专题15 反比例函数与几何存在性问题的四种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题15 反比例函数与几何存在性问题的四种考法 目录 【考法一、平行四边形存在性问题】 1 【考法二、菱形存在性问题】 7 【考法三、矩形存在性问题】 18 【考法四、正方形存在性问题】 27 【课后训练】 38 【考法一、平行四边形存在性问题】 例．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点不与点重合，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)符合条件的点有个，坐标为或或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分两种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时存在点；②当为平行四边形的边时存在点，求出点坐标即可． 【详解】（1）如图1，作轴，垂足为， 是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：． （2）在轴上存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 根据（1）中求C点坐标，同理可得点坐标，设直线解析式为，代入点坐标得：，解得， 直线解析式为：， 当为平行四边形的对角线时，在中，令，得， ， ， 是平行四边形， ， ， ， ； 当为平行四边形的边时， 点向上移动个单位得到平行四边形， 此时点的坐标为． 同理可得，当点、在轴下方时，． 综上所述，符合条件的点有个，坐标为或或． 变式1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)设直线交轴于点，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数关系式为，一次函数的关系式为； (2)； (3)或或或． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）连接，设直线与轴的交点为，求出点坐标，根据即可求解； （）求出点坐标，设，，根据平行四边形对角线互相平分，分以为对角线、以为对角线、以为对角线三种情况列方程组解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入 得，， ∴， ∴反比例函数关系式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：连接，设直线与轴的交点为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，令，得， ∴， 设，，而， 以为对角线时，的中点重合， ∴ ， 解得或， ∴或； 以为对角线，同理可得， ， 解得或， ∴或； 以为对角线，同理可得， ， 解得或， ∴或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，能根据平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题． 变式2．如图，反比例函数过点，直线与轴交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点． (1)求的值与点的坐标； (2)将直线向右平移，当点正好落在反比例函数图象上的点时，直线交轴于点，请判断点是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点，使得以A、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1)的值是，点的坐标是 (2)点在直线上，见解析 (3)或或． 【分析】本题主要考查的是反比例函数综合运用、一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将A点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标； （2）确定平移后直线的表达式即可求解； （3）分为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得：， ． 综上所述，的值是，点的坐标是； （2）解：设直线A、的表达式为 则，解得：， 故直线的表达式为：， 令，则，故点， 设直线向右平移个单位， 则平移后直线的表达式为：，则点， 点在反比例函数上， 将点坐标代入反比例函数表达式得：，解得：， 则平移后直线的表达式为：， 令，则，故点； 当时，，故点在直线上； （3）解：设点的坐标为，而点A、、的坐标分别为：、、； 当是边时，点A向右平移4个单位向下平移个单位得到， 同样点向右平移个单位向下平移个单位得到， 故或， 解得：或， 故点的坐标为：或； 当是对角线时， 由中点公式得：，解得：， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【考法二、菱形存在性问题】 例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点C，连接，求的面积； (3)点P为y轴上任意一点，点Q为平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）联立反比例函数与一次函数的解析式即可求解； （2）连接，作轴，轴，可得；根据可推出，据此即可求解； （3）设点，分类讨论三种情况即可求解； 【详解】（1）解：由题意得， 解得：或 ∴ （2）解：连接，作轴，轴，如图所示： 由题意得：点为的中点 ∴ ∵ ∴ ∴，即： ∴ ∴ （3）解：设点 则 时，， 解得：或，∴或 时，此种情况不成立； 时， ，解得：，∴ 综上所述：点Q的坐标为或或 【点睛】本题考查了一次函数 与反比例函数综合问题，涉及了交点的求解、面积问题，以及特殊四边形的存在性问题，熟记相关结论是解题关键． 变式1．如图，直线（）的图象与双曲线的图象相交于点和点，点是轴上的一个动点． (1)求出点的坐标． (2)连接，若的面积为，求此时点的坐标． (3)点为平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)存在，或或． 