5.5 三角函数模型的简单应用-【高中必刷题】2024-2025学年新教材高中数学必修1同步课件 (湘教版)

数学 必修第一册 XJ 1 5.5 5.5 三角函数模型的简单应用 刷基础 2 1.[江苏扬州中学2024高一月考] 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第 一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图①.由物理学知识可知，某阻 尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（单位：）和时间（单位： ）的 函数关系为 ，如图②，若该阻尼器在摆动过程中连续三次位移为 的时间分别为，，，且， ，则在一 个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于 的总时间为( ) C 图① 图② A. B. C. D. 题型1 知模型求参数 3 解析 因为,,所以,所以最小正周期 , 又,所以,则 . 由可得 , 所以 ,,可得, . 因为 , 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的正向位移大于的总时间为 .故选C. 题型1 知模型求参数 4 2.[甘肃白银2023高一月考] 如图，某游乐园内摩天轮的中心距地面的高度为 ，摩天轮做匀 速运动.摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度 （单位：），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点的高度在距地面 以上的时间将持续___ . 4 题型1 知模型求参数 5 解析 令,得 , 即有,解得 . 在转动一圈的过程中,后高度大于,后高度小于,故点的高度在距地面 以 上的时间将持续 . 题型1 知模型求参数 6 3.[北京交大附中2024诊断性测试] 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标 系，设秒针针尖位置.若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时 ）正常开 始走时，那么点的纵坐标与时间 （单位：秒）的函数关系式为( ) C A. B. C. D. 题型2 建立三角函数模型 7 解析 由题意可得,初始位置为,不妨设初相为 ,故可得,,则 ,排 除B,D. 又函数的周期是60且秒针按顺时针旋转,即,所以,即 .故满足 题意的函数解析式为 .故选C. 题型2 建立三角函数模型 8 规律方法 解三角函数应用问题的一般步骤 第一步,阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上,分析出已知什 么,求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步,搜集整理数据,建立数学模型. 根据搜集到的数据,找出变化规律,运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式, 在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题,从而将实际问题数学化,即建立三角函数模型. 第三步,利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答,求得结果. 第四步,将所得结论转译成实际问题的答案. 题型2 建立三角函数模型 9 4.一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离 地面2米.设风车开始旋转时其翼片的一个端点 在风车的最低点，求： （1）点离地面距离（米）与时间 （分）之间的函数关系式. 【解】不妨设,, , 由题意得,, , 则.当时,,即 , 因此 . 因此, . 题型2 建立三角函数模型 10 （2）在第一圈的什么时间段，点 离地面的高度超过14米？ [答案] 由题意令,即,则 . 又因为,所以 . 所以在第一圈的4分钟到8分钟内,点 离地面的高度超过14米. 题型2 建立三角函数模型 11 5.如图所示，一个以为始边，为终边的单摆的角与时间（单位： ） 满足函数关系式，,则当时，角 的大小及单摆频率是 ( ) B A.2， B.， C.， D.2， 题型3 三角函数模型的应用 12 解析 当时,,由函数解析式易知单摆周期为 ,故单摆频率为 . 题型3 三角函数模型的应用 13 6.（多选）[山东德州部分学校2024高一联考] 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐 在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60 米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最 远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后摩天 轮座舱按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同， 游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 米，下列说法正确的是( ) BCD A.关于（单位：分）的函数解析式可以为 B.开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C.开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D.开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降） 题型3 三角函数模型的应用 14 解析 设游客甲距离地面的高度（米）与时间 （分）的函数解析式为 , 由题意得解得 由开启后的第8分钟这一时刻游客甲和乙首次距离地面的高度相同知, 摩天轮匀速旋转一周大约需要24分钟,可知座舱转动的角速度约为/分,故 , 则 . 又当时,游客甲的位置到达摩天轮最高点,所以 , 即,所以 ,,所以 , , 不妨取,则,故 ,A错误. 题型3 三角函数模型的应用 15 由于摩天轮匀速旋转一周需24分钟,故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时,需经历 分钟,B正确. 