专题01 柱体（考点解读+考点归纳+12类题型）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 专题01 柱 体 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．，与全国其他一些版本的教材不同 ． 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 1、多面体的定义及其相关概念 空间几何体 分类 定义 图形及表示 相关概念 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 2、棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 相关概念：（仅供参考来自百度） 1、立方体：也称正方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体。它有12条边和8个顶点。侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”“正六面体”。正方体是特殊的长方体。正方体的动态定义：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的边长而得到的立体图形。 2、长方体：是底面为长方形的直四棱柱（或上、下底面为矩形的直平行六面体）。其由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形。 3、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 4、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 【说明】1、祖暅原理； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 5、柱体的体积公式的推导 探究：如图，下面是底面积都等于S，，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？ （1）结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等. （2）体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh； 6、柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 7、多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和； 所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 【说明】对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的； 8、柱体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【说明】 1、柱体的表面由底面和侧面组成；其中，底面是多边形或圆；因此，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积．其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积； 其中，直棱柱的表面积：由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边；所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长． 面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长； 同理，对于圆柱，因为侧面是一个曲面，不能像直棱柱那样直接求面积，但仍可以采用平面展开图的方法来求侧面积；将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，同样得到一个矩形，此矩形的一边等于圆柱的母线长（即其高），另一边等于底面圆的周长；这样，我们就得到了圆柱的表面积； 2、求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积； 题型1、棱柱的结构特征 例1、（1）下面的几何体中是棱柱的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C； 【解析】棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C; （2）下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 【提示】理解棱柱的定义与结构特征； 【答案】C； 【解析】显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱； 它有五个面，故B正确； 底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等， 所以C错误； D正确； 所以选C； 【说明】本题主要考查了棱柱的定义与结构特征，并与第10章简单交汇；棱柱结构特征的辨析技巧 1、扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义： ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，并且其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． 2、举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除； 题型2、几种常见四棱柱的关系 例2、（1）设有四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的直平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④直平行六面体是长方体； 以上命题中，真命题的个数是(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B； 【解析】按照平行六面体的定义知，①为真命题；根据长方体的定义知，②为真命题；直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以③为假命题；同理长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以④为假命题．故选B； （2）下列说法中正确的是(　　) A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 【提示】理解四棱柱的定义与特殊四棱柱的分类标准； 【答案】C； 【解析】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错； 直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错； C正确； 底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错； 【说明】本题主要考查了集合观点下，常见四棱柱的的分类标准： 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体． 