1.1 正数与负数、有理数与数轴（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版2024新教材）

1.1正数与负数、有理数与数轴 【考点1 正数与负数】 【考点2 相反意义的量表示】 【考点3 相反意义的应用】 【考点4 有理数的概念辨析】 【考点5 有理数的分类】 【考点6 数轴的画法及应用】 【考点7用数轴上的点表示有理数】 【考点8利用数轴比较有理数的大小】 【考点9数轴上两点之间的距离】 【考点10数轴上的动点问题】 知识点1 ：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【考点1 正数与负数】 【典例1】下列各数中：，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】已知实数，则下列各式中一定大于0的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在，，0，，中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】下列各数是正数的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 相反意义的量表示】 【典例2】负数的概念最早出现在我国古代著名的数学著作《九章算术》中，如果小明向西行走30米记作“米”，那么“小明向东行走25米”应记作为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2-1】如果把收入2024元记作，那么支出2024元记作（   ） A．2024 B． C． D． 【变式2-2】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行5层楼记为，则电梯下行3层楼应记为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，个数为54个记为个，则个数为46个应记为（    ） A．个 B．个 C．4个 D．个 【考点3 相反意义的应用】 【典例3】小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米） ，问： (1)小虫是否回到原点0？ (2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【变式3-1】某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？ 【变式3-2】某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 【变式3-3】出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【考点4 有理数的概念辨析】 【典例4】下列各数：，3.1010010001……，4.11213415，0，，3.14，其中有理数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式4-1】下列说法正确的是（    ） A．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 B．正整数和负整数统称整数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．不是有理数 【变式4-2】在，，，，，3.212212221……，，这些数中，有理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-3】下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【考点5 有理数的分类】 【典例5】把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 【变式5-1】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，， (1)负数集合：｛      …｝； (2)分数集合：｛      …｝； (3)整数巢合：｛      …｝． 【变式5-2】判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中． ，，，0，6.5，，6，，，，π (1)整数集合：｛           …｝ (2)分数集合：｛        …｝ (3)非负数集合：｛       …｝ (4)非正数集合：｛      …｝ (5)正有理数集：｛       …｝ 【变式5-3】把下列各数填在相应的集合内： ，8，，0，，，，． 负数集合{        ……}； 正分数集合{        ……}； 非负数集合{        ……}； 有理数集合{        ……}． 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 【考点6 数轴的画法及应用】 【典例6】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 2.5，，， 【变式6-1】下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【考点7用数轴上的点表示有理数】 【典例7】小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有（    ）个． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式7-1】如图，数轴上点A表示的数可能是（    ） A．1.5 B． C． D．2.4 【变式7-2】如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（    ）    A． B． C． D． 【变式7-3】如图，数轴上表示数的点所在的线段是（    ） A． B． C． D． 【考点8利用数轴比较有理数的大小】 【典例8】是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．下列各式正确的是（    ） A．B．C． D． 