5.4一元一次方程的应用（2） 自主学案2023-2024学年浙教版数学七年级上册

浙教版数学七年级上册自主学案 第5章　一元一次方程 5.4　一元一次方程的应用 第2课时　等积变形问题 教材的地位 和作用 　本节内容是在学生已学习了由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上,进一步以探究的形式来讨论如何用一元一次方程解决实际问题.本节中涉及的应用问题主要是等积变形问题中的基本数量关系,相等关系的特征是存在不变量 重点 难点 重点 　掌握等积问题中常见的数量关系及列方程的方法 难点 　在复杂情境和数量关系下列方程解应用题 易错点 　等积变形问题中找不清等量关系 知识点一　面积不变的问题 面积不变的问题,形状不同而面积相等就是列方程的依据.解决此类问题应熟悉常用的面积公式,并能根据题目信息用未知数表示相关图形的面积. 1.一个长方形的周长是18 cm,若这个长方形的长减少1 cm,宽增加2 cm,就可以成为一个正方形,则此正方形的边长是 (A) A.5 cm　 B.6 cm　 C.7 cm　 D.8 cm 知识点二　体积不变的问题 体积不变的问题,形状不同而体积相等就是列方程的依据.解决此类问题应熟悉常用的体积公式,如长方体、圆柱的体积公式. 2.将底面半径为12 cm,高为9 cm的圆柱形铁块锻压成高16 cm的圆柱形零件.若体积不变,设圆柱形零件的底面半径为x cm,则可列出方程为 (B) A.144πx=162π×9 B.16πx2=9×122π C.12πx2=16×92π D.9πx2=16×122π 【题型探究】 类型一　简单的面积不变问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　例1 (教材例3针对训练)如图；1,长方形纸片的长是15 cm,在它的长、宽上各剪去一个宽为3 cm的长条,剩下的面积是原长方形面积的.求原长方形的面积. 图1 解:设原长方形纸片的宽是x cm,则原长方形的面积是15x cm2. 在原长方形纸片的长、宽上各剪去一个宽为3 cm的长条,剩下的面积是12(x-3)cm2,根据题意,得 ×15x=12(x-3), 解得x=12,则15x=180. 故原长方形的面积是180 cm2. 类型二　体积不变问题 例2 (教材例4针对训练)在一个底面直径是10 cm,高是18 cm的圆柱形瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径是12 cm,高是10 cm的圆柱形玻璃杯内,能否完全装下?若装不下,则瓶内水面还有多高?若未能装满,则杯内水面的高度是多少? 解:设将瓶内的水倒入一个底面直径是12 cm,高是10 cm的圆柱形玻璃杯中时,杯内水面的高度为x cm. 根据题意得π××x=π××18, 解得x=12.5. ∵12.5>10, ∴不能完全装下. 12.5-10=2.5(cm), =3.6(cm), 故瓶内水面还有3.6 cm高. 【归纳总结】 等积变形问题的相等关系是:物体的外形或形态发生变化,但变化前后的体积(或面积)不变. 【学以致用】 1．如图，大长方形ABCD由10个大小和形状均相同的小长方形拼接而成，已知BC的长为40 cm，则大长方形ABCD的面积为(　A　) 第1题图 A．2 560 cm2 B．2 240 cm2 C．2 000 cm2 D．1 920 cm2 【解析】 设小长方形的长为x(cm)，则宽为(40－x)cm.由题意，得 2x＝x＋4(40－x)， 解得x＝32，∴2x·40＝2 560， ∴大长方形ABCD的面积为2 560 cm2. 2．如图所示为一块在电脑屏幕上出现的色块图，是由6个颜色不同的正方形拼成的长方形．如果中间最小的正方形的边长为1，那么所拼成的长方形的面积为__143__. 第2题图 【解析】 设右下角的正方形的边长为x，由题意，得 x＋x＋(x＋1)＝(x＋2)＋(x＋3)， 解得x＝4， ∴长方形的长为13，宽为11， ∴长方形的面积为13×11＝143. 3．如图所示，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40 cm，50 cm.今将隔板抽出，若此过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板的厚度，则根据图中的数据，求抽出隔板后水面的高度． 第3题图 解：设底面长方形的宽为x(cm)，抽出隔板后水面的高度为h(cm)，由图易知底面长方形的长为130＋70＝200(cm)， 由题意，得×40＋×50＝200xh， 解得h＝44. 答：抽出隔板后水面的高度为44 cm. 4．如图，现有A，B两个圆柱形容器，B容器的底面积为S(cm2)，高为18 cm，A容器的底面积是B容器的底面积的2倍，容器内水的高度为10 cm. (1)若把A容器内的水全部倒入B容器中，则水__会__溢出(填“会”或“不会”)． (2)若(1)中的水会溢出，则当B容器中的水倒满时，求A容器中剩余水的高度；若(1)中的水不会溢出，求此时B容器内水的高度． (3)在倒水的过程中，当两个容器中水的高度相同时，求此时容器内水的高度． 第4题图 解：(1)A容器内水的体积为2S×10＝20S(cm3)， B容器的容积为18S(cm3)． ∵S＞0， ∴20S(cm3)＞18S(cm3)， ∴若把A容器内的水全部倒入B容器中，则水会溢出． (2)设A容器中剩余水的高度为x(cm)，由题意，得2Sx＋18S＝20S， 解得x＝1. 答：A容器中剩余水的高度为1 cm. (3)设此时容器内水的高度为y(cm)，由题意，得2Sy＋Sy＝20S， 解得y＝. 答：此时容器内水的高度为 cm. 5．[应用意识]如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看做正五边形，白皮可看做正六边形，求一个足球上白皮、黑皮各有多少块． 第5题图 解：设足球上黑皮有x块，则白皮有(32－x)块，则正五边形的边数为5x，正六边形的边数为6(32－x)．由图形关系可得，每块黑皮周围有5块白皮，每块白皮周围有3块黑皮，3块其他的白皮， ∴黑皮的每条边均与一条白皮的边重合，而白皮只有一半的边与黑皮的边重合， ∴白皮的边数为黑皮的2倍， ∴2×5x＝6(32－x)， 解得x＝12，∴32－x＝20. 答：白皮有20块，黑皮有12块． 学科网（北京）股份有限公司 $$