专题03 多面体与旋转体（考点解读+考点归纳+12类题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 专题03 多面体与旋转体 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．，与全国其他一些版本的教材不同 ． 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 1、多面体的定义 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体的分类 多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体;由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、基本多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 4、四面体 四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； 5、正多面体 与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 6、旋转体的定义及其相关概念 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 7、基本旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 题型1、有关多面体的概念及结构特点 例1、（1）判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①多面体至少有四个面；（ ） ②九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形；（ ） ③长方体、正方体都是棱柱；（ ） ④三棱柱的侧面为三角形；（ ） ⑤等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同；（ ） 【说明】本题主要考查多面体与特殊几何体的结构特征； （2）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(　　) A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 题型2、有关简单多面体的结构特点及截面 例2、（1）已知正四棱锥中，底面面积为，侧棱的长为，则该棱锥的高是　　 　.  【说明】对于棱锥的计算，关键还是抓住“特殊”的直角三角形； （2）、如图，四边形AA1B1B为边长为3的正方形， CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？ 若是棱柱，指出是几棱柱； 若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分， 使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面； 【说明】本题考查了简单多面体的结构特点及截面的知识交汇；认识一个几何体，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开； 题型3、有关简单多面体的平面展开图 例3、（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）； （2）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝4，BC＝3，BB1＝5， 一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1， 求蚂蚁爬行的最短路线长； 【说明】1、多面体的展开与折叠： （1）由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图； （2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推； 2、求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题； 题型4、有关简单多面体的高考真题体验 例4、（2019·全国Ⅱ卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一；印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）；半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体；半正多面体体现了数学的对称美. （图2）是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1； 则该半正多面体共有　　　个面，其棱长为　　　　； 【说明】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长； 题型5、有关旋转体的概念及结构特点 例5、（1）下列说法正确的是（ ） A．矩形绕其一边所在直线旋转一周其余三边形成的面所围成的几何体是圆柱 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 D．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； 【说明】本题考查了特殊旋转体的定义与结构特征 （2）、给出以下四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是__________． 【说明】本题主要考查了准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决； 题型6、有关简单组合体的结构特征 例6、（1）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　) （2）、已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？ 【说明】关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决： 1、引线分割：由平面图形的各定点向旋转轴引垂线，将平面图形分割成不同的直角三角形或直角梯形或矩形； 2、旋转成体：将上述分割的图形绕轴旋转形成不同的柱、锥、台体解之； 题型7、有关旋转体的计算问题 例7、（1）一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为________． （2）圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母线为2∶1的两部分，求截面的面积． 