【变式8-1】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】若数在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点9数轴上两点之间的距离】 【典例9】如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 【变式9-1】点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 【变式9-2】如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是（   ）    A．6 B．6或 C．11或 D．11或 【变式9-3】在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若，则点M表示的数是（    ） A．5 B．或5 C．4 D． 【考点10数轴上的动点问题】 【典例10】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【变式10-1】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【变式10-2】如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 【变式10-3】已知数轴上有三个点A，B，C，点A表示的数是8，点B到点A的距离为12，点C到A点的距离为7． (1)点B表示的数为 　 　； (2)点C表示的数为 　 　； (3)若点A在点B右侧，动点R从点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点P从点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点P，R同时出发，点R运动多少秒时追上点P？ 1．下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．若气温升高记作“”，则气温下降可记作（   ） A． B． C． D． 3．某地冬季里某一天的气温为，那么“”的含义是（    ） A．零下3摄氏度 B．零上3摄氏度 C．降低3摄氏度 D．升高3摄氏度 4．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思为今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降记作 (    ) A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（　） A．有理数可分为正数，负数 B．正数没有最大的数，有最小的数 C．零既不是正数也不是负数 D．带“号”和带“”号的数互为相反数 7．下列说法正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 8．如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 9．如图，点，对应的数分别为，，对于结论：①；②；③．下列说法正确的是（    ） A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对 10．点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B． C．或 D．或7 11．如图，半径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（    ）    A． B． C． D． 12．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A．B．C． D． 13．点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 14．将下列各数填入相应的集合内：，，4，0，，，，． 非负整数：{____________…}； 分数：{________________…}； 负数：{________________…}． 15．把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把它们连接起来，，0，， 16．某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“+”，不足计划产量的记为“-”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 17．某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1正数与负数、有理数与数轴 【考点1 正数与负数】 【考点2 相反意义的量表示】 【考点3 相反意义的应用】 【考点4 有理数的概念辨析】 【考点5 有理数的分类】 【考点6 数轴的画法及应用】 【考点7用数轴上的点表示有理数】 【考点8利用数轴比较有理数的大小】 【考点9数轴上两点之间的距离】 【考点10数轴上的动点问题】 知识点1 ：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 【考点1 正数与负数】 【典例1】下列各数中：，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是正数； 负数有，，，共3个． 故选：C． 【变式1-1】已知实数，则下列各式中一定大于0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数的大小，对于选项A，B，C可以举反倒，由于可得，从而可判断D 【详解】解：A．∵当时，，∴不正确； B．∵当时，，∴不正确； C．∵当时，，∴不正确； D．∵，∴，∴正确； 故选：D． 【变式1-2】在，，0，，中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的概念，正确熟练掌握基本知识是解决本题的关键．根据正负数的定义即可对本题作出判断． 【详解】解：在“，，0，，”中，正数有，， ∴有2个， 故选：B． 【变式1-3】下列各数是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正数和负数的定义．解题的关键是掌握：正数就是大于的数，正数前面可以加上“”来表示，也可以省略“”； 负数就是小于的数，任何正数前面加上“”是负数；既不是正数也不是负数，是正负数的分界点．据此解答即可． 【详解】解：A．是正数，故此选项符合题意； B．既不是正数，也不是负数，故此选项不符合题意； C．是负数，故此选项不符合题意； D．是负数，故此选项不符合题意． 故选：A． 