专题17 一元二次方程应用题分类训练2（增长率销售比赛表格动态几何）-【暑期培优】2024年八升九数学暑假培优计划（人教版）

2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题17 一元二次方程应用题分类训练2 （增长率销售比赛表格动态几何） 目录 【题型1增长率问题】 1 【题型2销售问题】 3 【题型3比赛场数】 5 【题型4表格信息】 7 【题型5动态几何】 11 【题型1增长率问题】 1．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架． (1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率； (2)该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？ 2．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 3．2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件． (1)求11月、12月这两个月的月平均增长率． (2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售．已知模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？ 4．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 5．用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 6．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？ 7．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 8．据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 9．为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 10．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【题型2销售问题】 11．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． (1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ (2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值． 12．某智能家电经销商销售A、B两种智能空调，其中一台B种空调的销售价格比一台A种空调的销售价格高1500元，已知4月份A种空调的销量是B种空调销量的，且4月份A种空调的销售总额为120万元，B种空调的销售总额为225万元． (1)请问A、B两种智能空调的销售单价分别为多少元？ (2)5月份气温回升、该经销商对两种空调进行了降价促销活动，已知A种空调降价元、B种空调降价元．经销商发现5月的第一周内：A种空调的销量就已经与4月份A种空调的总销量相同，B种空调的销量比4月份B种空调的总销量增加了台，5月第一周内A、B两种空调的销售总额刚好和4月份A、B两种空调的销售总额相同，请求出a的值． 13．某超市销售某种冰箱，每台进货价为2500元，提高进价的16%后的标价为定价．市场调研表明： (1)若每台降价150元，则每天售量为_____台． (2)该超市要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的售价应为多少元? 14．端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒进货价为28元/盒，B种礼盒进货价为22元/盒．（注：利润＝销售价－进货价） (1)该超市第一次用7200元购进A、B两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量； (2)端午节临近时，该超市发现B种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元/盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元？ 15．农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要斤馅料和斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． (1)若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ (2)为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 16．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． (2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ (3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 17．每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件． (1)A、B两款模型每件售价分别是多少？ (2)为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？ 18．重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． (1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ (2)在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ 20．“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．近年来，在政府的宣传和倡导下，“三月三”逐渐得到大家的重视，购买壮族服饰的人越来越多．某壮族服饰专卖店统计了近三年某款壮族服饰的销售量，2021年销售量为1500套，2023年销售量为2160套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款壮族服饰销售量的年平均增长率； (2)若该款壮族服饰的进价为100元/套，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该款壮族服饰的实际售价应定为多少元? 【题型3比赛场数】 21．作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 22．为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？ 23．今年12月，翔安区将组织一次中学生篮球联赛，届时将在各校选拔一定数量队伍参赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只比赛一场），计划安排15场比赛，则应该邀请多少支球队参加比赛？ 24．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 25．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？ 26．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 27．（1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    28．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 29．