（新知衔接）专题03 两、三除以两位数（用“四舍五入”法试商）（新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练）2024-2025学年苏教版小学数学三升四年级暑假衔接讲义（学生版+教师版）

专题03 两、三除以两位数（用“四舍五入”法试商） （新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：两、三位数除以两位数的计算 5 考点二：除数是两位数的估算 7 考点三：多位数除以两位数的试商 7 考点四：两、三位数除以两位数的实际应用 8 考点五：除数是两位数的估算的应用 9 中档题真题训练 10 培优题真题训练 12 1.初步掌握把除数看作接近的整十数进行试商的方法。（重点） 2.会用“四舍五入”法试商。（难点） 3.经历三位数除以两位数试商的过程，初步掌握把除数看作接近的整十数进行试商的方法，并能正确计算不需调商的三位数除以两位数的笔算。 新课引入 说一说：除数是整十数的除法的计算方法是什么？ 除数是整十数的除法，先看被除数的前两位，前两位不够除，再看前三位。 想一想：如果除数不是整十数，该怎样计算？ 新课讲授 (教材P12 例3) 小云几天可以看完？ 96 ÷ 32 =_____（ ） 除数是32，不是整十数，怎么算呢？ 32接近30，把32看作30来试商。你能试着算一算吗？ 96 ÷ 32 =_3____（ 天 ） 答：小云3 天可以看完。 39接近几十？可以把39看作几十来试商？ 39接近40，可以把39当作40来试商。 回顾前面的学习过程，说说怎样计算除数是两位数的除法。 1.把除数看作和它接近的整十数试商。 2.先用被除数的前两位除以除数。 3.如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。 想一想，说一说：在刚才的计算过程中，有哪些注意事项？ 1.用“四舍”法估除数：除数个位上的数小于5时，把个位上的数舍去，把除数看作和它接 近的整十数。 2.用“五入”法估除数：除数个位上的数大于或等于5时，把个位上的数舍去，并向十位进1，把除数看作和它接近的整十数。 归纳总结：除数是两位数的除法的笔算 笔算除数是两位数的除法时，通常把除数看作和它接近的整十数来试商。 当除数个位上的数小于5时，用“四舍”法，把个位上的数舍去，把除数看作 和它接近的整十数来试商;当除数个位上的数大于或等于5时，用“五入”法， 把个位上的数舍去，并向十位进1，把除数看作和它接近的整十数来试商。 知识点01：用“四舍五入”法试商的概念 用“四舍五入”法试商是指在进行除数是两位数的除法时，为了简化计算和提高试商的准确性，将除数看作与它接近的整十数进行试商。这种方法基于四舍五入的原理，即当除数的个位数小于5时舍去，大于等于5时进位。 知识点02：试商步骤 观察除数 观察除数的个位数，判断是否需要四舍五入到最接近的整十数。 四舍五入 如果除数个位数小于5，则直接舍去，如43看作40； 如果除数个位数大于等于5，则向十位进位，如48看作50。 试商 用四舍五入后的整十数去除被除数，估算出商的大致范围。 尝试用一个整数去除，看是否能整除或接近整除，从而确定商的具体值。 验算 用试得的商乘以除数（四舍五入后的整十数），看结果是否接近或等于被除数。 如果差距较大，需要调整商的值，并重新验算。 知识点03：注意事项 试商偏大或偏小 当除数看大时（即四舍五入后变大），试得的商可能会偏小； 当除数看小时（即四舍五入后变小），试得的商可能会偏大。 因此，在试商后要进行验算，确保结果的准确性。 余数处理：在确定商后，要计算余数。余数必须小于除数（四舍五入前的原除数），这是除法运算的基本原则。 灵活运用 在实际计算中，要根据被除数和除数的具体情况灵活运用四舍五入法试商。有时为了简化计算或提高准确性，也可以将除数看作其他接近的整十数或几百几十数进行试商。 知识点04：实例说明 以362÷43为例： 观察除数43，个位数是3，小于5，所以四舍五入到40。 用40去除362，估算商的大致范围。可以发现9×40=360，接近362但小于362，所以商可能是9或10（需要进一步验算）。 尝试用9去除362，得到余数38（大于除数43，所以商偏小）；再用10去除362，得到余数12（小于除数43，所以商正确）。 因此，362÷43的商是10，余数是12。 易错知识点01：“四舍”法试商时的误区 错误理解“四舍”：当除数个位上的数小于5时，应将其舍去，但学生可能误解为直接忽略该位，导致试商时除数被错误地看作更小的整十数。 初商偏大：由于将除数看作更小的整十数进行试商，初商往往会偏大。例如，在362÷43中，若将43看作40试商，初商可能会偏大。 易错知识点02：“五入”法试商时的误区 错误理解“五入”：当除数个位上的数大于或等于5时，应将其舍去并向十位进1，但学生可能只进行舍去操作而忘记进位，导致试商时除数被错误地看作更小的整十数。 初商偏小：由于将除数看作比实际稍大的整十数进行试商，初商往往会偏小。例如，在362÷48中，若将48看作50试商，初商可能会偏小。 易错知识点03：试商后的调整不当 商过大或过小：试商后，如果商与除数的积大于被除数，说明商过大，需要调小；如果商与除数的积小于被除数但余数大于或等于除数，说明商过小，需要调大。学生在这一步骤中容易出错，导致最终计算结果不准确。 易错知识点04：计算过程中的粗心大意 余数处理不当：在计算过程中，必须确保每次的余数都比除数小。学生可能因为粗心大意而忽略这一点，导致计算结果出错。 连续退位减法出错：在笔算除法中，经常需要进行连续退位减法，这是学生容易出错的地方。如果减法计算不准确，将直接影响试商和最终的计算结果。 考点一：两、三位数除以两位数的计算 【典例精讲】（2024四上·义乌期末）列竖式计算（带★要验算）。 208×75= 345÷23= ★730÷85= 【变式训练01】（2024四上·天台期末）用竖式计算下面各题，带☆的要求验算。 402×15 240×75 324÷36 787÷26 ☆710÷15 【变式训练02】（2024四上·玉环期末）列竖式计算，带★的要验算。 