【分析】（）利用代数系数法求出一次函数和反比例函数解析式，联立函数式，解方程组即可求解； （）分在下方和在上方两种情况解答即可求解； （）设，以四点为顶点的四边形是菱形时，分为边和对角线三种情况讨论，根据勾股定理和菱形的性质可计算点的坐标． 【详解】（1）解：∵点， ∴，， ∴，， ∴直线的关系式为：，反比例函数的关系式为：， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解：在下方时，过作轴于，过作于， 设， ∵点的坐标为，， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 在上方时， 设，直线交轴于， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， 解得，∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：设， ∵点的坐标为，， ∴，， ， 以为边，时， ，解得或， ∴点的坐标为或， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为或； 以为边，时， ，无解， ∴此种情况不存在； 以为对角线时，，如图， ， 解得， ∴点的坐标为， ∵点的坐标为，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 变式2．如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由； (4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)，理由见解析 (4)或3或或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，利用同角的余角相等得到，从而利用即可得证结论； （2）先求得，设反比例函数的表达式为，把点A的坐标代入即可求出，即得到反比例函数的表达式为，同（1）证得，得到，因此点E的横坐标为，把代入反比例函数，得，即可解答； （3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，先得出，利用勾股定理可得，进而退出，从而证得，得到，再证，根据四边形的内角和即可解答； （4）利用待定系数法可求得直线的解析式为，进而求解直线l的解析式为，设，，分三种情况讨论：①，为对角线，②，为对角线，③，为对角线，根据菱形的邻边相等，对角线互相平分分别列方程求解即可解答． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 设反比例函数的表达式为， ∵该反比例函数经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为， 把代入函数中，得， ∴点E的坐标为； （3），理由如下： 如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接， ∴，，， 由（2）可知， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （4）在平面内存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形．理由如下： 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴设直线l的解析式为， ∵直线l经过点， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点P是直线l上的一点，点Q是平面内一点， ∴设，， ∵，， 又菱形的邻边相等，且对角线互相平分， ∴①若、为对角线，则 ， 解得， ∴ ； ②当，为对角线时， ， 解得： 或（舍去）， ∴； ③当，为对角线时， ， 解得：或， ∴或； 综上所述，在平面内存在点Q，使得点A，C，P，Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，点Q的横坐标为或3或或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的性质等．注意掌握待定系数法求函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长，理解坐标与图形的性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 【考法三、矩形存在性问题】 例．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为． (1)求反比例和一次函数解析式． (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围． (3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标． 【答案】(1)， (2)0≤m≤ (3)点N坐标为（，）；点M的坐标为（，） 【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解； （3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x，），利用中点坐标公式即可求出点M坐标． 【详解】（1）解：延长AD交x轴于F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD=AD，AD∥OB， 则AF⊥x轴， ∵点D坐标为（4，3）， ∴OF=4，DF=3， ∴OD=5，即OB=AD=5， ∴A（4，8），B（0，5）， ∴k=4×8=32， ∴反比例函数的解析式为； 将A、B坐标代入中，得 ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处， ∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3）， ∴， ∴m= ， ∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤． （3）解：存在，理由为： 如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°， 由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°， 则∠NOB=∠FOD， 又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD， ∴△ONB≌△OFD（AAS）， ∴S△ONB=S△OFD，则， ∴NH=， ∵点N在直线AB上， ∴当x=时，， ∴点N坐标为（，）； 设M（x，），则x+0=+4， 解得：x=，， ∴点M的坐标为（，）． 