3.1椭圆（八大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

3.1椭圆 知识点一 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二 椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 知识点三 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 题型一 椭圆的定义 1．点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 2．已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 3．经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 4．在中，，已知点，则的最大值为（    ）. A． B． C．4 D．8 5．若椭圆1上的点P到左焦点的距离是5，则点P到右准线的距离是 6．已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 7．若为椭圆上一点，，为的两个焦点，且，则 ． 题型二 根据a,b,c求标准方程 8．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线，经过椭圆的右顶点和上顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 10．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 11．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 12．若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ． 13．请写出一个焦点在轴上，焦距为4的椭圆的标准方程 . 14．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 题型三 椭圆的焦点三角形 15．已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 17．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 18．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 19．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 20．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 21．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 22．已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 题型四 椭圆上点到焦点和定点的距离的和、差最值 23．已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 24．已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 25．已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 26．已知椭圆：的右焦点为F，P是上一点，，当的周长最小时，其面积为（    ） A．12 B．6 C．8 D．10 27．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 28．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 29．已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 题型五 椭圆的焦距、长轴、短轴 30．椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 31．已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 32．已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（   ） A． B．2 C． D． 33．已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（    ） A．4 B． C．3 D．2 34．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 35．（多选）已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C． D．9 36．已知椭圆（）与椭圆有相同的焦点，则（    ） A． B． C．3 D．4 题型六 根据椭圆的几何性质求标准方程 37．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 38．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 39．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 40．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 41．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点坐标为，离心率； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程． 42．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴长､焦距､焦点坐标､顶点坐标； 题型七 求椭圆的离心率 43．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 44．已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 45．设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 46．已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 48．已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率是 ． 49．已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 题型八 椭圆的实际应用 50．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（    ） A．1 B．2 C． D． 51．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 52．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 53．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 . 54．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ． 55．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1椭圆 知识点一 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二 椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 知识点三 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 题型一 椭圆的定义 1．点P是椭圆上一动点，则点P到两焦点的距离之和为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】由可得：， 由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为. 故选：C. 2．已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 【答案】D 【详解】因为 所以为线段上的点. 故选：D. 3．经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【答案】A 【详解】因为， 所以的周长为24． 故选：A. 4．在中，，已知点，则的最大值为（    ）. A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以点的轨迹是以点为焦点，长轴为8的椭圆. 所以当且仅当点是椭圆的上下顶点，最大，面积最大值为. 故选：A. 5．若椭圆1上的点P到左焦点的距离是5，则点P到右准线的距离是 【答案】3 【详解】 解析：由椭圆方程得2a＝8，c＝2，e＝＝，由点P到左焦点的距离是5，得点P到右焦点的距离是2a－5＝3.因为e＝，所以点P到右准线的距离是＝3. 【考查意图】 离心率的运用，椭圆第二定义． 6．已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义知， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 7．若为椭圆上一点，，为的两个焦点，且，则 ． 【答案】 【详解】对于椭圆，则，所以， 所以①， 又，即， 所以②， 由①②解得. 故答案为： 题型二 根据a,b,c求标准方程 8．若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6， 所以，则， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 9．已知直线，经过椭圆的右顶点和上顶点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线与坐标轴交点为，， 直线经过椭圆的右顶点和上顶点，所以，， 所以椭圆方程为：. 故选：C. 10．已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【详解】解：由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故，，， 则，即. 故选：B 11．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：，即，则， 且焦点在轴上，所以该椭圆的标准方程为. 故答案为：. 12．若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为 ． 【答案】/ 【详解】由题意知，设椭圆的标准方程为， 又，椭圆过点， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 13．请写出一个焦点在轴上，焦距为4的椭圆的标准方程 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】依题意，设椭圆方程为，其半焦距，显然， 令，得，所以椭圆的标准方程为. 故答案为：（答案不唯一）. 14．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. （2）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为. ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得 因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为. 方法二：设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为. 题型三 椭圆的焦点三角形 15．已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设C的左焦点为E，若直线AB经过C的左焦点E，则△ABF的周长为，故充分性成立． 由三角形不等式性质可知，，当且仅当点共线时等号成立． 故的周长为．故若的周长为，则直线AB经过C的左焦点，必要性成立． 故选：C． 16．椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．10 B．14 C．18 D．20 【答案】D 【详解】椭圆的长半轴轴，半焦距， 依题意，分别是的中点，即， 所以的周长为. 