【考点2 相反意义的量表示】 【典例2】负数的概念最早出现在我国古代著名的数学著作《九章算术》中，如果小明向西行走30米记作“米”，那么“小明向东行走25米”应记作为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，根据向西行走30米记作“米”，则向东行走25米”应记作为米，据此即可作答． 【详解】解：∵小明向西行走30米记作“米” ∴“小明向东行走25米”应记作为米， 故选：B 【变式2-1】如果把收入2024元记作，那么支出2024元记作（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：收入2024元记作，那么支出2024元记作， 故选：D 【变式2-2】《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若电梯上行5层楼记为，则电梯下行3层楼应记为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数，理解相反意义的量是解题的关键．根据正数和负数是一组具有相反意义的量，即可得到答案． 【详解】解：由题意得，电梯下行3层楼应记为， 故选D． 【变式2-3】初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个，个数为54个记为个，则个数为46个应记为（    ） A．个 B．个 C．4个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题关键．根据正负数的意义即可得． 【详解】解：初中一年级女生仰卧起坐满分标准为50个， 则个数为46个应记为个， 故选：B． 【考点3 相反意义的应用】 【典例3】小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米） ，问： (1)小虫是否回到原点0？ (2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫没有回到原点 (2)小虫可得到315粒芝麻 【分析】本题考查了正负数的应用： （1）利用有理数的加法，即可求解； （2）利用加法先求出总距离，再乘以每爬行1厘米奖励5粒芝麻即可求解； 熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 答：小虫没有回到原点． （2） ， （粒）， 答：小虫可得到315粒芝麻． 【变式3-1】某中学开展“阅读之星，书香班级”活动，七（1）班上周星期一至星期五的借书记录如下表，超过册的部分记为正，少于册的部分记为负． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 问：上周星期一至星期五该班一共借书多少册？ 【答案】上周星期一至星期五该班一共借书册； 【分析】本题考查正负数意义的应用，用乘以天数加上各天的正负数即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 答：上周星期一至星期五该班一共借书册． 【变式3-2】某食品厂从生产的袋装面粉中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值（单位：g） 0 1 3 6 袋数 1 4 3 4 5 3 (1)这批样品的平均质量比标准质量重还是轻？重或轻多少克？ (2)若标准质量为每袋，则这批样品的总质量是多少？若该厂袋装面粉的合格标准，这批样品的合格率是多少？ 【答案】(1)这批样品的平均质量比标准质量重，重克 (2)这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是80% 【分析】本题主要考查正负数及有理数加法在实际生活中的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义，熟练掌握运算法则．（1）根据样本的平均质量减去标准的质量，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得答案；找到所给数值中，绝对值小于或等于3的食品的袋数占总袋数的多少即可． 【详解】（1）解：(克)； (克)． 答:这批样品的平均质量比标准质量重，重克． （2）由题意，得：(克)． 由题意可知，与标准质量相差g的有袋， 所以， 答:这批样品的总质量是4024克，这批样品的合格率是． 【变式3-3】出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：，，，，，，，，，（单位：千米） (1)小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2)若汽车耗油量为升/千米，发车前油箱有升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)小张向西行驶1千米才能回到出发地 (2)小张今天上午不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，熟练掌握有理数的加法是解答本题的关键． （1）根据题意，将小张所有行程按照向东为“正”，向西为“负”，依次相加，得到结果，判断小张最后地点距离出发地的距离，以此分析小张该如何行驶才能回到出发地． （2）根据题意，计算出小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地一共行驶的距离，然后计算行驶了这些距离耗的油量，最终得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， （千米）， 小张将最后一名乘客送达的目的距离出发地正东方向千米， 故小张向西行驶1千米才能回到出发地． 答：小张向西行驶1千米才能回到出发地． （2）不用加油，理由如下： 小张将最后一名乘客送达目的地一共行驶了：（千米）， 再返回出发地一共行驶了：（千米）， 汽车耗油：． 答：小张今天上午不需要加油． 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【考点4 有理数的概念辨析】 【典例4】下列各数：，3.1010010001……，4.11213415，0，，3.14，其中有理数有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．据此解答即可． 【详解】解：，4.11213415，0，，3.14是有理数， 3.1010010001……是无限不循环小数，不是有理数． 故选B． 【变式4-1】下列说法正确的是（    ） A．正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数 B．正整数和负整数统称整数 C．