2.2.3因式分解法（1）（同步课件）数学湘教版九年级上册

2.2.3 因式分解法 主讲： 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 学习目标 目标 1 目标 2 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 创设情境 新课导入 思考： 1、把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 2、因式分解主要方法: (1)提取公因式法 (2)公式法: 平方差公式 a2－b2=(a + b) (a－b) 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 1、因式分解的意义是什么？ 2、因式分解的方法有哪些？ 3、若a·b=0， 则a=0或b=0 自学指导 仔细阅读教材P37---P39。用6分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解？ 3、阅读例题7、例题8掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤与格式。 2、用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么? 动 脑 筋 解方程：x2 - 3x = 0. ① 配方法解方程 x2 - 3x = 0. 探究新知 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 两个因式乘积为0，说明什么？ 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 x2 - 3x = 0 x(x - 3) = 0 或 x = 0 x – 3 = 0 x1 = 0 ，x2 = 3 探究新知 像这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 议 一 议 请用公式法解方程 x2 - 3x = 0,并与上面的因式分解法进行比较，你觉得用哪种方法更简单？ ∵ b 2 - 4ac = (-3)2 - 4×1×0 = 9 - 4﹥0， 因此，原方程的根为 x1 = 0， x2 = 3. 探究新知 显然，与因式分解法比较，公式法步骤较多，而且运用求根公式计算比较繁琐.因此用因式分解法更简单. 右化零 左分解 两因式 各求解 用因式分解法解下列方程: 例7 (1)x ( x -5 ) = 3x ; (2) 2x ( 5x - 1 )=3 ( 5x - 1); (3)( 35-2x )2- 900=0. 解:(1)原方程可化为 x2-8x =0. 把方程左边因式分解，得 x (x -8)=0, 由此得 x=0或 x -8=0. 解得 x1=0 ，x2 =8. 利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 . 例题讲解 解:(2)原方程可化为 2x ( 5x -1 )-3 ( 5x -1 )=0. 把方程左边因式分解，得 (5x -1 )(2x -3 ) =0, 由此得5x -1 =0或2x -3 =0. 解得 x1= ，x2 = . (2) 2x ( 5x - 1 )=3 ( 5x - 1) (3)( 35-2x )2- 900=0 解:(3)原方程可化为 ( 35 -2x )2-302=0. 把方程左边因式分解，得 (35-2x +30 )(35-2x -30 ) =0. 由此得 65-2x =0或5-2x =0. 解得 x1=32.5，x2 =2.5. 右化零 左分解 两因式 各求解 例题讲解 　　利用因式分解法解一元二次方程的实质就是通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次. 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 1.移项：将方程的右边化为0; 2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; 3.转化：方程转化为两个一元一次方程; 4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解. 简记口诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 归纳总结 用因式分解法解方程:x2- 10x＋24=0. 例8 解:配方，得 x2 - 10x + 52-52＋24=0, 把方程左边因式分解，得 (x-5+1 )(x-5 -1 ) =0, 由此得 x -4=0或x-6 =0. 解得 x1=4，x2 =6. 因而 (x - 5)2-12=0. 即 (x-4 ) (x-6)=0, 例题讲解 由例8可以看出，若我们能把方程 x2 + bx + c = 0的左边进行因式分解后，写成 x2 + bx + c = (x - d)(x - h) = 0， 则 d 和 h 就是方程 x2 + bx + c = 0的根． 反过来，如果 d 和 h 是方程 x2 + bx + c = 0的根，则方程的左边就可以分解成 x2 + bx + c = (x - d)(x - h). 