7 数学广角——植树问题-【训练达人】2024-2025学年五年级上册数学（人教版）浙江

数学广角 植树问题 第①课时 植树问题(1) ⊙练基础 知识巩固 ③（教材改编）在一条大道的一侧从头到尾 ①选一选。 安装路灯，共安装路灯86个。这条大道 (1)有一条长700m的公路，计划在路的 全长17km,两个路灯相隔多少米？ 一侧每隔7m栽一棵树，如果两端都栽， 那么“700÷7”求出的是()。 A.棵树B.株距C.间隔数D.总距离 (2)学校鼓乐队出操，竖行从第一人到最 后一人的距离是30m,每两人之间相距 练能力 知识运用 2.5m。这一竖行有()人。 ④（易错题）小明家里的台钟敲5下用去 A.11B.12 C.13 D.14 12秒，如果敲10下用去多少秒？ (3)一条小路一旁栽了21棵树（两端都 栽)。如果每两棵树都间隔5m,这条小 路长()m。 A.100 B.104 C.105 D.110 (4)消防安全关系到千家万户，是我们幸 ⑤（易错题）实验小学的教学楼每两层楼之 福生活的保证，也是企业安全生产、经营 间共有19级台阶，每级台阶高0.15m。 的保障。某生产企业认真执行“2小时 红红所在的五(3)班教室在5楼，她每天 消防检查”制度（每隔2小时检查一次）， 早晨进教室要走多少级台阶？共上升了 李师傅第7次检查时正好是20：00，那么 多少米？ 李师傅第1次检查时是()。 A.6:00B.8:00C.10:00D.14:00 2(新情境·人文景观)云霄枇杷有早熟、风味 香浓、外观鲜艳的特点，因此有“闽南开 春第一果”之称。李叔叔打算在山脚下 练思维 素养提升 的小路两旁栽种枇杷树，已知这条小路 6公园走廊的一侧摆放着31盆花（两端都 长42m,每隔3m栽一棵枇杷树，一共 摆)，每两盆花间隔5m。现在要改为只 可以栽多少棵枇杷树？（两端都栽） 摆放26盆（两端都摆），它们之间的间隔 应改为多少米？ 78》 第7单元 第2课时 植树问题(2) ·○)练基础 知识巩固 练能力 知识运用 1选一选。 ④为了美化校园，学校在校门口到教学楼 (1)市政工人要在1500m长的路段上修 的两侧每隔4m放了一盆花（教学楼这 建25个排水井，平均( )m长的路段 一端不放)，一共放了18盆，校门口到教 就要修建一个排水井。（路段起点修排 学楼有多长？ 水井，终点不修) A.59 B.60 C.61 D.62 (2)在一座桥上每隔 50m装一盏路灯，从 5一根钢管长13m,李师傅要把它锯成 桥一侧的一端到另一 2.6m的小段，每锯一次需要4.5分钟， 端共装了26盏路灯 锯完一共需要多少分钟？ (桥的两端不装)。这座桥长( )me A.1250B.1300C.1350 D.1400 2一条路长400m,在路的一侧每隔20m 种一棵树。 6110m跨栏是奥运会的一项重要比赛项 (1)两端都不种，可以种多少棵树？ 目。下面是110m栏赛道的示意图。问 每两栏之间的距离是多少米？ 110m 第1栏 起点 第10栏 终，点 13.72m 14.02m (2)一端种，一端不种，可以种多少棵树？ 练思维 素养提升 3(易锚题)天源小区某幢住宅楼电梯上、下 ⑦一个人以相等的速度在小路上散步，从 的速度相同，每上一层需3秒。张帆住 第1根电线杆走到第7根电线杆用了12 在这幢大楼的11楼，乘电梯到1楼共需 分钟。如果这个人走了24分钟，应走到 几秒（不计停留时间）？ 第几根电线杆？ 》◆79 小学数学五年级1上册 第③课时 植树问题(3) ·⊙练基础 知识巩固 ⑤（易错题）学校举行团体操表演。五年级 ①填一填。 学生排成正方形方阵，最外层每边站15 (1)圆形滑冰场的一周全长是150m。 名学生，最外层一共有多少名学生？整 如果沿着滑冰场一周每隔15m安装一 个方阵一共有多少名学生？ 