第10讲 等腰三角形的性质定理 （1个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第10讲 等腰三角形的性质定理 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【例1】（2022秋•双峰县期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【变式1】（2022秋•余姚市校级期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为　　 A．9 B．7 C．12 D．9或12 【变式2】（2023秋•松阳县期末）一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，这个等腰三角形的腰长是 　　． 【变式3】（2021秋•上城区校级期中）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 　　． 【变式4】（常山县校级月考）如图：已知，且．求证：． 经典题型汇编 题型一.等腰三角形的性质和判定 1．（八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰直角△ABC中，腰长AB=4，点D在CA的延长线上，∠BDA=30°，则△ABD的面积是(   ) A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型二.等边三角形的性质 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．    6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”和“图形的轴对称”等内容后，小敏做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小敏完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】填空：的度数为________； 【拓展探究】做完该题后，小敏又进行了如下思考： 在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，其他条件不变． （1）是否仍成立？ （2）的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并说明理由． 试题练习 一、单选题 1．（八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D在BC延长线上，且，若，则　　 A． B． C． D． 2．（八年级上·浙江杭州·期中）已知，点P在的内部，点与点P关于OB对称，点与点P关于OA对称，则O，，三点所构成的三角形是　　 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 3．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，边长为2的等边三角形中，D点在边上运动（不与B、C重合），点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，．点D在边上从B至C的运动过程中，周长变化规律为（　　）    A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 4．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边三角形中，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点A在边上的点D位置，且，则（　　）    A． B． C． D． 5．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点是边上一点，，过点作交于，若是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（    ）    A． B．4 C． D． 7．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点A，B，C在一条直线上，在与中，，，，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③；④平分，其中结论正确的有（    ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（八年级上·浙江杭州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，连结交于点，连结交于点，连结．下列结论中，正确的结论有（    ）． ①；②；③；④ A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 9．（八年级上·浙江宁波·期末）下列三角形不一定全等的是（ ） A．面积相等的两个三角形 B．周长相等的两个等边三角形 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形 D．有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形 10．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江台州·期中）等边三角形的边长如图所示，那么 ． 12．（八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ． 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是边长为5的等边三角形，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的，点M、N分别在上，连接，则的周长为 ． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知和均为等边三角形，点是的中点，连接，，则 ，取最小值时与满足位置关系为 ． 15．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，是等边三角形，边长为12，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是 ． 16．（八年级上·浙江金华·期中）已知如图：直线AB⊥BC，四边形ABCD是正方形，且AB=6，点P是BD上一点，且PD=2，一块三角板的直角顶点放在点P上，另两条边与BC、AB所在直线相交于点E、F，在三角板绕点P旋转的过程中，使得△PBF是等腰三角形，（1）线段BD= ,（2）请写出所有满足条件的BF的长 . 三、解答题 17．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，BD与AC相交于点O． 求证：． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 19．（20-21八年级上·浙江湖州·期中）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点，且BD＝CD＝CE． （1）若∠B=30°，∠E＝20°，求∠A的度数； （2）若∠B=x，∠E＝y，请用含x、y的代数式表示∠A的度数． 20．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，和分别是以的AB，AC为边的等边三角形，CE，BF相交于O. （1）求的度数． （2）若，判断的形状，并说明理由． 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知和都是等边三角形，且点在边上． (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图，过点作于点，设的面积为，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 22．