5.1.4 用样本估计总体-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 5.1 5.1 统计 2 5.1 5.1.4 用样本估计总体 刷基础 3 1.[江西宜春中学2024高一期末] 为了解学生体育锻炼情况，宜春中学 随机抽取甲、乙两个班级，对这两个班级某一周内每天的人均体育锻 炼时间（单位： ）进行了数据统计，得到如图所示的折线图,下列 说法正确的是( ) C A.班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的小 B.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72 C.班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30 D.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大 题型1 用样本的数字特征估计总体的数字特征 4 解析 由题意可知，班级甲的数据按从小到大的顺序排列得30，35，55，65，70，70，72； 班级乙的数据按从小到大的顺序排列得30，30，35，65，83，88，90. 对于选项A：班级甲的极差为,班级乙的极差为 , 所以班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大，故A错误； 对于选项B：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B错误； 对于选项C：班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30，故C正确； 对于选项D：班级甲的平均数 , 班级乙的平均数 , 所以班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小，故D错误.故选C. 题型1 用样本的数字特征估计总体的数字特征 5 名师点拨平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，它们所反映的情况有 着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动程度大小. 题型1 用样本的数字特征估计总体的数字特征 6 2.[山东威海2023高一期末] 据统计某市学生的男、女生人数比为 ，为了调查该市学生每天睡 眠时长的情况，按照男、女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天 睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为 ，则 可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为___小时，方差为___． 参考公式：分层抽样中，假设第一层有个数，平均数为，方差为；第二层有 个数，平均数 为，方差为,则样本方差 ． 7 2 题型1 用样本的数字特征估计总体的数字特征 7 解析 由题意可得,，, ， 因为该市学生的男、女生人数比为，所以设男、女生人数分别为, ， 所以该市学生每天睡眠时长的平均数为 . 由题中方差公式可得，该市学生每天睡眠时长的方差为 . 题型1 用样本的数字特征估计总体的数字特征 8 3.[辽宁省实验中学2024高一月考] 某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制 了如图所示的频率分布直方图. 题型1 用样本的数字特征估计总体的数字特征 9 （1）根据图中数据计算参数 的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位； 【解】依题意，得，得 ， 各组的频率依次为,,,, ， 平均数为 分， 中位数为 分． 题型1 用样本的数字特征估计总体的数字特征 10 （2）已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于 内的同 学成绩方差为10，为了分析学生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平 均数和方差. [答案] 分数在区间内的人数为 ， 分数在区间内的人数为 ， 所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为 分，方差为 . 题型1 用样本的数字特征估计总体的数字特征 11 4.对于用样本分布估计总体分布的过程，下列说法正确的是( ) C A.总体容量越大，估计越精确 B.总体容量越小，估计越精确 C.样本容量越大，估计越精确 D.样本容量越小，估计越精确 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 12 解析 样本为所研究的具体对象，样本容量越大，越能反映总体情况，估计越精确. 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 5.某学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响，随机抽取了100名学生进行调 查.根据调查结果绘制了学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示： 将阅读时间不低于30分钟的学生称为“阅读霸”，则下列说法正确的是( ) A A.抽样表明，该校有一半学生为“阅读霸” B.该校只有50名学生不喜欢阅读 C.该校只有50名学生喜欢阅读 D.该校有50名学生为“阅读霸” 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 14 解析 根据频率分布直方图可列下表： 阅读时间（分） 抽样人数（名） 10 18 22 25 20 5 抽样的100名学生中有 （名）为“阅读霸”，占一半，据此可得出该校有一半 学生为“阅读霸”，故A正确；由于该校的总人数未知，故该校学生不喜欢阅读，喜欢阅读，为 “阅读霸”的人数不能得知，故B，C,D错误.故选A. 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 15 6.用样本估计总体的统计思想在我国古代数学中就有体现，其中有道“米谷粒分”题：粮仓开仓 收粮，有人送来一批米，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷25粒，若这批米内夹 谷有160石，则这一批米约有( ) C A.600石 B.800石 C.1 600石 D.3 200石 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 16 解析 设这批米大约为 石. 根据题意，可得，解得 .故选C. 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 17 7.[辽宁沈阳2023高一期中] 农业技术人员发现指标 可以显示出棉花纤维的质量水平.已知某棉 花种植基地今年产量为2 000吨，技术人员随机抽取了1吨棉花，得到指标 与棉花质量的如下 分布表： 指标 ，3. 2） ，3. 4） ，3. 6） ，3. 8） ，4. 0） ，4. 2） ，4. 4） ， 4.6] ， 4. 质量/ 吨 0.04 0.06 0.12 0.16 0.32 0.06 0.03 0.01 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 18 （1）求 的值，并补全频率分布直方图； 【解】由分布表知， ，解得 . 在频率分布直方图中对应的 为 ，补全频率分布直方图如图. 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 19 （2）根据频率分布直方图，估计样本指标 的众数及中位数； [答案] 由频率分布直方图知，指标 落在区间上的频率最大，故众数为 . 因为 ，且 ， 所以中位数在区间 上. 设中位数为，则 ， 解得 ，即中位数为3.875. 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 20 （3）根据指标 可将棉花分为A,B,C三个等级，不同等级的棉花价格如表所示： 指标 或 级别 A B C 价格（万元/吨） 1.6 1.52 1.44 用样本估计总体，估计该棉花种植基地今年的总产值. [答案] 由题可得1吨样本的产值为 （万元），估算该棉花种植基地今年的总产值为 （万元）. 题型2 用样本的分布来估计总体的分布 21 $$