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键． 变式1．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离； (3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)， 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）连接、，设平移后直线的解析式为，得出点， 根据直线平行直线，得出，根据点A、点B关于原点对称，得出点，根据，列出关于b的方程，解方程即可； （3）设，，，得出，，，分两种情况，当为边时，当为对角线时，分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：令一次函数中，则 解得：，即点A的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：连接、，如图所示： 设平移后直线的解析式为， ∴点， ∵直线平行直线， ∴， ∵的面积为16， ∵点A、点B关于原点对称， ∴点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线向上平移的距离为4． （3）解：设，，， 则， ， ， ①如图，当为边时，此时满足， 即：， 解得， ∴； ②如图，当为对角线时，此时满足， 即， 解得（舍去）， ∴； 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平移，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 变式2．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）． (1)求双曲线的表达式； (2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值； (3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标． 【答案】(1)双曲线的表达式为y＝ (2)AP＋PQ的最小值为 (3)当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（－3，0）或（3，0）或（－1，）或 【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标； （2）作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP＋PQ取得最小值，分别求出A′P和PQ的值即可； （3）分三种情形：①当∠BAM=90°时．②当∠ABM=90°时．③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（-，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题． 【详解】（1）∵直线y=x+1经过点A（a，2）， ∴2=a+1， ∴a=1， ∴A（1，2）， ∵双曲线y=经过点A（1，2）， ∴k=2， ∴双曲线的表达式为y＝． （2）如图，作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP＋PQ取得最小值，AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q． ∵A（1，2）， ∴AK＝A′K＝1，OK＝2，∠AKP＝∠A′KP＝90°． ∵将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l， ∴直线l的表达式为y＝x， ∴∠POQ＝45°， ∴∠OPQ＝45°， ∴∠A′PK＝∠KA′P＝45°， ∴A′K＝PK＝1， ∴A′P＝，OP＝OK－PK＝1． ∵∠POQ＝45°， ∴PQ＝OQ，PQ2＋OQ2＝OP2， ∴PQ＝， ∴A′Q＝A′P＋PQ＝＋＝． ∴AP＋PQ的最小值为． （3）如图2中，设直线y＝x＋1交y轴于点E，交x轴于点F，对于y＝x＋1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1， ∵E（0，1），F（-1，0）， ∴OE=OF=1， ∴△OEF是等腰直角三角形， ∴∠OFE=∠OEF=45°． 由，解得或， ∴B（-2，-1）； ①当∠BAM=90°时，则∠AEM1=∠OEF=45°， ∴AM1=AE． ∵A（1，2）， E（0，1）， ∴AE= ∴EM1=， ∴OM1=1+2=3， ∴M1（0，3）， ∴M1可看作由A向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的， ∵B（-2，-1）， ∴N1（-3，0）； ②当∠ABM=90°时，同理可求M2（0，-3），N2（3，0）； ③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J， ∵A（1，2），B（-2，-1），∴J（-，）， ∵AB=，∴AJ=JB=JM=， ∴（-）2+（-m）2=（）2，解得m=， ∴M3（0，），M4（0，）， 设N3（m，n）， ∵JN3=JM3， ∴-=，=，∴m=-1，n=，∴N3（-1，）， 同理可求N4（-1，）， 综上所述，满足条件的点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（-1，）或（-1，）． 【点睛】本题考查了反比例函与一次函数综合，待定系数法，矩形的判定和性质，轴对称最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【考法四、正方形存在性问题】 例．