题型4、圆柱的定义与几何性质 例4、（1）下列命题中正确的是(　　) A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【答案】D； 【解析】由圆柱的概念可知D正确； 【说明】圆柱的性质：（1）圆柱的上下底面为两个相等的圆面；（2）圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线；（3）平行于底面的截面是与底面全等的圆面； （2）已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上 异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点， 且AD⊥圆柱的底面， 则直线BC与平面ACD的位置关系是：直线BC 平面ACD； 【提示】注意理解圆柱的定义； 【答案】⊥（或：垂直）； 【解析】因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC【注：直径所对圆周角为直角】， 又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC 又因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD； 【说明】本题考查了圆柱的几何性质与线面垂直判定定理的交汇； 题型5、柱体的定义与几何性质的综合应用 例5、（1）如图，已知点在圆柱的底面圆上，， 圆的直径，圆柱的高； ①求点到平面的距离； ②求二面角的余弦值大小； 【提示】注意利用圆柱的定义与几何性质“找”距离、角；①利用圆柱的定义，找、求出点到平面的距离；②先证明，，由线面垂直的判定定理可得面，进而可得即为所求二面角的平面角，在中，计算即可求解； 【答案】①；②； 【解析】①因为，【注：直径所对圆周角为直角】， 所以平面； 在中，过作， 则就是点到平面的距离； 由， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 在中，由面积相等得：，即， 解得 所以，点到平面的距离为：； ②二面角即二面角， 因为是圆的直径，点在圆柱的底面圆上，所以， 因为面，面，可得， 因为，所以面， 因为面，面，所以，， 所以即为二面角的平面角， 在中，，， 所以， 所以二面角的余弦值为； 【说明】本题考查了以圆柱定义与几何性质为背景的空间位置关系的证明与空间角、距离的求解问题；关键是要用好“隐含”性质； （2）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中， E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点； （1）求证：B，C，H，G四点共面； （2）求证：平面EFA1∥平面BCHG； （3）若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D； 【提示】注意：提示三棱柱的定义与性质与空间位置关系、判定定理的关联； 【证明】（1）因为，G，H分别是A1B1，A1C1的中点， 所以，GH是△A1B1C1的中位线，则，GH∥B1C1， 又因为，B1C1∥BC，则，GH∥BC， 所以，B，C，H，G四点共面； （2）∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF不在平面BCHG内，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. 又A1E不在平面BCHG内，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. 又A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. （3）如图所示，连接A1C交AC1于点M， ∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接DM. ∵D为BC的中点， ∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，DM不在平面A1BD1内， ∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD， ∴四边形BDC1D1为平行四边形， ∴DC1∥BD1. 又DC1不在平面A1BD1内，BD1⊂平面A1BD1， ∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D； 【说明】本题主要考查了棱柱的定义与性质的综合应用与平面与平面平行的判定与性质的交汇； 题型6、以柱体为背景的探究题 例6、（1）如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱． 【解析】分成的两部分都是棱柱．多面体BEB′－CFC′为三棱柱，面BEB′及面CFC′为底面，线段BC，EF，B′C′为侧棱；多面体ABEA′－DCFD′为四棱柱，面ABEA′及面DCFD′为底面，AD，BC，EF，A′D′为侧棱； 【说明】棱柱的定义中有两个面互相平行的条件，即两底面互相平行．底面不随棱柱放置方式的不同而改变．本节所说的多面体的底面可与现实生活中所说的一些物体的底面对比理解； （2）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中， 已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时， 有AB1⊥BC1； （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 【答案】A1C1⊥B1C1 【解析】当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1. 理由如下： ∵AA1⊥平面ABC，BC＝CC1， ∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C， ∵CC1∥AA1，∴A1C1⊥CC1. 又A1C1⊥B1C1，CC1∩B1C1＝C1， CC1，B1C1⊂平面BCC1B1， ∴A1C1⊥平面BCC1B1， ∵AC∥A1C1，∴AC⊥平面BCC1B1， ∵BC1⊂平面BCC1B1，∴BC1⊥AC， ∵AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面ACB1， ∴BC1⊥平面ACB1， ∴又AB1⊂平面ACB1， ∴AB1⊥BC1； 题型7、柱体的体积公式的直接应用 例7、（1）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成的角为45°，则此三棱柱的体积为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 【答案】A； 【解析】如图为正三棱柱ABC－A1B1C1， 由题意知AB1＝2，∠B1AB＝45°， ∴B1B＝2×sin45°＝， AB＝B1B＝. ∴V＝S△ABC×B1B＝××××＝； 【说明】柱体包括棱柱和圆柱，其体积公式均为V＝Sh，解答时关键是找出计算体积所需要的底面积和高； （2）已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别 为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积； 【提示】注意：柱体的体积公式的基本元素：底面面积与高； 【答案】； 【解析】如图所示，设底面菱形的对角线AC，BD长分别为x cm，y cm， 则底面菱形的面积S＝xy＝(cm2)， 所以该棱柱的体积为V＝Sh＝×2＝(cm3)． 【说明】求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理；熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键； 题型8、柱体的体积公式的直接应用 例8、（1）如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 【答案】D 【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱， 如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π， 故所求几何体的体积为10π； 【说明】利用体积公式巧求非柱体的体积； （2）一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　) 　　 A． B． C．2　　 D． 