504×26= 968÷32= 63×390= ★1510÷80= 【变式训练03】（2024四上·霍邱期末） 计算下面各题，能简算的要简算。 125×7×8 186÷[（160＋200）÷60] 101×68 99×87＋87 42＋84÷42＋84 1200÷25÷4 考点二：除数是两位数的估算 【典例精讲】（2024四上·巴东期末）直接写出得数。 420÷60＝ 25×20＝ 303×20＝ 300÷50＝ 56×120≈ 401÷40≈ 805×98≈ 999÷99≈ 【变式训练01】（2024四上·丹江口期末）列竖式计算，带★的要写出验算过程。 225×28＝ 506×35＝ 680×32＝ 728÷56＝ 8400÷400＝ ★982÷24＝ 【变式训练02】（2023四上·杭州）下面书本的单价在7元和8元之间的是（　　）。 A．410元50本 B．560元83本 C．230元30本 D．450元90本 【变式训练03】（2023四上·杭州）直接写出得数。 180×40= 70×250= 25×800= 350÷51≈ 130×30= 2400÷30= 400×26= 319÷41≈ 考点三：多位数除以两位数的试商 【典例精讲】（2024四上·天台期末）要使算式□52÷45的商是一位数，□里最大填　 　；要使商是两位数，□里最小填　 　。 【变式训练01】（2023四上·云县月考）每节车厢装60吨货物，480吨货物需要　 　节车厢；590吨货物需要　 　节车厢。 【变式训练02】（2024三下·威县月考）一个两位数乘31，结果在1500~2400之间，这个两位数最大是　 　，最小是　 　。 【变式训练03】（2023四上·丰城月考）计算582÷47时，可以把除数看作　 　来试商，商是　 　位数。 考点四：两、三位数除以两位数的实际应用 【典例精讲】（2024四上·富阳期末）同心公益周阿姨为表现优秀的学生送奖励，她打算用880元钱买图书（如图所示），她最多能买多少本书?还剩多少钱? 【变式训练01】（2024四上·金东期末）杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”。张老师准备购买一些亚运会吉祥物摆件作为同学们的奖品。 （1）吉祥物摆件每套有3个，每个68元。如果买6套这样的摆件，一共要花多少元? （2）张老师有1000元，最多可以买多少个这样的摆件? 【变式训练02】（2024四上·金东期末）在“我爱祖国”74周年庆活动中，四年级同学用195张照片布置展板，贴满每块展板需要15张照片，已经贴了30张，剩下的还可以贴满几块展板? 【变式训练03】（2024四上·奉化期末）螃蟹肉质鲜美、营养丰富，是很多人喜爱的一种食物。为了便于运输与加工，一般商家会用绳子将螃蟹捆扎起来，如果捆一只螃蟹要用65厘米的绳子，8米的绳子可以捆绑多少只螃蟹？ 考点五：除数是两位数的估算的应用 【典例精讲】（2024四上·河北期末）499名游客到故宫旅游，每52名游客配一名导游进行讲解，要使所有的游客都能听到讲解，至少需要几名导游？ 【变式训练01】（2023四上·丰台期末）商场一部货运电梯限重1000千克，王叔叔是一名货运员，自身体重70千克，要运送的货物每箱56千克，王叔叔最多一次可以同时带多少箱货物上电梯？ 【变式训练02】（2021四上·西安期末）杨老师带了360元钱，准备为班级图书角购置一批新书。 （1）如果购买《有趣的数学》，一共可以买几本？ （2）如果购买《奇妙的世界》，大约可以买几本? 【变式训练03】（2023四上·期末） 学校组织秋游，低年级去了202人，中年级去了371人，高年级去了298人。租用的大客车每辆限乘49人。计算一下，大约需要多少辆这样的大客车？ 中档题真题训练 1．（2024四上·义乌期末）下面的商比30大但比60小的是（　　）。 A．388÷16 B．607÷31 C．976÷13 D．724÷21 2．（2024四上·开江期末） 下列说法不正确的是（　　）。 A．三位数乘两位数，积不一定是四位数 B．563÷75的商是一位数 C．在计算140÷35时，可以采用140÷7×5的方法简便计算 3．（2023四上·云县月考）学校共有612名学生，每18人组成一个环保小组。计算可以组成多少个环保小组时，下面竖式中箭头所指的这一步表示（　　）。 A．3个环保小组的人数 B．4个环保小组的人数 C．30个环保小组的人数 D．34个环保小组的人数 4．（2024四上·长兴期末）横线上最大能填几? 58×　 　<292 42　 　278≈42万 5　 　6÷29(商的个位有0) 5．（2024四上·黄岩期末）工程队修一条长1200米的公路，已经修了580米，剩下的20天完成，平均每天要修　 　米。 6．（2024四上·温岭期末）横线上最大能填几? 甲数乙数……　 　 　 　21÷48，商是一位数 640>　 　×65 7．（2024四上·开江期末） 列竖式计算。 253×23＝ 370×95＝ 957÷87＝ 612÷34＝ 405×36＝ 830×45＝ 8．（2024四上·柯城期末）妙想为了参加演讲比赛，她准备了一篇大约800个字的演讲稿，演讲时间为4分。 （1）如果妙想平均每分打50个字，她打完这篇讲稿需要多长时间? （2）如果妙想要做一个时间为10分钟的演讲，需要准备多少个字的演讲稿? 9．（2024四上·天台期末）李叔叔想去观看杭州亚运会的比赛，约了一些好友坐动车去杭州。 （1）李叔叔与好友一共12人买火车票需要多少钱? （2）本列动车从成都东站出发，到达杭州东站的时间是18：06，中途经过19个停靠站，大约一共停留1小时，全程1925千米。火车行驶的平均速度是多少千米/时?（计算行驶的平均速度时记得去掉停留时间哦） 10． （2024四上·温岭期末）头盔专营店一个头盔价格是80元，现在搞促销活动买三送一。阳光小学设置“共享头盔站”需要购买头盔，李老师带了1200元，最多可以买几个头盔? 培优题真题训练 11．（2023四上·瑞安期末）观察下图的计算过程，这道除法竖式中的除数是（　　）。 A．30 B．34 C．38 D．40 12．（2020四上·兴化月考）计算哪道除法算式时，初商过大要调小？