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 变式1．将一个含、、角的直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，直线解析式为与线段交于点，沿着折叠该纸片，得点的对应点. （1）如图①，当点在第一象限，且满足时，求的面积； （2）如图②，当直线与轴夹角为（即）时，求出和的长； （3）当对称点坐标是时，此时轴上有一动点，以为边作正方形或以为对角线构造正方形.当正方形的顶点（或）落在轴上时，请求出另一顶点（或）的坐标. 【答案】（1）；（2）；（3）D（1，0）或（-7，0）或（-4，0）或（-1，3）. 【分析】（1）由翻折不变性可知：OB=OE=5，然后在Rt△OBF中，解直角三角形即可解决问题； （2）由翻折不变性可知，∠POE=∠POB=∠FOB=30°，再证明△POF是等边三角形，即可证明四边形OPBF是菱形从而解决问题； （3）分别讨论当点D落在x正半轴上时和当点D落在x轴的负半轴上时，作BE⊥y轴于E，求出满足条件的D点坐标即可. 【详解】解：（1）如图①中， ∵E（5，0），点F（0，）， ∴OE=5，OF=， 由翻折不变性可知：OB=OE=5， 在Rt△OBF中BF=， ∴S△OBF=； （2）如图②中， 由翻折不变性可知，∠POE=∠POB=∠FOB=30°， ∵tan∠FEO=， ∴∠FEO=30°，EF=2OF=， ∴∠POE=∠PEO=30°， ∴PO=PE， ∵∠POF=∠PFO=60°， ∴△POF是等边三角形， ∴OP=OF=PF=PE=， ∵∠OPB=∠OPE=120°， ∴∠POF+∠OPB=180°， ∴OF∥PB，OF=PE=PB， ∴四边形OPBF是平行四边形， ∵OP=OF， ∴四边形OPBF是菱形， ∴BF=OF=； （3）如图③中，当点D落在x轴上时，作BE⊥y轴于E， ∵∠AOD=∠AEB=∠BAD=90°， ∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BAE+∠OAD=90°，∴∠OAD=∠ABE， ∵AD=AB，∴△OAD≌△EBA，∴BE=OA=3，AE=OD=1，∴D（1，0），此时C（4，1）； 如图④中 当点D落在x轴的负半轴上时，作BE⊥y轴于E， 同法可证：OA=BE=3，AE=DO=3+4=7， ∴D（-7，0），此时C（-4，7）；如图⑤中，当AB为对角线，点D在x轴上时，作BE⊥x轴于E， 由△DEB≌△AOD，可得OD=BE=4，∴D（-4，0），此时C（7，-3）． 如图⑥中，当AB为对角线时，点C在x轴上时，同法可得C（4，0），此时D（-1，3） 综上所述，满足条件的D点坐标为（1，0）或（-7，0）或（-4，0）或（-1，3）. 【点睛】本题是对函数，几何的综合考查，熟练掌握一次函数、翻折变换、平行四边形的判定和性质、正方形的性质、菱形的判断、解直角三角形等知识是解决本题的关键，属于中考压轴题． 变式2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②4 (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）①根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； ②根据一次函数求得的坐标，进而根据，即可求解； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）①∵，， 根据函数图象可得当时，或；     ②由得点为， 即的面积为4； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则，∴，∴， ∵为中点，∴， ∴，而在直线上， ∴，解得，且满足分式方程， ∵，∴，∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 【课后训练】 1．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②，解析式为： (2)成立，理由见详解 (3)存在点P，且为，此时周长最小值为4 【分析】（1）用a的代数式表示出、，根据求出的值，然后利用待定系数法求出的值即可； （2）设，则，根据两点间距离公式求出的长即可； （3）设直线交轴于点，连接，，结合（2）可知，当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值． 【详解】（1）解：①∵轴， ∴， ∴时，， ∴， ②∵， ∴， 解得：， ∴， 将点A代入得：， ∴解析式为：； （2）解：成立， 设，则， ， ∴ 而， ∴ ． （3）解：存在点P，使得矩形的周长取得最小值， 设直线交轴于点，连接，，由（2）得，， ∵矩形的周长， ， 当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值， ∴，将代入得， ∴此时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及两点间距离公式、垂线段最短、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出a值，再用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）分两种情况进行解答，①如图1当点C在A点下方时，②如图2当C在A点上方时解出点C坐标即可； （3）分两种情况进行解答，①当为平行四边形的边时，是平行四边形，②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，分别求出点P坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，分两种情况求解， ①如图1，当点C在A点下方时，           图1 ∵，， ∴点C为中点， ∴点C纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴C； ②如图2，当C在A点上方时，作轴于，于， ∵，， ∴，即，解得， 当时，， 解得，， ∴C ， 综上所述，点C坐标为或． （3）解：当时，，即， 如图3， ①当为平行四边形的边时，是平行四边形， 则，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形， ∵，， Q点纵坐标为0， ∴对角线中点的纵坐标相同，即， 解得，， 当 时，， 解得， ∴． 