第10讲 一元二次方程的应用（一）（2个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第10讲 一元二次方程的应用（一）（2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【例1】（2023秋•浦东新区期末）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可以列出方程　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•闵行区期中）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染人，则可列方程为 　　． 【变式2】（2023秋•崇明区期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为，列出关于的方程 　　． 【变式3】（2023秋•静安区校级期末）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价元，根据题意列出的方程是　　 A． B． C． D． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【例2】（2023秋•虹口区校级期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为　　 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式1】（2023秋•嘉定区期末）一种型号的智能手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，那么这个百分率是　　． 【变式2】（2022秋•宝山区校级期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 　　人发送短信． 【变式3】（2022秋•青浦区校级期中）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形的面积为96平方米，求和的长． 经典题型汇编 题型一.传播问题(一元二次方程的应用) 1．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．12人 B．12人 C．13人 D．14人 2．（20-21八年级上·上海·期中）某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有 人． 3．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 题型二.增长率问题(一元二次方程的应用) 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期末）某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元，则每次降价的百分率是 ． 6．（22-23八年级上·上海静安·期中）2010年，某市楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价销售。经过连续两年下调后，2012年的均价为每平方米5265元，求平均每年下调的百分率． 题型三.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 7．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，那么这个三角形的周长为（   ） A．6或8 B．8 C．17或19 D．19 8．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ． 9．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 题型四.数字问题(一元二次方程的应用) 10．（2024八年级·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 11．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海·阶段练习）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 2．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为米，则可列方程为（    ）．    A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三份开始整顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海宝山·期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在2019年11月11日，某商品销售额为2.35亿人民币．在2023年同日，销售额增长到6.38亿人民币．设这几年年销售额的平均增长率为x，则根据题意可列出方程 ． 8．小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为 ． 9．（20-21八年级上·上海·期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 10．（22-23八年级上·上海宝山·期中）某地区规划将21000平方米矩形土地用于修建文化广场，已知该片土地的宽为x米，长比宽长10米，那么这块矩形土地的长是 米． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 12．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 13．（2024·上海杨浦·一模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 14．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么可列方程（不用化简）为    15．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）某班第一小组的学生互寄贺卡，每位学生都给同组同学寄一张，他们一共寄出90张贺卡，则这个小组有 位学生． 16．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信． 17．（23-24八年级上·上海青浦·期中）某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 . 从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为 ，则根据题意可列方程为 ． 18．（22-23八年级·上海·假期作业）如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是 ． 三、解答题 19．（22-23八年级·上海·假期作业）圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？ 20．（22-23八年级上·上海长宁·期中）学校阅览室每天中午放学时间都向师生开放．据统计，第一个月进阅览室128人次，若进阅览室人次逐月增加，且月平均增长率相同，预计到第三个月末累计进阅览室608人次．求进阅览室人次的月平均增长率． 21．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）某公司2020年经营总收入为1500万元， 该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，假设每年经营总收入的年增长率相同． (1)求每年经营总收入的增长率是多少？ (2)预计2021年经营总收入为多少万元？ 22．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如图，某艺术中心准备用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？    23．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 24．一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 25．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 26．（23-24八年级上·上海长宁·期中）如图，学校准备用米长的铁栅栏，靠一面米长的墙围一个占地面为长方形的生态实验园，铁栅栏围三边，如果生态实验园的占地面积为平方米，那么长方形相邻两边的长分别是多少米？    27．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米．    (1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米； (2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为米、总面积为76平方米的地砖，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 一元二次方程的应用（一）（2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【例1】（2023秋•浦东新区期末）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可以列出方程　　 A． B． C． D． 【分析】设平均每月增长率是，根据该厂今年十月份及十二月份的总产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设平均每月增长率是， 依题意，得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1】（2023秋•闵行区期中）有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染人，则可列方程为 　　． 