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； (2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A． B． C． D． 直接写出所有正确选项的序号是　 　． (3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 23．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE<AB）．连结EF． (1)求证：EF⊥BC． (2)将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D． ①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？ ②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值． 24．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 等腰三角形的性质定理 （1个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【例1】（2022秋•双峰县期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【分析】此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【解答】解：①若是顶角的外角，则顶角； ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故选：． 【点评】当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 【变式1】（2022秋•余姚市校级期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为　　 A．9 B．7 C．12 D．9或12 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 【变式2】（2023秋•松阳县期末）一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，这个等腰三角形的腰长是 　6或8　． 【分析】根据已知的等腰三角形的周长和一边的长，先分清三角形的底和腰，再计算腰长． 【解答】解：等腰三角形的周长为20， 当腰长时，底边， 当底边时，腰长，且， 故答案为：6或8． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式3】（2021秋•上城区校级期中）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 　或　． 【分析】有两种情况（顶角是和底角是时），由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【解答】解：如图所示， 中，． 有两种情况： ①顶角； ②当底角是时， ， ， ， ， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键． 【变式4】（常山县校级月考）如图：已知，且．求证：． 【分析】根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质、等量代换证明． 【解答】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.等腰三角形的性质和判定 1．（八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰直角△ABC中，腰长AB=4，点D在CA的延长线上，∠BDA=30°，则△ABD的面积是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，作BH⊥AC于H．想办法求出AD．BH即可解决问题． 【详解】解：如图，作BH⊥AC于H． ∵BA=BC=4，∠ABC=90°，BH⊥AC， ∴AC= ，AH=CH=BH=， 在Rt△BDH中，∵∠BHD=90°，∠D=30°， ∴ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E是△ABC内一点，点F在BC上，△BEF是等边三角形，作∠BAC的平分线交EF于点D，若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC＝ cm． 【答案】8 【分析】利用等边三角形的性质求出DF的值，利用三十度角所对的直角边是斜边的一半求出GF，从而求出BG，利用等腰三角形的性质求出BC． 【详解】解：∵△BEF是等边三角形 ∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60° ∵DE＝2cm ∴DF=4cm ∵AB＝AC，AD平分∠BAC ∴AG⊥BC，BG=BC ∴∠GDF=90°-∠EFB=30° ∴GF=DF=2cm ∴BG=BF-GF=4cm ∴BC=8cm 故答案为8 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出BG的长是解决问题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，，，可证，从而得出； （2）由，得，则，而，所以，从而求得的度数． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 的度数是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，四边形内角和等知识，解题的关键是证明． 题型二.等边三角形的性质 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步解题即可． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴，， ∴， 故选D 5．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．    【答案】/150度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内外角关系，根据等边三角形得到，结合平角及三角形内外角关系求解即可得到答案； 【详解】解析：和是两个等边三角形， ∴， 在中，， ，， ， ∵，，， ． 6．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）【阅读材料】学完“全等三角形”和“图形的轴对称”等内容后，小敏做了这样一道题：如图1，已知是等边三角形，点D，E分别在上，且．连结交于点F．求证：． 小敏完成后，发现可以利用全等结论推出的度数为定值． 【解决问题】填空：的度数为________； 【拓展探究】做完该题后，小敏又进行了如下思考： 在上题中，若点D，E分别在的延长线上，的延长线与交于点F，其他条件不变． （1）是否仍成立？ （2）的度数是否仍为定值？ 请你思考这两个问题，给出相应的结论并说明理由． 【答案】[解决问题]60º；[拓展探究]（1）仍成立，详见解析；（2）的度数仍为定值60º，详见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，进行证明求解． （1）由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解； （2）由“”可证，可得，由外角性质可求解． 【详解】[解决问题] 是等边三角形， ，， ，，， ，， 又， ， ； 故答案为：； [拓展探究] （1）仍成立． 理由如下：是等边三角形， ，， ， 又， ． （2）的度数仍为定值． 理由如下：由（1）知，， ， 而，，， ． 试题练习 一、单选题 1．