精品解析：2020年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题

2020年河北省普通高等学校对口招生文化考试 数学 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 下列集合中不是空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解每个集合中的元素即可判断. 【详解】对于A，由可得：且，有1个元素，故A不是空集； 对于B，即，该方程无解，故是空集； 对于C，恒成立，故是空集； 对于D，即空集的符号表示. 故选：A. 2. 若，则下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据赋值法，幂函数的单调性和正余弦特殊值分析选项即可. 【详解】A：，令，，则，，，故A错误， B：在上为增函数，且，∴，故B正确， C：令，，，，所以，故C错误， D：令，，，，所以，故D错误. 故选：B. 3. 设A、B为两个集合，则是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的关系和交集的运算和充要条件的概念分析即可. 【详解】因为A、B为两个集合， 所以由，可以得出集合A为集合B的子集，，所以充分性成立， 由，可以得出，所以必要性成立， 综上，是“”的充要条件. 故选：C. 4. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断即可 【详解】易知函数定义域为， 因为. 所以函数是偶函数. 故选：B. 5. 直线仅过第一、四象限，则下列关系成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线经过的象限分析a，b，c，即可求解. 【详解】因为直线，可转化为（）， 因为直线经过第一，第四象限， 所以直线垂直于x轴，且交轴于正半轴， 即， 所以，. 故选：B. 6. 直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知直线得到斜率及对应倾斜角，结合二倍角正切公式计算所求直线斜率，再根据点斜式求直线l的方程，整理成一般式方程即可得到答案. 【详解】直线斜率为，设倾斜角为，则有， 直线l的倾斜角为，则斜率为， 则由可得：. 故选：D. 7. 函数的最大值与最小值分别为（ ） A. 3， B. 4，0 C. 5，1 D. 2， 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据的性质，求解最大值和最小值即可. 【详解】令，则， 则， 对称轴为， 又因为函数在为减函数， 所以当时，； 当时，. 故选：A. 8. 数列的前n项和，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的前n项和公式和的关系求解即可. 【详解】因为， 所以时，， 时，， 所以. 故选：C. 9. 中，，，构成等差数列，则必为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到等式，再由三角形内角和为，进而确定即可. 【详解】因为中，构成等差数列. 所以. 因为. 所以. 故无法判断是钝角或直角或锐角三角形. 故选：D. 10. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式列出不等式求解即可. 【详解】因为函数. 所以解得. 所以函数的定义域为. 故选：A. 11. 圆上到直线的距离为1的点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离和两平行直线之间的距离进行分析即可. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 过圆心作的平行线l，如图： 直线且过点圆心， 所以直线， 所以两平行直线之间的距离， 故A，B点到l的距离为1， 又因为圆的半径，， 所以， 故圆上存在点D到直线的距离为1， 因此圆到直线距离为1的点有3个. 故选：D. 12. 某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有（ ） A. 20种 B. 40种 C. 60种 D. 80种 【答案】D 【解析】 【分析】分步计算选择医生和护士的选法，进而得到总的选法. 【详解】根据题意，分两步完成. 第一步，从4名医生中选出3名医生有种选法. 第二步，从6名护士中选出3名护士有种选法. 所以总的不同选法有种. 故选：D. 13. 设，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和性质，令求解即可. 【详解】令，. 故选：C. 14. 若双曲线方程为，其渐近线方程为，则其焦距为（ ） A. 13 B. 26 C. 39 D. 52 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，进而算出，再由关系得到计算焦距即可. 【详解】由双曲线方程可知，渐近线方程，即， ，则双曲线焦距为. 故选：B. 15. 已知抛物线方程为，过点且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，则线段AB的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到直线的方程，设，再联立方程组由韦达定理求出，进而由中点坐标公式即可求解. 【详解】因直线过点且倾斜角为. 所以直线斜率为. 所以直线的方程为. 设.中点坐标为. 联立得即 解得. 所以. 所以. 所以的中点坐标为. 故选：A. 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. 若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】当，， 当，，即. 故答案为：3 17. 若为一个集合，则a的取值范围是______．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据集合元素的互异性求解即可. 【详解】因为为一个集合， 所以，即， ，解得， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 18. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数运算和对数运算以及诱导公式和组合数的运算计算即可. 【详解】 故答案为：2. 19. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为______．