【分析】由平均每轮传染人，可得出第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，再结合经过两轮传染后共有72人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：有2个人患了流感，且平均每轮传染人， 第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染． 依题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（2023秋•崇明区期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为，列出关于的方程 　　． 【分析】设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为，第二次降价后售价为，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可． 【解答】解：设平均每次降价的百分率为，由题意得 ． 故答案为：． 【点评】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键． 【变式3】（2023秋•静安区校级期末）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价元，根据题意列出的方程是　　 A． B． C． D． 【分析】如果设每件降价，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件，根据每天要盈利1600元，即可列出方程． 【解答】解：根据题意，得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【例2】（2023秋•虹口区校级期末）如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为　　 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【分析】剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，， 舍去． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式1】（2023秋•嘉定区期末）一种型号的智能手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，那么这个百分率是　　． 【分析】设每次降价的百分率为，根据该手机的原价及经过两次降价后的价格，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设每次降价的百分率为， 依题意，得：， 解得：，（舍去）． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（2022秋•宝山区校级期中）有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 　9　人发送短信． 【分析】设每轮发送短信平均一个人向个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送全班共有90人收到同一条短信列出方程． 【解答】解：设每轮发送短信平均一个人向个人发送短信， 则：． 整理得：， 解得或（舍去）， 故答案为：9． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程． 【变式3】（2022秋•青浦区校级期中）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形的面积为96平方米，求和的长． 【分析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可． 【解答】解：设为米，则为米， ， 解得：，， 当时， （不合题意，舍去）， 当时， ． 答：的长为8米，的长为12米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.传播问题(一元二次方程的应用) 1．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．12人 B．12人 C．13人 D．14人 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；传染源为人，每次传播人，第一轮传播后，感染的人数一共为人，人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为人，根据两轮感染的总人数即可列出方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 故选：D． 2．（20-21八年级上·上海·期中）某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有 人． 【答案】12 【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数-1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可． 【详解】解：设这个小组共有x人． x（x-1）=132， 解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）． 故答案为: 12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片． 3．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【答案】这个小组共有个人 【分析】设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡，根据全组共送90张贺卡，列方程即可解答． 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到每个人要送人数减1张贺卡，是解题的关键． 题型二.增长率问题(一元二次方程的应用) 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【详解】解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为， 则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 又第一季度共生产零件182万个， 则得：． 故选：B． 5．（23-24八年级上·上海青浦·期末）某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元，则每次降价的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，先设每次降价的百分率是，再根据“原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元”，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设每次降价的百分率是， ∵原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为512元， ∴ ∴（舍去） ∴每次降价的百分率是． 故答案为： 6．（22-23八年级上·上海静安·期中）2010年，某市楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价销售。经过连续两年下调后，2012年的均价为每平方米5265元，求平均每年下调的百分率． 【答案】平均每年下调的百分率为 【分析】根据题意，设平均每年下调的百分率为，则得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设平均每年下调的百分率为，则， ， 直接开平方得，则（由于百分率不大于1，舍去）或， 答：平均每年下调的百分率为． 【点睛】本题考查二次函数解实际应用题，读懂题意，掌握平均增长率（下降率）是解决问题的关键． 题型三.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 7．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的一个根，那么这个三角形的周长为（   ） A．6或8 B．8 C．17或19 D．19 【答案】D 【分析】根据方程求得方程的两根，再根据三角形的三边关系，求得三角形周长即可． 【详解】解：∵第三边的长为二次方程的一根， ∴， ∴，， ∵， ∴边长2，6，9不能构成三角形，2，8，9能构成三角形， ∴三角形的周长． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题关键． 8．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在长为米、宽为米的长方形绿地内，修筑三条相同宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成块，这块绿地的总面积为平方米．如果设道路宽为米，由题意所列出关于的方程是 ． 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，解题的关键是正确理解题意，列出方程． 【详解】设道路宽为米，则绿地的长为米，宽为米，由题意得： ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·上海松江·期末）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图，现知道每块跳绳场地的长是宽的两倍（场地间空隙忽略不计），预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息，求比赛区域的长和宽分别是多少米？ 