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 30．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各进行一场比赛），计划一共举行场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为了保证比赛正常进行，该单位需要为每场比赛至少准备只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为的整数倍．计划购买的某品牌羽毛球原价元/只，现有甲，乙两家公司促销该品牌羽毛球．甲公司促销方案：在原价的基础上，在一定范围内每多购买只，每个的单价可降低元，例如购买只时的单价为元，最低单价不能低于元；乙公司一律按折促销．若该单位选择甲，乙中的一家公司购买，经过计算发现，分别选择在这两家公司购买的总金额相差元，从节约成本的角度考虑，判断该单位应选择哪家公司购买，并求其计划购买的羽毛球数量． 【题型4表格信息】 31．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 32．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 33．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 34．根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 35．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 36．某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 37．某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元． （1）填表（结果需化简）    时间   第一周     第二周     清仓时 单价（元）    80          40 销售量（件）    200 （2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？    时间    第一周     第二周    清仓时 单价（元）      80     80-x     40 销售量（件）      200    200+10x    400-10x 38．某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率． (1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为，依题意填写下列表格： 亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克） 原来 200 50 100 现在 132 (2)求新品种花生亩产量的增长率． 39．一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？ 种玫瑰花 种玫瑰花 进价（元） 售价（元） 40．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降了x元． 每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元 降价前 降价后 (1)完成下列表格（用含x的式子填空）． (2)当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利元，且对消费者更有利？ (3)能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元？ 【题型5动态几何】 41．如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 42．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 43．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 44．如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． (1)求出的面积； (2)当的面积等于8平方厘米时，求t的值； (3)是否存在的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 45．如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 46．如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 47．如图，在四边形中， ，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 48．如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 49．如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动， 设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 50．在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． (1)求的面积； (2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； (3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假八升九数学暑假培优计划 专题17 一元二次方程应用题分类训练2 （增长率销售比赛表格动态几何） 目录 【题型1增长率问题】 1 【题型2销售问题】 9 【题型3比赛场数】 18 【题型4表格信息】 25 【题型5动态几何】 35 【题型1增长率问题】 1．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架． (1)求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率； (2)该公司还生产B型无人机，已知生产1架A型无人机的成本是200元，生产1架B型无人机的成本是300元，现要生产A、B两种型号的无人机共100架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的3倍，公司生产A、B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)公司生产型号无人机75架，生产型号无人机25架成本最小 【分析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案； （2）根据题意求出的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案． 此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，找到产量前后变化的平衡关系，列出方程，解答即可． 【详解】（1）解：设该公司生产型无人机每月产量的平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：该公司生产型无人机每月产量的平均增长率为； （2）解：设生产型号无人机架，则生产型号无人机架，需要成本为元，依据题意可得： ， 解得：， ， ， 当的值增大时，的值减小， 为整数， 当时，取最小值，此时， ， 公司生产型号无人机75架，生产型号无人机25架成本最小． 2．