4.7 数学建模活动_生长规律的描述-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修2同步课件 (人教B版)

数学 必修第二册 RJB 1 4.7 4.7 数学建模活动：生长规律的描述 刷基础 2 1.（多选）已知函数，，，当在 上逐渐增大时，下列关于这三个函 数的描述正确的是( ) BD A.的增长速度越来越快 B. 的增长速度越来越快 C.的增长速度一直快于 D.的增长速度有时慢于 题型1 不同的函数增长应用 3 解析 在同一平面直角坐标系中画出函数，， 的图象，如图所示， 由图可知 的增长速度没有变化，所以A错误； 在上， 的增长速度越来越快，所以B正确； 由图可知在上，的增长速度最慢，而在上， 的增长速度最快，所以C错误，D正 确.故选 . 题型1 不同的函数增长应用 4 2.下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型，且 的是( ) B A.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） B.我国人口年自然增长率为 时，我国人口总数随年份的变化关系 C.如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间 的函数关系 D.信件的邮资与其质量间的函数关系 题型1 不同的函数增长应用 5 解析 A，竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数 关系； B，我国人口年自然增长率为 时，我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系； C，如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间 的函数关系是反比例函数 关系； D，信件的邮资与其质量间的函数关系一般是分段函数关系，且每段都是常数函数.故选B. 题型1 不同的函数增长应用 6 3.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据. 第 天 1 2 3 4 5 被感染的计算机数量 （台） 10 20 39 81 160 则下列函数模型中，能较好地反映计算机在第天被感染的数量与 之间的关系的是( ) D A. B. C. D. 题型1 不同的函数增长应用 7 解析 对于A选项，当,2,3,4,5时，对应的值分别为10,20,30,40,50；对于B选项，当 , 2,3,4,5时，对应的值分别为10,20,40,70,110；对于C选项，当,2,3,4,5时，对应的 值分别 为10,20,,30,；对于D选项，当,2,3,4,5时，对应的 值分别为 10,20,40,80,160,而表中所给的数据，当,2,3,4,5时，对应的 值分别为10,20,39,81,160， 通过比较，发现选项D中的值与表格中的值误差最小，即能更好地反映与 之间的 关系.故选D. 题型1 不同的函数增长应用 8 4.[北京西城区2024高一期末] 一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄 （单位：岁）的 关系可以用下面的分段函数来表示：其中, ，而且这种细胞从诞生 到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞在5岁和60岁时的分裂速度相等，则 ( ) B A.6.402 B.6.462 C.6.502 D.6.522 题型1 不同的函数增长应用 9 解析 由细胞在5岁和60岁时的分裂速度相等，即，所以 ，整理得 ，又分裂速度变化是连续的，则，整理得 ，所 以，解得 .故选B. 题型1 不同的函数增长应用 10 5.[辽宁大连八中2024高一期中] 杭州亚运会火炬如图①所示，小红在数学建模活动时将其抽象为 图②所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为 ， 则关于时间 的函数的大致图象可能是( ) A 图① 图② A. B. C. D. 题型2 函数图象的解读 11 解析 由题图可知，该火炬中间细，两端粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧时，燃 料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度 下降得越来越慢，结合所给的函数图象，A选项较为合适，故选A. 题型2 函数图象的解读 12 6.[陕西西安铁一中2024高一月考] 2006年至2018年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况 如图所示.将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值 ，则下列函数模型中，最不适合 近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的函数是( ) D A. B. C. D. 题型2 函数图象的解读 13 解析 由题图可知在第一象限内，是关于的增函数.当时， 在第一象限内是减函数， 当时，在第一象限内没有图象，故 最不适合.故选D. 题型2 函数图象的解读 14 7.植物研究者在研究某种植物 年内的植株高度时，将得到的数据 用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在 年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是( ) B A. B. C. D. 题型2 函数图象的解读 15 解析 由散点图可知，植株高度增长越来越缓慢，故选择对数型函数模型.故选B. 题型2 函数图象的解读 8.[湖南长沙一中2024高一开学检测] 某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用， 由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间 （单位：时）之 间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当 时， 曲线是函数 图象的一部分.根据进一步测定，每毫升血液中含 药量不少于2微克时，治疗有效. 题型2 函数图象的解读 17 （1）试求服药后6小时内每毫升血液中含药量与时间 之间的函数关系式. 【解】当时，由题中图象可设 ， 将点的坐标代入上述解析式，解得 ， 即当时， . 当时，将点的坐标代入,解得 . 所以 题型2 函数图象的解读 18 （2）问服药多久之后开始有治疗效果，治疗效果能持续多少小时？（精确到 ，参考数据： ） [答案] 令 ， 解得或 （舍去）， 故服药约0.3小时之后开始有治疗效果. 令，即 ， 解得 . 又因为，所以 . 因为 ， 所以服药后的治疗效果能持续5.2小时. 题型2 函数图象的解读 19 9.[广西南宁二中2023高一联考] 有一组实验数据如表： 2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 则体现这组数据的最佳函数模型是( ) C A. B. C. D. 题型3 函数模型的拟合 20 解析 通过所给数据可知，随 的增大而增大，且增长的速度越来越快，B选项中的函数增长速 度越来越慢，不正确，D选项中的函数增长速度没有变化，不正确，对于C选项，当 时， ；对于A，当时， ，误差偏大，故C选项正确.故选C. 题型3 函数模型的拟合 21 规律方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是通过平均变化率观察函 数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函 数是对数函数. 题型3 函数模型的拟合 22 10.[广东深圳实验中学2024高一段考] 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源 汽车的产销量高速增长.某地区2021年底新能源汽车保有量为1 500辆，2022年底新能源汽车保 有量为2 250辆，2023年底新能源汽车保有量为3 375辆. （1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为 辆，根据以上数据，试从 ,且和,且 两种函数模型中选择一个最 恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势并说明理由，求出新能源汽车保有量关于 的函 数关系式； 【解】由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快,因此应该选择指数模型, 应选函数模型是,且 , 由题意得解得所以 . 题型3 函数模型的拟合 23 （2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆，且传统能源汽车保有量每年下降 ， 若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量 将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：，， ） [答案] 设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆,则有 , 令 , 即 , 化简得 , 解得 , 故从2021年底起经过9年后,即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量. 题型3 函数模型的拟合 24 $$