专题10 平行线分线段成比例的两种考法全梳理-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

专题10 平行线分线段成比例的两种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、做辅助线构造A字型】 2 【考法二、做辅助线构造8字型】 7 【课后训练】 11 【知识点归纳】 平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.（8字型） （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.（A字型） 【考法一、做辅助线构造A字型】 例．如图，在中，D在边上，，，连接并延长交于点E，则（    ）    A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．2：3 【答案】C 【分析】过点作交于点，得出，设，则，进而根据平行线分线段成比例得出，设，则，，分别表示出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 变式1．如图，在中，，，，的平分线交于点，与的垂线相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，∴，∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 变式2．在中，，分别是，边上一点，连接，交于点，若，，则 ．    【答案】 【分析】过点M作，交于点Q，根据平行线分线段成比例可得，设，求出，即可求解． 【详解】解：过点M作，交于点Q，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，则， ∵， ∴． 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是正确作出辅助线，根据题意，找出线段之间的比例关系． 变式3．如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】过点作交于点，证明，得出，进而根据角平分线的性质，等面积法得出，进而得出是的中位线，是的中位线，在中，得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，    ∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴， 又∵ ∴ ∴， 又∵是的中线，∴，则， ∵是的角平分线，设到的距离为，设到的距离为， ∴ ∴ ∵，∴ ∴，∴是的中位线，∴ 又∵，∴ ∴是的中位线， ∵，∴，    ∴ 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，中线的性质，中位线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考法二、做辅助线构造8字型】 例．如图，在中，点D是边上的一点，且，连接，并取的中点E，连接，若，且，则的长为（    ）    A．15 B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点F，过D点作交于点G，证明是等边三角形，，再证得是等边三角形，可得，然后根据，可得，从而得到，，进而得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F，过D点作交于点G，    ∵点E是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵，，∴，∴， ∴，，∴， ∴，∴，∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，综合运用上述知识点是解题的关键． 变式1．如图，矩形中，，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，过点作于点，与交于点，可证都是等腰直角三角形，点是的中点，可得是的中位线，是的中位线，再证，可得，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，与交于点，      ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵沿着翻折得到， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴，且， ∴是等腰直角三角形，则， 在中，点是的中点，，， ∴， ∴，即， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线，则， ∵，， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线的判定和性质，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 变式2．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】如图，延长交的延长线于点G． 四边形为平行四边形， ． ，． 点E为边的中点， ． 在和中，， ， ． ，， ． ， ． ， ，即， 解得． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 【课后训练】 1．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，，∴， ∵，∴， 故选：B． 2．如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    【答案】 【分析】首先过点M作，交分别于K，N，由M是的中点与、为的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，，，然后根据比例的性质，即可求解． 【详解】解：过点M作，交分别于K，N，    ∵M是的中点， ∴， ∵、为的三等分点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与比例的性质．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 3．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，交于点F，于点G，则的长为 ．    【答案】6 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等，设，由垂直平分可得，，用勾股定理解可求出，结合可得是的中位线，根据，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 4．如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线平行线分线段成比例定理，同时也利用了矩形的性质和全等三角形的判定和性质，如图，延长交于G，首先利用已知条件证明，然后利用勾股定理求出，也就求出，最后利用平行线的性质得到比例线段即可求出． 【详解】解：如图，延长交于G ，   ∵E为的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∵E，F分别为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形性质和判定，平行线分线段成比例，平行公理，作于点，证明，利用平行线分线段成比例，得到，再根据等边三角形性质“三线合一”得到，即可解题． 【详解】解：作于点， 于E， ， ， 点D为边的中点， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ． 故答案为：． 6．如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，．    （1） ； （2）的长为 ． 【答案】 12 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，理解等腰三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例是解决问题的关键． （1）过点作于点，根据等腰三角形的性质得，由勾股定理求出，即可由三角形的面积公式求解； （2）延长，交于点，先证明，再用勾股定理求出，然后根据平行线分线段成比例，即可求得的长． 【详解】解：（1）如图，过点作于点，    则，，，， ，； 故答案为：12； （2）延长，交于点，   ，， ，， ， ，，， ， ，，， ，，解得． 故答案为：． 7．如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，，， 又是的中线，，． ，， 又为的中点，，， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，，， ，，即， 由（1）知， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 平行线分线段成比例的两种考法全梳理 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、做辅助线构造A字型】 2 【考法二、做辅助线构造8字型】 3 【课后训练】 3 【知识点归纳】 平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.（8字型） （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.（A字型） 【考法一、做辅助线构造A字型】 例．如图，在中，D在边上，，，连接并延长交于点E，则（    ）    A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．2：3 变式1．如图，在中，，，，的平分线交于点，与的垂线相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 变式2．在中，，分别是，边上一点，连接，交于点，若，，则 ．    变式3．如图，的角平分线与中线相交于点，若，，，则的长为 ．    【考法二、做辅助线构造8字型】 例．如图，在中，点D是边上的一点，且，连接，并取的中点E，连接，若，且，则的长为（    ）    A．15 B． C． D． 变式1．如图，矩形中，，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为 ． 变式2．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【课后训练】 1．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 2．如图中，、为的三等分点，为的中点，与、分别交于、，则 ．    3．如图，在中，，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，，交于点F，于点G，则的长为 ．    4．如图，在矩形中，E，F分别为边的中点，分别与交于点P，Q．若，，则的长为 ．    5．如图，在中，，点D为边的中点，于E，若，则的长为 ． 6．如图，在四边形中，，对角线，相交于点．若，，．    （1） ； （2）的长为 ． 7．如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$