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)20% (2)降低 20 元 【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键： （1）设月平均增长率是 x，根据题意列一元二次方程求解； （2）设售价应降低y 元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，依题意得：，求解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率是 x，依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是 20%． （2）设售价应降低y 元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：，整理得：， 解得：． 又∵要尽量减少库存， ∴． 答：售价应降低20 元． 3．2023年10月4日，杭州第19届亚运会龙舟项目在温州龙舟运动中心开赛．某商店为满足龙舟爱好者的需求，特推出了龙舟模型．已知该模型每件成本30元，当模型售价为50元时，10月售出300件，11月、12月销量持续走高，假如12月售出507件． (1)求11月、12月这两个月的月平均增长率． (2)为了让利于爱好者，商店决定在每月售出507件的基础上降价销售．已知模型单价每降低1元，可多售出5件．若要使该商店仍能获利5570元，则每件模型应降价多少元？ 【答案】(1) (2)10元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． （1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x，则11月售出件，12月售出件，再根据十二月售出507件列出方程求解即可； （2）设每件模型应降价m元，则每件模型的利润为元，销售量为件，再根据获利5570元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）设11月、12月这两个月的月平均增长率为x．根据题意，得 ， 解得（不合题意，舍去）． 答：11月、12月这两个月的月平均增长率为． （2）解：设当模型降价m元时，该商店获利5570元．根据题意，得 ， 解得（不合题意，舍去）． 答：每件模型应降价10元． 4．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键； （1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可； （2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 化简得：， 解得：（舍去）； 答：进馆人次月平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次； 由于进馆人次的月平均增长率为， 则第四个月的进馆人次为：； 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 5．用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 【答案】(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是 (2)宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量． （1）设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，由此可列出方程，求解即可． （2）设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，则她妹妹收到微信红包为元，根据她们共收到微信红包576元列出方程并解答． 【详解】（1）解：设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是． （2）解：设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元， 依题意得：， 解得：， 所以， 答：宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元． 6．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该跳绳销售量的月增长率； (2)若此种跳绳的进价为30元/条，经过市场调研，当售价为40元/条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，那么该跳绳的售价应定为多少？ 【答案】(1)该跳绳销售量的月增长率为； (2)该跳绳的售价应定为50元/条． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设该跳绳销售量的月增长率为x，4月份销售量为300条，6月份销售量为432条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同．据此列出方程，解方程即可得到答案； （2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条，根据月销售利润达到10000元列出方程，解方程并根据尽可能让顾客得到实惠即可得到答案． 【详解】（1）解：设该跳绳销售量的月增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该跳绳销售量的月增长率为； （2）设该跳绳的售价应定为y元/条，则每条跳绳的销售利润为元，月销售量为条， 根据题意得：， 整理得：， 解得： 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：该跳绳的售价应定为50元/条． 7．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元，并规划投入教育经费逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入教育经费2640万元，设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同，求这两年该县投入教育经费的年平均增长率． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键， 设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，   得：， 解得：，（舍）， ∴两年该县投入教育经费的年平均增长率为． 8．据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价降低元，则每天可售出千克，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为，依题意， 得， 解得，（不合题意，舍去）． 月平均增长率是； （2）解：设售价降低元，则每天可售出千克，依题意， 得， 整理得， 解得，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低3元． 9．为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)137个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用该市改造老旧小区年投入资金该市改造老旧小区年投入资金（该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）利用年计划投入的资金可以改造老旧小区的数量该市改造老旧小区年投入资金改造每个小区的平均费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意，得． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． （2）解：根据题意得：（个） 答：2024年计划投入的资金可以改造老旧小区137个． 