【答案】比赛区域的长为16米，宽为9米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，根据比赛场地的面积为144平方米列出一元二次方程，求解即可，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每块跳绳场地的宽为x米，则其长为米，由题意得 ， 解得， ∴米，米， 所以，比赛区域的长为16米，宽为9米． 题型四.数字问题(一元二次方程的应用) 10．（2024八年级·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 11．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【答案】10和12 【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程是解题关键． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海·阶段练习）某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是x，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：由题意得：． 故选：D． 2．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论：①1轮后有个人患了流感；②第2轮又增加个人患流感；③依题意可得方程；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（    ） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】第一轮的传染源是1个人，他传染了x人，则第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有人患了流感，而此时患流感人数为81，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人． 则第一轮后共有人患了流感，故①正确； 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人， 则第2轮又增加个人患流感，故②错误； 依题意，得，即，故③正确； 解方程，得，（舍去）． 每轮传染中平均每人传染了8人． 经过三轮一共会有人感染，故④错误； 综上可知，正确的结论有①③， 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出一元二次方程． 3．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设道路的宽为米，根据面积公式即可求解． 【详解】解：设道路的宽为米，依题意得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期中）如图，要建一个面积为65平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的小门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为米，则可列方程为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，那么平行于墙的一边长为米，而仓库的面积为65平方米，由此即可列出方程． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x，则平行于墙的一边长为米， 依题意得，即 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系． 5．（22-23八年级上·上海静安·期中）已知某商场一月份营业额为10万元，二月份经营不善，营业额减少，三份开始整顿，到四月份营业额为12.32万元．若三、四月份月增长率相同，设三月份的增长率为，则可以列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得二月份的营业额为，则三月份的营业额为，根据三、四月份月增长率相同，四月份营业额为12.32万元，可得方程，即可解答． 【详解】解：由题意可得方程， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找准等量关系． 6．（23-24八年级上·上海宝山·期末）随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，关系式为：三个月总揽件数＝十月揽件数十一月揽件数十月揽件数（1揽件平均增长率）2，把相关数值代入即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律． 【详解】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，由题意可得方程： ． 故选：B． 二、填空题 7．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在2019年11月11日，某商品销售额为2.35亿人民币．在2023年同日，销售额增长到6.38亿人民币．设这几年年销售额的平均增长率为x，则根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）n，参照本题，等量关系列方程即可． 【详解】根据题意得：， 故答案为：． 8．小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为 ． 【答案】7或-5/或 【分析】设这个数为x，根据这个数的平方-2×这个数=35，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个数为x，根据题意得： ， 解得：或． 故答案为：7或-5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目中的等量关系列出方程，是解题的关键． 9．（20-21八年级上·上海·期末）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是 ． 【答案】84 【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可． 【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为： x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4 解得：x1＝8，x2＝1.5（舍）， ∴x﹣4＝4， ∴10x+（x﹣4）＝84． 答：这个两位数为84． 故答案为：84 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 10．（22-23八年级上·上海宝山·期中）某地区规划将21000平方米矩形土地用于修建文化广场，已知该片土地的宽为x米，长比宽长10米，那么这块矩形土地的长是 米． 【答案】150 【分析】土地的宽为x米，则长为米，根据矩形面积为21000平方米列一元二次方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，土地的宽为x米，则长为米， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴矩形土地的长为（米）， 故答案为：150． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 11．（23-24八年级上·上海崇明·期末）某型号的手机经过连续两次降价，每部售价由原来的1152元降到了800元．设平均每次降价的百分率为x，列出关于x的方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的售价为元，则第二次降价后的售价为元，据此列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得，， 故答案为：． 12．（23-24八年级上·上海闵行·期末）某件商品原价为200元，经过两次促销降价后的价格为164元，如果连续两次降价的百分率相同，设两次降价的百分率都是x，那么可以列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据经过两次促销降价后的价格为164元，列出方程即可． 【详解】解：设两次降价的百分率都是x，由题意，得：； 故答案为：． 13．（2024·上海杨浦·一模）根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 14．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，在一个长为，宽为的矩形花园中修建小道（图中阴影部分），其中，每段小道的两边缘平行，剩余的地方种植花草，要使种植花草的面积为，那么可列方程（不用化简）为    【答案】 【分析】题目中存在的等量关系为矩形花园的面积小道的面积，据此可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 根据，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实际问题与二元一次方程，能用含有未知数的代数式表示出等量关系是解题的关键． 15．（19-20八年级上·上海徐汇·阶段练习）某班第一小组的学生互寄贺卡，每位学生都给同组同学寄一张，他们一共寄出90张贺卡，则这个小组有 位学生． 【答案】10 【分析】由题意可得，每个人都要送给这个小组中除了自己之外的所有人卡片，设该小组有n人，则每个人要送n-1张卡片，所以共送出n（n-1）张，又知全组共送出90张，列出方程求出n值． 【详解】设该活动小组有n人，则每个人要送n-1张卡片，由题意得： n（n-1）=90， 即：n2-n-90=0， 解得，n1=10，n2=-9（不合题意舍去）． 