第09讲 应用一元二次方程（一） （2个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第09讲 应用一元二次方程（一） （2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【例1】（2024春•姑苏区期末）据统计，苏州市2022年中考人数约为9.1万人，随着中考人数逐年递增，2024年中考人数达到10.4万人，若设苏州市中考人数近两年的年平均增长率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•东湖区期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为，则根据题意可列出方程 　　． 【变式2】（2024•蒲城县模拟）古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．“其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．问：竹竿有多少尺？ 【变式3】（2024•南明区校级二模）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有用户3万户，计划到2023年底全市用户数累计达到10万户．设全市用户这几年的平均增长率都为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【变式4】（2023秋•汝阳县期中）教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为 ． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是 　　； （2）若苗圆的面积为，求的值； （3）苗圆的面积能否为若能，请求出的值；否则请说明理由． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【例2】（2024•萨迦县一模）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为　　 A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米 【变式1】（2024•甘肃一模）某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为，则　　． 【变式2】（2024•重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　　． 【变式3】（2024春•连江县期末）随着国内旅游旺季的到来，某旅游景点3月份共接待游客4.5万人次，3月份至5月份游客人次月平均增长率为，则5月份比4月份多接待了游客　　万人次． A． B． C． D． 【变式4】（2024•榕城区校级三模）准备在一块长30米，宽24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（如图所示），四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，求小路的宽度． 经典题型汇编 题型一.传播问题(一元二次方程的应用) 1．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ． 2．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 题型二.增长率问题(一元二次方程的应用) 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）某品牌衣服经过两次降价，每件售价由800元降为512元，若两次降价的百分率都为x，那么符合题意的方程（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）老旧小区改造是重要的民生工程，与人民群众的生活息息相关．甘州区开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022年投入资金达到1440万元．设该区这两年投入老旧小区改适工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程 ． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 题型三.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），另三边用80m长的篱笆围一个面积为的矩形场地，则矩形的长是 ，宽是 ． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）小林准备进行如下操作实验：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于”，他的说法对吗？请说明理由． 题型四.数字问题(一元二次方程的应用) 10．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 11．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 12．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，美术绘画小组的人数是(    ) A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）我市篮球联赛有若干支队伍参赛，每两队之间都赛一场，共进行了场比赛，共有多少支队伍参加比赛（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有人参与这项活动，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·广东惠州·期中）某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·四川泸州·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）九章算术是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·北京·阶段练习）股市每天的涨、跌幅均不超过，即当上涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当下跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）两数差是4，积为45，则这两个数为 ． 12．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）某食品生产厂加工的矿泉水10月份产量为60万瓶，由于反馈口碑较好．工厂决定从11月份起扩大产能，使得第四季度总产量达到198.6万瓶．设矿泉水产量的月平均增长率为，列出的方程为 ． 13．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是 ． 14．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ． 16．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，在一块等腰直角的空地上，斜边，垂足为，点在上，，等腰直角的面积为，图中阴影部分种植花草，剩余部分为道路，设，则根据题意可列方程为 ． 17．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是         图1                图2 18．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮有 人被感染流感． 三、解答题 19．（23-24九年级上·辽宁·期中）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 20．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． （请你解此方程） 21．（22-23九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？ 22．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）小欣想要硬化自己家的院内的一块空地，经测量后设计了如右图的图纸（单位：厘米），阴影区域为宽度相等的一条“L”形的健身鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域．要使地砖铺设区域的面积为14平方米，求地砖铺设区域的长和宽． 23．