10．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元时，每天能售出；销售单价每降低1元，每天可多售出．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？ 【答案】(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为 (2)销售单价应定位元 【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为； （2）解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵“阳光玫瑰”的售价为20元，使消费者尽可能获得实惠 ∴销售单价应定位元． 【题型2销售问题】 11．小宏去水果店购买了中果和大果两种车厘子，分别花费元和元．若中果的单价比大果少元/斤，且购买的中果数量是大果数量的倍． (1)求中果车厘子与大果车厘子的单价分别是多少？ (2)小宏发现网上购买车厘子比水果店更便宜．其中果单价便宜了元/斤，大果单价便宜，于是小宏第二次在网上购买，中果的数量在上次的基础上增加了，大果的数量在上次的基础上增加了，结果这次购买车厘子的金额比上一次共多了元，求的值． 【答案】(1)中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元，根据“购买的中果数量是大果数量的倍”，列方程即可求解； （2）先分别表示出网购中果、大果的数量和单价，再根据“这次购买车厘子的金额比上一次共多了元”，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设大果车厘子的单价是元，则中果车厘子的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 中果车厘子单价：（元）， 答：中果车厘子的单价是元，大果车厘子的单价是元； （2）水果店购买大果的数量：（斤）， 水果店购买中果的数量：（斤）， 网购中果的单价为：（元）， 网购大果的单价为：， 网购中果的数量：（斤）， 网购大果的数量：（斤）， 根据题意得：， 解得：或（舍去）， 的值为． 12．某智能家电经销商销售A、B两种智能空调，其中一台B种空调的销售价格比一台A种空调的销售价格高1500元，已知4月份A种空调的销量是B种空调销量的，且4月份A种空调的销售总额为120万元，B种空调的销售总额为225万元． (1)请问A、B两种智能空调的销售单价分别为多少元？ (2)5月份气温回升、该经销商对两种空调进行了降价促销活动，已知A种空调降价元、B种空调降价元．经销商发现5月的第一周内：A种空调的销量就已经与4月份A种空调的总销量相同，B种空调的销量比4月份B种空调的总销量增加了台，5月第一周内A、B两种空调的销售总额刚好和4月份A、B两种空调的销售总额相同，请求出a的值． 【答案】(1)A种智能空调的销售单价分为3000元，B种智能空调的销售单价为4500元 (2)6 【分析】本调考查分式方程，一元二次方程的应用． （1）设A种智能空调的销售单价为元，根据题意列式并检验即可得到本题答案； （2）先求出4月份A种和B种空调总销售量，在列出关于的一元二次方程即可得到本题答案． 【详解】（1）解：设A种智能空调的销售单价为元，则B种智能空调的销售单价为元， 由题意得：，解得：， 经检验：是原方程的解，也符合题意， ∴， ∴A种智能空调的销售单价为元，则B种智能空调的销售单价为元； （2）解：由（1）知，4月份 A种空调总销售量为（台），B种空调总销售量为（台）， ∵5月的第一周内：A种空调的销量就已经与4月份A种空调的总销量相同， ∴， 解得：（舍），， ∴的值为6． 13．某超市销售某种冰箱，每台进货价为2500元，提高进价的16%后的标价为定价．市场调研表明： (1)若每台降价150元，则每天售量为_____台． (2)该超市要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的售价应为多少元? 【答案】(1)20 (2)2750元 【分析】此题考查了二元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据每降低50元，平均每天就能多售出4台进行解答即可； （2）设每台冰箱价格降低元，销售量为台，根据单价乘以销量等于利润列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若每台降价150元，则每天售量为 （台）， 故答案为：20 （2）解：设每台冰箱价格降低元，销售量为台，     ， 解得， （元）， 答：想使这种冰箱的销售利润平均每天达到元，每台冰箱的售价应为元． 14．端午节是中国的传统四大节日之一，在池州有赛龙舟、吃粽子、悬艾叶、吃绿豆糕等习俗．每年端午节前也是购物的高峰期，2024年端午节前期某超市购进A、B两种端午节礼盒，其中A种礼盒进货价为28元/盒，B种礼盒进货价为22元/盒．（注：利润＝销售价－进货价） (1)该超市第一次用7200元购进A、B两种礼盒共300盒，求两种礼盒分别购进的数量； (2)端午节临近时，该超市发现B种礼盒还有大量剩余，已知该礼盒售价为34元/盒，如果按照原价销售，平均每天可售10盒．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售5盒，为了尽快减少库存，将销售价定为每盒多少元时，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元？ 【答案】(1)礼盒购进100盒，种礼盒购进200盒 (2)28元 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键． （1）设礼盒购进盒，则种礼盒购进（300－）盒，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设应降价m元，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）设礼盒购进盒，则种礼盒购进盒， 依题意得：， 解得：， ． 答：礼盒购进100盒，种礼盒购进200盒； （2）设应降价m元，才能使B种礼盒平均每天销售利润为240元， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 应取6， ． 答：B种礼盒销售价定为每盒28元时，才能使平均每天销售利润为240元． 15．农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要斤馅料和斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． (1)若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ (2)为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了9000袋粽子 (2)工厂促销时每袋应降价元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． （1）设总共生产了袋粽子，利用这21天生产的馅料和糯米恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：设总共生产了袋粽子， 依题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了9000袋粽子； （2）解：设促销时每袋应降价元， 依题意得，前10天的利润为：， 第10天结束后将还未售出的粽子以15元袋的价格全部打包卖给了市区某大型超市的利润：， ， 解得，． 要促销， ， 即促销时每袋应降价4元． 16．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元． (2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？ (3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由． 【答案】(1)30，1050 (2)每件衬衫应降价20元 (3)无法达到，理由见解析 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． （1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答． （2）设每件衬衫应降价x元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． （3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以． 【详解】（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫（件），每天获得的利润为（元）． 故答案为：30，1050； （2）设每件衬衫应降价x元，根据题意，得 ， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元； （3）设每件衬衫应降价x元 ， 化简得， ， ∴方程无实根， ∴1400元的利润无法达到 17．每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件． (1)A、B两款模型每件售价分别是多少？ (2)为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？ 【答案】(1)A模型每件售价100元，B模型每件售价120元 (2)95元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用， （1）根据800元购买A款模型的数量等于960元购买B款模型的数量列出分式方程，求出解即可； （2）根据销售量乘以单价等于销售额列出一元二次方程，根据让顾客得到实惠求出解即可． 【详解】（1）解：设A模型每件售价x元，根据题意，得 ∴     解得， 经检验：是方程的解，     ∴， 答:A模型每件售价100元，B模型每件售价120元； （2）解：设B模型每件下降元，根据题意，得 ∴，     解得，， ∵尽可能实惠，     ∴，     ∴， 答：实际售价应为95元． 18．重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 【答案】(1)桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； (2)m的值为2 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入中，即可得出大罗非的单价； （2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； （2）第一次购买大罗非的数量是（斤）． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个． (1)若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？ (2)在（1）的条件下，当这种背包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ 【答案】(1)每个背包售价应不高于55元 (2)42元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设每个背包售价x元，根据“这种背包的月均销量不低于130个，”列出不等式，即可求解； （2）根据“销售利润是3120元”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每个背包售价x元， 根据题意，得， 解得， 答：每个背包售价应不高于55元； （2）解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：这种背包销售单价为42元时，销售利润是3120元． 20．“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．近年来，在政府的宣传和倡导下，“三月三”逐渐得到大家的重视，购买壮族服饰的人越来越多．某壮族服饰专卖店统计了近三年某款壮族服饰的销售量，2021年销售量为1500套，2023年销售量为2160套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款壮族服饰销售量的年平均增长率； (2)若该款壮族服饰的进价为100元/套，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该款壮族服饰的实际售价应定为多少元? 【答案】(1)该款壮族服饰销售量的年平均增长率为 (2)该款壮族服饰的实际售价应定为140元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为1500套，2023年销售量为2160套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该款壮族服饰的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【详解】（1）解：设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款壮族服饰销售量的年平均增长率为； （2）解：设该款壮族服饰的实际售价为y元/套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该款壮族服饰的实际售价应定为140元． 【题型3比赛场数】 21．作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛22场 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：设应邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场） 答：实际共比赛22场． 22．为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？ 【答案】20本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中等量关系列出方程是解题的关键．设购买笔记本x本，钢笔为支，根据“笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元”列出方程求解即可． 【详解】解：设购买笔记本x本，钢笔为支，由题意得， 解得：． 答：本次活动中学校购买了20本笔记本． 23．今年12月，翔安区将组织一次中学生篮球联赛，届时将在各校选拔一定数量队伍参赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只比赛一场），计划安排15场比赛，则应该邀请多少支球队参加比赛？ 【答案】应该邀请6个球队参加比赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设应该邀请x个球队参加比赛，根据比赛场次数＝参赛队伍的数量×（参赛队伍的数量），即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设应该邀请x个球队参加比赛， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请6个球队参加比赛． 24．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛． (1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？ (2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？ 