（八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D在BC延长线上，且，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取BC的中点E，连接AE，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质计算． 【详解】解：取BC的中点E，连接AE， ，点E是BC的中点， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．（八年级上·浙江杭州·期中）已知，点P在的内部，点与点P关于OB对称，点与点P关于OA对称，则O，，三点所构成的三角形是　　 A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可知：，，即可判断是等边三角形． 【详解】解：根据轴对称的性质可知， ， 又∵， ∴， 是等边三角形． 故选A． 【点睛】主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质轴对称的性质： 对应点所连的线段被对称轴垂直平分； 对应线段相等，对应角相等． 3．（20-21八年级上·浙江温州·阶段练习）如图所示，边长为2的等边三角形中，D点在边上运动（不与B、C重合），点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，．点D在边上从B至C的运动过程中，周长变化规律为（　　）    A．不变 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【分析】先根据等边对等角得到，再由等边三角形的性质得到，利用三角形外角的性质证明，，进而证明得到，再根据三角形周长公式推出周长，点D在从B至C的运动过程中，则的长先变小后变大，则周长先变小后变大． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵°， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴周长， ∴点D在从B至C的运动过程中， ∴的长先变小后变大， ∴周长先变小后变大， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，通过证明，得到是解题的关键． 4．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边三角形中，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点A在边上的点D位置，且，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠可知，，再由三角形的内角和定理即可计算出的度数，即可求的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是折叠而成， ∴，， 又∵ ∴， ∴ ∴在中，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及折叠的性质，解题的关键是熟知等边三角形与折叠的性质，并灵活运用三角形内角和定理进行计算． 5．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点是边上一点，，过点作交于，若是等腰三角形，则下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质得到根据垂直的性质得到 根据等量代换得到又即可得到 根据同角的余角相等即可得到. 【详解】, , 从而 是等腰三角形， ， 故选B. 【点睛】考查等腰三角形的性质，垂直的性质，三角形的内角和定理，掌握同角的余角相等是解题的关键. 6．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（    ）    A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】设于G,交于H，由等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，设,根据等边三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：设于G,交于H， ∵是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点与点对应， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 设, ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A．    【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 7．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，点A，B，C在一条直线上，在与中，，，，连接和，分别交，于点M，P，交于点Q，连接，，下面结论：①；②；③；④平分，其中结论正确的有（    ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由即可证出；由，得出，根据三角形外角的性质得出；由证明，得出对应边相等；由得到和面积等，且，从而证得点到、的距离相等，利用角平分线判定定理得到点在角平分线上． 【详解】解：∵，，， ∴、为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴，故②正确； 在和中， ∴， ∴，故③正确； ∵ ∴，， ∴点到、的距离相等， ∴点在的平分线上， 即：平分，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 8．（八年级上·浙江杭州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，连结交于点，连结交于点，连结．下列结论中，正确的结论有（    ）． ①；②；③；④ A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①④ 【答案】B 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ， ∴． 在和中， ， ∴≌， ∴，①正确； ∵≌， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴③正确； 在中，， 在中，， ∴． 在中， ， 在中， ， ∴， ∴，故④正确； ∵≌， ∴， ∵与相等无法证明， ∴不一定成立，故②错误； 故选． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等，结合图形与已知选用恰当的方法与性质进行解答是关键. 9．（八年级上·浙江宁波·期末）下列三角形不一定全等的是（ ） A．面积相等的两个三角形 B．周长相等的两个等边三角形 C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形 D．有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形 【答案】A 【详解】A、如果△ABC和△DEF中，BC=1，BC上的高AD=2，△DEF的边EF=2，EF上的高是1，两三角形的面积相等，但△ABC和△DEF不一定全等，故本选项正确；   B、△ABC和△DEF，AB=BC=AC，DE=EF=DF，根据周长相等，则AB=BC=AC=DE=DF=EF，根据SSS即可推出两三角形全等，故本选项错误； C、根据直角三角形全等的判定定理HL，推出两三角形全等，故本选项错误； D、△ABC和△DEF中，AC=AB=DE=DF，只能是顶角是100°，在△ABC和△DEF中,，可得△ABC≌△DEF（SAS），故本选项错误； 故选A． 