专题1.6 空间向量法求空间中的距离（3类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.6 空间向量法求空间中的距离 【考点1：点到线的距离】 1 【考点2：点到面的距离】 5 【考点3：线到面的距离】 11 【考点1：点到线的距离】 【知识点：点到线的距离】 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为. 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2024高二下·甘肃兰州·阶段练习）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．异面直线与所成角正弦值为 C．点到直线的距离是 D．为线段上的一个动点，则的最大值为3 6．（23-24高二下·福建龙岩·期中）直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 7．（23-24高三下·广东深圳·期中）在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 8．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 9．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求A点到直线的距离. 10．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【考点2：点到面的距离】 【知识点：点到面的距离】 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为 . 4．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 5．（2024高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 6．（2024高二上·广东湛江·阶段练习）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离． (2)与平面平行吗？请说明理由． 7．（2024高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 8．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，平面，分别是的中点，四边形是菱形，，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离． 9．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 10．（23-24高一下·天津南开·期末）如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． (1)证明：； (2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【考点3：线到面的距离】 【知识点：线到面的距离】 线到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 1．（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 3．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 4．（2024高一下·重庆荣昌·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别为，，，中点．    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 空间向量法求空间中的距离 【考点1：点到线的距离】 1 【考点2：点到面的距离】 12 【考点3：线到面的距离】 23 【考点1：点到线的距离】 【知识点：点到线的距离】 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为. 1．（23-24高一下·安徽六安·期末）已知，则到直线的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先求出与同方向的单位向量的坐标，继而计算和，代入点到直线的距离的向量公式计算即得. 【详解】由可知, 则与同方向的单位向量为， 又 , , 故点到直线的距离为. 故选：D. 2．（2024高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 3．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量法求点到直线的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，， ，，设向量与的夹角为， ， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 4．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到直线的距离即可得解. 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，则，   ，， 故在的投影为， 点到线的距离为. 故选：D. 5．（多选）（2024高二下·甘肃兰州·阶段练习）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（    ） A． B．异面直线与所成角正弦值为 C．点到直线的距离是 D．为线段上的一个动点，则的最大值为3 【答案】BD 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算可判断A；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，可判断B；根据点到直线的向量公式可判断C；利用坐标表示出，即可判断D； 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 故，， 对于A，所以，A错误； 对于B，记异面直线与所成角为，则， 所以，故B正确. 对于C，记同向的单位向量为， 则点P到直线的距离，故C错误； 对于D，设点，使，， 则，故， 则， 因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故D项正确； 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解决此类问题的主要方法有： （1）定义法：运用空间向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析； （2）基底表示法：将相关向量用空间的一组基底表示再进行相关计算； （3）建系法：通过建立空间直角坐标系，引入相关点的坐标，利用点线距离公式、空间向量的夹角公式等公式计算即得. 6．（23-24高二下·福建龙岩·期中）直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 【答案】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算即可. 【详解】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 7．（23-24高三下·广东深圳·期中）在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 【答案】 / 【分析】由题意，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可证得平面平面，由面面平行的性质确定点的轨迹为线段，且当取最小值时，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距离即可. 【详解】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面，因为平面，要使得平面， 则平面，因为平面平面， 故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点， 则. 以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系， 易知， 取， 则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过平面平面确定点的轨迹为线段，即当时取最小值，注重考查学生的数学运算和逻辑推理能力. 8．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 9．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点. (1)证明：∥平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求A点到直线的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）取中点，可得四边形为平行四边形，从而，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）建系标点，求出平面BDM的法向量，易知为平面PDM的一个法向量，利用向量夹角公式求解可得答案. （3）利用空间向量求得，即可得，进而可得结果. 【详解】（1）取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，则，， 因为∥，，则，， 可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，所以∥平面PAD． （2）因为平面，，平面ABCD， 则，，且， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 取CD的中点，连接BE， 因为∥，，则，， 又因为，所以四边形ABED为矩形， 且，可知四边形ABED是以边长为2的正方形， 则，，，，，， 可得，，， 设平面BDM的法向量为，所以， 令，则，．