【答案】(1)比赛组织者应计划邀请8个队参赛 (2)至少需要9天完成比赛 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用， （1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答； （2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答； 解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场， 根据题意可得， 解得（舍去）， 故比赛组织者应计划邀请8个队参赛； （2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场， 设至少需要天完成比赛， 可得， 解得， 故至少需要9天完成比赛． 25．为响应党中央提出的“足球进校园”号召，我市在今年秋季确定了3所学校为足球基地实验学校，并在全市开展了中小学足球比赛，比赛采用单循环制，即组内每两队之间进行一场比赛，若初中组共进行场比赛，问初中共有多少个队参加比赛？ 【答案】初中组共有个队参加比赛 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设初中组共有个队参加比赛，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设初中组共有个队参加比赛， 依题意得，， ， ， ∴或， 解得：（舍去）， 答：初中组共有个队参加比赛． 26．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 27．课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； 【详解】（1）设应该邀请支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）有支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：有支球队参加比赛． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 28．某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ 【答案】(1)应邀请7支球队参加比赛； (2)实际共比赛17场． 【分析】（1）设应该邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为场，与总场数为21场建立方程求出其解即可； （2）用2加上余下的6支球队比赛的总场数即可． 【详解】（1）解：设应该邀请x支球队参加比赛， 依题意得， 解得或（不合题意，舍去）． 答：应邀请7支球队参加比赛； （2）解：． 答：实际共比赛17场． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时以单循环形式比赛规则的总场数作为等量关系建立方程是解题的关键． 29．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 30．某单位准备举办羽毛球邀请赛，赛制为单循环（每两位选手之间各进行一场比赛），计划一共举行场比赛． (1)求该邀请赛的参赛选手人数； (2)为了保证比赛正常进行，该单位需要为每场比赛至少准备只羽毛球，且计划购买的羽毛球数量为的整数倍．计划购买的某品牌羽毛球原价元/只，现有甲，乙两家公司促销该品牌羽毛球．甲公司促销方案：在原价的基础上，在一定范围内每多购买只，每个的单价可降低元，例如购买只时的单价为元，最低单价不能低于元；乙公司一律按折促销．若该单位选择甲，乙中的一家公司购买，经过计算发现，分别选择在这两家公司购买的总金额相差元，从节约成本的角度考虑，判断该单位应选择哪家公司购买，并求其计划购买的羽毛球数量． 【答案】(1)该邀请赛的参赛选手为人 (2)该单位应选择甲公司购买，购买的羽毛球数量为只 【分析】（1）设该邀请赛的参赛选手为人，由题意列出方程，解方程即可． （2）设该单位计划购买的羽毛球数量为（为正整数）．由一场比赛至少准备只羽毛球，可确定整个比赛至少需要的球数，从而可得的取值范围；分别计算出两家公司单个球的价格再比较确定哪家公司，最后列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该邀请赛的参赛选手为人． 则比赛场次为． 依题意，．   整理得：． 解得（舍去），．    所以该邀请赛的参赛选手为人． （2）解：设该单位计划购买的羽毛球数量为（为正整数）．     则， 所以．    若选择乙公司购买，则单价为（元）． 若选择甲公司购买，则单价为元， ∵， ∵．     ∵， ∴该单位应选择甲公司购买． 依题意，．     化为． 解得（应舍去），或． 则（只）    所以该公司计划购买的羽毛球数量为只． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键．难点是确定的范围，从而决定选择哪家公司购买． 【题型4表格信息】 31．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 32．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，即可求解； （2）若 ，可得 ，从而得到 ，再由“用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费”，列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 33．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 34．根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人． 【分析】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 35．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10元钱的电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每度元交费． (1)该厂某户居民8月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元? (2)下表是9、10月份的用电和交费情况： 月份 用电量(kw·h) 交电量总额(元) 9 80 25 10 45 10 根据上表信息，求电厂规定akw·h为多少？ (3)求8月份该户居民应交电费多少元? 【答案】(1)超过部分应交(元)；(2) ；(3) 8月份该户居民交电费元． 【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问. 【详解】解：(1)超过部分应交(元)； (2)由9月份交电费元，该户9月份用电量已超过规定的，所以9月份超过部分应交电费，即，解得，，由10月份的交电费元看，该户10月份的用电量没有超过，所以．所以． (3)当时，超过部分应交元，所以8月份该户居民交电费元． 【点睛】本题考查了学生对一元二次方程在实际生活中的应用，掌握根据题意列方程是解决此题的关键. 36．某旅行社一则旅游消息如下： 旅游人数 收费标准 不超过人 人均收费元 超过人 每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元 (1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人． (2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？ 【答案】(1)15； (2)乙公司人． 