6.8余角和补角 自主学案2023-2024学年浙教版数学七年级上册

浙教版数学七年级上册自主学案 第6章　图形的初步知识 6.8　余角和补角 教材的地位 和作用 　余角和补角是本册书“图形的初步知识”这一章中两个比较重要的基本概念.前面学生对角的度量和大小的比较的学习,已经为学习余角和补角打下了一定的基础.对探索余角和补角的性质的学习,是实验几何逐渐向证明几何的过渡,为以后证明角的相等提供了一种依据和方法,也为培养和发展学生的逻辑思维能力、观察分析能力、演绎归纳能力打下了坚实的基础 重点 难点 重点 　互余、互补的概念及余角、补角的性质 难点 　互余、互补的正确判断及用代数方法计算角的度数 易错点 　方位角中由于要画图分析,容易产生错角 知识点一　互余、互补的概念 如果两个锐角的和是一个　直　角,我们就说这两个角互为余角,简称互余.  如果两个角的和是一个　平　角,我们就说这两个角互为补角,简称互补.  若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互余,若∠1+∠2=180°,则∠1与∠2互补;反之,若∠1与∠2互余,则∠1+∠2=90°,若∠1与∠2互补,则∠1+∠2=180°. 1.判断: (1)若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2,∠3互为补角. (×) (2)已知一个角为∠α,这个角的补角可表示为180°-∠α. (√) (3)若∠α=90°,则∠α是余角. (×) 知识点二　余角、补角的性质 同角或等角的余角　相等　,同角或等角的补角　相等　.  2.若∠α+∠β=90°,∠β+∠γ=90°,则∠α与∠γ的关系是 (C) A.互余 B.互补 C.相等 D.没有关系 【例题探究】 类型一　求一个角的余角或补角 例1 (教材例2针对训练)一个角的余角比这个角的补角的还小10°,求这个角的余角及补角. 解:设这个角为x°,则这个角的余角为(90-x)°,这个角的补角为(180-x)°.根据题意,得 90-x=(180-x)-10, 解得x=60, 则(90-x)°=30°,(180-x)°=120°. 答:这个角的余角为30°,补角为120°. 【归纳总结】 用方程思想求角度的方法: 通常把一个角的度数设为未知数,再用含未知数的代数式表示出其他角的度数,抓住问题中的相等关系,构造方程求解. 类型二　余角、补角性质的综合应用 例2 (教材例1针对训练)如图1所示,点O在直线AB上,且∠AOC=∠BOC=90°,∠EOF=90°,试判断∠AOE,∠COE与∠BOF的关系. 图1 解:由条件知,∠AOE与∠COE互余,∠COF与∠COE互余,根据同角的余角相等可知∠AOE=∠COF,同理可知∠COE=∠BOF,而∠COF与∠BOF互余,所以∠AOE与∠BOF互余. 类型三　方位角的应用 例3 (教材补充例题)小王从家出发沿南偏东30°的方向走了1000米到达小军家,则小王家在小军家的　北偏西30°　方向上.  【归纳总结】 表示方位角的“三点注意”: (1)画表示方位的角时,一般以正北或正南方向作角的始边; (2)书写表示方位的角时,先写“北”或“南”,再写“偏东”或“偏西”,如“北偏东×”不要写成“东偏北×”; (3)“东北”方向指正北与正东方向的角平分线, “西北”“东南”“西南”以此类推. 【学以致用】 1．如图，∠α＝25°，∠AOC＝90°，B，O，D三点在同一条直线上，则∠β的度数为(　C　) 第1题图 A．65° B．105° C．115° D．155° 2．将一副三角尺按不同的方式摆放，下列摆放方式中，∠α与∠β互余的是(　A　) 3．如图，O为直线AB上一点，ON平分∠BOC，OM平分∠AOC，图中互余的角共有(　C　) 第3题图 A．2对 B．3对 C．4对 D．6对 【解析】 ∵ON平分∠BOC，OM平分∠AOC， ∴∠BON＝∠CON＝∠BOC，∠AOM＝∠COM＝∠AOC. 易知∠AOB＝180°， ∴∠CON＋∠COM＝∠BOC＋∠AOC＝∠AOB＝90°， ∴∠BON＋∠COM＝∠CON＋∠AOM＝∠BON＋∠AOM＝∠CON＋∠COM＝90°. 故互余的角有∠CON与∠COM，∠BON与∠COM，∠CON与∠AOM，∠BON与∠AOM，共4对． 4．如果∠1与∠2互余，∠1与∠3互补，∠2与∠3的和等于周角的，那么∠2的度数为__15__°. 【解析】 设∠1＝x°，则∠2＝90°－x°，∠3＝180°－x°.由题意，得 90°－x°＋180°－x°＝×360°， 解得x＝75，∴∠2＝90°－75°＝15°. 5．如图，OB的方向是南偏东60°，OA，OC分别平分∠NOB和∠NOE，求∠AOC的度数． 第5题图 解：∵OB的方向是南偏东60°， ∴∠SOB＝60°， ∴∠NOB＝180°－∠SOB＝120°. 又∵OA平分∠NOB， ∴∠NOA＝∠NOB＝60°. ∵OC平分∠NOE， ∴∠NOC＝∠NOE＝45°， ∴∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝15°. 6．如图，O是直线AB上一点，∠AOC与∠AOD互补，OM，ON分别是∠AOC，∠AOD的平分线． (1)根据题意，补全∠AOD＝∠BOC的探究过程(括号内填相应的依据)： ∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOC＋∠AOD＝__180__°. 又∵∠AOC＋∠__BOC__＝180°， ∴∠AOD＝∠BOC(__同角的补角相等__)． (2)若∠MOC＝72°，求∠AON的度数． 第6题图 解：(2)∵OM是∠AOC的平分线， ∴∠AOC＝2∠MOC＝144°. 又∵∠AOC与∠AOD互补， ∴∠AOD＝180°－∠AOC＝36°. 又∵ON是∠AOD的平分线， ∴∠AON＝∠AOD＝18°. 7．[推理能力]如图，三角尺的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角尺的两条直角边，OE平分∠AOD. (1)如图1，若∠COE＝20°，则∠BOD＝__40__°；若∠COE＝α，则∠BOD＝__2α__. (2)当三角尺绕点O逆时针旋转到如图2所示的位置时，其他条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系，并说明理由． 第7题图 解：(1)∵∠COE＝20°，∠COD＝90°， ∴∠EOD＝∠COD－∠COE＝70°. 又∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠EOD＝140°， ∴∠BOD＝180°－∠AOD＝40°. ∵∠COE＝α，同理可得∠EOD＝90°－α. 又∵OE平分∠AOD， ∴∠AOD＝2∠EOD＝2(90°－α)＝180°－2α， ∴∠BOD＝180°－(180°－2α)＝2α. (2)∠BOD＝2∠COE.理由如下： 设∠BOD＝β，则∠AOD＝180°－β. 又∵OE平分∠AOD， ∴∠EOD＝∠AOD＝＝90°－. 又∵∠COD＝90°， ∴∠COE＝∠COD－∠EOD＝90°－＝，∴∠BOD＝2∠COE. 学科网（北京）股份有限公司 $$