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求解参数，进而求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为或. 所以. 所以. 所以不等式即. 解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20. 向量，，若向量与相互垂直，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为：. 21. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的正切公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 22. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式和化简原式，再将原式的分子分母同除构造求解即可. 【详解】因为， 又因为，， 所以原式. 故答案为：. 23. 椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】由椭圆方程可知，，， ∴， ∴离心率. 故答案为：. 24. 若，，，则a，b，c按由小到大顺序排列为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性和对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因，， 且幂函数在上单调递增， 因为，所以， 即， 因为，因为， 且对数函数在上单调递减， 所以. 所以. 故答案为：. 25. 在长方体中，底面边长，，高，则对角线与棱所成角的正切值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由线线平行，将异面直线转化为相交直线，再由边的关系求解正切值即可. 【详解】连接， 因为在长方体中，， 所以为对角线与棱所成的角， 又因为在长方体中，面， 因为面，所以， 因为，，所以， 所以在直角三角形中，. 故答案为：. 26. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有______种． 【答案】14400 【解析】 【分析】根据先排小品节目，再由插空法求解即可. 【详解】因为要求相声节目不能相邻， 所以可以先排5个小品节目，即有种排法， 5个小品节目会产生6个空位，将3个相声节目排在6个空位上， 有种排法， 所以不同的出场次序有种. 故答案为：14400. 27. 不等式的解集为______．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】因为对数函数在上单调递减， 所以由可得 ，解得， 所以不等式的解集. 故答案为：. 28. 已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理边化角和同角三角函数的商数关系进行求解即可. 【详解】由题可知， 所以由正弦定理得， 所以， 即， 又因为为的三个内角， 即，故是等边三角形， 所以. 故答案为：. 29. 在二项式的展开式中，含的项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的通项为 ， 当时，， 则， 所以含的系数是. 故答案为：． 30. 同时掷2颗骰子，则掷出点数之和为7的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出所有的结果，再列举出所以和为7的情况，求解概率即可. 【详解】试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有种结果， 满足条件的事件是点数之和是7， 可以列举出所有事件， 共有6种结果，根据古典概型概率公式得到. 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，共45分．请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 31. 设集合，，若为某个实数，求． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】解绝对值不等式得到，分类讨论集合，再根据交集的定义运算即可. 【详解】由知，或，故， 若，则，所以． 当时，由得，即，且． 所以，当，即时，． 当，即时，． 32. 某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求，问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 【答案】AB的长为18米，最大面积为平方米． 【解析】 【分析】根据设的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米，列出关于的二次函数，再求解函数的最值来求最大面积即可. 【详解】设的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米， 易知，， 因为，所以， 所以平行四边形高， 则平行四边形的面积 ． 故当AB的长为18米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大面积为平方米． 33. 设数列为等比数列，其中，，且成等差数列，求 （1）数列的通项公式； （2）数列的前6项和. 【答案】（1） （2）3906 【解析】 【分析】（1）根据条件列出等式求出，再结合等差数列的性质求解即可. （2）根据等比数列的前n项和公式求解即可 【小问1详解】 设的公比为q，由已知, 得，解得， 由成等差数列，得， 故， 化简得， 故或．由于，故舍去，得到， 从而得．所以的通项公式为． 【小问2详解】 ． 34. 已知函数， （1）求该函数的最小正周期； （2）当x为何值时，函数取最大值，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）时函数取最大值． 【解析】 【分析】（1）由三角函数降幂扩角公式、二倍角公式、辅助角公式化简后，利用周期公式解答即可； （2）利用三角函数值域求解即可. 【小问1详解】 ． 故函数的最小正周期为． 【小问2详解】 当， 即时函数取最大值． 35. 已知椭圆的右焦点为，长轴长和短轴长之和为12，过点，且倾斜角为的直线交椭圆与、两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求线段的中点坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，，求出，从而可得方程； （2）将直线方程与椭圆联立，根据韦达定理可得的值，利用中点公式可求中点横坐标，代入直线可得纵坐标，从而求解. 