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年3年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同． (1)求该种植户每年投资的增长率； (2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少万元种植中药材． 25．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）某景区八月份的游客人数为64万人，九、十月份的游客人数持续下降，十月份的人数为49万人． (1)该景区九、十月份游客人数的月平均下降率为______． (2)该景区内某商店销售一种纪念品，已知每件纪念品的成本是30元．如果每件的售价定为40元，那么日销售量将达到100件．在库存不足的情况下，店主想提价销售，若售价每提高5元，日销售量将减少10件，要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时尽可能让利于游客，那么每件纪念品的售价应定为多少元？（利润＝售价－成本） 26．（23-24九年级上·云南文山·期中）已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 应用一元二次方程 （一）（2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 【例1】（2024春•姑苏区期末）据统计，苏州市2022年中考人数约为9.1万人，随着中考人数逐年递增，2024年中考人数达到10.4万人，若设苏州市中考人数近两年的年平均增长率为，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），即可得出方程． 【解答】解：设游客人数的年平均增长率为， 根据题意得． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得游客人数与预计游客人数相等的方程． 【变式1】（2023秋•东湖区期末）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄．若设他去世时年龄的个位数为，则根据题意可列出方程 　　． 【分析】根据个位及十位数字间的关系，可得出他去世时年龄的十位数为，结合个位数的平方等于他去世时的年龄，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，他去世时年龄的个位数为， 他去世时年龄的十位数为． 根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2】（2024•蒲城县模拟）古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．“其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．问：竹竿有多少尺？ 【分析】设竿长为尺，根据题意可得，则房门的宽为尺，高为尺，对角线长为尺，然后根据勾股定理列出方程． 【解答】解：设竿长为尺， 由题意得，． 解这个方程，得，， 当时，，（舍去） ． 答：竹竿有10尺． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用． 【变式3】（2024•南明区校级二模）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有用户3万户，计划到2023年底全市用户数累计达到10万户．设全市用户这几年的平均增长率都为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】设全市用户这几年的平均增长率都为，则2022年底有用户是万户，2023年底有用户是万户，即可得出答案． 【解答】解：设全市用户这几年的平均增长率都为，则2022年底有用户是万户，2023年底有用户是万户， 依题意得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式4】（2023秋•汝阳县期中）教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为，另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为 ． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是 　　； （2）若苗圆的面积为，求的值； （3）苗圆的面积能否为若能，请求出的值；否则请说明理由． 【分析】（1）根据木栏总长，两处各留宽的门，设苗圃的一边长为 ，即得长为； （2）根据题意得：，即可解得的值； （2）先根据题意列出方程，再根据一元二次方程的判别式，即可得出答案． 【解答】解：（1）木栏总长，两处各留宽的门，设苗圃的一边长为 ， 长为； 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得或， 时，， 舍去， 的值为8； （3）不能，理由如下： 假设苗圆的面积能为， 由题意得：， 整理得：， △， 原方程没有实数根， 苗圆的面积不能为． 【点评】本题主要考查列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程的判别式是解题的关键． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 【例2】（2024•萨迦县一模）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为　　 A．5米 B．3米 C．2米 D．2米或5米 【分析】设道路的宽为，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程，解方程即可求解．解题过程中要根据实际意义进行的值的取舍． 【解答】解：设道路的宽为，根据题意得 整理得 开方得或 解得（舍去）或 所以道路宽为2米． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的实际运用．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 【变式1】（2024•甘肃一模）某商品原价100元，连续两次涨价后，售价为144元．若平均增长率为，则　　． 【分析】根据原价为100元，连续两次涨价后，现价为144元，根据增长率的求解方法，列方程求． 【解答】解：依题意，有：， ， 解得：或（舍去）． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据增长率的求解公式列出方程． 【变式2】（2024•重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　　． 【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是，利用该公司2023年缴税金额该公司2021年缴税金额该公司这两年缴税的年平均增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 该公司这两年缴税的年平均增长率是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式3】（2024春•连江县期末）随着国内旅游旺季的到来，某旅游景点3月份共接待游客4.5万人次，3月份至5月份游客人次月平均增长率为，则5月份比4月份多接待了游客　　万人次． A． B． C． D． 【分析】由题意可知，4月份共接待游客万人次，5月份共接待游客万人次，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，4月份共接待游客万人次，5月份共接待游客万人次， ， 即5月份比4月份多接待了游客万人次， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确求出4、5月份共接待游客人次是解题的关键． 【变式4】（2024•榕城区校级三模）准备在一块长30米，宽24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路（如图所示），四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，求小路的宽度． 【分析】小路的面积小路的宽小路的总长度，小路的总长度． 【解答】解：设小路的宽度为米，则小正方形的边长为米，由题意得， ， 解得（不合题意，舍去），， 答：小路的宽度为米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，分析题意找出其中的等量关系是解答本题的关键． 经典题型汇编 题型一.传播问题(一元二次方程的应用) 1．（23-24九年级上·重庆永川·阶段练习）某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．根据题意找出等量关系即可列出方程，主干+支杆+小分支． 