一个有理数不是整数就是分数 D．不是有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数的概念和分类，依据有理数的概念和分类进行求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】、正整数、负整数、正分数、负分数和统称为有理数，故本选项错误，不符合题意； 、正整数和负整数和统称为整数，故本选项错误，不符合题意； 、一个有理数不是整数就是分数，故本选项正确，符合题意； 、是有理数，故本选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式4-2】在，，，，，3.212212221……，，这些数中，有理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，由此即可判断选项．也要注意理解无理数的概念，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：在，，，，，3.212212221……，， 这些数中，有理数有，，，共个， 故选：B． 【变式4-3】下列关于有理数的说法正确的是（　　） A．有理数可分为正有理数和负有理数两大类 B．正整数集合与负整数集合合在一起构成整数集合 C．0既不属于整数也不属于分数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义逐项判断即可． 【详解】解：A、有理数可分为正有理数，0和负有理数，故本选项错误，不符合题意； B、正整数集合，0与负整数集合合在一起构成整数集合，故本选项错误，不符合题意； C、0是整数，但不是分数，故本选项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，正确，符合题意； 故选：D． 【考点5 有理数的分类】 【典例5】把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，，． 整数集合：{                                        …} 正分数集合：{                                      …} 负分数集合：{                                      …} 【答案】，，，；，，；，，． 【分析】本题考查了有理数的概念及分类，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉整数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】整数集合：{，，，，…}； 正分数集合：{，，，…}； 负分数集合：{，，，…}； 故答案为：，，，；，，；，，． 【变式5-1】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，2006，， (1)负数集合：｛      …｝； (2)分数集合：｛      …｝； (3)整数巢合：｛      …｝． 【答案】(1)，， (2)，，， (3)，0，2006， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键． （1）根据负数包括负整数和负分数解答即可； （2）根据分数包括正分数和负分数解答即可； （3）根据整数包括正整数，零和负整数解答即可． 【详解】（1）负数集合：｛，，，…｝． 故答案为：，，； （2）分数集合：｛，，，，…｝． 故答案为：，，，； （3）整数集合：｛，0，2006，，…｝． 故答案为：，0，2006，． 【变式5-2】判断下列各数，并把它们填写在相应的数集中． ，，，0，6.5，，6，，，，π (1)整数集合：｛           …｝ (2)分数集合：｛        …｝ (3)非负数集合：｛       …｝ (4)非正数集合：｛      …｝ (5)正有理数集：｛       …｝ 【答案】(1)，0，6， (2)，，6.5，，，， (3)，0，6.5，6，，，π (4)，，0，， (5)，6.5，6，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，解题时注意：整数和分数统称为有理数；整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数．根据整数、分数、非负数、正有理数以及负数的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：整数集合：｛，0，6，…｝ 故答案为：，0，6； （2）解：分数集合：｛，，6.5，，，，，…｝ 故答案为：，，6.5，，，，； （3）解：非负数集合：｛，0，6.5，6，，，π…｝ 故答案为：，0，6.5，6，，，π； （4）解：非正数集合：｛，，0，，，…｝ 故答案为：，，0，，； （5）解：正有理数集：｛，6.5，6，，，…｝ 故答案为：，6.5，6，，； 【变式5-3】把下列各数填在相应的集合内： ，8，，0，，，，． 负数集合{        ……}； 正分数集合{        ……}； 非负数集合{        ……}； 有理数集合{        ……}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，据此填写即可，特别要注意带“非”字的分类，非负数：正数和0；非正数：负数和0；非负整数：正整数和0（自然数）；非正整数：负整数和0． 【详解】解：负数集合{ ，， }； 正分数集合{ ， }； 非负数集合{ 8，，0，，}； 有理数集合{，8，，0，，，}． 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 【考点6 数轴的画法及应用】 【典例6】如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是4． (1)在数轴上标出原点O． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． 2.5，，， 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数以及有理数的大小比较： （1）根据点A表示的数是，点B表示的数是4找出原点即可； （2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“＜”连接起来即可． 【详解】（1）解：原点O如图， （2）解：， 各点在数轴上表示为： 故． 