【提示】注意与柱体体积的关联； 【答案】D； 【解析】因为 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点， 所以棱柱 EFCB­E1F1C1B1 的体积 V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC； 设甲中水面的高度为 h，则 S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝，故选 D； 【说明】本题是体积法的一种应用； 1、求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 2、计算柱体体积的关键及常用技巧 （1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高； （2）常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高． ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积； 题型9、利用体积公式求简单组合体的体积 例9、（1）如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． 【解析】V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， ∴此几何体的体积： V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)． （2）一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米）， 浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土； （钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）? 【提示】注意：将非柱体分解为若干个柱体解之； 【解析】将预制件看成由：一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体； （平方米）， 所以，（平方米）， 故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土； 【说明】本题主要考查了棱柱的简单组合体的体积；求组合体的表面积与体积的步骤： 1、分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量； 2、设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积； 3、计算求值：根据设计的计算方法求值； 题型10、利用公式求柱体的侧面积与表面积 例10、（1）底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 【答案】D； 【解析】由题意，此直棱柱底面边长为1，高为＝2， ∴侧面积为：4×1×2＝8； （2）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】 【提示】注意：明确题设的几何条件，了解直四棱柱的侧面积、表面积公式需要的元素；. 【答案】S侧＝4×8×5＝160；S表＝160＋40； 【解析】如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 体对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝2＋2＝＝＝64， ∴AB＝8， ∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160； ∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20， ∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40； 【说明】本题主要考查了柱体的侧面积与表面积；空间几何体的表面积的求法技巧 1、多面体的表面积是各个面的面积之和；注意多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别注意； 2、组合体的表面积应注意重合部分的处理； 3、圆柱侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和； 题型11、利用公式求柱体的侧面积与表面积 例11、（1）如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体， 若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔， 求打孔后的几何体的表面积是多少？(注：其中π取3.14)； 【提示】注意：仔细审题与转化； 【答案】133.68(cm2). 【解析】正方体的表面积为42×6＝96(cm2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28(cm2)，则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68(cm2)； 【说明】本题考查了将简单几何体转化为若干个柱体问题解之； （2）用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm，已知每平方米需要油漆150 g，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg) 【提示】求水桶的表面积→计算总油漆量； 【解析】每个水桶需要涂油漆的面积为S＝(S桶底＋S侧)×2 ＝π×2 ＝0.182 5π(m2)， 因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg)． 【说明】本题考查了几何体侧面积和全面积的实际应用；对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题； 题型12、柱体的展开图及其应用 例12、（1）如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1 的棱CC1的中点， 沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 【提示】注意：用好平面几何中“两点之间距离最短” 【答案】； 【解析】由题意，若以BC为折叠线展开， 则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm， 故两点之间的距离是 cm； 若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm； 故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm； 【说明】通过本题的求解，得出：对于空间的“最短”问题，“展开图”往往是有效的解法； 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤： 1、将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图； 2、将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； 3、结合已知条件求得结果； （2）如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm， 点P为母线B′B的中点，∠AOB＝， 试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程． 【解析】将圆柱侧面沿母线AA′剪开展平为平面图， 如图，则易知最短路径为平面图中线段AP. 在Rt△ABP中，AB＝×2＝，PB＝2， ∴AP＝　＝ (cm)． 故蚂蚁爬的最短路程为 cm. 1、正方体的表面积为96，则正方体的体积为 【答案】64 【解析】由6a2＝96，得a＝4；∴正方体的体积V＝a3＝64； 2、已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为 【答案】22； 【解析】长方体的表面积S表＝2(1×2＋1×3＋2×3)＝22. 3、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 【答案】2π； 【解析】设轴截面正方形的边长为a， 由题意知S侧＝πa·a＝πa2. 