【分析】（1）设甲公司员工有x人，根据第一次、第二次支付的费用和人均收费标准，判断出两次都不超过10人，直接用总费用除以人均收费，即可得出答案； （2）设乙公司员工人，根据支付的费用先判断出公司去的人数超过了10人，再根据每增加一人，人均收费减少60元，列出方程，求出的值，再根据人均收费不低于1500元，即可得出乙公司去的人数． 【详解】（1）解：设甲公司有人， ， ， （人）． 故答案为： （2）设乙公司人， ， ，， 若，每人费用：，不符舍去， 若，每人费用：，符合， 答：乙公司人． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是解题的关键． 37．某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元． （1）填表（结果需化简）    时间   第一周     第二周     清仓时 单价（元）    80          40 销售量（件）    200 （2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【答案】（1）填表见解析；（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元． 【分析】（1）第二周的单价=第一周的单价-降低的价格，销售量=200+10×降低的单价；清仓时的销售量为：800-第一周的销售量-第二周的销售量； （2）等量关系为：总售价-总进价=9000．把相关数值代入计算即可． 【详解】解：（1）填表（结果需化简）    时间    第一周     第二周    清仓时 单价（元）      80     80-x     40 销售量（件）      200    200+10x    400-10x 故答案为：80-x，200+10x，400-10x； （2）80×200+（80-x）（200+10x）+40×(400-10x）-800×50=9000， x2-20x+100=0， 解得：x1=x2=10， 当x=10时，80-x=70． 答：第二周每个旅游纪念品的销售价格为70元． 【点睛】本题主要考查了列代数式以及一元二次方程的应用，找出相等关系列一元二次方程求解是解题的关键． 38．某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为（即每100千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．求新品种花生亩产量的增长率． (1)这是一个增长率问题，可设所求增长率为，依题意填写下列表格： 亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克） 原来 200 50 100 现在 132 (2)求新品种花生亩产量的增长率． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“增长后的量增长前的量（增长率）”，即可获得答案； （2）结合（1）列出关于的一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意填写表格如下， 亩产量（千克） 出油率（） 出油量（千克） 原来 200 50 100 现在 132 故答案为：，； （2）解：设新品种花生亩产量的增长率为， 根据题意，可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 答：新品种花生亩产量的增长率为． 39．一间花店因举行七周年店庆：现将原价每支元的A种玫瑰花，连续两次降价后每支以元的价格销售，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)将A、B两种玫瑰花（现售价和进价如下表格）共支包成一束整体销售，若此花束的成本不超过元，如何搭配A、B两种玫瑰花的数量，才能使此花束的利润最大？ 种玫瑰花 种玫瑰花 进价（元） 售价（元） 【答案】(1) (2)搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设每次下降的百分率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为，依题意得，， ，然后根据一次函数的图象与性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴每次下降的百分率为； （2）解：设A种玫瑰花的数量为，利润为，则B种玫瑰花的数量为， 依题意得，， 解得，， ， ∵， ∴当时，利润最大， ∴， ∴搭配A、B两种玫瑰花的数量各为5支时，利润最大． 40．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件，设衬衫的单价降了x元． 每天的销售量/件 每件衬衫的利润/元 降价前 降价后 (1)完成下列表格（用含x的式子填空）． (2)当衬衫的单价降多少元时，商场销售这批衬衫每天可盈利元，且对消费者更有利？ (3)能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元？ 【答案】(1)；； (2)元； (3)不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元； 【分析】（1）本题考查列代数式，根据衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件列式即可得到答案； （2）本题考查一元二次方解决实际应用问题，根据利润列方程求解即可得到答案； （3）本题考查一元二次方解决实际应用问题，根据利润列方程求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 降价后每天的销售量：件， 每件衬衫利润为：元， 故答案为：；； （2）解：由题意可得， ， 整理得， ， 解得：（不符合题意舍去），， 答：当衬衫的单价降元时，商场销售这批衬衫每天可盈利元； （3）解：由题意得， ， 整理得， ， 此方程没有实数根， 答：不能通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利元． 【题型5动态几何】 41．如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 42．如图，在中，，，，动点从点出发沿边向点以的速度移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度移动，当运动到点时P，Q两点同时停止运动，设运动时间为． (1)_________；_________；（用含的代数式表示） (2)若是的中点，连接、、，当为何值时的面积为？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． （1）根据速度时间路程，列出代数式即可； （2）如图，过点D作于H，利用三角形中位线定理求得的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）根据题意得：，， 所以； （2）如图，过点D作于H， ∵，即， ∴， ∴ ∴ 又∵D是的中点， ∴ ∴，， ∴ ∵的面积为 ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得：，， ∴当或4时，的面积是． 43．如图，中，，，． (1)如图1，点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动），点从点开始沿边向点以的速度移动（到达点即停止运动）．如果点，分别从，两点同时出发． ①经过多少秒钟，的面积等于； ②线段能否将分成面积为的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (2)如图2，若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，直接写出几秒后，的面积为． 