（　　） A．464÷58 B．289÷32 C．334÷44 13．图书室李老师要为25个班每班购买一套142元的文学经典图书。李老师带3500元钱够吗？同学们用不同的方法解决这个问题。其中正确的是（　　）。 A． B．3500÷25 =（3500×4）÷（25×4） =14000÷100 =140（元） 140<142 答：李老师带的钱不够。 C．142×5=710（元） 710×20=14200（元） 14200>3500 答：李老师带的钱不够。 14．（2023四上·东昌府期末）要在750m长的道路两旁栽树，每隔15m栽一棵，两端都栽，共需要　 　棵树。 15．（2022四上·京口期中）小红在计算除法时，把除数72误写成27，结果得到商26还余18.正确的结果是　 　。 16．（2022四上·徐州月考）计算726÷58时，应把58看作　 　来试商。在用“五入”法试商时，由于把　 　看大了，初商就可能偏　 　。 17．利用商不变的规律进行简便计算。 （1）900÷25 （2）7000÷125 18．（2024四上·霍邱期末） 新华书店最近进了一批儿童畅销书。如表是世界读书日（4月23日）这天儿童读物的销售情况。 书目 单价/元 营业额/元 《童话教育》 13 312 《爱的教育》 18 342 《稻草人》 27 513 （1）这一天中哪一种书更畅销？ （2）张老师有600元，她想购买《爱的教育》，最多可以买多少本？ 19． （2024四上·霍邱期末） 五年级362名同学乘车参加研学活动，每车限乘48名同学，请问，他们至少需要几辆这样的车？ 20．（2024四上·龙湾期末）搭上网络快车，助力农村振兴。某平台直播间推出“助农卖大米”促销活动。促销方式如下，王阿姨准备花275元买大米，最多可以买多少包这样的大米？ 购散装1包，每包8元 购2包装的一袋，每袋15元 购6包装的1箱，每箱36元 20． （2024四上·柯桥）甲乙两个盒子里分别放了640个乒乓球和160个乒乓球。如果每次从甲盒里取出12个乒乓球，那么需要拿多少次后两个盒子里的球就一样多了？ 22．（2023四上·期末） （1）乐乐的爷爷从家骑车带乐乐去森林公园，需要18分钟，他先骑了6分钟。请用“△”标出乐乐和爷爷的大概位置. （2）如果乐乐的爸爸以90米/分的速度，步行去公园，他想在10时55分准时到达，应该什么时候从家岀发？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 两、三除以两位数（用“四舍五入”法试商） （新知讲练+高频易错点+五大考点讲练+难度分层练） 编者的话： 同学你好，这份讲义包含： ①新课讲授知识精讲：从复习到预习，典例精讲，理解知识点运用方法，逐步掌握新课内容！结合变式训练提升知识点应用能力，自学效果也很好！ ②高频易错点拨精讲：对常考题型易错点内容指点，强化学生对知识点的理解和运用，查漏补缺，给出解决方案，提高学生的解题谨慎度、细心度！ ③考点精讲练：对本节内容进行细致划分，逐个学习新知，学生理解更透彻，结合变式演练，举一反三训练，掌握知识点的运用技巧！ ④【基础夯实+冲刺拔高】真题练：结合近两年常考真题，易错题，经典题型等进一步巩固所学内容，提升解题能力，熟悉考点考察题型，达到事半功倍！ 考点一：两、三位数除以两位数的计算 5 考点二：除数是两位数的估算 10 考点三：多位数除以两位数的试商 13 考点四：两、三位数除以两位数的实际应用 14 考点五：除数是两位数的估算的应用 15 中档题真题训练 17 培优题真题训练 22 1.初步掌握把除数看作接近的整十数进行试商的方法。（重点） 2.会用“四舍五入”法试商。（难点） 3.经历三位数除以两位数试商的过程，初步掌握把除数看作接近的整十数进行试商的方法，并能正确计算不需调商的三位数除以两位数的笔算。 新课引入 说一说：除数是整十数的除法的计算方法是什么？ 除数是整十数的除法，先看被除数的前两位，前两位不够除，再看前三位。 想一想：如果除数不是整十数，该怎样计算？ 新课讲授 (教材P12 例3) 小云几天可以看完？ 96 ÷ 32 =_____（ ） 除数是32，不是整十数，怎么算呢？ 32接近30，把32看作30来试商。你能试着算一算吗？ 96 ÷ 32 =_3____（ 天 ） 答：小云3 天可以看完。 39接近几十？可以把39看作几十来试商？ 39接近40，可以把39当作40来试商。 回顾前面的学习过程，说说怎样计算除数是两位数的除法。 1.把除数看作和它接近的整十数试商。 2.先用被除数的前两位除以除数。 3.如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。 想一想，说一说：在刚才的计算过程中，有哪些注意事项？ 1.用“四舍”法估除数：除数个位上的数小于5时，把个位上的数舍去，把除数看作和它接 近的整十数。 2.用“五入”法估除数：除数个位上的数大于或等于5时，把个位上的数舍去，并向十位进1，把除数看作和它接近的整十数。 归纳总结：除数是两位数的除法的笔算 笔算除数是两位数的除法时，通常把除数看作和它接近的整十数来试商。 当除数个位上的数小于5时，用“四舍”法，把个位上的数舍去，把除数看作 和它接近的整十数来试商;当除数个位上的数大于或等于5时，用“五入”法， 把个位上的数舍去，并向十位进1，把除数看作和它接近的整十数来试商。 知识点01：用“四舍五入”法试商的概念 用“四舍五入”法试商是指在进行除数是两位数的除法时，为了简化计算和提高试商的准确性，将除数看作与它接近的整十数进行试商。这种方法基于四舍五入的原理，即当除数的个位数小于5时舍去，大于等于5时进位。 知识点02：试商步骤 观察除数 观察除数的个位数，判断是否需要四舍五入到最接近的整十数。 四舍五入 如果除数个位数小于5，则直接舍去，如43看作40； 如果除数个位数大于等于5，则向十位进位，如48看作50。 试商 用四舍五入后的整十数去除被除数，估算出商的大致范围。 尝试用一个整数去除，看是否能整除或接近整除，从而确定商的具体值。 验算 用试得的商乘以除数（四舍五入后的整十数），看结果是否接近或等于被除数。 