根据题意,设游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度（米）与时间 （分）的函数解析式为 ,则开启后第10分钟游客乙距离地面高度为 （米）,C正确. 对于函数 , 令,得,, , 所以函数的单调递减区间为, , 当时,函数的单调递减区间为 , 题型3 三角函数模型的应用 所以开启后第10分钟至第18分钟游客甲在下降； 对于函数 , 令,得,, , 所以函数的单调递减区间为, , 当时,函数的单调递减区间为 , 所以开启后第10分钟至第18分钟游客乙也在下降, 即开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同,D正确.故选 . 题型3 三角函数模型的应用 7.[广东实验中学2024调研] 某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池.如图，在扇形 中，半径，圆心角，是扇形圆弧上的动点，矩形 内接于扇形. 记 ，矩形的面积为 . 题型3 三角函数模型的应用 18 （1）将面积表示为角 的函数. 【解】依题意,在中,,则 , ,在中,,,则 , 因此 , , 所以面积表示为角 的函数是, . （2）当角 取何值时， 最大？并求出这个最大值. [答案] 由（1）知,当时,,则当,即 时, ,所以当时, . 题型3 三角函数模型的应用 19 8.如图所示的图象显示的是相对平均海平面的某海湾的水面高度（单位： ）在某天24小时内的变 化情况，则水面高度关于从夜间0时开始的时间的函数关系式为______________, . 解析 将其看成的图象,由图象知,,, . 将看成函数图象的第一个特殊点,则, . 函数关系式为 易错点 求错函数模型 20 9.某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位： ），如图.根据图中提供的数据，试用 近似地 拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系式为_______________________,,2, ,12. 易错点 求错函数模型 21 解析 若以1月份为最低气温,8月份为最高气温,则可得, , ,,,所以函数解析式为,,2, ,12. 易错点 求错函数模型 22 易错警示 第8题中的错误主要发生在求参数 时,若代入零点需明确零点的类型；第9题中错误易 发生在对图象的理解与应用,不能正确地提取信息.所以解决实际情境中的求模或建模问题的首要 一步是准确地提炼信息,然后化归为对应的数学问题正确求解. 易错点 求错函数模型 23 5.5 5.5 三角函数模型的简单应用 刷能力 24 1.[北京一零一中学2024开学考试] 如图，质点在以坐标原点 为圆心，半径为1的圆上逆时针做 匀速圆周运动，质点运动的角速度大小为，起点为射线与 的交点. 则当时，下列选项中，是动点的纵坐标关于（单位： ）的函数的单调递增区间的 是( ) B A. B. C. D. 25 解析 由题意,设,因为质点在单位圆上运动的角速度大小为,起点 为射 线与 的交点, 所以,,,所以动点的纵坐标关于（单位： ）的函数解析式为 . 由 ,,得 , . 又,所以,,, . 所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间为,, , .故选B. 26 2.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流（单位：A）与时间 （单位：）满足函数关系式：（其中为供电的最大电流，单位：A； 表 示角频率，单位：；为初始相位），该三相交流电的频率（单位：）与周期 （单位：）满足关系式.某实验室使用的三相交流电，经仪器测得在 与 的瞬时电流之比为，且在时的瞬时电流恰好为，若 ，则该实验室 所使用的三相交流电的最大电流为( ) A A. B. C. D. 27 解析 由题意知,,, ,从而 , 在与的瞬时电流之比为 , , , ,即 , ,,从而 . 在时的瞬时电流恰好为 , ,即,解得 .故选A. 28 3.（多选）[四川乐山2024开学考试] 科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、2 8天和23天为周期，均可按进行变化.记智力曲线为，情绪曲线为 ，体力曲线 为 ，则( ) AC A.第35天时情绪曲线 处于最高点 B.第33天到第42天时，智力曲线与情绪曲线 不相交 C.第46天到第50天时，体力曲线 处于上升期 D.体力曲线关于点 对称 29 解析 设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线分别用, , 表示, 所以,, . A项：第35天时,,故情绪曲线 处于最高点,A正确； B项：设,因为 , ,故利用零点存在定理可得,存在,使得 , 故此时智力曲线与情绪曲线 相交,B错误； C项：因为,所以 ,因为 ,所以根据正弦函数的性质可得此时 单调递增,故体力曲线 处于上升期,C正确； D项：因为,所以体力曲线不关于点对称,D错误.故选 . 30 4.一物体相对于某一固定位置的位移（单位：）和时间（单位： ）之间的一组对应值如表 所示，则可近似地描述该物体的位移和时间 之间的关系的一个三角函数关系式为 ____________________. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 , 31 解析 设,, , 则从表中可以得到, , , . 又由,得,取 , 故, . 32 5.（原创）示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标和，已知， 是 曲线上相邻的最高点和平衡位置，则曲线的方程是_________________. 33 解析 由题意可设曲线方程为 . 因为,所以 , 所以 , 所以 . 又曲线经过点,所以 , , 所以 , , 所以 . 34 6.[陕西西安铁一中学2024质量检测] 如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们称 它为葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它 为倒影曲线），它对应的方程为（其中记为不超过 的 最大整数），且过点.若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到 轴的距离为__. 35 解析 由点在曲线上,可得,化简可得 , 则有 , 解得 . 若葫芦曲线上一点到轴的距离为,则 , 则有 , 可得,即点到轴的距离为 . 36 $$