故选：D 17．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 18．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【详解】由可得：， 则椭圆得长轴长为， ， 可设，， 由题意可知，， ，，， △是直角三角形， 其面积． 故选：B． 19．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【详解】由，得， 设， 即，则，解得. 故选：B. 20．该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】9 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 21．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【答案】 【详解】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 22．已知椭圆的两个焦点，，点在椭圆上，且，则 ． 【答案】40 【详解】由题意可得， 在中，，由余弦定理， 得， 得， 得， 所以． 故答案为：40． 题型四 椭圆上点到焦点和定点的距离的和、差最值 23．已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 24．已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【详解】由椭圆得， 因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点， 则， 当且仅当在线段上时取等号， 所以的最大值为2. 故选：B. 25．已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【详解】由题意知，，设椭圆的左焦点为， 如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1， ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 26．已知椭圆：的右焦点为F，P是上一点，，当的周长最小时，其面积为（    ） A．12 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【详解】由题设，若是椭圆左焦点，如下图示， 的周长为，又， 而，结合图知：， 由，则， 所以，当且仅当共线且在之间取等号， 此时直线方程为，联立椭圆得，整理得， 所以或，由图知， 此时的面积为. 故选：B 27．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【答案】5 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 28．已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】 由为椭圆上任意一点，则 又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号）， ∴， 当且仅当M、N、E、共线时等号成立. ∵，，则， ∴的最小值为． 故答案为：． 29．已知定点，点为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值与最小值的和为 . 【答案】 【详解】设椭圆的左焦点为，可得， 由椭圆定义知， 又由点在椭圆内，，直线交椭圆于， 因为，即， 当且仅当点共线时取等号， 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以的最大值和最小值为，可得. 故答案为：. 题型五 椭圆的焦距、长轴、短轴 30．椭圆的长轴长与焦距之差等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得，，所以，， 所以长轴长，焦距， 所以长轴长与焦距之差等于． 故选：B 31．已知椭圆E：经过点，则E的长轴长为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为椭圆E：经过点，所以，解得， 所以，所以E的长轴长为. 故选：C. 32．已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的长轴长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由，，且为等边三角形，故，， 即有，有，又， 故，整理得， 故或（小于1，故舍去）， 即，故， 即的长轴长为. 故选：D. 33．已知直线经过椭圆的右焦点F和上顶点A，则C的长轴长为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】的斜率为，经过点，故其倾斜角为，因此, 由于，所以，所以， 故，故长轴长为, 故选：A 34．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得． 故选：A． 35．（多选）已知焦点在轴上的椭圆的焦距大于6，则的值可以为（    ） A．6 B．7 C． D．9 【答案】AC 【详解】因为椭圆焦点在轴上，所以焦距为，所以，解得. 故选：AC. 36．已知椭圆（）与椭圆有相同的焦点，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为椭圆（）与椭圆有相同的焦点， 所以，解得或（舍去）. 故选：B 题型六 根据椭圆的几何性质求标准方程 37．与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 38．若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 故选：D 39．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为. 故选：D 40．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 【答案】 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为， 其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、， 又由椭圆经过点， 则有， 则， 又由，则， 则要求椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将已知椭圆的方程变为标准方程. 41．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点坐标为，离心率； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1,2)，且与椭圆有相同离心率的椭圆的标准方程． 【答案】(1)＋＝1 (2)＋＝1 (3)＋＝1或＋＝1 【详解】（1）（1）依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又，则a＝4， ∴b2＝a2－c2＝42－32＝7， ∴椭圆的方程为． （2）设椭圆方程为，如图所示， 由一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8， 可得为等腰直角三角形，为斜边的中线(高线)， 又由，所以，所以， 故所求椭圆的方程为.    （3）由题意，椭圆，可得长半轴，短半轴， ， 因为所求椭圆与椭圆有相同离心率，可得， 解得，即， 当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为， 将点代入椭圆的方程，可得，解得， 所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，设所求椭圆的方程为， 将点代入椭圆的方程，可得，解得， 所以椭圆的方程为， 综上可得，椭圆的方程为或. 42．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆标准方程； （2）已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴长､焦距､焦点坐标､顶点坐标； 【答案】（1）（2），椭圆的长轴长为，焦距，焦点坐标为，顶点坐标为． 【详解】（1）因为椭圆，所以其焦点落在轴上，且， 所以设所求椭圆为，则有，解得（负值舍去）， 所以所求椭圆为. （2）因为椭圆可化为， 因为，所以，所以，故， 所以椭圆焦点落在轴上，则，， 所以， 因为，所以，即， 即，解得， 所以椭圆为，，，，则， 所以，椭圆的长轴长为，焦距，焦点坐标为，顶点坐标为． 题型七 求椭圆的离心率 43．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即是直角三角形， 因为直线的一个方向向量为，所以，即， 因为，所以， 因为，所以. 故选：A 44．已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上， 故，结合对称性可知四边形为矩形，有， 有，又， 由，则，， 由椭圆定义可得， 故， 则. 故选：C. 45．设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设，，，则，． 又，所以，化简得， 显然，所以，解得，，所以，， 故，解得，故的离心率为． 故选：D 46．已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为，为的中点， 所以，， 由椭圆定义可得， 所以， 又因为，为的中点， 所以，， 设椭圆的半焦距为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以椭圆C的离心率， 故选：A. 47．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，设，则，,, 则由余弦定理可得 化简可得，故，（舍去）， 又, 所以，化简可得，故， 故选：D 48．已知椭圆的左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则椭圆的离心率是 ． 【答案】/ 【详解】如图所示，椭圆上下定点， 所以以线段为直径的圆方程为， 又因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离为， 故，即， 所以离心率. 故答案为：. 49．已知椭圆的右焦点为F，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M位于第一象限，直线MF与椭圆C交于另外一点A，且，若，，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【详解】设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为为平行四边形， 设， 因为，，则， 且，可得，， 又因为，则， 在中，则， 可得， 即，解得， 所以椭圆C的离心率． 故答案为：． 题型八 椭圆的实际应用 50．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则平分，故， 而，由椭圆定义可知， 则，所以. 故选：B. 51．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图可知，，，，A不正确； ，，；B不正确； 由，可知，C不正确； ，可得，故， 即，，，即，D正确， 故选:D. 52．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】C 【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 53．甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 . 【答案】 【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，， 则， 因为， 故， 所以， . 故答案为：. 54．如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】/0.5 【详解】设球O半径为r，由题意知：， ，椭圆的长半轴长， 椭圆短半轴长为球的半径，即， 所以， 椭圆的离心率为， 故答案为：. 55．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】(1) (2)拱高、拱宽 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$