又∵S侧＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π×2＝2π； 4、如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________． 【答案】圆柱； 5、下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④棱柱的侧棱总与底面垂直． 其中正确说法的序号是________． 【答案】③ 【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； ②错误，棱柱的底面可以是三角形； ③正确，由棱柱的定义易知； ④错误，棱柱的侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直．所以说法正确的序号是③. 6、如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形， 侧棱长AA1＝， 则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于 【答案】60°； 【解析】∵A1B1∥AB，∴AB与BD1所成的角即是A1B1与BD1所成的角．连接AD1， 可知AB⊥AD1，在Rt△BAD1中， AB＝1，AD1＝，∴tan∠ABD1＝＝， ∴∠ABD1＝60°，故A1B1与BD1的夹角为60°； 7、四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　) A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点 【答案】C； 【解析】由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点； 8、下列命题中，正确的是（ ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【提示】理解柱体定义注意转化； 【答案】D； 【解析】A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点；对于B选项，如下图(1)，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知面ABB1A1∥面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；选项C中，如下图(2)，底面ABCD可以是平行四边形；D选项说明了棱柱的特点；故选D； 【说明】棱柱结构特征问题的解题策略： 1、有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：①两个面互相平行；②其余各面是平行四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行．求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征． 2、多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除； 9、已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积. 【解析】如图所示，设圆柱OO1为等边圆柱，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1是圆柱OO1的内接正四棱柱.设等边圆柱的底面半径为r，则高h＝2r. ∵S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，∴r＝. 又正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边AB＝2rsin 45°＝r， ∴正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积 V＝S底·h＝(r)2·2r＝4r3＝4＝. 故该圆柱的内接正四棱柱的体积为； 10、圆柱的高为4厘米，底面半径为3厘米， 已知上底面一条半径所在直线与下底面的一条半径所在直线的夹角为60°， 求： （1）直线与圆柱的轴所成角的正切值； （2）线段的长； 【提示】（1）利用异面直线所成角的定义作平行线，再利用几何知识求角即可； （2）利用勾股定理求即可； 【答案】（1）或；（2）或． 【解析】（1） 如图，过作． 已知上底面一条半径所在直线与下底面的一条半径所在直线的夹角为60°， 则或120°，则的位置可能有如图两种情形： 与；的位置可能有如图两种情形：与； 由，直线与圆柱的轴所成角为或其补角，在两种情况下，或，或，所以直线与圆柱的轴所成角的正切值为或． （2）由（1）知，在两种情况下，或，或． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 专题01 柱 体 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．，与全国其他一些版本的教材不同 ． 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 【本章内容提要】 1、多面体与旋转体是两类重要的几何体 （1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； （2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体； 2、本章所讨论的“简单几何体”有： （1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体； （2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体； （3）球，它是一个旋转体； 3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算 （1）柱体的体积和表面积： 柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底； 圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2； 其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径; （2）锥体的体积和表面积： 锥体的体积： V锥＝S底h(S底为底面面积，h为高)； 正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝ch′＋S底； 圆锥的表面积：S表＝cl＋S底＝πrl＋πr2； 其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长； （3）球的体积和表面积： 球的体积：V球＝πR3：球面面积：S球＝4πR2； 其中，R是球的半径； 1、多面体的定义及其相关概念 空间几何体 分类 定义 图形及表示 相关概念 多面体 由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体； 面：构成多面体表面的各三角形或平面多边形； 棱：相邻面的公共边； 顶点：棱与棱的交点； 2、棱柱定义、相关概念、结构特征与分类 定义 有一对互相平行的面，且这两个面是两个全等的三角形或平面多边形；同时，不在这两个面上的棱都相互平行；我们把这样的多面体叫做棱柱； 图示及相关概念 底面：两个互相平行的面； 侧面：底面以外的其余各面； 侧棱：不在底面上的棱； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 高：棱柱的两个底面之间的距离称为棱柱的高； 分类1 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…… 分类2 侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱； 否则称为斜棱柱； 底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱； 常见四棱柱及其关系： 相关概念：（仅供参考来自百度） 1、立方体：也称正方体，是由6个正方形面组成的正多面体，故又称正六面体。