综上所述，符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质．熟练掌握反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何综合，平行四边形的性质是解题的关键． 3．如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与（，）的图象上，对角线轴，且于点，已知点的横坐标为4． （1）当，时． ①若点的纵坐标为2，求直线的函数表达式． ②若点是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）四边形能否成为正方形？若能，求此时、之间的数量关系：若不能，试说明理由． 【答案】（1）①；②四边形是菱形，答案见解析；（2）能；． 【分析】（1）①先确定出点，坐标，再利用待定系数法即可得出结论；②先确定出点坐标，进而确定出点坐标，进而求出，，即可得出结论； （2）先确定出，，进而求出点的坐标，再求出，坐标，最后用，即可得出结论． 【详解】解：（1）①当时，，则点的坐标是 当时，由得，则点的坐标是 设直线的函数表达式为 得 所以直线的函数表达式为 ②四边形为菱形； 由①得点， ∵点是线段的中点 ∴点 当时，由得，由得 ∴， ∴ 而，∴四边形是平行四边形 又 ∴四边形是菱形 （2）四边形能成为正方形． 当四边形是正方形时， 设 当时，，所以点 则点 ∴，化简得 ∴点的纵坐标为 即 所以，，整理得． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形是平行四边形是解本题的关键． 4．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)点在反比例函数的图像上，点在坐标轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与结合图形，平行四边形的性质； （1）由图象确定出的坐标，然后将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可求得反比例函数解析式； （2）根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再计算，然后利用进行计算即可． （3）分点在轴和在轴两种情况讨论，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：设，则，， ∵在反比例函数上， ∴ 解得： ∴， 将点坐标代入中，得：， ， 双曲线的解析式为； （2）解：∵， 把代入，得， ， ，， ． （3）设，， 当在轴上时，设，由，， 当为对角线时， 解得：（舍去） 当为对角线时， 解得：，则 当为对角线时， 解得：，则与点重合，舍去； 当在轴时，设，，，， 当为对角线时， 解得：，则，与点重合，舍去； 当为对角线时， 解得：，则 当为对角线时， 解得：，舍去； 综上所述，或 5．某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数与在第一象限图象的性质，经历了如下探究过程： 操作猜想： （1）如图①，当，时，在轴的正方向上取一点作轴的平行线交于点，交于点.当时，________，________，________；当时，________，________，________；当时，猜想________. 数学思考： （2）在轴的正方向上任意取点作轴的平行线，交于点、交于点，请用含、的式子表示的值，并利用图②加以证明. 推广应用： （3）如图③，若，，在轴的正方向上分别取点、作轴的平行线，交于点、，交于点、，是否存在四边形是正方形？如果存在，求的长和点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）当时，，，；，，，；（2），理由见解析；（3）存在，，点的坐标为，理由见解析 【分析】（1）只需根据AB•OA=2及AC•OA=6就可解决问题； （2）由AB·OA=k1，AC·OA=k2可得BC·OA= k2-k1，就可得到； （3）设点B的坐标为（a，b）(a>0，b>0)，则有DF=DA=AB=a，OA=b，从而可得到点F的坐标（a，a+b），由k2=12及，可求得k1=8，根据点B、F分别在两支图像上，可得到ab=8，a（a+b）=12，从而求出a，b的值 【详解】（1）当OA=1时,由AB⋅OA=2得AB=2,由AC⋅OA=6得AC=6,则有BC=AC−AB=4,所以=2； 当OA=3时,由AB⋅OA=2得AB=,由AC⋅OA=6得AC=2,则有BC=AC−AB=,所以=2； 当时，猜想. （2） 证明：∵，， ∴， ∴ . （3）若四边形是正方形， 设点的坐标为（，）， 则有，，， ∴点的坐标为. ∵，， ∴， 解得：. ∵点在图象上，点在图象上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，点的坐标为. 【点睛】本题是一道探究题,考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、解方程等知识,更考查了归纳探究应用的能力,是一道好题. 6．如图①，在平面直角坐标系中，是函数的图像上一点，是y轴上一动点，四边形ABPQ是正方形（点A．B．P．Q按顺时针方向排列）． （1）求a的值； （2）如图②，当时，求点P的坐标； （3）若点P也在函数的图像上，求b的值； （4）设正方形ABPQ的中心为M，点N是函数的图像上一点，判断以点P．Q．M．N为顶点的四边形能否是正方形，如果能，请直接写出b的值，如果不能，请说明理由．                     图①                                         图②                                      备用图 【答案】（1）；（2）P的坐标为.（3）或（4）或. 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）如图②中，作PE⊥x轴于E，AF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可． （3）如图③中，作AF⊥OB于F，PE⊥OB于E．