【说明】对于此类问题，特别注意：将空间问题转化为平面几何问题；圆柱、圆锥、圆台问题要抓住它们的轴截面及其中线段与底面半径、高、母线之间的关系，构造矩形、直角三角形求解； 题型8、有关旋转体的侧面展开图问题 例8、（1）如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁， 现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点， 问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 【说明】本题考查了有关旋转体“面上的最短问题“，一般”展开“往往是有效的方法； （2）、如图所示，圆柱侧面上有两点B，D，在D处有一只蜘蛛，在B处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【说明】1、用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，得到的截面与底面全等或相似，常结合旋转体的轴截面的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组来解决问题； 2、几何体表面上两点间的最短距离问题，都应该将几何体的表面展开，画出展开图，转化为平面上两点间的线段长的计算问题； 题型9、将多面体的问题转化为平面问题 例9、（1）在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________． （2）如图所示，直三棱柱ABB1－DCC1中，∠ABB1＝90°，AB＝4，BC＝2，CC1＝1，DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是________． 题型10、有关多面体的综合题 例10、（1）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________． （2）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE和CF的中点． （1）求证：AC⊥平面BDEF； （2）求证：平面BDGH∥平面AEF； （3）求多面体ABCDEF的体积． 题型11、有关旋转体的侧面展开图问题 例11、（1）某市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，某市公园数量累计达到1 025个．下图为某市某公园供游人休息的石凳，它可以看作一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为20 cm，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 cm2. （2）如图1，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图2，已知圆柱的底面直径AB＝16 m，母线长AD＝4 m，圆锥的高PQ＝6 m，则该蒙古包的侧面积约为 m2. 　 　 【答案】144π； 题型12、有关几何体的与其他知识的交汇问题 例12、已知圆锥SO的底面半径为1，若其底面圆周上存在两点A，B，使得∠ASB＝90°，则该圆锥侧面积的最大值为 π. （2）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1， （1）判断平面四边形OABC的形状并求周长； （2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 1、面数最少的多面体有________个面. 2、棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________． 3、如图所示，不是正四面体的展开图的是________． ① ② ③ ④ 4、如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是 5、若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________. 6、下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中说法正确的序号是________． 7、下列四个命题中正确的是（ ） A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形 C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 8、下列说法中，正确的是(　　) ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥； ③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面； ④棱锥的各侧棱长相等． A．①②　　B．①③ C．②③ D．②④ 9、如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比； 10、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝AB＝CD，平面ADP⊥平面PCD，PD⊥PC. （1）求证：△ADP为直角三角形； （2）若PC＝AD＝1，求四棱锥P－ABCD的体积． ( 16 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 专题03 多面体与旋转体 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．，与全国其他一些版本的教材不同 ． 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 1、多面体的定义 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体； 2、多面体的分类 多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体;由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥; 3、基本多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 4、四面体 四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用； 5、正多面体 与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体； 6、旋转体的定义及其相关概念 由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴； 与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面； 7、基本旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 题型1、有关多面体的概念及结构特点 例1、（1）判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①多面体至少有四个面；（ ） ②九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形；（ ） ③长方体、正方体都是棱柱；（ ） ④三棱柱的侧面为三角形；（ ） ⑤等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同；（ ） 【提示】注意理解多面体的定义与结构特征； 【答案】①√；②√；③√；④×；⑤√； 【解析】对于①，多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点,而3个顶点只围成一个平面图形）,而四个顶点可以围成四个面；所以，①是真命题； 对于②，棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等；所以，②是真命题； 对于③，长方体、正方体都是棱柱，所以，③是真命题； 对于④，三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以，④是假命题； 对于⑤，由祖暅原理，得⑤是真命题； 【说明】本题主要考查多面体与特殊几何体的结构特征； （2）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(　　) A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【解析】由几何体的结构特征知，盛水部分的几何体是四棱柱； 题型2、有关简单多面体的结构特点及截面 例2、（1）已知正四棱锥中，底面面积为，侧棱的长为，则该棱锥的高是　　 　.  