【变式6-1】下列数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴．根据数轴定义：规定了正方向、原点、单位长度的直线叫做数轴，我们一般规定，数轴向右为正方向，单位长度必须一致，依据以上标准判断即可． 【详解】解：A、不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B、正确； C、不正确，错误原因：缺少正方向； D、不正确，错误原因：缺少了原点． 故选：B． 【变式6-2】(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【答案】(1)，，，表示的数分别是：，，，； (2)见解析． 【分析】（）根据数轴可以直接写出点，，、表示的数； （）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点； 此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【详解】（1）由数轴可得，点，，，表示的数分别是：，，，； （2）先画出数轴，表示如下图所示：    【考点7用数轴上的点表示有理数】 【典例7】小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有（    ）个． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键．根据数轴的单位长度，即可判断墨迹盖住部分的整数． 【详解】解：由图可知，左边盖住的整数数值是； 右边盖住的整数数值是2，3； 墨迹盖住部分的整数共有个． 故选：B． 【变式7-1】如图，数轴上点A表示的数可能是（    ） A．1.5 B． C． D．2.4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，能根据数轴得出点表示的数在和之间是解此题的关键．据此解答即可． 【详解】解：根据数轴可知：点表示的数在和之间， 点的表示的数可能为， 故选：C 【变式7-2】如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提． 【详解】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于，且小于， 因此备选项中，只有选项D符合题意， 故选：D． 【变式7-3】如图，数轴上表示数的点所在的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置，结合即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，数轴上表示数的点所在的线段是， 故选：A． 【考点8利用数轴比较有理数的大小】 【典例8】是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．下列各式正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，有理数大小的比较．根据a，b在数轴上的点的位置确定，的正负及绝对值，即可解答． 【详解】由数轴可得，，， ∴，， ∴． 故选：C 【变式8-1】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据数轴比较大小，根据用数轴上的点表示的数，左边<右边，即可解答． 【详解】解：由图可知，， 故A、B、C不正确，不符合题意； ∵， ∴， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式8-2】若数在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大．根据数轴得出，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可． 【详解】解：从数轴可知：， A、，故原式不正确； B、，故原式不正确； C、，故原式正确； D、，故原式不正确； 故选：C． 【变式8-3】若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 根据图示，可得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ，， ， 选项A不符合题意； ，， ， ， 选项B符合题意； ，， ，， ， 选项C不符合题意； ， ， ， ， 选项D不符合题意． 故选：B． 【考点9数轴上两点之间的距离】 【典例9】如果在数轴上A点表示，那么在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是（　　） A． B．和 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了数轴上两点之间的路线，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 在数轴上表示出A点，找到与点A距离2个长度单位的点所表示的数即可．此类题注意两种情况：要求的点可以在已知点的左侧或右侧． 【详解】如图所示， ∴在数轴上与点A距离2个长度单位的点所表示的数是和． 故选B． 【变式9-1】点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数（注意考虑在原点左侧或右侧两种情况），再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题． 【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度， 所以点A表示的数是4或， 又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点， 所以点B表示的数是：或． 故选：C． 【变式9-2】如图，在数轴上点A在原点右侧，距离原点5个单位长度，表示的数是5，点B距离点A是6个单位长度，则点B表示的数是（   ）    A．6 B．6或 C．11或 D．11或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可列的式子，进而求解，求解数轴上两点之间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵点B距离点A是6个单位长度， 则，或， ∴点B表示的数是11或， 故选：D． 【变式9-3】在数轴上，点M，N分别表示数m，1．若，则点M表示的数是（    ） A．5 B．或5 C．4 D． 【答案】B 【分析】题考查数轴上两点间的距离表示方法，根据题意得到是解题的关键． 