专题02 函数基本概念与基本初等函数-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题02 函数基本概念与基本初等函数 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 函数基本概念 （5年几考） 2024：指数函数的判定与求值；分段函数的性质及应用； 2023：函数的单调性；具体函数的定义域 2022：对数函数的求值；分段函数性质求参数； 2021：函数单调性的应用；具体函数值域； 2020：函数图像的运用； 1. 函数作为高中数学内容的一条主线,对整个高中数学有着重要的意义,题目分布在选择题和填空题居多,以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，以函数内容和性质为载体，考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。 2. 常与导数、不等式、方程等必备知识,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.考查学生运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和数学建模等关键能力,尤其加大了对数学建模的考查力度,根据实际问题,建立函数模型或用已知模型解决实际问题。 考点2 基本初等函数 （5年几考） 2020-2024：指数函数与对数函数的互化，指对性质的运用 考点01 函数基本概念 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 4．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 7．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 8．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 9．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 10．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 考点02 基本初等函数 11．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京西城·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京海淀·二模）设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 5．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·上海宝山·一模）函数的定义域是 . 9．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数，则 . 10．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 11．（2024·北京朝阳·二模）设为正整数，已知函数，，. 当时，记，其中. 给出下列四个结论： ①，； ②，； ③若，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 12．（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 13．（2024·北京房山·一模）若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是 ． 14．（2024·北京朝阳·一模）已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数基本概念与基本初等函数 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 函数基本概念 （5年几考） 2024：指数函数的判定与求值；分段函数的性质及应用； 2023：函数的单调性；具体函数的定义域 2022：对数函数的求值；分段函数性质求参数； 2021：函数单调性的应用；具体函数值域； 2020：函数图像的运用； 1. 函数作为高中数学内容的一条主线,对整个高中数学有着重要的意义,题目分布在选择题和填空题居多,以基本初等函数、基本初等函数组成的复合函数以及抽象函数为载体，以函数内容和性质为载体，考查函数的定义域、值域,函数的表示方法、图象及性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性)。 2. 常与导数、不等式、方程等必备知识,考查数形结合、分类讨论、转化与化归和函数与方程等思想.考查学生运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和数学建模等关键能力,尤其加大了对数学建模的考查力度,根据实际问题,建立函数模型或用已知模型解决实际问题。 考点2 基本初等函数 （5年几考） 2020-2024：指数函数与对数函数的互化，指对性质的运用 考点01 函数基本概念 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 3．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（    ） A．当，时，二氧化碳处于液态 B．当，时，二氧化碳处于气态 C．当，时，二氧化碳处于超临界状态 D．当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 4．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 5．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 7．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，，故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 8．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 9．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果. 【详解】由题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 10．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 考点02 基本初等函数 11．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 12．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 1．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断，根据基本不等式判断，根据指数的运算判断. 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 2．（2024·北京西城·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，所以A错误， 对于B，定义域为，因为，所以此函数为偶函数， 因为在上递增，所以B错误， 对于C，定义域为，因为，所以此函数为偶函数， 因为在上有增区间也有减区间，所以C错误， 对于D，定义域为，因为，所以此函数为偶函数， 当时，，因为在上递增，所以在上递减，所以D正确， 故选：D 3．（2024·北京海淀·二模）设函数的定义域为，对于函数图象上一点，若集合只有1个元素，则称函数具有性质.下列函数中具有性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据性质的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择. 【详解】根据题意，要满足性质，则的图象不能在过点的直线的上方，且这样的直线只有一条； 对A：的图象，以及过点的直线，如下所示： 数形结合可知，过点的直线有无数条都满足题意，故A错误； 对B：的图象，以及过点的直线，如下所示： 数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故B错误； 对C：的图象，以及过点的直线，如下所示： 数形结合可知，不存在过点的直线，使得的图象都在该直线的上方，故C错误； 对D：的图象，以及过点的直线，如下所示： 数形结合可知，存在唯一的一条过点的直线，即，满足题意，故D正确. 故选：D. 4．（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.    故选：B. 5．（2024·北京朝阳·二模）已知函数，存在最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性求解即可. 【详解】当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，所以在上单调递增，无最小值， 根据题意，存在最小值， 所以，即. 故选：A. 6．（2024·北京朝阳·二模）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断. 【详解】是奇函数，它在区间上单调递增，在定义域内不是增函数，所以选项A是错误的； 是偶函数，所以选项B是错误的； 既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的； 满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的； 故选：D. 7．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可得C错误. 【详解】A：因为，所以不是奇函数，故A错误； B：因为的定义域为， 又，所以是奇函数， 又在恒成立， 所以在区间上单调递减，故B正确； C：由正切函数的定义域可得函数在上不连续， 所以在区间上不单调，故C错误； D：因为，所以不是奇函数，故D错误； 故选：B. 8．（2023·上海宝山·一模）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据已知，可得，解出不等式即可得到结果. 【详解】要使函数有意义，则应满足，即 该不等式等价于，解得. 所以，函数的定义域是. 故答案为：. 9．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】7 【分析】根据解析式代入即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为：7 10．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果. 【详解】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 11．（2024·北京朝阳·二模）设为正整数，已知函数，，. 当时，记，其中. 给出下列四个结论： ①，； ②，； ③若，则； ④若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】依据在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在和上单调递增，在上单调递减， 利用单调性逐项计算可判断每个选项的正确. 【详解】对于①，因为，所以. 又在上单调递增，所以， 所以 ，故①正确； 对于②，当时，， ，所以此时，故②错误； 对于③，当时，因为在上单调递减，在上单调递增，且关于直线对称. 又有，且和在数轴上关于对称，所以，，. 所以 . 而在和上单调递增，在上单调递减. 又有. 所以，. 所以 . 这就得到，，，所以此时，故③正确； 对于④，当时，因为在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，. 所以 . 所以此时，故④错误. 故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，弄清题意与每个函数的单调性是关键，利用单调性比较数的大小去绝对符号，运算量大，细心是关键. 12．（2024·北京通州·二模）已知函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数的定义域有意义，解不等式求解. 【详解】根据题意可得,解得 故定义域为. 故答案为： 13．（2024·北京房山·一模）若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据指数的运算性质及指数函数的单调性即可得解. 【详解】由题意，可取， 函数是减函数，满足时，都有， 因为， 所以函数满足题意. 故答案为：.（答案不唯一） 14．（2024·北京朝阳·一模）已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，关于对称，即可得解. 【详解】由，故在、上单调递减， 在上单调递增，且有，，，，，； 由，则， 由时，，则关于对称，故， 则. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$