所以平面BDM的一个法向量为， 易知为平面PDM的一个法向量， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. （3）由（2）可知：， 则， 即，可知为锐角， 则， 所以A点到直线的距离为. 10．（23-24高二下·江苏扬州·期末）已知三棱柱的棱长均为. (1)证明：平面平面； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，连接，可证得，，则平面，然后利用面面垂直的判定定理可证得结论； （2）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 所以， 所以，所以， 由题设可知，为边长为2的等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）由（1）可知两两垂直， 所以以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， . 因为，则， 设平面的法向量为， 则即 取， 所以是平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， ， 化简整理得 解得，或（舍去）， 所以， 又因为， 所以. 设点到直线的距离为，则， 所以. 【考点2：点到面的距离】 【知识点：点到面的距离】 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 1．（23-24高二下·江苏常州·期中）四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出平面的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以顶点到底面的距离为. 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到平面距离的向量求法逐项检验可得答案. 【详解】对于A，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故A错误； 对于B，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故B错误；     对于C，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故C错误；     对于D，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故D正确. 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】运用空间向量点到面的距离公式即可解题． 【详解】根据点到面的距离公式，且，， 可得点到平面的距离． 故答案为：． 4．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量的距离公式，即可求解. 【详解】由点和，可得， 又由平面的一个法向量为，所以点B到平面PAD的距离为. 故答案为：. 5．（2024高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 6．（2024高二上·广东湛江·阶段练习）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离． (2)与平面平行吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不平行，理由见解析. 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解. （2）由（1）中坐标系，求出，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. 【详解】（1）显然直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，同理，即四边形为平行四边形，有， 即，解得，即，则， 设平面的法向量，则，取，得， 而，则点到平面的距离为. （2）由（1）知，，而平面的法向量为 由，得与不垂直， 所以与平面不平行. 7．（2024高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论； （2）可由等体积法计算即可得出. 【详解】（1）法一:是等边三角形，且是中点 面，面 面，面，且 面 面 法二：取的中点，则面，可知两两垂直， 如图以为轴，为轴，为轴，则，，，； 所以，，则，即； （2）法一：由题可知：； 在中，，； 取中点，在中，， 边上的高为； ； 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为． 法二：，，，， 设面的法向量为，； 设点到面的距离为， 故点到平面的距离为. 8．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，平面，分别是的中点，四边形是菱形，，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理和性质定理证明即可. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由点到平面的向量公式求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵在四棱锥中，平面，分别是的中点， 四边形是菱形，，． ∴， 平面，平面，所以平面， 同理平面，，， ∴平面， ∵平面，∴平面； （2）连接，由题意得，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， ∴点E到平面的距离为：． 9．（23-24高二下·江苏镇江·期末）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中．是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，利用、得四边形是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可. 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面的法向量分别为， 则有，取， 则有， 即点到平面的距离为. 10．（23-24高一下·天津南开·期末）如图，在四棱柱中，侧棱平面ABCD，，，，，E为棱的中点，M为棱CE的中点． (1)证明：； (2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）求出异面直线与的方向向量，由向量的夹角公式即可得解. （3）求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即得. 【详解】（1）由底面，平面，得， 而，即直线两两垂直， 以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ，， 显然，即，所以. （2），， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3），， 设平面的法向量，则，令，得， 所以点到平面的距离. 【考点3：线到面的距离】 【知识点：线到面的距离】 线到面的距离问题一般情况下需要转化为点到面的距离问题进行求解. 1．（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体中，，，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法证明平面EMN，根据线面距离的定义把直线AC到平面EMN的距离转化为点A到平面EMN的距离，再利用点面距离的向量公式求解即可. 【详解】如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面的一个法向量为， 则令，可得，所以， 即，又平面，所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离， 又，所以点到平面的距离为， 即直线与平面之间的距离为. 故选：B 2．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可求解； （2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）   ，，． 又，，面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）设点AC到平面PEF的距离为，，则． 3．（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）连接,，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. （2）由（1）知，平面， 则点到平面的距离即为与平面的距离， 连接,，由均为正三角形，为的中点，得， 又平面平面，平面平面平面， 于是平面，又平面，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，又，， 又，可得， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以与平面的距离为. 4．（2024高一下·重庆荣昌·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别为，，，中点．    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线到平面的距离为． 【分析】（1）连接，证明，进而得到平面； （2）易证明平面，点到平面的距离即直线到平面的距离，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）如图，连接交与点，，则是的中点， 因为分别是，的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， 所以， 所以点到平面的距离为， 又因为，，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$