盏灯，一共需要安装()盏灯。 (2)在环湖路上每隔100m放置1个垃圾 箱，共放置了30个。环湖路长()m。 (3)(易错题)一个正三角形的花坛，在花 坛的每一边都摆了15盆菊花（每个顶点 6有一个圆形花坛绕着它走一圈是120m 都有一盆)。一共摆了()盆。 如果沿花坛周围每隔6m栽一株丁香 2(新趁势·开放式题)世界上最粗的树是“百 花，再在每相邻的两株丁香花之间等距 骑大栗树”，为了保护它，园林处要为它 离地栽两株月季花，可栽丁香花和月季 做一个长80m的圆形防护栏。 花各多少株？ ,一共需要打多少个桩？ (先补充条件，再列式解答) 练思维 素养提升 ⑦正方形操场的四周每隔5m栽一棵树， ③体育课上48名同学在操场上围成一个 四个角上都栽。甲、乙从同一个角上同 圆圈做丢手帕游戏，每相邻两名同学之 时出发，向不同的方向走去，如图。甲的 间都是2m。这个圆圈一周全长是多 速度是乙的2倍，乙在转了一个弯之后 少米？ 的第5棵树与甲相遇（把角上的树看作 第一棵树)，这个操场四周一共栽了多少 棵树？ 练能力 知识运用 4“有山皆有园，无水不成景”。工人师傅 正在给一个六边形的喷水池安装喷头， 每条边安装5个（每个顶点都安装）。需 要安装多少个喷头？ 80◆◆P 第7单元 第七单元知识梳理 总距离÷株距=间隔数 棵数=间隔数()1 两端都栽 例：在一条全长150m的小路一侧栽树，每隔10m栽一棵 (两端都栽)。一共要栽：150÷10+1=（)探。 里7…9 在一条 总距离÷株距=间隔数 路线上 棵数=间隔数()1 植树 两端都 例：两栋教学楼间隔80m,每间隔8m栽一棵小树(（两端 不栽 都不栽)。一共要栽：( )=()棵。 。 总距高÷株距=间隔数 棵数=间隔数 一端栽， 例：在一条长1500m的林荫大道栽树，每隔15m栽一裸 数学广角 一端不栽 (一端栽，一端不栽)。一共要栽：( )= 植树问题 ( )棵。 总距离÷株距=间隔数 棵数=间隔数 内容 例：在一个周长为10)m的圆形池塘周围栽树，每隔10m 在一条 尾相连的 栽一棵。一共要栽： )=()裸。 封闭路线 上植树 如果是多边形，必须考虑顶，点处栽不栽 》p81 小学数学五年级1上册 ··第七单元复习作业·· 一、填一填。 2.在路一侧安装灯笼（两端都安装），每两 1.男生和女生手拉手排成一行做游戏，每 个灯笼之间相距12m,第一个灯笼与最 两个男生之间都有一个女生。如果男生 后一个灯笼相距1920m。一共安装了 有17人，女生有()人。 ( )个灯笼。 2.学校图书馆和教学楼相距72m。学校要 A.158 B.159 C.160 D.161 在两者间的小路两旁摆放盆栽鲜花（两 端不放)，相邻两盆花之间的距离是3m, 3.小明把20根绳子打结连起来，变成一根 一共要放()盆花。 长绳，这根长绳上有( ）个结，把这些 3.惠州龙门举行的半程马拉松全程约 绳子首尾相接并在接口处打结，连成一 21km,假设组委会平均每3km设置一 圈，需要打( )个结。 处补给站（起点不设，终点设），全程一共 A.21 B.20 C.19 D.18 有( )处这样的补给站。 4.(易错题)把一根木头锯成8段，每锯下一 4.(新情况·生活运用)某通勤高峰快巴T1路 段需要3分钟，锯完一共需要( 公交车站牌（部分）如图，早高峰期间这 分钟。 辆公交车一共发了( )次车。 5.在圆形的水池边，每隔3m种一棵树，共种 树50棵。这个水池的周长是()m。 早高峰 首班：7：00 末班：9：00 6.(易错题)学校在一个长9m、宽3m的长 每隔20分钟发一次车 方形舞台外沿，每隔 1.5m挂一束气球 舞台 A.5 B.6 C.7 D.8 (一束气球有3个)， 5.(易错题)小华和爷爷同时上楼，小华上楼 9 ni 的速度是爷爷的2倍，当爷爷到达4楼 靠墙的一面不挂，但四个角都要挂。