【详解】解：∵点M，N分别表示数m，1．若， ∴， 解得或， 故选B． 【考点10数轴上的动点问题】 【典例10】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上标出、、三点的位置，并填空：A表示的数为_______，B表示的数为_______，C表示的数为______． (2)把点到点的距离记为，则_____，______； (3)若点从（1）中的位置沿数轴以每秒匀速向右运动，经过多少秒使？ 【答案】(1) (2)5，8 (3)5或11 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上两点间距离，数轴上动点问题． （1）根据题意利用观察即可得到本题答案； （2）根据题意利用两点间距离即可得到； （3）分情况讨论当点A在点C的左侧时和当点A在点C的右侧时，分别列式即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， 点A，B，C在数轴上表示如图： A表示的数为，B表示的数为1，C表示的数为4， 故答案为：； （2）解：∵A点对应的数为，B点对应的数为1，点C对应的数为4， ∴，， 故答案为：5，8； （3）解∶①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：； ②当点A在点C的右侧时， 设经过x秒后点A到点C的距离为3cm， 由题意得：， 解得：， 综上，经过5或11秒后点A到点C的距离为3cm． 【变式10-1】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 【变式10-2】如图A在数轴上所对应的数为． (1)点B在点A右边距A点6个单位长度，求点B所对应的数； (2)在（1）的条件下，点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点A运动到所在的点处时，求A，B两点间距离． 【答案】(1)点B所对应的数是； (2)A，B两点间距离是； 【分析】（1）本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值； （2）本题考查数轴上动点及两点间距离，根据动点表示出数字，结合距离公式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵A在数轴上所对应的数为，点B在点A右边距A点6个单位长度， ∴点B所对应的数为：， ∴点B所对应的数是； （2）解：∵点A以每秒1个单位长度沿数轴向左运动，点A运动到， ∴， ∵点B以每秒2个单位长度沿数轴向右运动， ∴点B运动到：， ∴A，B两点间距离为：． 【变式10-3】已知数轴上有三个点A，B，C，点A表示的数是8，点B到点A的距离为12，点C到A点的距离为7． (1)点B表示的数为 　 　； (2)点C表示的数为 　 　； (3)若点A在点B右侧，动点R从点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点P从点C以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点P，R同时出发，点R运动多少秒时追上点P？ 【答案】(1)20或 (2)1或15 (3)秒或秒 【分析】（1）分点B在点A的左边和右边两种情况求解即可； （2）分点C在点A的左边和右边两种情况求解即可； （3）分点C表示1和15两种情况，然后分别求出路程差，再根据路程差列方程求解即可． 【详解】（1）解：当点B在点A的左边，点B表示的数为； 当点B在点A的右边，点B表示的数为； 综上，点B表示的数为20或． 故答案为：20或． （2）解：当点C在点A的左边，点C表示的数为； 当点C在点A的右边，点C表示的数为； 综上，点C表示的数为1或15． 故答案为：1或15． （3）解：设点R运动a秒时追上点P， 当C表示1时，则的距离为，则有，解得：； 当C表示15时，则的距离为，则有，解得： 综上，点R运动多少秒时追上点P所需时间为秒或秒． 答：点R运动秒或秒时追上点P． 【点睛】本题主要考查了在数轴上表示数、数轴上的动点问题等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 1．下列数轴表示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的认识，数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此作答即可． 【详解】 解：A、  的正方向错了，故该选项是错误的； B、  的数值标错了，故该选项是错误的； C、  没有正方向，故该选项是错误的； D、  原点、正方向、单位长度都正确，故该选项是正确的； 故选：D 2．若气温升高记作“”，则气温下降可记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，利用正数和负数表示具有相反意义的量，掌握正数和负数的概念是解题的关键． 根据正负数的意义，气温上升记为“+”，则气温下降记为“-”，据此解答即可得到答案． 【详解】解：若气温升高记作““，则气温下降可记作， 故选：B． 3．某地冬季里某一天的气温为，那么“”的含义是（    ） A．零下3摄氏度 B．零上3摄氏度 C．降低3摄氏度 D．升高3摄氏度 【答案】A 【分析】本题考查了相反意义的量， 生活中习惯上用正数表示零上温度，用负数表示零下温度，掌握“正数和负数是一对具有相反意义的量”是解题的关键． 【详解】“”的含义是零下3摄氏度． 故选：A． 4．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动米记作米，则向南运动米可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：若向北运动米记作米，则向南运动米可记作米， 故选：． 5．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思为今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果温度上升，记作，那么温度下降记作 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果温度上升，记作，那么温度下降记作， 故选：B． 6．下列说法正确的是（　） A．有理数可分为正数，负数 B．正数没有最大的数，有最小的数 C．零既不是正数也不是负数 D．