如果差距较大，需要调整商的值，并重新验算。 知识点03：注意事项 试商偏大或偏小 当除数看大时（即四舍五入后变大），试得的商可能会偏小； 当除数看小时（即四舍五入后变小），试得的商可能会偏大。 因此，在试商后要进行验算，确保结果的准确性。 余数处理：在确定商后，要计算余数。余数必须小于除数（四舍五入前的原除数），这是除法运算的基本原则。 灵活运用 在实际计算中，要根据被除数和除数的具体情况灵活运用四舍五入法试商。有时为了简化计算或提高准确性，也可以将除数看作其他接近的整十数或几百几十数进行试商。 知识点04：实例说明 以362÷43为例： 观察除数43，个位数是3，小于5，所以四舍五入到40。 用40去除362，估算商的大致范围。可以发现9×40=360，接近362但小于362，所以商可能是9或10（需要进一步验算）。 尝试用9去除362，得到余数38（大于除数43，所以商偏小）；再用10去除362，得到余数12（小于除数43，所以商正确）。 因此，362÷43的商是10，余数是12。 易错知识点01：“四舍”法试商时的误区 错误理解“四舍”：当除数个位上的数小于5时，应将其舍去，但学生可能误解为直接忽略该位，导致试商时除数被错误地看作更小的整十数。 初商偏大：由于将除数看作更小的整十数进行试商，初商往往会偏大。例如，在362÷43中，若将43看作40试商，初商可能会偏大。 易错知识点02：“五入”法试商时的误区 错误理解“五入”：当除数个位上的数大于或等于5时，应将其舍去并向十位进1，但学生可能只进行舍去操作而忘记进位，导致试商时除数被错误地看作更小的整十数。 初商偏小：由于将除数看作比实际稍大的整十数进行试商，初商往往会偏小。例如，在362÷48中，若将48看作50试商，初商可能会偏小。 易错知识点03：试商后的调整不当 商过大或过小：试商后，如果商与除数的积大于被除数，说明商过大，需要调小；如果商与除数的积小于被除数但余数大于或等于除数，说明商过小，需要调大。学生在这一步骤中容易出错，导致最终计算结果不准确。 易错知识点04：计算过程中的粗心大意 余数处理不当：在计算过程中，必须确保每次的余数都比除数小。学生可能因为粗心大意而忽略这一点，导致计算结果出错。 连续退位减法出错：在笔算除法中，经常需要进行连续退位减法，这是学生容易出错的地方。如果减法计算不准确，将直接影响试商和最终的计算结果。 考点一：两、三位数除以两位数的计算 【典例精讲】（2024四上·义乌期末）列竖式计算（带★要验算）。 208×75= 345÷23= ★730÷85= 【答案】解：208×75=15600 345÷23=15 730÷85=8……50 验算： 【思路点拨】三位数乘两位数，相同数位对齐，从个位乘起，用两位数的每一位数分别与三位数相乘，然后把两次乘得的积相加。除数是两位数，用两位数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，就试除前三位数，除到哪一位就把商写在那一位上面，每次除后余数要比除数小。 【变式训练01】（2024四上·天台期末）用竖式计算下面各题，带☆的要求验算。 402×15 240×75 324÷36 787÷26 ☆710÷15 【答案】解：402×15=6030 240×75=18000 324÷36=9 787÷26=30……7 ☆710÷15=47……5 验算： 【思路点拨】三位数乘两位数，相同数位对齐，从个位乘起，用两位数的每一位数分别与三位数相乘，然后把两次乘得的积相加。除数是两位数，用两位数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，就试除前三位数，除到哪一位就把商写在那一位上面，每次除后余数要比除数小。 【变式训练02】（2024四上·玉环期末）列竖式计算，带★的要验算。 504×26= 968÷32= 63×390= ★1510÷80= 【答案】解：504×26=13104 968÷32=30……8 63×390=24570 ★1510÷80=18……70 验算： 【思路点拨】三位数乘两位数，用两位数个位上的数与三位数相乘，乘得的结果末尾与个位对齐，再用两位数十位上的数与三位数相乘，乘得的结果末尾与十位对齐，然后把两次乘得的结果相加； 整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在那一位的上面，如果哪一位上不够商1，要补“0”占位，每次除得的余数要小于除数； 因数末尾有0的乘法，计算时，先把0前面的数相乘，再看两个因数的末尾一共有几个0，就在积的末尾添几个0； 验算有余数的除法时，用商乘除数加余数，看结果是否等于被除数，如果等于被除数，计算正确，否则，计算错误。 【变式训练03】（2024四上·霍邱期末） 计算下面各题，能简算的要简算。 125×7×8 186÷[（160＋200）÷60] 101×68 99×87＋87 42＋84÷42＋84 1200÷25÷4 【答案】解：125×7×8 ＝125×8×7 ＝1000×7 ＝7000 186÷[（160＋200）÷60] ＝186÷[360÷60] ＝186÷6 ＝31 101×68 ＝（100＋1）×68 ＝100×68＋68 ＝6800＋68 ＝6868 99×87＋87 ＝（99＋1）×87 ＝100×87 ＝8700 42＋84÷42＋84 ＝42＋2＋84 ＝44＋84 ＝128 1200÷25÷4 ＝1200÷（25×4） ＝1200÷100 ＝12 【思路点拨】第一题：先运用乘法交换律交换后两个数的位置，再按照从左到右的顺序进行计算； 第二题：运算顺序：先算乘除，再算加减，如果有括号，就先算括号里面的。如果有小括号和中括号，由内到外，先算小括号里面的，再算中括号里面的； 第三题：一个数乘两个数的和，等于这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，结果不变。据此简算； 第四题：一个相同的数分别同两个不同的数相乘，积相加，等于这个相同的数乘另外两个不同数的和，据此简算； 第五题：运算顺序：先算乘除，再算加减，同级运算，按从左到右的顺序计算； 第六题：连续除以两个数，等于除以这两个数的积，据此进行简算。 