【详解】解：设主干长出x个支干， ，整理得： 故答案为：． 2．（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．经过一轮感染，1台电脑感染了台电脑，这台电脑又感染给了，根据经过两轮感染了台电脑列等量关系即可． 【详解】解：设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑， 根据题意可得：， 整理得：， 故选：D． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后，共有64人患了该病，求每轮传染中平均一人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一人传染了7个人． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出数量关系正确列方程是解题关键．设每轮传染中平均一人传染了个人，由题意可知，第一轮患病人数为人，第二轮患病人数为人，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染了个人， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：每轮传染中平均一人传染了7个人． 题型二.增长率问题(一元二次方程的应用) 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）某品牌衣服经过两次降价，每件售价由800元降为512元，若两次降价的百分率都为x，那么符合题意的方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用．设每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，即可列出方程． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得： ， 故选：A 5．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）老旧小区改造是重要的民生工程，与人民群众的生活息息相关．甘州区开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2022年投入资金达到1440万元．设该区这两年投入老旧小区改适工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2022年投入资金为1440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2022年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为，利用该单位4月份纸的用纸量该单位2月份纸的用纸量从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为， 根据题意得：， ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该单位纸的用纸量月平均降低率为． 题型三.与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）《增删算法统宗》是我国古代数学著作，其中记载“圆中方形”问题：其大意为“有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边最大相距步远，在这个不变图形中，应该能求出正方形的边长和圆的直径．”如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设正方形的边长是步，根据圆的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：设正方形的边长是步，则列出的方程是 ． 故选：C． 8．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，利用一面墙（墙长度不超过45m），另三边用80m长的篱笆围一个面积为的矩形场地，则矩形的长是 ，宽是 ． 【答案】 30m/30米 25m/25米 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意可以设平行于墙的一边长为xm，从而可以列出相应的方程解答本题． 【详解】解：设平行于墙的一边长为xm，则 ， 解得，， ∵墙的长度不超过45m， ∴不符合题意，舍去， ∴， ∴， 即矩形的平行于墙的一边长为30m，垂直于墙的一边长为25m时，矩形场地的面积为750m2． 故答案为：30m，25m． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）小林准备进行如下操作实验：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于”，他的说法对吗？请说明理由． 【答案】对，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；利用正方形的性质表示出边长进而得出等式，进而利用根的判别式求出即可． 【详解】假设能围成．设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长是， 由题可得，． 化简得． 因为， 所以此方程没有实数根． 所以小峰的说法是对的． 题型四.数字问题(一元二次方程的应用) 10．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（   ） A．25 B．36 C．25或36 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，此时这个两位数为， 当时，，此时这个两位数为， 综上所述，这个两位数为25或36， 故选：C． 11．（23-24九年级上·四川成都·期末）将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有 种． 【答案】3 【分析】 本题考查对题干“完美分割”的理解，一元二次方程的应用，根据“分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和”推出相乘的这一组数只能有2个或3个或4个数，再根据其个数分别运用列举法分析找出符合条件的分割，即可解题． 【详解】解：， 一组数的积要小于， ，， 相乘的这一组数最多只能有个， ， 相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个， 当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和， ，整理得，解得，（不合题意，舍去）， 符合条件的完美分割为和； 当两个数不连续时， ， 两个数的乘积不小于，分别讨论、、、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个， 当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ，整理得，即， 为1到10的整数， 没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、）其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， 其中符合条件的完美分割有和； ③若这一组数有4个， 当四个数连续时，、均不符合，后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，， ，解得， 、、均不符合，后面的皆不符合； 可得符合条件的完美分割就是题干中的完美分割， 则在这十个数的所有分割中，完美分割共有3种， 故答案为：3． 12．（23-24九年级上·广西来宾·期末）【阅读与理解】已知整数a与b的平方之和可以表示为，现有两个连续的正整数： (1)若这两个连续的正整数中，较小的数是3，求它们的平方之和是多少？ (2)若这两个连续正整数的平方之和是41，求这两个正整数分别是多少？ 【答案】(1) (2)这两个正整数分别是4和5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）首先求出这两个连续的正整数中较大的数是4，然后列式求解即可； （2）设较小的整数是，则较大的整数是，根据题意列出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）∵这两个连续的正整数中，较小的数是3， ∴较大的数是4， ∴它们的平方之和为； （2）设较小的整数是，则较大的整数是， 由题可得：， 方程可化为：， 把方程左边因式分解，得：， 解得：，（舍去）， 答：这两个正整数分别是4和5． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，美术绘画小组的人数是(    ) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】 本题考查一元二次方程的应用；等量关系为：小组的人数小组人数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设美术兴趣小组人数为人． ， 解得 (不合题意，舍去)， 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南焦作·阶段练习）我市篮球联赛有若干支队伍参赛，每两队之间都赛一场，共进行了场比赛，共有多少支队伍参加比赛（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练根据题意列出相应的一元二次方程是解题关键．设有支队伍，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设有支队伍， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 共有支队伍参加比赛， 故选：D． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程．设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．根据等量关系：，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍．列方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．则 ， 解得，， 当时，即原来的两位数个位数字为4，十位数字为2． ∴这个两位数是24， 当时，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为1． ∴这个两位数是15， 故选：C． 4．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有人参与这项活动，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该班级共有同学名，互相发短信，每两个人之间产生2条短信，根据共发出90条短信可得方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设该班级共有同学名，根据题意，得： ， 故选：A． 5．（22-23九年级上·广东惠州·期中）某班在举行图书共享仪式上互赠图书，每位同学都把自己的图书给其他同学赠送一本，全班共互赠了1260本书．设全班共有x名同学，依题意，可列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设全班共有x名同学，则每名同学都要给其他名同学赠送一本图书，再根据全班共互赠了1260本书列出方程即可． 【详解】解：设全班共有x名同学， 由题意得，， 故选：A． 6．（23-24九年级上·四川泸州·期中）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方解决数字问题，设周瑜去世时年龄的十位数字是x，根据个位平方与寿同列式即可得到答案； 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是x，由题意可得， ， 故选：C． 7．（24-25九年级上·全国·假期作业）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，年销量为万辆，销量逐年增加，到年销量为万辆．设年平均增长率为，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意列出方程是解题的关键． 设年平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列方程即可解答． 【详解】解：设年平均增长率为，可列方程为： ， 故选：． 8．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）九章算术是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查勾股定理，列一元二次方程，设门对角线的长为尺，则竿长尺，门宽尺，门高尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】 解：设门对角线的长为尺，由题意得： ， 故选B． 9．（24-25九年级上·全国·假期作业）从前，有一个木工师傅甲拿着木条进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一个木工师傅乙叫他沿着门的两个对角斜着拿木条，木工师傅甲按照木工师傅乙的方法一试，不多不少刚好进去了，你知道木条有多长吗？若设木条的长为尺，则下列方程符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理．先根据题意用木条的长为，表示出门框的长、宽、以及竹竿长是直角三角形的三个边长，然后根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， 由勾股定理可得：． 故选：A． 10．（23-24九年级上·北京·阶段练习）股市每天的涨、跌幅均不超过，即当上涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当下跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设某天跌停前的价格为a元，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设某天跌停前的价格为a元， 由题意得，， 即， ∴， 故选：C． 二、填空题 11．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）两数差是4，积为45，则这两个数为 ． 【答案】或 【分析】设较小的数为，则较大的数为，根据积为45，列方程即可解答． 【详解】解：设较小的数为，则较大的数为， 可得方程， 解得， 较大的数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 12．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）某食品生产厂加工的矿泉水10月份产量为60万瓶，由于反馈口碑较好．工厂决定从11月份起扩大产能，使得第四季度总产量达到198.6万瓶．设矿泉水产量的月平均增长率为，列出的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．根据题意可求出11月份产量为万瓶，从而求出12月份产量为万瓶．再根据第四季度总产量达到198.6万瓶即可列出方程． 【详解】解：∵矿泉水产量的月平均增长率为， ∴11月份产量为万瓶， ∴12月份产量为万瓶． ∵第四季度总产量达到198.6万瓶， ∴可列方程为． 故答案为：． 13．（20-21九年级上·江苏苏州·期中）某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设该店销售额平均每月的增长率为，根据该店7月份及9月份的销售额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设该店销售额平均每月的增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：． 14．（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有196个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍）， 即m的值为， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 解得：， ∴他去世时年龄为或， 又∵他去世时的年龄大于， ∴他去世时的年龄为 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，在一块等腰直角的空地上，斜边，垂足为，点在上，，等腰直角的面积为，图中阴影部分种植花草，剩余部分为道路，设，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，读懂题意列出方程是关键．由等腰三角形的性质及平行条件，得点D是的中点，则，从而可表示出、，由面积关系建立方程即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，点在上， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴． 故答案为：． 17．