带“号”和带“”号的数互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，注意带负号的数不一定是负数；根据有理数的性质，正数，零的意义，以及小于零的数是负数进行判断即可． 【详解】解：A、有理数分为正数、零、负数，故错误，不符合题意； B、正数没有最大的，也没有最小的，故错误，不符合题意； C、零既不是正数也不是负数，故正确，符合题意； D、大于零的数是正数，小于零的数是负数，故错误，不符合题意； 故选：C． 7．下列说法正确的是（   ） A．正分数和负分数统称为分数 B．正整数和负整数统称为整数 C．零既可以是正整数，也可以是负整数 D．一个有理数不是整数就是负数 【答案】A 【分析】本意考查有理数的分类，解决本题的关键是熟记概念，注意0的划分范围．按照正负，有理数分为正有理数、0、负有理数；按照整数分数，有理数分为整数、分数；逐一分析选项作答即可． 【详解】解：A．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意； B．正整数、零和负整数统称为整数，原说法错误，故本选项不符合题意； C．零既不是正整数，也不是负整数，原说法错误，故本选项不符合题意； D．一个有理数不是整数就是分数，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 8．如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，数轴上两点的距离． 根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 9．如图，点，对应的数分别为，，对于结论：①；②；③．下列说法正确的是（    ） A．仅①②对 B．仅①③对 C．仅②对 D．①②③都对 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，熟悉掌握从数轴上提取信息是解题的关键； 根据数轴得到，，，逐一判断即可． 【详解】解：由题意可得：，，， ①，正确； ②，正确； ③，正确； 故选：D． 10．点为数轴上表示的点，将点在数轴上平移2个单位长度到点，则点所表示的数为（    ） A．3 B． C．或 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移规律，掌握规律是解题的关键．平移规律：向右加，向左减；据此即可求解． 【详解】解：∵点为数轴上表示的点， ∴将点在数轴上向右平移2个单位长度到，将点在数轴上向左平移2个单位长度到， ∴点所表示的数为或 故选：C． 11．如图，半径为1个单位长度的圆从A点（A点在数轴上表示的数是1）沿数轴向右滚动一周后到达点B，则点B表示的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，A、B两点的距离即为半径为1个单位长度的圆的周长，据此得到，再由A点在数轴上表示的数是1，可得点B表示的数是． 【详解】解：∵半径为1个单位长度的圆滚动一周所走的距离为， ∴， ∵A点在数轴上表示的数是1， ∴点B表示的数是， 故选：B． 12．a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查数轴及有理数的大小比较，由数轴可得，，据此即可求得答案． 【详解】 解：由数轴可得，， 则， 故选：B． 13．点A、B在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为，，则点B表示的数为 ． 【答案】4 【分析】根据平移规律计算，，解答即可，本题考查了数轴上的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】根据平移规律，得，， 故点B表示的数是4， 故答案为：4． 14．将下列各数填入相应的集合内：，，4，0，，，，． 非负整数：{____________…}； 分数：{________________…}； 负数：{________________…}． 【答案】，；，，，；，， 【分析】 本题考查有理数的分类，掌握非负整数、分数、负数的定义是解题的关键．先将与化简，再根据非负整数、分数、负数的定义判定即可． 【详解】解：，， 非负整数：{，…}； 分数：{，，，…}； 负数：{，，…}． 故答案为：，；，，，；，， 15．把下列各数在数轴上表示出来，并用“<”把它们连接起来，，0，， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了绝对值，相反数，数轴，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键； 本题先化简各数，然后根据正负数把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：，，，， 把各数表示在数轴上如下， ． 16．某服装厂计划平均每天生产400套运动服，下表是该厂某一周的生产情况（超出计划产量的记为“+”，不足计划产量的记为“-”）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 (1)试求出表中被污染的数据； (2)该服装厂星期五生产了多少套运动服？ 【答案】(1)表中被污染的数据是； (2)该服装厂星期五生产了392套运动服 【分析】（1）用合计减去其他六天的情况即可求出； （2）根据第（1）问即可求出星期五的生产情况． 【详解】（1）解：星期五工厂多生产运动服为： ， ， ∴表中被污染的数据是； （2）解：由（1）得：该服装厂星期五生产的运动服比平均数量少8件， ∴套， ∴该服装厂星期五生产了392套运动服； 【点睛】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加减法运算，解题的关键是读懂题意． 17．某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)35 (2)84500元 【分析】（1）根据正负数的意义确定星期日的产量最多，星期四的产量最少，然后用星期日的产量减去星期四的产量即可； （2）求出一周产量的和，然后根据工资总额的计算方法，列式计算即可． 【详解】（1）（件）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产35件， 故答案为：35． （2） （件）， （元）， ∴本周该工厂应支付工人的工资总额是84500元． 【点睛】本题考查了正数和负数，理解“用正数和负数表示具有相反意义的量”是解决本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$