考点二：除数是两位数的估算 【典例精讲】（2024四上·巴东期末）直接写出得数。 420÷60＝ 25×20＝ 303×20＝ 300÷50＝ 56×120≈ 401÷40≈ 805×98≈ 999÷99≈ 【答案】 420÷60＝7 25×20＝500 303×20＝6060 300÷50＝6 56×120≈6000 401÷40≈10 805×98≈80000 999÷99≈10 【思路点拨】整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添写几个0； 整数末尾有0的除法：根据实际情况，可以先化简，把被除数和除数同时缩小10倍、100倍、1000倍，......，把除数化为末尾没有0的整数，然后再把剩下的数相除； 估算三位数乘两位数时，一般把三位数看做整百数，两位数看做整十数，然后再计算； 估算三位数除以两位数时，一般把被除数看做整百数或整百整十数，除数看做整十数，最好他们是倍数关系，然后再计算。 【变式训练01】（2024四上·丹江口期末）列竖式计算，带★的要写出验算过程。 225×28＝ 506×35＝ 680×32＝ 728÷56＝ 8400÷400＝ ★982÷24＝ 【答案】解：225×28＝6300 506×35＝17710 680×32＝21760 728÷56＝13 8400÷400＝21 982÷24＝40......22 验算： 【思路点拨】整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添写几个0； 三位数乘两位数：从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐，然后把几次乘得的数加起来； 整数末尾有0的除法：根据实际情况，可以先化简，把被除数和除数同时缩小10倍、100倍、1000倍，......，把除数化为末尾没有0的整数，然后再把剩下的数相除； 除数是两位数的除法：从被除数的高位除起，先看被除数的前两位，如果不够除，就多看一位；除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，如果不够除，就在这一位上商0；每次除得的余数必须比除数小，并在余数右边一位落下被除数在这一位上的数，再继续除。 【变式训练02】（2023四上·杭州）下面书本的单价在7元和8元之间的是（　　）。 A．410元50本 B．560元83本 C．230元30本 D．450元90本 【答案】C 【规范解答】解：选项A，8<410÷50<9； 选项B，6<560÷83<7； 选项C，7<230÷30<8； 选项D，450÷90=5（元）。 故答案为：C。 【思路点拨】根据总价÷数量=单价即可判断各选项的书本单价在哪两个整数之间。 【变式训练03】（2023四上·杭州）直接写出得数。 180×40= 70×250= 25×800= 350÷51≈ 130×30= 2400÷30= 400×26= 319÷41≈ 【答案】 180×40=7200 70×250=17500 25×800=20000 350÷51≈7 130×30=3900 2400÷30=80 400×26=10400 319÷41≈8 【思路点拨】整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的积的末尾添写几个0； 整数末尾有0的除法：根据实际情况，可以先化简，把被除数和除数同时缩小10倍、100倍、1000倍，......，把除数化为末尾没有0的整数，然后再把剩下的数相除； 估算三位数除以两位数时，一般把被除数看做整百数或整百整十数，除数看做整十数，最好他们是倍数关系，然后再计算。 考点三：多位数除以两位数的试商 【典例精讲】（2024四上·天台期末）要使算式□52÷45的商是一位数，□里最大填　 　；要使商是两位数，□里最小填　 　。 【答案】3；4 【规范解答】解：要使算式□52÷45的商是一位数，被除数的前两位数小于除数，□里最大填3；要使商是两位数，被除数的前两位数大于等于除数，□里最小填4。 故答案为：3；4。 【思路点拨】三位数除以两位数，被除数的前两位数大于等于除数，商就是两位数；被除数的前两位数小于除数，商就是一位数。 【变式训练01】（2023四上·云县月考）每节车厢装60吨货物，480吨货物需要　 　节车厢；590吨货物需要　 　节车厢。 【答案】8；10 【规范解答】解：480÷60=8（节） 590÷60=9（节）……50（吨），9+1=10（节） 故答案为：8；10。 【思路点拨】480吨货物需要车厢的节数=480÷每节车厢装货物的吨数， 590吨货物需要车厢的节数=590÷每节车厢装货物的吨数，因为有余数，所以需要的节数就是将计算得出的商加1即可。 【变式训练02】（2024三下·威县月考）一个两位数乘31，结果在1500~2400之间，这个两位数最大是　 　，最小是　 　。 【答案】77；49 【规范解答】解：2400÷31≈77 1500÷31≈49。 故答案为：77；49。 【思路点拨】要使这个两位数最大，则这个数=最大的积2400÷一个因数；要使这个两位数最小，则这个数=最大小积1500÷一个因数。 【变式训练03】（2023四上·丰城月考）计算582÷47时，可以把除数看作　 　来试商，商是　 　位数。 【答案】50；两 【规范解答】解：计算582÷47时，可以把除数看作50来试商，商是两位数。 故答案为：50；两。 【思路点拨】三位数除以两位数，如果被除数的前两位大于或等于除数，那么商是两位数。 考点四：两、三位数除以两位数的实际应用 【典例精讲】（2024四上·富阳期末）同心公益周阿姨为表现优秀的学生送奖励，她打算用880元钱买图书（如图所示），她最多能买多少本书?还剩多少钱? 【答案】解：880÷69=12（本）……52（元） 52÷39=1（本）……13（元） 12×2＋1 =24+1 =25（本） 答：她最多能买25本书，还剩13元。 