【答案】(1)①秒或秒；②秒 (2)秒或秒或秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积， （1）①由三角形的面积公式可求解； ②分两种情况讨论，由题意列出方程可求出答案； （2）分三种情况：①点在线段上，点在线段上，②点在线段上，点在线段的延长线上时，③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，由三角形面积公式可得出答案； 运用分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：①设经过秒钟，的面积等于， 由题意，，， ∴， ∴， 解得：，， ∴经过秒或秒钟，的面积等于； ②设经过秒，线段能将分成面积为的两部分，由题意得： 1），即：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），； 2），即：， ∴， ∵， 此方程无实数根，即这种情况不存在； 综上所述，经过秒时，线段能将分成面积为的两部分； （2）设经过秒，的面积为，可分三种情况： ①点在线段上，点在线段上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：（舍去），； ②点在线段上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：； ③点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述，经过秒或秒或秒后，的面积为． 44．如图，矩形中，，，点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后． (1)求出的面积； (2)当的面积等于8平方厘米时，求t的值； (3)是否存在的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据矩形，，，，结合点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，得到，继而得到，利用三角形面积公式计算的面积即可； （2）根据，结合的面积等于8平方厘米，构造方程，解方程即可求t的值． （3）根据，结合的面积等于8平方厘米，构造方程，利用一元二次方程根的判别式计算解答即可． 【详解】（1）∵矩形，，， ∴， ∵点P从A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， ∴． （2）∵，且的面积等于8平方厘米， ∴， 解得或． （3）∵，且的面积等于10平方厘米， ∴， 整理，得， ∴， ∴方程无实数根， 故不存在的面积等于10平方厘米． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的面积，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 45．如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 【答案】秒或秒 【分析】可设运动秒时，它们相距，根据题意表示出，的长，再根据勾股定理列出方程求解即可． 本题主要考查了勾股定理与一元二次方程，根据勾股定理列出关于的方程及正确求得方程的解是解决本题的关键． 【详解】解：设运动秒时，它们相距，则，，依题意有 ， 解得，． 故运动秒或秒时，它们相距． 46．如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， ∵四边形是矩形， ∴ ， ，， ∴， ∴四边形的面积 ； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时， 如图1，过作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，可有， ∴， 解得，； ②当时， 如图2，过作于， 由①可知四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ③当时， ∴， ∴， 在中，可有， ∴， ∴． 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 47．如图，在四边形中， ，，，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动；同时，点Q从点C出发沿边以的速度向点D移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1) ， （用含x的代数式表示）； (2)当P、Q两点间的距离是时，求x的值； (3)填空：①当 时，四边形是菱形； ②当 时，四边形是矩形． 【答案】(1)，x (2)1 (3)①2；② 【分析】（）根据题意即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可得四边形和四边形是矩形，得，，，可得，利用勾股定理得，在中，由勾股定理得，解方程得或，又根据，得，即可求解； （）由菱形的性质得，即，解方程即可求解； 由矩形的性质得，即，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴不合，舍去， ∴； （3）解：要使四边形是菱形，则， 即， ∴， 故答案为：； 要使四边形是矩形，则， 即， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的几何应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，解一元二次方程，勾股定理，不等式组的应用，菱形的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 48．如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 49．如图，在中，，，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果点，分别从点，同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动， 设运动的时间为． (1)当为何值时，的面积是面积的？ (2)当为何值时，的长为？ 【答案】(1)当为1时，的面积是面积的 (2)当为或2时，的长度等于 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程， （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意知，， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴当为1时，的面积是面积的； （2）解：设秒后，的长度等于， 根据勾股定理，得，即， 整理得，， 解得，． ∴当为或2时，的长度等于． 50．在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． (1)求的面积； (2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； (3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)t的值为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据三角形的面积公式求出的面积， （2）根据题意可得，，然后再与的面积和是的面积的，列出方程、解方程即可解答； （3）根据不同时间段分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）中，，， ∴， （2），， 与的面积和 ， 与的面积和是的面积的， ， 解得，； （3），， ， ①如图，当时，， 解得： ， 不合题意，舍去， ②如图，当时， 解得： 不合题意，舍去， 不合题意，舍去， ③如图，当时， ， 解得： ， 不合题意，舍去， 综上，的值为或时，重叠面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$