【提示】注意正四棱锥的结构特征与计算方法； 【答案】； 【解析】如图，取正方形的中心， 连接，，则就是正四棱锥的高. 因为底面面积为； 所以，， 因为，侧棱的长为 所以，所以正四棱锥的高为； 【说明】对于棱锥的计算，关键还是抓住“特殊”的直角三角形； （2）、如图，四边形AA1B1B为边长为3的正方形， CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？ 若是棱柱，指出是几棱柱； 若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分， 使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面； 【提示】注意：理解与依据棱柱的定义进行判断； 【解析】（1）因为这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱； （2）在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2； 在BB1上取F点，使BF＝2； 连结C1E，EF，C1F， 则过C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是三棱柱ABC­EFC1， 其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1­EA1B1F； 【说明】本题考查了简单多面体的结构特点及截面的知识交汇；认识一个几何体，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开； 题型3、有关简单多面体的平面展开图 例3、（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）； （2）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝4，BC＝3，BB1＝5， 一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1， 求蚂蚁爬行的最短路线长； 【提示】注意将空间问题、多面体问题转化为若干个平面几何问题解之； 【解析】（1）平面展开图如图所示： （2）沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法： ①如图（1），以A1B1为轴展开，AC1＝＝＝4； ②如图（2），以BC为轴展开，AC1＝＝＝3； ③如图（3），以BB1为轴展开，AC1＝＝； 综合以上，蚂蚁爬行的最短路线长：； 【说明】1、多面体的展开与折叠： （1）由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图； （2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推； 2、求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题； 题型4、有关简单多面体的高考真题体验 例4、（2019·全国Ⅱ卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一；印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）；半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体；半正多面体体现了数学的对称美. （图2）是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1； 则该半正多面体共有　　　个面，其棱长为　　　　； 【提示】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；从图形中作一个最大的水平截面，它是一个正八边形，八个顶点都在边长为铁正方形边上，由此可计算出棱长； 【解析】方法1： （1）可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面， 所以共有个面； （2）作出该图形的一个最大的水平截面正八边形，如图，其八个顶点都在边长为1的正方形上，设“半正多面体”棱长为，则，解得， 故答案为：． 方法2：（1）由图可知第一层与第三层各有9个面，共计18个面,第二层共有8个面， 所以该半正多面体共有18+8=26个面. （2）如图，将该半正多面体的部分放在棱长为1的正方体中， 设该半正多面体的棱长为，则， 延长与交于点，延长交正方体棱于， 由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形， 所以，， 所以，，以， 即该半正多面体棱长为， 答案：；； 【说明】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长； 题型5、有关旋转体的概念及结构特点 例5、（1）下列说法正确的是（ ） A．矩形绕其一边所在直线旋转一周其余三边形成的面所围成的几何体是圆柱 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 D．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； 【提示】理解特殊旋转体的相关概念； 【答案】A； 【解析】由圆柱的定义可知，A正确； 由圆台的定义可知，B不正确，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴； C错误，应是用一个与圆锥底面平行的平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台； D错误，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴； 故选A； 【说明】本题考查了特殊旋转体的定义与结构特征 （2）、给出以下四个命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； ③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是__________． 【提示】注意：紧扣住圆柱、圆锥、圆台的形成过程进行判断； 【答案】②④； 【解析】①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行； ②正确，符合圆锥母线的定义； ③不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条； ④正确，符合圆柱母线的性质； 【说明】本题主要考查了准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决； 题型6、有关简单组合体的结构特征 例6、（1）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的(　　) 【答案】A （2）、已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？ 