归纳总结 基础检测 1. 已知一元二次方程的两根分别是x₁=3，x₂=-5，则这个方程可能是（ ） A. x²-7x+10=0 B. (x-3)(x+5)=0 C. (x+3)(x+5)=0 D. (x-1)(x-5)=0 B 2. 用因式分解法解方程2x (x+2)+3x+6=0，可得（ ） A. (x+2)(2x+3)=0 B. (x+2)(5x+6)=0 C. 2x²+7x+6=0 D. 6x(x+2)=0 A 解析 因式分解2x (x+2)+3x+6=2x(x+2)+3 (x+2)=(x+2)(2x+3)，则原方程可化为 (x+2)(2x+3)=0，故选A. 3、方程x2-x=0的解是（　　） A．x=0 B．x=1 C．x1=0，x2=-1 D．x1=0，x2=1 D 4．用因式分解法解方程x2－3x－4＝0时，原方程可以分解成两个一元一次方程，这两个一元一次方程是(　　) A．x－4＝0与x＋1＝0 B．x＋4＝0与x－1＝0 C．x－3＝0与x－1＝0 D．x－3＝0与x＋1＝0 A 基础检测 5．下列过程正确的是(　　) A．由(2x－3)(3x－4)＝0得2x－3＝0或3x－4＝0 B．由(x＋3)(x－1)＝1得x＋3＝0或x－1＝1 C．由(x－2)(x－3)＝2×3得x－2＝2或x－3＝3 D．由x(x＋2)＝0得x＋2＝0 A 6．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为10，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为(　　) A．(x＋10)(x－6) B．(x－10)(x＋6) C．(x＋10)(x＋6) D．(x－10)(x－6) B 基础检测 1.用因式分解法解下列方程: (1) x2-7x =0; (2) x ( x-3 ) =5x; (3) 4x2-20x+25=0; (4) ( x+1)2-4=0. 一展身手 解:(1)把方程左边因式分解，得 x (x -7)=0, 由此得 x=0或 x -7=0. 解得 x1=0 ，x2 =7. 解:(2)原方程可化为 x2-8x =0. 把方程左边因式分解，得 x (x -8)=0, 由此得 x=0或 x -8=0. 解得 x1=0 ，x2 =8. (3) 4x2-20x+25=0; (4) ( x+1)2-4=0. 解: (4)原方程可化为 (x+1)2-22=0. 把方程左边因式分解，得 (x +1-2 )(x +1+2 ) =0, 由此得 x -1=0或x+3=0. 解得 x1=1，x2 =-3. 解:(3)原方程可化为 (2x)2-20x+52=0. 把方程左边因式分解，得 (2x-5 )2 =0, 由此得 2x -5=0或2x-5=0. 解得 x1=x2 = . 一展身手 2.用因式分解法解下列方程: 2x ( x -1)= 1-x; (2) 5x ( x+2 )=4x +8; (3) ( x-3 )2-2=0; (4) x2+6x＋8=0. 解:(1)原方程可化为 2x ( x -1 )+ ( x -1 )=0. 把方程左边因式分解，得 (2x +1 )(x -1) =0, 由此得 2x +1 =0或x -1 =0. 解得 x1= ，x2 =1. 解:(2)原方程可化为 5x ( x+2 )- 4( x +2 )=0. 把方程左边因式分解，得 (x +2 )(5x -4) =0, 由此得 x +2 =0或5x -4 =0. 解得 x1= -2，x2 = . 一展身手 (3) ( x-3 )2-2=0; (4) x2+6x＋8=0. 解:(3) 把方程左边因式分解，得 由此得 解得 解:(4)配方，得 x2 +6x + 32-32＋8=0, 把方程左边因式分解，得 (x+3+1 )(x+3 -1 ) =0, 由此得 x +4=0或x+2 =0. 解得 x1=-4，x2 =-2. (x +3)2-12=0. 即 (x+4 ) (x+2)=0, 一展身手 3．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程 x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0， 得x1＝7，x2＝10. 当x＝10时，3＋7＝10， ∴x2＝10不合题意，舍去． ∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 一展身手 挑战自我 解方程：x(x－5)＝5－x.小滨的解答过程如下： 解：原方程可变形为x(x－5)＝－(x－5)， 方程两边同时除以x－5，得x＝－1， 小滨的解答过程是否正确？如不正确，写出正确的解答过程． 解：不正确，正确的解答过程： 原方程可变形为x(x－5)＝－(x－5)， 移项，得x(x－5)＋(x－5)＝0， 提取公因式，得(x－5)(x＋1)＝0， 所以x－5＝0或x＋1＝0， 解得x1＝5，x2＝－1. 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 通过因式分解将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 课堂小结 分解 变形 定解 移项 22 主讲： 感谢聆听 湘教版九年级上册 $$