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是         图1                图2 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用， 设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：． 18．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮有 人被感染流感． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每轮传染中平均每人传染了人，，根据题意列出方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】设每轮传染中平均每人传染了人， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 则第三轮有（人） 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24九年级上·辽宁·期中）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 【答案】两位数为92或29 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据个位数字与十位数字的平方和为85，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设个位数字为 x，则十位数字为， ， 解得：， 当时，两位数为92， 当时，两位数为29． 答：两位数为92或29． 20．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． （请你解此方程） 【答案】每轮传染中平均一个人传染了人． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及解二元一次方程，设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意得列出方程，即可求解，理解题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意得： ， 整理得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 21．（22-23九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？ 【答案】这个花圃的长为10米，宽为8米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出结论． 【详解】解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，依题意，得： ，解得：． 当时，；当时，． ∵这堵墙的长度为12米， ∴不符合题意，舍去， 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． 22．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）小欣想要硬化自己家的院内的一块空地，经测量后设计了如右图的图纸（单位：厘米），阴影区域为宽度相等的一条“L”形的健身鹅卵石小路，空白部分为地砖铺设区域．要使地砖铺设区域的面积为14平方米，求地砖铺设区域的长和宽． 【答案】地砖铺设区域的长为4米，宽为米 【分析】本题考查了一元二次方程在图形方面的应用，根据题意正确列出方程是关键；设小路的宽为x米，则可分别表示出地砖铺设区域的长和宽，根据等量关系：地砖铺设区域的面积为14平方米，列出方程并解之即可．注意舍去不合题意的解． 【详解】解：设小路的宽为x米，则地砖铺设区域的长为米，宽为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴（米），（米）； 答：地砖铺设区域的长为4米，宽为米． 23．（23-24九年级上·广东湛江·阶段练习）有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患病． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人? (2)若不及时控制，按这样的传染速度，三轮传染后患病的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)三轮传染后患病的共有512人 【分析】本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，得． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）根据题意，得 (人) 答：三轮传染后患病的共有512人． 24．（24-25九年级上·全国·课后作业）某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年3年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同． (1)求该种植户每年投资的增长率； (2)按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少万元种植中药材． 【答案】(1) (2)67.5万元 【分析】主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中为共增长了几年，为第一年的原始数据，是增长率． （1）设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为．根据题意2017年种植投资为万元，2018年种植投资为万元．根据题意得方程求解； （2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额． 【详解】（1）解：设这两年该种植户每年投资的年平均增长率为，则2017年种植投资为万元，2018年种植投资为万元， 根题意得：， 解得：（舍去）或． 该种植户每年投资的增长率为； （2）解：2019年该种植户投资额为：（万元）． 答：预测2019年该种植户投资67.5万元种植中药材． 25．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）某景区八月份的游客人数为64万人，九、十月份的游客人数持续下降，十月份的人数为49万人． (1)该景区九、十月份游客人数的月平均下降率为______． (2)该景区内某商店销售一种纪念品，已知每件纪念品的成本是30元．如果每件的售价定为40元，那么日销售量将达到100件．在库存不足的情况下，店主想提价销售，若售价每提高5元，日销售量将减少10件，要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时尽可能让利于游客，那么每件纪念品的售价应定为多少元？（利润＝售价－成本） 【答案】(1) (2)每件纪念品的售价应定为50元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程增长率问题和一元二次方程营销问题解题的关键； （1）根据增长率问题列出方程，解方程即可得到答案； （2）根据营销问题列出方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：设该景区九、十月份游客人数的月平均下降率为x， 根据题意得：， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． （2）设每件纪念品的售价定为y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 由题意得， 整理得， 解得， 尽可能让利于游客， ． 答：每件纪念品的售价应定为50元． 26．（23-24九年级上·云南文山·期中）已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即， 解得：， ∵， ∴， 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化． 根据以上阅读材料，解决下列问题： (1)已知实数、满足，求的值； (2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数． 【答案】(1) (2)这四个正整数为，，， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程即可求解； （1）令，则原方程为：，结合可得答案； （2）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴化为：， 解得：或， ∵， ∴， ∴； （2）解：设最小的数为，则， ∴， 设，则， 解得：，， ∵是正整数， ∴， 解得：，(舍去)， ∴这四个正整数为，，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$