【提示】 【解析】①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台；如图（1）所示； ②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥；如图（2）所示； ③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥； 如图（3）所示． ④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥；如图（4）所示； （1）　　 　（2）　　 （3）　　　 （4） 【说明】关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决： 1、引线分割：由平面图形的各定点向旋转轴引垂线，将平面图形分割成不同的直角三角形或直角梯形或矩形； 2、旋转成体：将上述分割的图形绕轴旋转形成不同的柱、锥、台体解之； 题型7、有关旋转体的计算问题 例7、（1）一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为________． 【答案】20； 【解析】由题意可知，该圆柱的轴截面的面积为5×2×2＝20； （2）圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母线为2∶1的两部分，求截面的面积． 【提示】画出圆台，将圆台还原成圆锥，利用比例关系求截面的半径即可． 【解析】如图所示，将圆台还原成圆锥，其中P为圆锥顶点， CD、AB、EF分别为圆台的上、下底面以及截面圆的半径． 显然CD∥EF∥AB， 所以，＝＝＝， 所以，PD＝DB＝PB. 又＝2，所以DF＝DB＝PB. 所以PF＝PD＋DF＝PB.所以＝＝， 所以EF＝AB＝10，所以截面的面积为π·EF2＝π·102＝100π； 【说明】对于此类问题，特别注意：将空间问题转化为平面几何问题；圆柱、圆锥、圆台问题要抓住它们的轴截面及其中线段与底面半径、高、母线之间的关系，构造矩形、直角三角形求解； 题型8、有关旋转体的侧面展开图问题 例8、（1）如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁， 现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点， 问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 【提示】将圆柱体侧面展开，利用平面中两点之间线段最短求解； 【解析】把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形， 如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离． ∵AA′为底面圆的周长， ∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2， ∴AB′＝＝＝2， 即蚂蚁爬行的最短距离为2； 【说明】本题考查了有关旋转体“面上的最短问题“，一般”展开“往往是有效的方法； （2）、如图所示，圆柱侧面上有两点B，D，在D处有一只蜘蛛，在B处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？ 【提示】通过展开图，将空间问题转化为平面几何问题； 【解析】如图，设圆柱的母线长为l，底面圆半径为r，将圆柱的侧面沿母线AB展开即得矩形AA′B′B，其中D，C分别为AA′，BB′的中点. 在矩形ADCB中，AB＝CD＝l，AD＝BC＝×2πr＝πr， 连接BD，则BD＝＝； 可知蜘蛛沿着DB爬行时路程最短，最短路程为； 【说明】1、用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，得到的截面与底面全等或相似，常结合旋转体的轴截面的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组来解决问题； 2、几何体表面上两点间的最短距离问题，都应该将几何体的表面展开，画出展开图，转化为平面上两点间的线段长的计算问题； 题型9、将多面体的问题转化为平面问题 例9、（1）在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________． 【答案】三棱锥； 【解析】如图折起后，由题设条件可知三点D，C，B重合，所以折起后能构成三棱锥． （2）如图所示，直三棱柱ABB1－DCC1中，∠ABB1＝90°，AB＝4，BC＝2，CC1＝1，DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是________． 【答案】＋5； 【解析】将面DCC1展开如图所示． AP＋PC1≥AC1， AC1＝＝＝5， 在直三棱柱中，侧面AB1C1D是矩形， ∴AC1＝ ＝ ＝＝. ∴△APC1的周长的最小值是＋5； 题型10、有关多面体的综合题 例10、（1）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________． 【答案】； 【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，且正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于，所以该多面体的体积为2××1×()2＝； （2）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE和CF的中点． （1）求证：AC⊥平面BDEF； （2）求证：平面BDGH∥平面AEF； （3）求多面体ABCDEF的体积． 【解析】（1）证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD. 又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD， 所以AC⊥平面BDEF. （2）证明：在△CEF中，因为G，H分别是CE和CF的中点，所以GH∥EF. 又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF. 设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF， 又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF， 因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH， 所以平面BDGH∥平面AEF. （3）由（1）得AC⊥平面BDEF， 又因为AO＝，四边形BDEF的面积S1＝3×2＝6， 所以四棱锥A－BDEF的体积V1＝·AO·6＝4， 同理，四棱锥C－BDEF的体积V2＝4，所以多面体ABCDEF的体积等于8； 题型11、有关旋转体的侧面展开图问题 例11、（1）某市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，某市公园数量累计达到1 025个．下图为某市某公园供游人休息的石凳，它可以看作一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为20 cm，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为 cm2. 