【思路点拨】通过比较发现2本一起买比一本一本的买要便宜，也就是能买的本数多，所以先全部买2本一起买的，钱数÷每2本的价钱=套数……剩下的钱，剩下的钱÷一本的价钱=本数……最后剩下的钱，套数×2＋本数=最多能买的本数。 【变式训练01】（2024四上·金东期末）杭州亚运会吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人，三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”。张老师准备购买一些亚运会吉祥物摆件作为同学们的奖品。 （1）吉祥物摆件每套有3个，每个68元。如果买6套这样的摆件，一共要花多少元? （2）张老师有1000元，最多可以买多少个这样的摆件? 【答案】（1）解：68×3×6 =204×6 =1224(元) 答：一共要花1224元。 （2）解：1000÷68=14(个)……48(元) 答：最多可以买14个这样的摆件。 【思路点拨】(1)根据单价×数量=总价进行解答；(2)根据总价÷单价=数量进行解答。 【变式训练02】（2024四上·金东期末）在“我爱祖国”74周年庆活动中，四年级同学用195张照片布置展板，贴满每块展板需要15张照片，已经贴了30张，剩下的还可以贴满几块展板? 【答案】解：(195-30)÷15 =165÷15 =11(块) 答：剩下的还可以贴满11块展板。 【思路点拨】用剩下的照片数量除以每块展板需要的照片数量即可解答。 【变式训练03】（2024四上·奉化期末）螃蟹肉质鲜美、营养丰富，是很多人喜爱的一种食物。为了便于运输与加工，一般商家会用绳子将螃蟹捆扎起来，如果捆一只螃蟹要用65厘米的绳子，8米的绳子可以捆绑多少只螃蟹？ 【答案】解：8米＝800厘米 800÷65＝12（只）……20（厘米） 答：8米的绳子可以捆绑12只螃蟹。 【思路点拨】先单位换算8米＝800厘米，8米的绳子可以捆绑螃蟹的只数=绳子的总长度÷平均捆绑每只螃蟹需要绳子的长度。 考点五：除数是两位数的估算的应用 【典例精讲】（2024四上·河北期末）499名游客到故宫旅游，每52名游客配一名导游进行讲解，要使所有的游客都能听到讲解，至少需要几名导游？ 【答案】解：499÷52≈10（名） 答：至少需要10名导游。 【思路点拨】游客人数÷一名导游服务的人数，商采取进一法得到的整数就是至少需要的导游人数。 【变式训练01】（2023四上·丰台期末）商场一部货运电梯限重1000千克，王叔叔是一名货运员，自身体重70千克，要运送的货物每箱56千克，王叔叔最多一次可以同时带多少箱货物上电梯？ 【答案】解：（1000-70）÷56 =930÷56 ≈16（箱） 答：王叔叔最多一次可以同时带16箱货物上电梯。 【思路点拨】王叔叔最多一次可以同时上电梯的货物箱数=（商场一部货运电梯的限重-王叔叔自身的体重 ）÷平均每箱货物的质量。 【变式训练02】（2021四上·西安期末）杨老师带了360元钱，准备为班级图书角购置一批新书。 （1）如果购买《有趣的数学》，一共可以买几本？ （2）如果购买《奇妙的世界》，大约可以买几本? 【答案】（1）解：360÷40=9（本） 答：一共可以买9本。 （2）解：360÷88≈360÷90=4（本） 答：大约可以买4本。 【思路点拨】（1）总钱数÷每本《有趣的数学》的价钱=可以买的本数； （2）总钱数÷每本《奇妙的世界》的价钱=可以买的本数，估算时，把88看做90进行估算。 【变式训练03】（2023四上·期末） 学校组织秋游，低年级去了202人，中年级去了371人，高年级去了298人。租用的大客车每辆限乘49人。计算一下，大约需要多少辆这样的大客车？ 【答案】解：（202+371+298）÷49 =871÷49 ≈18（辆） 答：大约需要18辆这样的大客车。 【思路点拨】低年级人数+中年级人数+高年级人数=总人数，总人数÷大客车每辆限乘人数，商采取进一法得到的整数就是至少需要大客车的辆数。 中档题真题训练 1．（2024四上·义乌期末）下面的商比30大但比60小的是（　　）。 A．388÷16 B．607÷31 C．976÷13 D．724÷21 【答案】D 【规范解答】解：A：388÷16=24……4； B：607÷31=19……18； C：976÷13=75……1； D：724÷21=34……10。 故答案为：D。 【思路点拨】除数是两位数，用两位数试除被除数的前两位数，如果它比除数小，就试除前三位数，除到哪一位就把商写在那一位上面，每次除后余数要比除数小。计算后再判断商大于30但比60小的算式。 2．（2024四上·开江期末） 下列说法不正确的是（　　）。 A．三位数乘两位数，积不一定是四位数 B．563÷75的商是一位数 C．在计算140÷35时，可以采用140÷7×5的方法简便计算 【答案】C 【规范解答】解：选项A：如：100×10=1000，积是四位数，999×99=98901，积是五位数，原题干说法正确； 选项B：56＜75，商是一位数，原题干说法正确； 选项C：140÷35=140÷7÷5，这样计算比较简便，原题干说法错误。 故答案为：C。 【思路点拨】A项：三位数乘两位数，积可能是四位数，也可能是五位数； B项：三位数除以两位数，如果被除数前两位上的数字大于或等于除数，商是两位数；如果被除数前两位上的数字小于除数，商是一位数； C项：一个数连续除以两个数，等于这个数除以后面两个数积。 3．（2023四上·云县月考）学校共有612名学生，每18人组成一个环保小组。计算可以组成多少个环保小组时，下面竖式中箭头所指的这一步表示（　　）。 A．3个环保小组的人数 B．4个环保小组的人数 C．30个环保小组的人数 D．34个环保小组的人数 【答案】B 【规范解答】解：竖式中箭头所指的这一步表示4个环保小组的人数。 故答案为：B。 【思路点拨】竖式中箭头所指的这一步是商4后得到的数，所以表示4个环保小组的人数。 4．（2024四上·长兴期末）横线上最大能填几? 58×　 　<292 42　 　278≈42万 5　 　6÷29(商的个位有0) 【答案】5；4；9 【规范解答】解：292÷58=5……2，58×__＜292，横线上最大能填5； 42万=420000，所以42__278≈42万，横线上最大能填4； 5__6÷29，要使商的个位有0，被除数的前两位除以除数得到的余数小于3，所以商的十位一定是2，20×29=580，所以横线上能填的数大于等于8，横线上最大能填9。 