一 时，小华到了( )楼。 共需要( )个气球。 A.6 B.7 C.8 D.9 7.实验小学五年级学生352人排成四路纵 6.围棋盘的每行每列都能放进19枚棋 队去踏青，队伍前进的速度是每分钟 子，最外围一圈一共能放 44m,前后每相邻两人相距0.8m,现在 ( )枚棋子，整张棋盘一 队伍要通过一座桥，整支队伍从上桥到离 共能放( )枚棋子。 开共用13.4分钟，这座桥的长度是()。 A.342 B.72 C.361 D.76 二、选一选。 7.参加学校运动会开幕式表演的学生排成 1.(易错题)将一根长32m的铁丝平均剪成 一个空心方阵，最外层有60人，最内层 4m长的小段，最多需要剪( )次 有36人，这批学生共有( )人。 A.144 B.175 C.192D.256 A.7 B.8 C.9 D.10 82◆◆P 第7单元 三、解决问题。 5.(新趁势·开放式题)漳州水仙花鳞茎硕 1.驿站是古代供传递官府文书和军事情报 大、色美香郁，有“天下水仙数漳州”之美 的人或往来官员途中食宿、换马的场所。 誉。为迎接新春佳节，某公司计划在公 如果一名情报兵从A驿站到B驿站一共 司走廊两侧等距离摆放水仙花盆栽，已 行了570里。相邻的两个驿站之间的距 知这段走廊全长33.6m,一共要摆放30 离是30里，求从A驿站到B驿站共有多 盆水仙花，如果你是公司后勤部工作人 少个驿站。（含A、B两个驿站）（里：长度 员，请你设计几种摆放方案。（最少两种 计量单位，1里=500m) 方案) 2.(易错题)某条路上两侧有248盏路灯，相 邻两盏路灯之间的距离都是30m。你知 6.(新趋势·学科融合)东东学完植树问题后， 道从第一盏路灯到最后一盏路灯的距离 爷爷给他出了一道趣味题：湖边春色分 是多少米吗？ 外娇，一株杏树一株桃，平湖周围三千 米，六米一株都栽到，漫步湖畔景色美， 可知桃杏各多少。你能算出桃树、杏树 各多少棵吗？ 3.(泰安期末真题)木工锯一根长13m的木 条。他先把一头损坏部分锯下1m,然后 把剩下的木条锯了5次，锯成一些一样长 的短木条。每根短木条长多少米？ 7.为了迎接元旦，五(3)班家委们准备布置 教室，如图为教室的长方形天花板，长 8m,宽6m,对角线长10m。家委们打 4.阅兵式上25辆99式坦克组成5×5的方 算在四条边及对角线上每隔0.5m挂一 阵，每辆坦克长7.3m,宽3.5m,高2.4m。 盏小灯笼，并且四个顶点处均各挂一盏， 行进中前后间距10m,左右间距8m。 一共要挂多少盏小灯笼？ 这样一个方阵的长和宽分别是多少米？ (画一画草图) ◆◆◆83答案详析 以看出这是一个等腰三角形的交通路牌， 查的时刻。 5.4m=54dm,有6个9dm,3.5m= 2.(42÷3+1)×2=30(棵) 35dm,有5个7dm,可得红色三角形有 答：一共可以栽30棵枇粑树。 6×5=30(块)：②同时一红一白两个三角 【解析】根据两端都植树时，种植棵数=路的 形组成一个平行四边形，根据平行四边形 长度÷间隔距离十1，列式计算即可求解 的性质，我们发现每一层还有满足条件的 3.17km=17000m 白色三角形5块，可得白色三角形有5×5 17000÷(86-1)=200(m) =25(块)，共55块。即最多可以剪55块 答：两个路灯相隔200m 这样的三角形交通路牌。 【解析】两端都要安装时，间隔数=路灯盏数 54 dm 一1，所以这里一共有86-1=85（个）间隔，利 用道路的总长度除以间隔数，就是每个间隔 的距离。 4.(10-1)×[12÷(5-1)]=27(秒) 答：如果敲10下用去27秒 9dm 【解析】此题可以看作两端植树问题，植树棵 5.(1)画图路6(2)11 数=间隔数十1。