它有12条边和8个顶点。侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”“正六面体”。正方体是特殊的长方体。正方体的动态定义：由一个正方形向垂直于正方形所在面的方向平移该正方形的边长而得到的立体图形。 2、长方体：是底面为长方形的直四棱柱（或上、下底面为矩形的直平行六面体）。其由六个面组成的，相对的面面积相等，可能有两个面（可能四个面是长方形，也可能是六个面都是长方形）是正方形。 3、圆柱定义、相关概念、结构特征 定义 将矩形绕其一条边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆柱；（或者理解为：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体） 图示及相关 概念 轴：旋转轴叫做圆柱的轴； 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面； 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边； 高：圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做该圆柱的高； 备注 易知圆柱有两个相互平行的底面，有无穷多条母线，且所有母线都与其轴平行； 方便起见，我们把棱柱和圆柱统称为柱体； 轴截面 定义：是指过圆柱的轴的截面分别叫做圆柱轴截面；也泛指过任意一轴的“面”。 性质：1、同一圆柱轴截面都全等；2、圆柱的轴截面是全等的矩形； 4、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面都有相等的面积，那么这两个几何体的体积必相等； 【说明】1、祖暅原理； （1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”； （2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等； 5、柱体的体积公式的推导 探究：如图，下面是底面积都等于S，，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？ （1）结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等. （2）体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh； 6、柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)， V圆柱＝πr2h(r为底面半径) 7、多面体的表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和； 所以，棱柱、圆柱的表面积就是围成它们的各个面的面积的和； 【说明】对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的； 8、柱体的表面积公式 图形 表面积公式 多面体 多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积 直棱柱 S直棱柱侧＝ch（c为直棱柱的底面周长，h为直棱柱的高） S表＝S侧＋2S底 圆柱 （l为圆柱的母线长，r为圆柱底面的半径） 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 【说明】 1、柱体的表面由底面和侧面组成；其中，底面是多边形或圆；因此，柱体的表面积等于两个底面的面积再加上所有侧面的面积．其中，所有侧面的面积之和称为柱体的侧面积； 其中，直棱柱的表面积：由定义得每个侧面都是矩形，且每个矩形的一边都等于棱柱的高，另一边是底面多边形的一条边；所以，直棱柱的侧面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长． 面积等于棱柱的高乘底面多边形的周长； 同理，对于圆柱，因为侧面是一个曲面，不能像直棱柱那样直接求面积，但仍可以采用平面展开图的方法来求侧面积；将圆柱的侧面沿某条母线剪开，并展开在一个平面上，同样得到一个矩形，此矩形的一边等于圆柱的母线长（即其高），另一边等于底面圆的周长；这样，我们就得到了圆柱的表面积； 2、求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积； 题型1、棱柱的结构特征 例1、（1）下面的几何体中是棱柱的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 （2）下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 【说明】本题主要考查了棱柱的定义与结构特征，并与第10章简单交汇；棱柱结构特征的辨析技巧 1、扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义： ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，并且其余各面都是四边形； ②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． 2、举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除； 题型2、几种常见四棱柱的关系 例2、（1）设有四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的直平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④直平行六面体是长方体； 以上命题中，真命题的个数是(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 （2）下列说法中正确的是(　　) A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 【说明】本题主要考查了集合观点下，常见四棱柱的的分类标准： 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体． 题型4、圆柱的定义与几何性质 例4、（1）下列命题中正确的是(　　) A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱 【说明】圆柱的性质：（1）圆柱的上下底面为两个相等的圆面；（2）圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径，一组对边为母线；（3）平行于底面的截面是与底面全等的圆面； （2）已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上 异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点， 且AD⊥圆柱的底面， 则直线BC与平面ACD的位置关系是：直线BC 平面ACD； 【说明】本题考查了圆柱的几何性质与线面垂直判定定理的交汇； 题型5、柱体的定义与几何性质的综合应用 例5、（1）如图，已知点在圆柱的底面圆上，， 圆的直径，圆柱的高； ①求点到平面的距离； ②求二面角的余弦值大小； 【说明】本题考查了以圆柱定义与几何性质为背景的空间位置关系的证明与空间角、距离的求解问题；关键是要用好“隐含”性质； （2）如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中， E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点； （1）求证：B，C，H，G四点共面； （2）求证：平面EFA1∥平面BCHG； （3）若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D； 题型6、以柱体为背景的探究题 例6、（1）如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱． 