1.1.1空间向量及其线性运算（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1空间向量及其线性运算 题型一 空间向量的基本概念 1．（20-21高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 2．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 3．（多选）（2023高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 4．（多选）（23-24高二上·四川·期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 5. （2023高二·全国·专题练习）①零向量没有方向； ②两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向； ④若， 则； ⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同； 则上述命题中正确的是 .（填写序号） 题型二 空间向量的加法、减法、与数乘 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 5．（多选）（23-24高二上·河南周口·阶段练习）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型三 空间向量减法数乘含参运算 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 5．（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 题型四 共线的判定 1．（21-22高二·全国·课后作业）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    3．（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 4．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 5．（21-22高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 题型五 共线求参问题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 2．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知三点共线，为空间任意一点，，则 . 4．（21-22高二上·广东广州·期末）已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 5.（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 题型六 共面向量的概念 1．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 2．（多选）（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 3．（21-22高二上·辽宁大连·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 4．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 5. （多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 题型七 向量共面的判定 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 4．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型八 四点共面的判断 1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（    ） A．四点P、A、B、C不一定共面 B．四点P、A、B、C必共面 C．四点O、P、B、C必共面 D．无法判断 2．（21-22高二下·上海杨浦·期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二下·江苏常州·期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与点位置有关 4．（22-23高二下·上海闵行·开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 5.（22-23高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 题型九 四点共面的证明 1．（2022高二上·全国·专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： (1)四点共面； (2)； (3)． 2．（20-21高二·江苏·课后作业）已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面： (1)； (2)． 3．（2023高二·全国·专题练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面； 4．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面． 5．（21-22高二上·福建厦门·期中）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有． 题型十 共面含参问题 1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高二·全国·课后作业）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 4．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 5．（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 1．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 三、填空题 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 四、解答题 6．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 7．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1空间向量及其线性运算 题型一 空间向量的基本概念 1．（20-21高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据空间向量的相关概念逐项判断. 【详解】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确. 故选：B． 2．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 3．（多选）（2023高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【分析】根据向量的定义及性质可以判定. 【详解】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确． 故选：ACD 4．（多选）（23-24高二上·四川·期中）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】BD 【分析】利用空间向量的相关定义进行判断即可. 【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：BD. 5. （2023高二·全国·专题练习）①零向量没有方向； ②两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向； ④若， 则； ⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同； 则上述命题中正确的是 .（填写序号） 【答案】④ 【分析】依据空间向量的有关概念辨析即可. 【详解】①错误.零向量与任意向量平行，方向是任意的. ②错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，只终点相同，不能确定向量的方向. ③错误.当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反. ④正确.由相反向量的概念可知正确. ⑤错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定. 故答案为：④ 题型二 空间向量的加法、减法、与数乘 1．（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得. 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 2．（23-24高二下·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】, 故选:A    3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 4．（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解. 【详解】A：，故A符合题意；    B：，故B符合题意；    C：，故C符合题意；    D：，故D不符合题意；    故选：ABC. 5．（多选）（23-24高二上·河南周口·阶段练习）在四面体ABCD中，E，F分别是BC，BD上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】综合应用平面向量的线性运算即可求得结果. 【详解】在中，因为，所以，故，即. ， 故选：BD.    6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 题型三 空间向量减法数乘含参运算 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 2．（22-23高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【详解】， 故，，，. 故选：A 3．（23-24高二上·山东·期中）在四面体中，点满足，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，进而求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，根据空间向量的线性运算法则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 4．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据向量的加法运算及向量的相等求值即可. 【详解】如图， 因为, 所以. 故答案为： 5．（23-24高二上·贵州·阶段练习）如图，在棱长为4的正四面体中，是的中点，，记. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算和向量基本定理求解； （2）利用空间向量的线性运算和向量数量积求解. 【详解】（1）因为是的中点，，所以， 又，所以， 则. （2）因为， 所以由正四面体的棱长为4， 可得， 故. 题型四 共线的判定 1．（21-22高二·全国·课后作业）已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量减法运算法则，得共线、共线，所以共线，继而得解. 【详解】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即. 故选：B. 2．（20-21高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    3．（2023高二·江苏·专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 4．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【答案】共线 【分析】根据空间向量的线性运算法则，化简得到，即可得到结论. 【详解】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 5．（21-22高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，. 求证：（1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题意，，转化，代入结合题干条件运算即得证； （2）由题意，，又，运算即得证 【详解】证明：（1） ∴. （2）. 题型五 共线求参问题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 2．