【小问1详解】 由题得解得. 故椭圆标准方程为. 【小问2详解】 因为直线过点，且倾斜角为， 故直线方程为，即. 由得. 设，线段的中点坐标则 ， 故线段的中点坐标. 36. 如图，已知矩形所在平面，E，F分别是，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求点P到的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：构造平行四边形，由线面平行的判定定理证明即可. 方法二：由面面平行的性质定理证明即可. （2）由线面垂直证明线线垂直，即可得到为点P到的距离，利用边的关系求解即可. 【小问1详解】 证法一： 如图所示，取中点M，连接，， 在三角形中，是中位线，所以且， 由于为矩形，所以且， 又因为E为的中点，所以且， 可得为平行四边形，所以， 因为不在平面内，在平面内， 故平面． 证法二： 取中点H，连接，， 因为E，F，H分别是，，的中点，所以，， 因为不在平面内，在平面内， 所以平面， 同理可证平面， 又由于和交于H点，在平面内, 从而平面平面， 又因为在平面内， 故平面． 【小问2详解】 由于平面，在平面内，故， 又因为为矩形，所以， 又因为垂直于平面内的两条相交直线， 所以平面，在平面内，故， 因此为点P到的距离， 在直角三角形中，，． 由勾股定理． 故． 37. 取一副扑克牌，去掉大小王牌，剩下梅花、黑桃、红桃、方片四种花色共52张，现在放回地随机抽取3次，设为抽到梅花牌次数，求 （1）至少抽到1次梅花的概率； （2）的概率分布． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）计算出抽到梅花牌和其他牌的概率，再根据对立事件求概率和二项分布计算概率即可. （2）根据二项分布计算概率并写出分布列即可. 【小问1详解】 由于4种花色均为13张，故一次抽取抽到梅花的概率为．从而抽到其他3种花色的概率为．故． 【小问2详解】 根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以，的概率分布为 0 1 2 3 P 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2020年河北省普通高等学校对口招生文化考试 数学 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 下列集合中不是空集的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 设A、B为两个集合，则是“”的（ ） A 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 5. 直线仅过第一、四象限，则下列关系成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 直线l过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的最大值与最小值分别为（ ） A. 3， B. 4，0 C. 5，1 D. 2， 8. 数列的前n项和，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 9. 中，，，构成等差数列，则必为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 10. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 11. 圆上到直线的距离为1的点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 12. 某医院为支援湖北疫情，从4名医生和6名护士中选派3名医生和3名护士参加援鄂医疗小分队，不同的选派方法共有（ ） A 20种 B. 40种 C. 60种 D. 80种 13. 设，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 14. 若双曲线方程为，其渐近线方程为，则其焦距为（ ） A. 13 B. 26 C. 39 D. 52 15. 已知抛物线方程为，过点且倾斜角为45°的直线l交抛物线于A，B两点，则线段AB的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. 若，则______． 17. 若为一个集合，则a的取值范围是______．（用区间表示） 18. 计算：______． 19. 已知不等式的解集为或，则不等式的解集为______．（用区间表示） 20. 向量，，若向量与相互垂直，则______． 21 计算：______． 22. 已知，则______． 23. 椭圆的离心率为______． 24. 若，，，则a，b，c按由小到大顺序排列为______． 25. 在长方体中，底面边长，，高，则对角线与棱所成角正切值为______． 26. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有______种． 27. 不等式的解集为______．（用区间表示） 28. 已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则______． 29. 在二项式的展开式中，含的项的系数是______． 30. 同时掷2颗骰子，则掷出点数之和为7的概率为______． 三、解答题（本大题共7小题，共45分．请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 31. 设集合，，若为某个实数，求． 32. 某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求，问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 33. 设数列为等比数列，其中，，且成等差数列，求 （1）数列通项公式； （2）数列的前6项和. 34. 已知函数， （1）求该函数的最小正周期； （2）当x为何值时，函数取最大值，最大值为多少？ 35. 已知椭圆的右焦点为，长轴长和短轴长之和为12，过点，且倾斜角为的直线交椭圆与、两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求线段的中点坐标. 36. 如图，已知矩形所在平面，E，F分别是，的中点，，． （1）求证：平面； （2）求点P到的距离． 37. 取一副扑克牌，去掉大小王牌，剩下梅花、黑桃、红桃、方片四种花色共52张，现在放回地随机抽取3次，设为抽到梅花牌次数，求 （1）至少抽到1次梅花的概率； （2）的概率分布． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$