【说明】棱柱的定义中有两个面互相平行的条件，即两底面互相平行．底面不随棱柱放置方式的不同而改变．本节所说的多面体的底面可与现实生活中所说的一些物体的底面对比理解； （2）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中， 已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时， 有AB1⊥BC1； （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 题型7、柱体的体积公式的直接应用 例7、（1）正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成的角为45°，则此三棱柱的体积为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 【说明】柱体包括棱柱和圆柱，其体积公式均为V＝Sh，解答时关键是找出计算体积所需要的底面积和高； （2）已知直四棱柱的底面为菱形，底面菱形的两对角线长分别 为，，侧棱长为， 求：该直四棱柱的体积； 【说明】求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理；熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键； 题型8、柱体的体积公式的直接应用 例8、（1）如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　) A．5π B．6π C．20π D．10π 【说明】利用体积公式巧求非柱体的体积； （2）一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点 E，F，F1，E1 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为(　　) 　　 A． B． C．2　　 D． 【说明】本题是体积法的一种应用； 1、求空间几何体的体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 2、计算柱体体积的关键及常用技巧 （1）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高； （2）常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高． ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积； 题型9、利用体积公式求简单组合体的体积 例9、（1）如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． （2）一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米）， 浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土； （钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）? 【说明】本题主要考查了棱柱的简单组合体的体积；求组合体的表面积与体积的步骤： 1、分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量； 2、设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积； 3、计算求值：根据设计的计算方法求值； 题型10、利用公式求柱体的侧面积与表面积 例10、（1）底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 （2）现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求：该直四棱柱的侧面积、表面积；【注：体对角线是连接棱柱上下底面、不在同一侧面的两顶点的连线】 【说明】本题主要考查了柱体的侧面积与表面积；空间几何体的表面积的求法技巧 1、多面体的表面积是各个面的面积之和；注意多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别注意； 2、组合体的表面积应注意重合部分的处理； 3、圆柱侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和； 题型11、利用公式求柱体的侧面积与表面积 例11、（1）如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体， 若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔， 求打孔后的几何体的表面积是多少？(注：其中π取3.14)； 【说明】本题考查了将简单几何体转化为若干个柱体问题解之； （2）用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长是27.5 cm，已知每平方米需要油漆150 g，共需要多少油漆？(精确到0.1 kg) 【说明】本题考查了几何体侧面积和全面积的实际应用；对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题； 题型12、柱体的展开图及其应用 例12、（1）如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1 的棱CC1的中点， 沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm. 【说明】通过本题的求解，得出：对于空间的“最短”问题，“展开图”往往是有效的解法； 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤： 1、将几何体沿着某棱(母线)剪开后展开，画出其侧面展开图； 2、将所求曲线问题转化为平面上的线段问题； 3、结合已知条件求得结果； （2）如图所示，圆柱OO′的底面半径为2 cm，高为4 cm， 点P为母线B′B的中点，∠AOB＝， 试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程． 1、正方体的表面积为96，则正方体的体积为 2、已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为 3、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 4、如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是________． 5、下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④棱柱的侧棱总与底面垂直． 其中正确说法的序号是________． 6、如图，直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形， 侧棱长AA1＝， 则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于 7、四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　) A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点 C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点 8、下列命题中，正确的是（ ） A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 9、已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积. 10、圆柱的高为4厘米，底面半径为3厘米， 已知上底面一条半径所在直线与下底面的一条半径所在直线的夹角为60°， 求： （1）直线与圆柱的轴所成角的正切值； （2）线段的长； ( 17 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$