①台钟敲5下用去12秒，也 【解析】(1)根据“路程=速度×时间”可以 就是说4个间隔用了12秒，由此求出一个间 求出直角梯形平移的路程。即用梯形移 隔所用的时间：②台钟敲10下，中间的间隔 数是(10一1)个，用间隔数(10一1)乘一个间 动的速度乘移动的时间，可以求出直角梯 隔所用的时间就是敲10下用去的时间。 形向右平移了2×6=12(cm):观察图形可 5.19×(5-1)=76(级) 知平移后的图形与长方形重叠部分是两 76×0.15=11.4(米 直角边分别为2cm,6cm的直角三角形， 重叠部分的面积为2×6÷2=6(cm)。 答：她每天早晨进教室要走76级台阶，共上 (2)此题要求在直角梯形平移过程中，整 升了1且.4米 6.5×(31-1)÷(26-1)=6(m) 个直角梯形与长方形完全重叠的时间维 答：它们之间的间隔应改为6m 持了多少秒，需要先求出直角梯形在平移 【解析】此题可以看作两端植树问题，植树棵 过程中平移的路程是多少，如图所示： 数=间隔数十1。①根据题意，公园走廊的一 侧摆放着31盆花（两端都摆），那么间隔数是 10 31一1=30（个），再乘上间隔距离5m可以求 26-4 出走廊的长度；②现在要改为只摆放26盆 再结合“时间一路程÷速度”即可解答。 (两端都摆)，这时的间隔数是26一1=25（个）， 7数学广角一植树问题 用走廊长度除以间隔数，就是间隔距离。 第〔)课时植树问题(2) 第〔①课时植树问题(1) 1.1)B(2)C 1.(1)C(2)C(3)A(4)B 【解析】“桥的两端都不装”，所以是属于两端 【解析】根据题意可知，用第7次消防检查的 都不栽的植树问题，先用彩灯的盏数加1，求 时刻减去(7一1)个2小时等于第一次消防检 出间隔数，再乘上每个间隔的长度即可求解 D◆◆41 小学数学五年级上册 2.(1)400÷20一1=19（棵） 了(7一1)个间隔用了12分钟，由此求出走1 答：可以种19棵树。 个间隔的时间：②用24除以走1个间隔的时 (2)400÷20=20(棵) 间即可求出24分钟走的间隔数，再加1就是 答：可以种20棵树。 应走到第几根电线杆。 【解析】根据“间隔数=总距离÷间距”可以求 第③课时 植树问题(3】 出树的间隔数，列式为：400÷2=200（个）： 1.(1)10 (1)如果两端都不种，一侧栽树的棵数=间隔 数一1：(2)如果一端不种，一侧栽树的棵数= 【解析】在封闭线路上植树，棵数与间隔数相 等，即：棵数=间隔数。根据题意，直接用周 间隔数。 长150m除以间距15m即可求出一共需要 3.3×(11一1)=30（秒） 答：乘电梯下去共需30秒。 安装几盏灯。 【解析】从1楼到11楼一共有11一1=10（个） (2)3000 间隔，每个间隔需要3秒，据此即可解答。 (3)42 4.18÷2×4=36(m) 【解析】根据题意，在正三角形的三条边上摆 答：校门口到教学楼有36m长 花盆，三个顶点都放，那么在数每一边的时 【解析】考查了两旁植树问题中求路长，用总 候，会多数3盆，用每边摆15盆，乘上边数3， 盆数除以2，求出一旁的盆数，再根据一端植 再减去顶点的个数3盆即可。 树、一端不植树问题，用盆数乘间隔距离 2.示例：如果每隔2m打一个桩 即可。 80÷2=40(个) 5.13÷2.6=5(段) 答：一共需要打40个桩 (5-1)×4.5=18(分钟) 【解析】本题属于在封闭路线植树问题，棵数 答：锯完一共需要18分钟。 =总长度÷间隔，由问题“一共需要打儿个 【解析】本题考查了植树问题，知识点是：锯的 桩”可知还差一个条件：每个桩的间隔是多 次数=段数一1。根据题意，用13除以2.6求 少，据此解答。 出锯的段数，锯木料的次数比锯的段数少1， 3.48×2=96(m) 再求出锯的次数，然后用锯一次木料所用的 答：这个圆圈一周全长是96m 时间乘次数，那问题即可解决。 