【答案】1600π； 【解析】设正方体的中心为O，E为棱的中点，连接A1D，B1C，A1C，B1D，则O为矩形A1DCB1的对角线的交点，则OE＝B1C＝×20×＝20(cm)，同理O到其余各棱的中点的距离也为20 cm，故石凳所对应几何体的外接球的半径为20 cm，其表面积为4π·202＝1 600π(cm2)； （2）如图1，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图2，已知圆柱的底面直径AB＝16 m，母线长AD＝4 m，圆锥的高PQ＝6 m，则该蒙古包的侧面积约为 m2. 　 　 【答案】144π； 【解析】依题意得，圆柱的侧面积S1＝2π××AD＝2π××16×4＝64π(m2)， ∵DC＝AB＝16 m，∴QC＝DC＝×16＝8(m)， 在Rt△PQC中，PC＝＝＝10(m)， ∴圆锥的侧面积S2＝×PC×2π×QC＝×10×2π×8＝80π(m2)， ∴该蒙古包的侧面积S＝S1＋S2＝64π＋80π＝144π(m2)． 题型12、有关几何体的与其他知识的交汇问题 例12、已知圆锥SO的底面半径为1，若其底面圆周上存在两点A，B，使得∠ASB＝90°，则该圆锥侧面积的最大值为 π. 【答案】π； 【解析】设圆锥的母线长为l，∵∠ASB＝90°，∴AB＝l，又OA＋OB≥AB(当且仅当AB为底面圆直径时取等号)，∴AB≤2，即l≤，∴圆锥侧面积S＝π×1×l＝πl≤π，即所求最大值为π. （2）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1， （1）判断平面四边形OABC的形状并求周长； （2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积． 【解析】（1）)将直观图还原得▱OABC，如图，所以OA＝3，OC＝＝3， 所以平面四边形OABC为菱形，其周长为3×4＝12. （2）四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，得到一个圆柱挖去一个同底的圆锥再加上一个同底的圆锥，V＝πr2h＝π(2)2·3＝24π， l＝＝3， S圆锥侧＝πrl＝π·2·3＝6π， S圆柱侧＝2πrh＝2π·2·3＝12π.S＝2S圆锥侧＋S圆柱侧＝2×6π＋12π＝24π. 1、面数最少的多面体有________个面. 【答案】4； 【解析】面数最少的多面体是四面体(三棱锥)，有4个面； 2、棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________． 【答案】3；相等； 3、如图所示，不是正四面体的展开图的是________． ① ② ③ ④ 【答案】③④； 【解析】可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体； 4、如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是 【答案】四棱锥 【解析】余下部分是四棱锥A′－BCC′B′. 5、若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________. 【答案】1∶4 【解析】由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方. 6、下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中说法正确的序号是________． 【答案】①② 【解析】①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； ②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 7、下列四个命题中正确的是（ ） A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．棱锥的底面一定是三角形 C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 【答案】D； 【解析】A中棱柱的底面可以是任何平面多边形，B中棱锥的底面可以是任何平面多边形，C中棱锥被经过顶点和底面的平面分成的两部分都是棱锥，D中棱柱被平行于底面的平面分成两个棱柱； 8、下列说法中，正确的是(　　) ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥； ③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面； ④棱锥的各侧棱长相等． A．①②　　B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B； 【解析】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错．故选B. 9、如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比； 【解析】方法1、设AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体ABCD－A′B′C′D′的体积V＝abc， 又S△A′DD′＝bc且三棱锥C－A′DD′的高为CD＝a， 所以V三棱锥C－A′DD′＝S△A′D′D·CD＝abc. 则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc. 故V棱锥C－A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5. 方法2、已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′－BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.而棱锥C－A′DD′的底面面积为S，高为h，因此棱锥C－A′DD′的体积VC－A′DD′＝×Sh＝Sh， 剩余部分的体积是Sh－Sh＝Sh. 所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh＝1∶5. 10、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝AB＝CD，平面ADP⊥平面PCD，PD⊥PC. （1）求证：△ADP为直角三角形； （2）若PC＝AD＝1，求四棱锥P－ABCD的体积． （1）证明　作AE⊥DC， E为垂足， 在等腰梯形ABCD中，设AD＝AB＝BC＝CD＝a(a>0)， ∴DE＝(CD－AB)＝a，∠ADE＝60°， ∴AC＝＝a， ∴AC2＋AD2＝DC2， ∴AC⊥AD. 又PC⊥PD，平面ADP⊥平面PCD，平面ADP∩平面PCD＝PD，PC⊂平面PCD， ∴PC⊥平面ADP， 又AD⊂平面ADP，∴PC⊥AD， ∵AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面ACP， ∴AD⊥平面ACP， ∵AP⊂平面ACP，∴AD⊥AP， ∴∠DAP＝90°，即△ADP为直角三角形． （2）解　由(1)知在等腰梯形ABCD中，AE＝. S△ADC＝×1×＝， S梯形ABCD＝×＝. ∴＝.∴＝. 又PC⊥平面ADP，△ADP为直角三角形， PD⊥PC， ∴DP＝＝，AP＝＝， ∴VP－ADC＝VC－ADP＝××1××1＝. ∴VP－ABCD＝VP－ADC＝×＝. ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$