1.2空间向量基本定理（3大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2空间向量基本定理 题型一 空间向量基底及辨析 1．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（多选）（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 3．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 4．（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二 用空间基底表示向量 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. (1)用，，表示； (2)求的值. 4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量，，表示； (2)求与的夹角. 5．（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 题型三 空间向量基本定理的应用 1．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）在四棱锥中，若，则实数组可能为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 5．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 1．（22-23高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（多选）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（     ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 5．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 6．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 7．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量； (2)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2空间向量基本定理 题型一 空间向量基底及辨析 1．（多选）（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底； 对于B选项，假设，，共面， 则存在、使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 对于C选项，假设，，共面， 则存在、，使得， 因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立， 故，，不共面，这组向量能做基底； 选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底. 故选：BC. 2．（多选）（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面 B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线 C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底 D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底 【答案】ABC 【分析】利用向量基底的意义，逐项判断得解. 【详解】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确； 对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 则，，则，，因此共线，B正确； 对于C，假定共面，则存在实数，使得， 即，而不共面，于是，显然此方程组无解， 即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确； 对于D，由，得共面， 不能作为空间的一个基底，D错误. 故选：ABC 3．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 【答案】BCD 【分析】根据空间向量组成基底的条件逐项判断即可. 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误； 对于B项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C项，若、、不能构成空间的一组基底，则、、共面， 又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C正确； 对于D项，若，，共面， 则，可知，，共面， 与为空间向量的一组基底相矛盾，故，，可以构成空间向量的一组基底. 故选：BCD. 4．（多选）（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由可判断A；由可判断B；设，由共面定理可判断C；设，由共面定理可判断D. 【详解】对于A，， ∴，，共面，不能构成基底，A错误； 对于B，， ∴，，共面，不能构成基底，B错误； 对于C，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，C正确； 对于D，设，则，无实数解， 所以，，不共面，构成基底，D正确. 故选：CD 5．（多选）（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解. 【详解】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意； 对于B，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意； 对于C，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意； 对于D，假设共面，则必有不全为0的实数， 使得，又不共面， 则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意. 故选：BCD 题型二 用空间基底表示向量 1．（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，在三棱锥中， ，，，点M，N满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加、减、数乘运算，将所求向量用表示即可求解. 【详解】因为，所以， 又，即， 所以， 因此. 故选：A. 2．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】依题意可得 . 故选：C 3．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知正四面体的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点. (1)用，，表示； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据空间向量的基本定理，结合向量运算求得答案. （2）利用空间向量的数量积运算律计算即得. 【详解】（1）在正四面体中，E，F分别为棱BC，CD的中点，点G为线段AF的中点， ， 所以 . （2）正四面体的棱长为1，则， 所以. 4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量，，表示； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意为的中点，得到，再由空间向量的线性运算，即可求解； （2）根据，结合第（1）问及空间向量的数量积的运算得，即可求解. 【详解】（1）因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）因为，又， 所以 ，所以与的夹角为. 5．（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 题型三 空间向量基本定理的应用 1．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】， 又，所以， 所以. 故选：B 2．（23-24高二下·甘肃天水·阶段练习）在四棱锥中，若，则实数组可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用底面是平行四边形判断A，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断BCD． 【详解】选项A，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，A可能取得； 选项B，若，则，B错误； 选项C，若，则，C错误； 选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，D错． 故选：A． 3．（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则 ，的长为 ． 【答案】 5 【分析】利用向量的线性运算，即可求得结果;再利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量的数量积运算，即可求出模长. 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ． 【答案】 【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，从而得到答案. 【详解】∵，， ∴ ， 又， ∴，，，故. 故答案为：. 5．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在正方体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求实数，，的值． 【答案】(1)， (2)，，． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可； （2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可． 【详解】（1）连接，则交于点， ， ． （2）连接， ， 又，所以，，． 1．（22-23高二上·江西南昌·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】借助空间向量的线性运算与基本定理可得，结合消元法与二次函数的性质计算即可得. 【详解】因为， 所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点， 所以，即， 则. 故选：A. 2．（多选）（23-24高二上·福建厦门·期中）已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】以，，为基底向量，若，则，根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，依题意，，，在同一平面内，连接、、，即可证明平面，要使，则需在上，再由四点共面判断D. 【详解】设正三棱柱的棱长为2， 以，，为基底向量，则， ，， 可得 ， 若，则， 则， 即， 所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误； 又，故，，，在同一平面内， 连接、、，依题意，，，平面， 所以平面，要使，所以需在上， 由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确. 故选：BCD． 3．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（     ）. A．若点P在直线上，则 B．若点P在直线上，则 C．若点P在平面内，则 D．若点P在平面内，则 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的基本定理可判断A，B；结合四点共面的结论可判断C，D. 【详解】对于A，若点P在直线上，则，则， 由于三点共线，故，A错误； 对于B，若点P在直线上，则，而， 结合，得，B正确； 对于C，若点P在平面内，即四点共面， 则由，可知，C正确， 对于D，若点P在平面内，则， 则， 又，则，D正确， 故选：BCD 4．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量的基底表示，然后利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】在三棱柱中，连接，由分别为的中点， 得，且，则， ， ，而， 所以 . 故答案为：. 5．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点，设，，. (1)用，，表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由平行四边形法则可得，在中，根据重心的性质可得，即可求解； （2）由（1）可知，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）由点是线段的中点，得， 由点是的重心，得， 所以， 因为正四面体中，，， 故， 所以， 即； （2）由（1）可知，，， 所以 ， 所以. 6．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图所示，平行六面体中，. (1)用向量表示向量，并求； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用空间向量的运算法则即可表示出结果，再将平方可求得模长为； （2）易知，求出，再由向量夹角计算公式可求得余弦值为. 【详解】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以， ， 则. 则与所成的角的余弦值为. 7．（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形，利用向量的几何运算，即可求出结果； （2）根据条件，利用向量数量积的运算及定义，即可求出结果. 【详解】（1）如图，.    （2）因为，，， 所以 , 又， ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$