故答案为：5；4；9。 【思路点拨】第一问，用小于号后面的数除以乘号前面的数，得到的商就是横线上最大能填的数；第二问，42万=420000，省略万后面的尾数，要看千位上的数“四舍五入”；第三问，三位数除以两位数，商的个位上是0，即被除数的前两位除以除数得到的余数小于3，据此解答。 5．（2024四上·黄岩期末）工程队修一条长1200米的公路，已经修了580米，剩下的20天完成，平均每天要修　 　米。 【答案】31 【规范解答】解：（1200-580）÷20 =620÷20 =31（米） 故答案为：31。 【思路点拨】剩下的长度=这条公路的长度-已经修的长度，那么剩下的平均每天修的长度=剩下的长度÷剩下的完成需要的天数，据此作答即可。 6．（2024四上·温岭期末）横线上最大能填几? 甲数乙数……　 　 　 　21÷48，商是一位数 640>　 　×65 【答案】28；4；9 【规范解答】解： 甲数乙数…… 28 421÷48，商是一位数 640>9×65 故答案为：28；4；9。 【思路点拨】根据在有余数的除法中，余数一定小于除数，除数最小为：余数+1，余数最大为：除数-1； 三位数除以两位数，被除数前两位的数字和除数比较大小，被除数前两位的数字比除数大或相等，商就是2位数；被除数前两位的数字比除数小，商就是1位数； 把比较的数看作积，积除以一个乘数，商是几，括号里最大就能填几。 7．（2024四上·开江期末） 列竖式计算。 253×23＝ 370×95＝ 957÷87＝ 612÷34＝ 405×36＝ 830×45＝ 【答案】解：253×23＝5819 370×95＝35150 957÷87＝11 612÷34＝18 405×36＝14580 830×45＝37350 【思路点拨】计算三位数乘两位数，先用两位数的个位乘三位数的每一位，所得结果的末尾与因数的个位对齐，然后用两位数的十位乘三位数的每一位，所得结果的末尾与因数的十位对齐，最后把两次计算的结果加起来即可； 计算除数是两位数的除法，先看被除数的前两位，被除数的前两位不够除的，再看被除数的前三位，除到哪一位，就把商写在那一位上，每次除得的余数要比除数小。 8．（2024四上·柯城期末）妙想为了参加演讲比赛，她准备了一篇大约800个字的演讲稿，演讲时间为4分。 （1）如果妙想平均每分打50个字，她打完这篇讲稿需要多长时间? （2）如果妙想要做一个时间为10分钟的演讲，需要准备多少个字的演讲稿? 【答案】（1）解：800÷50=16（分钟） 答： 如果妙想平均每分打50个字， 她打完这篇讲稿需要 16分钟。 （2）解：800÷4×10 =200×10 =2000（字） 答： 如果妙想要做一个时间为10分钟的演讲，需要准备 2000 个字的演讲稿 。 【思路点拨】（1）用演讲稿的字数除以平均每分钟打字个数，即可求出打完 演讲稿的时间； （2）先用800除以4求出每分钟演讲的字数，再乘10，即可求出10分钟演讲需要的字数。 9．（2024四上·天台期末）李叔叔想去观看杭州亚运会的比赛，约了一些好友坐动车去杭州。 （1）李叔叔与好友一共12人买火车票需要多少钱? （2）本列动车从成都东站出发，到达杭州东站的时间是18：06，中途经过19个停靠站，大约一共停留1小时，全程1925千米。火车行驶的平均速度是多少千米/时?（计算行驶的平均速度时记得去掉停留时间哦） 【答案】（1）解：921×12=11052（元） 答：买火车票需要11052元。 （2）解：18时6分-6时6分=12小时 12-1=11（小时） 1925÷11=175（千米/时） 答：火车行驶的平均速度是175千米/时。 【思路点拨】（1）用车票的单价乘总人数即可求出一共需要的钱数； （2）先计算出从6：06到18：06经过的小时数，然后减去停留的时间求出火车行驶的时间，用两地的距离除以时间即可求出火车的平均速度。 10．（2024四上·温岭期末）头盔专营店一个头盔价格是80元，现在搞促销活动买三送一。阳光小学设置“共享头盔站”需要购买头盔，李老师带了1200元，最多可以买几个头盔? 【答案】解：1200÷80=15（个） 15÷3=5（个） 15+5=20（个） 答： 最多可以买20个头盔 。 【思路点拨】根据题意，李老师带了1200元，一个头盔价格是80元，先用除法计算出1200元可以买多少个头盔，现在促销买三送一，再用1除以3，即可得到送的头盔个数，最后再用加法即可求出一共可以买几个头盔，据此解答。 培优题真题训练 11．（2023四上·瑞安期末）观察下图的计算过程，这道除法竖式中的除数是（　　）。 A．30 B．34 C．38 D．40 【答案】B 【规范解答】解：这道除法竖式中的除数是34。 故答案为：B。 【思路点拨】当第一个竖式的余数是38时，商5小了，说明除数比38小，第二个竖式的余数是4，说明除数不会是30，则这道除法竖式中的除数是34。 12．（2020四上·兴化月考）计算哪道除法算式时，初商过大要调小？（　　） A．464÷58 B．289÷32 C．334÷44 【答案】C 【规范解答】解：A项：464÷58，除数58看作60来试商，初商过小要调大； B项：289÷32 ，除数32看作30来试商，刚好合适； C项：334÷44，除数44看作40来试商，初商过大要调小。 故答案为：C。 【思路点拨】 整数除法试商方法：如果把除数看小了来试商，初商就可能会偏大；如果把除数看大了来试商，初商就可能会偏小。 13．图书室李老师要为25个班每班购买一套142元的文学经典图书。李老师带3500元钱够吗？同学们用不同的方法解决这个问题。其中正确的是（　　）。 A． B．3500÷25 =（3500×4）÷（25×4） =14000÷100 =140（元） 140<142 答：李老师带的钱不够。 C．142×5=710（元） 710×20=14200（元） 14200>3500 答：李老师带的钱不够。 