故答案为10． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出一元二次方程求解． 16．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向 人发送短信． 【答案】9 【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90人收到同一条短信列出方程． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信， 则：． 整理得： 解得或（舍去） 故答案为：9． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程． 17．（23-24八年级上·上海青浦·期中）某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了 . 从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张. 如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为 ，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程应用，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 先计算出二月份的产量，设3月份、4月份的平均增长率为x，然后再根据“”以及四月份产量达到648张即可列出方程． 【详解】解：根2月份生产课桌张， 设3月份、4月份的平均增长率为x，则3月份的产量是，4月份的产量是， 所以 ． 故答案为：． 18．（22-23八年级·上海·假期作业）如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是 ． 【答案】1米 【分析】设道路的宽为．由题意可得：，解方程即可求解． 【详解】解：设道路的宽为． 由题意可得：， 整理得：，    解得：，（不符合题意，舍去）． ∴道路的宽为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 三、解答题 19．（22-23八年级·上海·假期作业）圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？ 【答案】31人 【分析】设昂立共有师生人，再建立方程：，再解方程即可． 【详解】解：设昂立共有师生人， 由题意可得：， 整理得：，解得：，（负值舍去）． 答：昂立共有师生31人． 【点睛】本题主要考查互送卡片问题，一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键，注意由于每人都要送到，因此不用除2． 20．（22-23八年级上·上海长宁·期中）学校阅览室每天中午放学时间都向师生开放．据统计，第一个月进阅览室128人次，若进阅览室人次逐月增加，且月平均增长率相同，预计到第三个月末累计进阅览室608人次．求进阅览室人次的月平均增长率． 【答案】进阅览室人次的月平均增长率为． 【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进阅览室的人次，再根据到第三个月末累计进阅览室608人次，列方程求解． 【详解】解：设进阅览室人次的月平均增长率为， 根据题意，得： 解得；（舍去）． 答：进阅览室人次的月平均增长率为． 【点睛】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 21．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）某公司2020年经营总收入为1500万元， 该公司预计2022年经营总收入要达到2160万元，假设每年经营总收入的年增长率相同． (1)求每年经营总收入的增长率是多少？ (2)预计2021年经营总收入为多少万元？ 【答案】(1) (2)1800元 【分析】(1)设每年经营总收入的增长率是，根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求得； (2)根据每年经营总收入的增长率，列式计算，即可求得． 【详解】（1）解：设每年经营总收入的增长率是， 根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 答：每年经营总收入的增长率是； （2）解：(元) 答：2021年经营总收入为1800元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意，正确列出方程是解决本题的关键． 22．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如图，某艺术中心准备用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，为了方便群众进出，在两边空出两个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？    【答案】长方形的长为20米，宽为15米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个长方形的长为x米，则宽为，然后根据长方形的面积是300平方米列出方程求解即可得到答案．解题的关键在于能够根据题意列出方程进行求解． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为米， 由题意得：，即， 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为26米， ∴长方形的长不能超过26米， ∴， ∴， ∴长方形的长为20米，宽为15米． 答：长方形的长为20米，宽为15米． 23．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 【答案】长方形的长为10米，宽为6米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个长方形的长为米，则宽为，然后根据长方形的面积是60平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为， 由题意得： 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为11米， ∴长方形的长不能超过11米， ∴， ∴， ∴长方形的长为10米，宽为6米． 答：长方形的长为10米，宽为6米． 24．一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数． 【答案】或 【分析】设个位数字为，则十位数字是．再建立方程，再解方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字是．根据题意可得： ， 整理得：． 分解得：，         解得：，． 答：原来的两位数是或． 【点睛】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题，确定相等关系列方程是解本题的关键． 25．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次的降价后的售价为元，根据题意可列出方程，据此求解即可． （2）用现价减去去年的价格即可求解． 【详解】（1）解：设每年降价的百分率是，根据题意可得： ， 解得，舍去 答：每年降价的百分率为． （2）解：， 答：他多付了元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，有理数的混合计算的应用，关键是会根据增长率列出式子，再找到等量关系列出方程． 26．（23-24八年级上·上海长宁·期中）如图，学校准备用米长的铁栅栏，靠一面米长的墙围一个占地面为长方形的生态实验园，铁栅栏围三边，如果生态实验园的占地面积为平方米，那么长方形相邻两边的长分别是多少米？    【答案】米、米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．正确表示长方形的边长是解题的关键． 设平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可． 【详解】解：设平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米，， 依题意得，，整理得，， ， 解得，或（舍去）， ∴， ∴长方形相邻两边的长分别为米、米． 27．（23-24八年级上·上海普陀·期中）如图1，要建一个面积为140平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；在与墙垂直的一边，要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米．    (1)这个仓库设计的长和宽分别为多少米； (2)如图2，要在仓库外铺一圈宽为米、总面积为76平方米的地砖，求的值． 【答案】(1)长和宽分别为14米、10米 (2)2 【分析】（1）首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为，再根据面积为140平方米的仓库可得，再解一元二次方程即可．； （2）根据大长方形的面积等于仓库的面积加上地砖的面积，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设这个仓库的长为x米，则宽表示为，由题意得： ， 解得：， ∵这堵墙的长为16米， ∴不合题意舍去， ∴，宽为：（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． （2）解：根据题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 即a的值为2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$