【解析】封闭图形中，植树的棵数等于间隔数， 6.(110-13.72-14.02)÷(10-1)=9.14(m) 所以48个同学之间就有48个间隔，用每个间 答：每两栏之间的距离是9.14m。 隔的长度乘上48即可。 【解析】①首先求出第1栏至第10栏之间的 4.(5-2)×6+6=24(个) 距离：110一13.72一14.02=82.26(m):②根 答：需要安装24个喷头 据植树问题中两端都植的情况，求出第1栏至第 5.(15-1)×4=56(名) 10栏之间的间隔数是(10一1)，再用除法解答。 15×15=225(名) 7.24÷[12÷(7-1)]+1=13(根) 答：最外层一共有56名学生，整个方阵一共 答：应走到第13根电线杆 有225名学生。 【解析】此题属于典型的植树问题，关键是知 【解析】方阵问题中，最外层四周人数一（最外 道“电线杆数=间隔数十1”，由此再根据基本 层每边人数一1)×4：实心方阵中总人数=最 的数量关系解决问题。①根据“从第1根电 外层每边人数×最外层每边人数，代入数据 线杆走到第7根电线杆用了12分钟”，知道走 即可解答。 42p》D 答案详析国 6.丁香花：120÷6=20（株） 【解析】本题关键是求出一共有多少个间 月季花：20×2=40（株）】 隔数，然后再乘上间隔距离即可。根据题 答：可栽20株丁香花，40株月季花 意，此题属于两端都栽的植树问题，利用 【解析】①根据周长是120m,在花坛周围每 盏数一1，求得间隔数，再乘上每两盏路灯 隔6m栽一株丁香花，可以求出间隔数，列式 之间的距离30m即可得解。 为120÷6=20（个），因为是在圆形上栽，所以 3.(13一1)÷(5+1)=2(m) 栽花的株数=间隔数，因此栽了20株丁香花： 答：每根短木条长2m ②又由于“每相邻的两株丁香花之间等距离 【解析】由题意知：这根木条第一次锯下的 地栽两株月季花。”所以用间隔数乘2就是栽 1m后，还有12m,这12m锯了5次，就 月季花的株数，据此解答。 会平均分成5+1=6（段），用12m除以平 7,因为甲的速度是乙的2倍，乙走了操场的一 均分成的段数，即可求出每根短木条长多 条边，甲走了两条边，乙拐了一个弯之后走到 少米。 第5棵树，实际走了4个间隔，那么甲应该走 4.7.3×5+(5-1)×10=76.5(m) 了8个间隔，相遇的树就是甲拐弯以后走的 3.5×5+(5-1)×8=49.5(m) 第9棵树，所以这一边有9+4=13（棵）树 答：这个方阵的长是76.5m,宽是49.5m 操场周围一共有(13一1)×4=48（棵）树。 7.3m 0叫 70m 0可 第七单元复习作业 3.5m -、1.162.463.74.215.1506.33 7.520m 【解析】队伍是排成四路纵队，而不是一路纵 队，这是求队伍长的关键。根据题意，先求 8 出队伍的总长，用352除以4可以求出一路 纵队的人数，减去1得到间隔数，再乘上前 【解析】此题可以看作两端植树问题，植树 后两人都相距的0.8m就是队伍长：根据队 棵数=间隔数十1。根据题意，方阵的长 伍的速度乘过桥时间就是桥长与队伍长的 等于5辆坦克的长加上4个前后间隔的长 和，再减去队伍长就是桥长。 度：方阵的宽等于5辆坦克的宽加上4个 二、1.A2.D3.CB4.C5.B6.BC 左右间距的长度，据此列式解答即可。 7.C 5.30÷2=15(盆) 【解析】方阵问题相关的知识点是：四周的人 方案一：两侧都摆放15盆水仙花，两端也 数=（每边的人数一1）×4=每边人数×4一 都摆放。 4=(每边人数一2)×4十4…，每边的人 间距：33.6÷(15-1)=2.4(m) 数=四周的人数÷4十1，实心方阵的总人 方案二：两侧都摆放15盆水仙花，一端摆 数一每边的人数×每边的人数，每一层和与 放一端不摆放。 