点睛：此题主要考查了三角形的有关知识，根据三角形的面积公式即可判断A；根据周长求出两三角形的三边相等，根据SSS即可判定两三角形全等；根据HL即可判断两直角三角形全等；根据SAS即可判断两三角形全等． 10．（22-23八年级上·浙江金华·期中）如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，证明；即可得①正确；证明，，再由，即可得②正确；先证，得，再证，即可得③正确；先证，得，再证，由，即可得④正确； 【详解】解：是等边三角形， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 的平分线交于边上的点G， ， ， ，故②正确； 如下图，过点G作于T，于J，于K，   平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上：正确的有4个； 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，三角形的外角，解题的关键是证三角形全等． 二、填空题 11．（23-24八年级上·浙江台州·期中）等边三角形的边长如图所示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，由题意可得，解方程即可求出等边三角形的边长，进而求出的值，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴等边三角形的边长为， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，外角∠ACD=110°，则∠A= ． 【答案】40° 【分析】由∠ACD=110，可知∠ACB=70；由AB=AC，可知∠B=∠ACB=70；利用三角形外角的性质可求出∠A. 【详解】解：∵∠ACD=110， ∴∠ACB=180-110=70； ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=70； ∴∠A=∠ACD-∠B=110-70=40. 故答案为40. 【点睛】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质. 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是边长为5的等边三角形，是顶角为的等腰三角形，以D为顶点作一个的，点M、N分别在上，连接，则的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质及三角形全等的判定与性质，延长 ，分别交，于点，，先根据等腰三角形得到，结合等边三角形的性质得到，， ，，再证， ，即可得到答案； 【详解】解：延长 ，分别交，于点，，在上截取， ∵是顶角为的等腰三角形， ∴， ∵是边长为5的等边三角形， ∴，， ，，, 在与中， ∵， ∴， ∴，，,, ∵，， ∴， ∵ ∴ 在与中， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：5． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知和均为等边三角形，点是的中点，连接，，则 ，取最小值时与满足位置关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．根据等边三角形的性质可得，，根据“”可证，可得，当时，的长度最小，根据，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形，点O是的中点， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当时，的长度最小， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：30；． 15．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，是等边三角形，边长为12，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，理解“两点之间线段最短”是解题的关键， 先根据“两点之间线段最短”找到最小值，再根据勾股定理求解． 【详解】解：连接，与交于点P，此时最小， 是等边三角形，边长为12，是边上的高， ， ， ， 即就是的最小值， 是等边三角形，边长为12，点E是边AC的中点， ，， ， 的最小值是， 故答案为： 16．（八年级上·浙江金华·期中）已知如图：直线AB⊥BC，四边形ABCD是正方形，且AB=6，点P是BD上一点，且PD=2，一块三角板的直角顶点放在点P上，另两条边与BC、AB所在直线相交于点E、F，在三角板绕点P旋转的过程中，使得△PBF是等腰三角形，（1）线段BD= ,（2）请写出所有满足条件的BF的长 . 【答案】 4或8或 【分析】（1）由勾股定理即可求得BD长； （2）△PBF是等腰三角形，分情况讨论即可. 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，且AB=6， ∴BD==； 故答案为； （2）由（1）知， BD=，PD=2， ∴BP=BD-PD=2=, ∵△PBF是等腰三角形， ①当FB=FP时， ∵∠FBP=45 º， ∴∠FPB=45 º ∴∠BFP=90º， ∴△BPF是等腰直角三角形， 由勾股定理得2FB2=BP2， 解得FB=4； ②当BP=BF时， 由∠BFP=∠FBP=45º得∠BPF=90º， 则BF2=2BP2， 解得BF=8. ③当BP=BF时，BF=. 故答案为4或8或 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，分类讨论是本题的重点． 三、解答题 17．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，BD与AC相交于点O． 求证：． 【答案】BO=OD 【分析】由题意可证≌ ，可得 ，由等腰三角形的性质可得． 【详解】证明：，，， ≌ ，且 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题关键． 18．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形，全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是解决本题的关键． （1）根据等边三角形性质推出，根据即可证明； （2）根据（1）结论得到，根据，即得． 【详解】（1）∵，为等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 19．（20-21八年级上·浙江湖州·期中）如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点，且BD＝CD＝CE． （1）若∠B=30°，∠E＝20°，求∠A的度数； （2）若∠B=x，∠E＝y，请用含x、y的代数式表示∠A的度数． 【答案】（1）80°；（2）∠A=180°-2（x+y） 【分析】（1）结合题意，根据等腰三角形的性质，得∠B＝∠DCB=30°，∠E＝∠CDE＝20°；再结合∠ADC、∠ACD分别是△DBC、△CDE的外角，以及三角形内角和定理，即可计算得到答案； （2）结合（1）的结论，通过计算即可完成求解． 【详解】（1）∵BD＝CD＝CE ∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE ∵∠B=30°，∠E＝20° ∴∠DCB=∠B＝30°，∠CDE=∠E＝20° ∴∠ADC=∠B+∠DCB=60°，∠ACD=∠E +∠CDE＝40° ∴∠A=180°-∠ADC- ∠ACD= 80°； （2）∵∠B=x，∠E＝y 结合（1）的结论得：∠DCB=∠B＝x，∠CDE=∠E＝y ∴∠ADC=2x，∠ACD＝2y ∴∠A=180°-2（x+y）． 【点睛】本题考查了三角形内角和、三角形外角、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、等腰三角形的性质，从而完成求解． 