与圆位置关系的方法 探究交流 O P y x 注意：运用点斜式必须先判断斜率是否存在！！！ 追问1：点与圆的位置关系是什么？ 点在圆外 追问2：过圆外一点做圆的切线，能做几条切线？ 两条 追问3：如何刻画直线与圆相切？ 公共点的个数；圆心到直线的距离 追问4：直线方程选择什么形式？ 点斜式；两点式 探究交流 O P y x 斜率是否存在？ 探究交流 O P y x 斜率是否存在？ 探究交流 练习（第93页） 练习（第93页） 练习（第93页） ① 典例分析 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d， 圆的半径为r，弦长为|AB|，则 知识小结 (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与 圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， M 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 直线与圆的交点个数 2个 1个 0个 几何法：圆心到直线的距离 代数法：联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负) 几何法：计算量小； 代数法：可求交点. 课堂小结 题型2：知弦长，求弦所在直线方程 目标：求斜率 要点小结 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。 ②勾股+垂径定理： ③万能弦长公式： (斜率存在) (斜率存在不为0) 求弦长的方法： ①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标 联立线/圆方程，消元得px2+qx+t =0&韦达定理x1+x2,x1x2 重点1：直线与圆的相交弦 1.弦：连接圆上任意两点的线段。 ①直径是圆的最长弦；②圆心在弦的中垂线上. 2.弦心距：圆心到弦所在直线的距离； 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。 4.求弦长： ①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标 ②勾股/垂径定理： ③弦长公式： 弦心距 (斜率存在) (斜率存在 且不为0) 知识小结 求过某一点的圆的切线方程： (1)点(x0，y0)在圆上. ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为 由点斜式可得切线方程. ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外. ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.（或者联立方程，令Δ＝0） ②过圆外一点的切线有两条. ③当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况. 课堂练习 已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长. 解：（1）圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0， 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. 27 课堂练习 已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0， 28 基础巩固：直线与圆位置关系的判定(含参) a<-1或a>3 相交 过定点的直线与圆位置关系 例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 把分别代入方程①，得 所以直线l与圆C的两个交点是， 因此 解法2： 圆C的方程可化为， 因此圆心C的坐标为，半径为， 圆心C到直线l的距离 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 由垂径定理，得 例1 已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长. 解：联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得，解得 则|AB|＝ 即|AB|＝2. 2＋d2＝r2， －， 则＝2，解得k＝－， 圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. $$