它相邻一层每边的人数都相差2人。 间距：33.6÷15=2.24(m) 三、1.570÷30+1=20（个） 方案三：两侧都摆放15盆水仙花，两端都 答：从A驿站到B驿站共有20个驿站。 不摆放。 2.(248÷2-1)×30=3690(m) 间距：33.6÷(15+1)=2.1(m) 答：从第一盏路灯到最后一盏路灯的距离 【解析】此题属于“植树类”问题。对于在 是3690m. 一条线段上植树问题要明确以下问题： D◆◆43 小学数学五年级上册 ①是一侧植树，还是两侧植树：②是两端 就舍。 都植树，还是一端植树一端不植树，还是两 (3)千1010 端都不植树。根据此方法来解答问题。 (4)> 6.3千米=3000米 (5)2.232.232.233<2.23 3000÷6=500(棵) 【解析】根据小数大小比较的方法进行比较。 500÷2=250(棵) 在比较时，可以将这些循环小数多写一个循 答：桃树栽了250棵，杏树栽了250棵 环节，这样更容易比较出它们的大小。 【解析】①根据题意可得，在平湖（封闭图形） 2.(1)C(2)C(3)B(4)D 一圈栽树，所以栽树的棵数=间隔数，平湖的 (⑤)B【解析】本题可以用“假设法”解答，假设 周长是3000m,即总长度为3000m,每6m 等式的值等于某一个数，然后分别求出A,B,C, 栽一棵树，即间隔长度为6m,根据“总长 D的值，再化为小数比较大小。 度÷间隔长度=间隔数”，用3000m除以 (6)A【解析】1年有365天，1天有24小时 间隔长度6m可求出桃树和杏树的总棵 算出水管滴水1年可以集到的数量，再求出近似 数：②又因为题中说明“一株杏树一株 值即可。 桃”，即桃树和杏树的棵数相等，用总棵数 3.3360.05080.10.02(竖式路) 除以2即可解答。 【解析】求商的近似数的方法：需要保留几位 7.(8+6)×2÷0.5=56(盏) 小数，就要先计算到比要保留的小数位数多 10÷0.5-1=19() 一位，再将最后一位“四舍五人”。 19×2-1=37(盏) 4.66.3630.6336100 56+37=93(盏) 5.64500g=64.5kg 答：一共要挂93盏小灯笼。 64.5÷9.5≈6（棵》 【解析】在封闭线路上植树，棵数与段数相 答：妈妈的这些能量最多能种6棵梭梭树 等，即：棵数=间隔数：如果植树线路的两 【解析】依据除法的意义，用绿色能量的总千 端都不植树，那么植树的棵数比要分的段 克数除以每棵梭梭树需要能量的千克数，问 数少1，即：棵数=间隔数一1。解决本题 题即可得解。注意得数用“去尾法”取值 要先求出长方形的周长，再除以0.5求出 6.情况一：晓军家 学校体育馆 四条边上挂小灯笼的个数，然后根据两端 都不植树的问题解答方法求出对角线上 (1.9+1.1)×2×2×5=60(km) 挂小灯笼的个数，然后进一步解答即可。 情况二：晓军家体育馆学校 8总复习 1.9×2×2×5=38(km) 答：一周（按5天）要走60km或38km 第D课时数与代数(1) 【解析】本题需要考虑两种情况。情况一：三 L.(1)29.89305 个地方从左往右依次是晓军家，学校、体育 【解析】根据积的变化规律和商的变化规律 馆。每天往返两次，每天往返两次，每次是走 解题。 2个(1.9+1.1)km,2次就是(2×2)个(1.9+ (2)7.03.303.299 1.1)km,由此求出每天走的路程，再乘上一周 【解析】“四舍五人”法：在需要保留的有效数 的天数（⑤天）即可求解。情况二：三个地方从左 字的位次后一位，等于或大于5就进1，小于5 往右依次是晓军家、体育馆、学校。同理可解。 44》●