利用全等三角形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法解决问题即可． （4）如图④中，当点N在反比例函数图形上时，想办法用b表示点N的坐标，利用待定系数法解决问题即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ； （2）解：如图①，过点A作轴，垂足为M，过点P作轴，垂足为T， 即. 四边形ABPQ是正方形， ，， ， ， ， ，, A的坐标为， ，， P的坐标为. （3）解：如图② I．当时，分别过点A、P作轴、轴，垂足为、N. 与 （2）同理可证：，，， ，； II．当时，过点作轴，垂足为. 同理：，， 综上所述，点P的坐标为， 点P在反比例函数图像上， ，解得或 （4）或.                          图①                                                      图② 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 7．如图1，将函数的图像T1向左平移4个单位得到函数的图像T2，T2与y轴交于点． (1)若，求k的值 (2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E ①求正方形ABCD的面积； ②直接写出点E的坐标． 【答案】(1)k＝12 (2)①正方形ABCD的面积为8；② 【分析】（1）先计算点A平移前的坐标为（4，3），这点在图象T1上，代入函数y＝kx(x＞0)中可得k的值； （2）①先根据点A（0，a）可得k＝4a，如图2，过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，证明△DMA≌△AOB（AAS），表示点D和C的坐标，可解答； ②利用待定系数法可得BC的解析式，与平移后的函数关系式联立方程，解方程可得点E的坐标． 【详解】（1）解：当a＝3时，A（0，3） ∴点A平移前的点的坐标是（4，3） ∴k＝4×3＝12． （2）解：①把点A（0，a）代入中得：a＝， ∴k＝4a， 过点D作FM⊥y轴于M，过点C作CF⊥FM于F，如图所示： ∴∠DMA＝90°， ∴∠DAM＋∠ADM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAM＋∠BAO＝90°， ∴∠MDA＝∠BAO， ∴△DMA≌△AOB（AAS）， ∴DM＝OA＝a， 当x＝a时，， ∴AM＝4−a， 同理得：△AMD≌△DFC（AAS）， ∴DF＝AM＝4−a，CF＝DM＝a，∴C（4，4−a）， ∴4（4−a）＝4a，∴a＝2， ∴正方形ABCD的面积＝AD2＝a2＋（4−a）2＝4＋4＝8； ②由①得：B（2，0），C（4，2）， 设BC的解析式为：y＝mx＋b， 则，解得：， ∴BC的解析式为：y＝x−2， ∴，解得：， ∵点E在第一象限， ∴， ∴． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点，平移的性质，三角形全等的性质和判定，正方形的性质等知识，作辅助线，构建全等三角形是解本题的关键，还体现了方程思想，难度适中． 8．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1)，； (2)；或或或． 【分析】（）根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入求出点坐标； （）首先根据求出的面积，再根据 ，得出点的横坐标，从而得出答案； 由知，点在直线上，设直线交轴于，分 ，，三种情形，分别利用菱形的性质可得答案． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）由题意知，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴的坐标为； 由知，点在直线上，设直线交轴于，    当时，若点在第一象限， ∴， ∴， 当点在第四象限时，不符合题意，舍去， 当时，    同理得，，， 当时，点， 则点与关于对称， ∴，    综上，所有点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 反比例函数与几何存在性问题的四种考法 目录 【考法一、平行四边形存在性问题】 1 【考法二、菱形存在性问题】 2 【考法三、矩形存在性问题】 4 【考法四、正方形存在性问题】 5 【课后训练】 7 【考法一、平行四边形存在性问题】 例．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点不与点重合，在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求的面积； (3)设直线交轴于点，点分别在反比例函数和一次函数图象上，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 变式2．如图，反比例函数过点，直线与轴交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交反比例函数图象于点． (1)求的值与点的坐标； (2)将直线向右平移，当点正好落在反比例函数图象上的点时，直线交轴于点，请判断点是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点，使得以A、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有点的坐标． 【考法二、菱形存在性问题】 例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左边）． (1)求A，B两点坐标； (2)直线交反比例函数的图象于另一点C，连接，求的面积； (3)点P为y轴上任意一点，点Q为平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标． 变式1．