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知三点共线，为空间任意一点，，则 . 【答案】 【分析】 根据向量共线和平面向量基本定理可求出结果. 【详解】因为三点共线，∴， 即，， 又，所以，所以. 故答案为：. 4．（21-22高二上·广东广州·期末）已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果 【详解】，， 因为，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，得，， 所以， 故选：C 5.（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 题型六 共面向量的概念 1．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【答案】B 【分析】 根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【详解】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题； B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题； C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题； D：如下图所示： 若，显然异面， 所以本选项命题是假命题， 故选：B 2．（多选）（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】AC 【分析】根据空间向量之间的平行、共面逐项判断即可. 【详解】若，，当，则与所在直线不一定平行，故A正确； 向量、、共面即它们所在直线共面或不共面，故B错误； 根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确； 若，当时，则不存在实数，使使或，故D不正确． 故选：AC. 3．（21-22高二上·辽宁大连·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算化简得，即可判断四点位置情况. 【详解】, 则， 所以，则， 故四点共面. 故选：A 4．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可. 【详解】A选项：，所以A错； B选项：，所以B错； C选项：原式可整理为，所以C正确； D选项：原式可整理为，，故D错. 故选：C. 5. （多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 题型七 向量共面的判定 1．（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果. 【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除； 对于B，，所以三个向量共面，排除； 对于D，，所以三个向量共面，排除. 故选：C. 2．（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可． 【详解】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意； 对于B，假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面； 故B不符合题意； 对于C，，故三个向量共面，故C符合题意； 对于D，，故三个向量共面，故D题意符合． 故选：ACD． 3.（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 4．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据共面向量定理，逐项考查每个选项中三个向量是否共面即可. 【详解】对于因为，故三个向量共面； 对于    假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立， 即，，不共面； 对于,，故三个向量共面； 对于 ，故三个向量共面， 故选： 5．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若向量，，不共面，则下列选项中三个向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据空间向量的共面定理，列出方程组，结合方程组的解，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，设，可得，解得， 所以向量共面，不符合题意； 对于B中，设，可得，解得 所以向量共面，不符合题意； 对于C中，设，可得，此时方程组无解， 所以向量不共面，符合题意； 对于D中，设，可得，解得 所以向量共面，不符合题意； 故选：C. 题型八 四点共面的判断 1．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有如下关系：，则（    ） A．四点P、A、B、C不一定共面 B．四点P、A、B、C必共面 C．四点O、P、B、C必共面 D．无法判断 【答案】B 【分析】利用空间向量的运算，整理等式，根据共面定理，可得答案. 【详解】由，整理可得， 则，故、、、共面， 故选：B. 2．（21-22高二下·上海杨浦·期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可. 【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于D选项，，,所以点与、、三点共面. 故选：D. 3．（21-22高二下·江苏常州·期中）对于空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（    ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与点位置有关 【答案】B 【分析】根据空间共面向量的定义进行判断即可. 【详解】由 ， 所以A，B，C，P四点共面， 故选：B 4．（22-23高二下·上海闵行·开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 【答案】A 【分析】 由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案. 【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使， 因为， 所以， 所以共面， 所以四点共面， 因为，所以， 所以点唯一. 故选：A. 5.（22-23高二上·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案. 【详解】 设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C, ，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 题型九 四点共面的证明 1．（2022高二上·全国·专题练习）已知为空间9个点(如图)，并且，，．，求证： (1)四点共面； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的共面定理，即可求解； （2）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解； （3）根据空间向量的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 由共面向量的基本定理，可得是共面向量 又因为有公共点，所以四点共面. （2）解：因为， 则 ， 所以. （3）解：由（1）及， 可得， 所以，即. 2．（20-21高二·江苏·课后作业）已知，，三点不共线，对于平面外的任意一点，分别根据下列条件，判断点是否与点，，共面： (1)； (2)． 【答案】(1)共面，理由见解析； (2)共面，理由见解析. 【分析】（1）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断； （2）利用空间向量的线性运算以及空间共面向量定理的即可判断. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 可得，所以， 所以点与点，，共面. （2）由可得， 所以， 所以，所以， 所以点与点，，共面. 3．（2023高二·全国·专题练习）如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面； 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，由空间向量共面定理分别证得是共面向量，是共面向量，即可得到结果. 【详解】因为，， 所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量， 因为有公共点，有公共点， 所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面. 4．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，M、N、P、Q分别为、、、的中点，用共面向量定理证明M、N、P、Q四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明向量、、共面来证得四点共面. 【详解】令，，， 所以，， ， 设， ， 则，解得， 则．所以向量、、共面， 所以M、N、P、Q四点共面． 5．（21-22高二上·福建厦门·期中）已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； (2)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明来证得四点共面. （2）利用空间向量运算证得结论成立. 【详解】（1）. , 所以，所以四点共面. （2）. 题型十 共面含参问题 1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间共面向量基本定理即可求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，所以. 故选:C． 2．（21-22高二·全国·课后作业）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 所以， 所以， 因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 4．（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 5．（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由向量的线性运算可知，再由共面定理可知，即可得解. 【详解】由， 得， 即， 又，，，四点共面， 即，，共面， 所以存在唯一实数对，使， 所以， 解得， 故答案为：. 1．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解. 【详解】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 2．（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的，使得, 即， 即，解得：. 故选：A. 3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知分别是空间四边形的对角线的中点，点是线段的中点，为空间中任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法运算可解. 【详解】由题知：. 故选：D 二、多选题 4．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【分析】根据共线向量的性质可判断①②的正误，根据共线向量定理可判断③的正误，利用反证法可判断④， 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 四、解答题 6．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量的运算可得，即可证明B，E，G，F四点共面； （2）根据题意，由棱锥的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，． 又，所以 ． 故B，E，G，F四点共面． （2）由正四棱锥的对称性知，，． 设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得． 由，得，则． 7．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【答案】(1)、、三点共线，证明见解析； (2)、、三点共线，证明见解析. 【分析】（1）用分别表示即可求解； （2）用分别表示即可求解. 【详解】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$