【答案】B 【规范解答】解：选项A，将除数142看作140进行计算，除数变小了，则商就偏大，所以错误； 选项B，3500÷25表示李老师用3500元可以给每班买多少钱一套的书，即得出140元，140元＜142元，所以李老师带的钱不够，所以正确； 选项C，142×5=710（元），142×20=2840（元），710+2840=3550（元），因为3550＞3500，所以李老师带的钱数不够，即错误。 故答案为：B。 【思路点拨】选项A，在计算的过程中除数变小了，所以商就稍大，据此判断； 选项B，用李老师带的总钱数÷班级数，即可得出李老师用3500元可以给每班买多少钱一套的书，计算结果再与140元进行比较即可； 选项C，先分别计算出5个班级和20个班级买文学经典图书所用的钱数，再将5个班和20个班花费的钱数相加，将计算结果与3500进行比较即可得出答案。 14．（2023四上·东昌府期末）要在750m长的道路两旁栽树，每隔15m栽一棵，两端都栽，共需要　 　棵树。 【答案】102 【规范解答】解：750÷15+1=51（棵），51×2=102（棵），所以共需要102棵树。 故答案为：102。 【思路点拨】因为两端都栽，那么道路一旁可以栽树的棵数=道路的长度÷相邻两棵树之间的距离+1，所以共需要树的棵数=道路一旁可以栽树的棵数×2。 15．（2022四上·京口期中）小红在计算除法时，把除数72误写成27，结果得到商26还余18.正确的结果是　 　。 【答案】10 【规范解答】解：27×26＋18 =702＋18 =720 720÷72=10。 故答案为：10。 【思路点拨】正确的结果=被除数÷正确的除数；其中，被除数=错误的除数×商＋余数。 16．（2022四上·徐州月考）计算726÷58时，应把58看作　 　来试商。在用“五入”法试商时，由于把　 　看大了，初商就可能偏　 　。 【答案】60；除数；小 【规范解答】 计算726÷58时，应把58看作60来试商。在用“五入”法试商时，由于把除数看大了，初商就可能偏小。 故答案为：60；除数；小。 【思路点拨】三位数除以两位数，试商时可以把除数估成接近的整十数，除数估成较大的整十数，商可能会偏小，除数估成较小的整十数，商可能偏大。 17．利用商不变的规律进行简便计算。 （1）900÷25 （2）7000÷125 【答案】（1）900÷25 =（900×4）÷（25×4） =3600÷100 =36 （2）7000÷125 =（7000×8）÷（125×8） =56000÷1000 =56 【思路点拨】（1）除数是25，可以把被除数和除数同时乘4，这样除数就变成了100，计算简便； （2）除数是125，可以把被除数和除数同时乘8，这样除数就变成了1000，计算简便。 18．（2024四上·霍邱期末） 新华书店最近进了一批儿童畅销书。如表是世界读书日（4月23日）这天儿童读物的销售情况。 书目 单价/元 营业额/元 《童话教育》 13 312 《爱的教育》 18 342 《稻草人》 27 513 （1）这一天中哪一种书更畅销？ （2）张老师有600元，她想购买《爱的教育》，最多可以买多少本？ 【答案】（1）解：312÷13＝24（本） 342÷18＝19（本） 513÷27＝19（本） 24＞19 答：《童话教育》最畅销。 （2）解：600÷18≈33（本） 答：最多可以买33本。 【思路点拨】（1）营业额÷书的单价=卖的本数，据此求出三种书各卖了多少本，卖的多的说明畅销； （2）总钱数÷《爱的教育》的单价，商的整数部分就是最多可以买的本数。 19．（2024四上·霍邱期末） 五年级362名同学乘车参加研学活动，每车限乘48名同学，请问，他们至少需要几辆这样的车？ 【答案】解：362÷48＝7（辆）……26（人） 7＋1＝8（辆） 答：他们至少需要8辆这样的车。 【思路点拨】总人数÷每车限乘的人数=坐满的车的辆数......余下的人数，坐满的车的辆数+1=至少需要的辆数。 20．（2024四上·龙湾期末）搭上网络快车，助力农村振兴。某平台直播间推出“助农卖大米”促销活动。促销方式如下，王阿姨准备花275元买大米，最多可以买多少包这样的大米？ 购散装1包，每包8元 购2包装的一袋，每袋15元 购6包装的1箱，每箱36元 【答案】解：275÷36＝7（箱）......23（元） 23÷15＝1（袋）......8（元） 8÷8＝1（包） 6×7+2×1+1 ＝42+2+1 ＝44+1 ＝45（元） 答：最多可以买45包这样的大米。 【思路点拨】6包装的最便宜，最多可以买这种大米的包数=平均每箱的包数×最多可以购买的箱数＋可以买2包装的包数＋单买的包数；其中，购买6包装的箱数=王阿姨准备的钱数÷平均每箱的单价。 21．（2024四上·柯桥）甲乙两个盒子里分别放了640个乒乓球和160个乒乓球。如果每次从甲盒里取出12个乒乓球，那么需要拿多少次后两个盒子里的球就一样多了？ 【答案】解：（640－160）÷2÷12 ＝480÷2÷12 ＝240÷12 ＝20（次） 答：需要拿20次后两个盒子里的球就一样多了。 【思路点拨】先求出甲乙两个盒子相差的兵兵球数量，再除以2，就可以求出需要拿多少个才能让两个盒子一样多；再用需要拿的数量除以12，即可求出需要拿多少次。 22．（2023四上·期末） （1）乐乐的爷爷从家骑车带乐乐去森林公园，需要18分钟，他先骑了6分钟。请用“△”标出乐乐和爷爷的大概位置. （2）如果乐乐的爸爸以90米/分的速度，步行去公园，他想在10时55分准时到达，应该什么时候从家岀发？ 【答案】（1）解：18分钟平均分成3份，一份是6分钟， （2）解：250×90=22500（米） 22500÷90=250（分钟） 250÷60=4（小时）......10（分钟） 10时55分-4时10分=6时45分 答：应该6时45分从家岀发。 【思路点拨】（1）18分钟行驶完全程，6分钟刚好行驶到全程的，据此作图； （2）爷爷的速度×行驶完全程需要的时间=家到公园的距离，家到公园的距离÷爸爸的速度=爸爸走的时间，爸爸想准时到达的时间-爸爸走的时间=爸爸从家出发的时间。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$