如图，直线（）的图象与双曲线的图象相交于点和点，点是轴上的一个动点． (1)求出点的坐标． (2)连接，若的面积为，求此时点的坐标． (3)点为平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式2．如图1，正方形中，，．过A点作轴于点，过B点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点． (1)求证：； (2)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (3)如图2，连接，点P为曲线上一点，过点P作坐标轴的垂线，垂足分别为点M、N，所做的垂线交于点Q、H，当时，探究：与的数量关系，并说明理由； (4)如图3，过点C作直线，点P是直线l上的一点，在平面内是否存在点Q，使得点A、C、P、Q四个点依次连接构成的四边形是菱形，若存在，请直接写出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由． 【考法三、矩形存在性问题】 例．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为． (1)求反比例和一次函数解析式． (2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围． (3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标． 变式1．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离； (3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标． 变式2．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）． (1)求双曲线的表达式； (2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值； (3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标． 【考法四、正方形存在性问题】 例．如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 变式1．将一个含、、角的直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，直线解析式为与线段交于点，沿着折叠该纸片，得点的对应点. （1）如图①，当点在第一象限，且满足时，求的面积； （2）如图②，当直线与轴夹角为（即）时，求出和的长； （3）当对称点坐标是时，此时轴上有一动点，以为边作正方形或以为对角线构造正方形.当正方形的顶点（或）落在轴上时，请求出另一顶点（或）的坐标. 变式2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【课后训练】 1．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．         (1)①求的长度（用含有的代数式表示）； ②求的值，并写出的解析式； (2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由； (3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标． (3)若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标． 3．如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与（，）的图象上，对角线轴，且于点，已知点的横坐标为4． （1）当，时． ①若点的纵坐标为2，求直线的函数表达式． ②若点是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）四边形能否成为正方形？若能，求此时、之间的数量关系：若不能，试说明理由． 4．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点和，直尺的宽度为． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求的面积； (3)点在反比例函数的图像上，点在坐标轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 5．某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数与在第一象限图象的性质，经历了如下探究过程： 操作猜想： （1）如图①，当，时，在轴的正方向上取一点作轴的平行线交于点，交于点.当时，________，________，________；当时，________，________，________；当时，猜想________. 数学思考： （2）在轴的正方向上任意取点作轴的平行线，交于点、交于点，请用含、的式子表示的值，并利用图②加以证明. 推广应用： （3）如图③，若，，在轴的正方向上分别取点、作轴的平行线，交于点、，交于点、，是否存在四边形是正方形？如果存在，求的长和点的坐标；如果不存在，请说明理由. 6．如图①，在平面直角坐标系中，是函数的图像上一点，是y轴上一动点，四边形ABPQ是正方形（点A．B．P．Q按顺时针方向排列）． （1）求a的值； （2）如图②，当时，求点P的坐标； （3）若点P也在函数的图像上，求b的值； （4）设正方形ABPQ的中心为M，点N是函数的图像上一点，判断以点P．Q．M．N为顶点的四边形能否是正方形，如果能，请直接写出b的值，如果不能，请说明理由．                     图①                                         图②                                      备用图 7．如图1，将函数的图像T1向左平移4个单位得到函数的图像T2，T2与y轴交于点． (1)若，求k的值 (2)如图2，B为x轴正半轴上一点，以AB为边，向上作正方形ABCD，若D、C恰好落在T1上，线段BC与T2相交于点E ①求正方形ABCD的面积； ②直接写出点E的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$