20．（19-20八年级上·浙江杭州·期末）如图，和分别是以的AB，AC为边的等边三角形，CE，BF相交于O. （1）求的度数． （2）若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）∠EOB=60°；（2）△ABC是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）首先根据题意推出△AEC≌△ABF，根据∠AEO+∠BEO=60°，推出∠BEO+∠ABO=60°，即得∠BEO+∠ABO+∠EBA=120°，根据三角形内角和定理，即可推出∠EOB=60°； （2）先证明△BCE≌△CBF得出BE=CF，再由​△ABE和△ACF是等边三角形，即可得出AB=AC． 【详解】解：（1）∵△ABE和△ACF是等边三角形， ∴∠EAB=∠FAC，AE=AB，AC=AF， ∴∠EAC=∠BAF， 在△AEC和△ABF中， ， ∴△AEC≌△ABF（SAS）， ∴∠AEO=∠ABO， ∵∠AEO+∠BEO=60°， ∴∠BEO+∠ABO=60°， ∵∠EBA=60°， ∴∠BEO+∠ABO+∠EBA=120°， ∴∠EOB=180°-120°=60°； （2）△ABC是等腰三角形． 理由：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∵△AEC≌△ABF， ∴BF=CE， 又BC=CB， ∴△BCE≌△CBF， ∴BE=CF， ∵△ABE和△ACF是等边三角形， ∴AB=BE，AC=CF， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】​本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知和都是等边三角形，且点在边上． (1)求证：． (2)求的度数． (3)如图，过点作于点，设的面积为，的面积为，求的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)的面积． 【分析】（）利用“”即可求证； （）由得到，再利用角的和差关系即可求解； （）由等边三角形三线合一得到，进而得到的面积的面积的面积，又由得到的面积的面积，得到的面积的面积的面积，由此得到的面积，再根据面积和差关系即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由() 知：， ∴， ∴； （3）解：∵ 是等边三角形，， ∴， ∴的面积的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∵的面积为， ∴的面积的面积的面积， ∴的面积， ∴的面积． 22．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点E，使．连接，可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． (1)请你利用上面解答问题的思路方法，写出求的取值范围的过程； (2)【问题解决】如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A． B． C． D． 直接写出所有正确选项的序号是　 　． (3)【问题拓展】如图③，在和中， ，与互补，连接、，E是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)B、C (3)见解析 【分析】（1）如图①中，延长至点E，使，证明，得，再利用三角形的三边关系，可得结论； （2）如图2中，延长至F，使，证明，即可判断； （3）如图3中，延长到J，使得，连接，证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：解：如图①中，延长至点E，使， 在和， ， ， ， ， ， ，              ； （2）如下图2中，延长至F，使， 由（1）得，， ， ， 点B为的中点， ， ， ， ， 又， ， ，， 故B、C正确； （3）如下图③中，延长到J，使得，连接， 同法可证， ， ， ， 与互补， ， ，           ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，解题的关键是学会倍长中线，构造三角形全等． 23．（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°．延长BA至点E，并使得AE＝AF（AE<AB）．连结EF． (1)求证：EF⊥BC． (2)将△AEF沿AC折叠．并记点E沿AC折叠时的落点为点D． ①当点D落在△ABC内部时，AE的取值范围是多少？ ②P，Q分别是边AC，BC上的动点，连结DP，DQ．若EF＝1，求DP＋DQ的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②2.5 【分析】（1）由等腰三角形的性质和对顶角相等，以及三角形的内角和，即可得到EH⊥BC； （2）因为△AEF为等边三角形，所以当E、P、Q共线时DP+DQ的值最小，由此可计算DP+DQ的最小值． 【详解】（1）延长EF交BC于点H， ∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠EAC＝60°，∠B＝∠C＝30° ∵AE＝AF， ∴∠E＝∠AFE＝60°， ∴∠EHB＝90° ∴EF⊥BC． （2）当点D在BC上时， 由折叠知，AE＝AD，∠DAC＝∠EAC＝60°， ∴∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝90° ∵∠B＝30°，∴， ∴AE的取值范围是0<AE<2 ∵AE＝AF，∠EAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ∴AE＝EF＝1，即点D在△ABC内部 ∵D，E关于AC对称， 当E，P，Q三点共线且垂直BC时，DP＋DQ的值最小且DP＋DQ＝EH ∵∠B＝30°， ∴， 即DP＋DQ的最小值为2.5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，涉及折叠等相关知识，掌握并熟练使用相关知识，精准识图，注意在解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 24．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）数学中常常利用面积相等来证明其他的线段相等，这种方法被称为“面积法”．已知等边，点是平面上任意一点，设点到边、边的距离分别为、，的边上的高为．回答以下问题：    (1)如图（1），若点在三角形的边上，、、存在怎样的数量关系？请给出证明过程． (2)如图（2），当点在内，已知，求的值． (3)如图（3），当点在外，请直接写出与、、的数量关系，不用证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)10 (3) 【分析】（1）连结，设，则，则，，，由得到，即可证明； （2）连结、、，则，，，，由得到，则； （3）连结、、，则，，，，由得到，则． 【详解】（1）解：， 证明如下：连结，如图（1）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点， ，，， ， ， ； （2）解：连结、、，如图（2）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）解：， 理由如下：连结、、，如图（3）所示：    设， 是等边三角形， ， 于点，于点，于点，于点， ，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形的面积公式、根据面积等式证明其他线段之间的相等关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且列出相应的面积等式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$