1.2空间向量基本定理（2课时）（导学案）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2《 空间向量基本定理》导学案 一.学习目标 1.认识与理解空间向量基本定理及其意义，基底与基向量，以及单位正交基底；（数学抽象） 2.根据空间向量基本定理，熟练掌握利用基底表示空间向量的方法与技巧.（数学运算、逻辑推理、直观想象） 二.学习过程（导学、自学） （一）探究新知1——空间向量基本定理（互学） 空间向量基本定理 如果三个向量不 ，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . （二）探究新知2——基底与基向量（互学） 由空间向量基本定理可知： 如果三个向量不 ，那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量生成的，我们把 叫做空间的一个基底， 都叫做 . 注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 . （三）探究新知3——单位正交基底与正交分解（互学） 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都为 ， 那么这个基底叫做 基底，常用 表示， 由空间向量基本定理可知，对空间中的意向量均可以分解为三个向量，使 ， 像这样，把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量进行 分解. (四)小结（互学） 1.提示一 由空间向量基本定理可知，如果把三个不 的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来. 2.提示二 进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为 间的运算，这为解决问题带来了方便. 三.典例分析（互学） 例1 如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，， 试用向量表示. 例1解: ∵向量是空间中三个不共面的向量 ∴ 据空间向量基本定理可得 注：据加法的平行四边形法则可知——“三角形中线所表示的向量等于与它相邻两边表示向量之和的一半” 例2 如图，在平行六面体中，，，,分别为的中点， 求证 证明：设, 这三个向量不共面， 构成空间的一个基底，我们可以用它们表示, 则, ∵ ∴ 故 温馨提示：利用空间向量解决立体几何问题是我们学习空间向量的意义所在. 例3 如图，正方体的棱长为分别为的中点. (1)求证:; (2)求所成角的余弦值. 证明（1）： 设 , ∵构成空间的一个单位正交基底， ∴ ∴ ∴ (向量共线定理) ∴ 解（2）: ∵ ∴ 故所成角的余弦值为. 四.达标检测（迁移变通、检测实践） 1.如图，已知三棱锥，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算． 利用空间向量的三角形法则、平行四边形法则，把用，和线性表示即可． 【解答】 解：如图所示，连接， ，， ，，， ． 故选C． 2.已知空间向量都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是(    ) A. 向量的模是 B. 可以构成空间的一个基底 C. 向量和夹角的余弦值为 D. 向量与共线 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的应用，涉及了空间向量模的求解、空间向量的基底、空间向量的夹角等知识点，考查的知识面广，对学生基础知识掌握的情况有较高的要求，属于中档题． 利用向量的模的性质将的模转化为数量积求解，即可判断选项A，利用不共面的向量作为基底判断选项B，利用两个向量夹角的余弦公式进行求解，即可判断选项C，利用向量的夹角公式求出向量与的夹角，即可判断选项D． 【解答】 解：对于选项A，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直， 所以，且， 则 ， 所以向量的模是， 故选项A错误； 对于选项B，因为空间向量都是单位向量，且两两垂直， 所以不共面，而向量均与共面， 所以与不共面， 则可以构成空间的一个基底， 故选项B正确； 对于选项C，设与的夹角为， 则 ， 所以向量和夹角的余弦值为， 故选项C正确； 对于选项D，因为， 同理可得， 则， 所以向量与的夹角为， 则向量与不共线， 故选项D错误． 故选：． 3.已知空间四边形中，，若，且，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 如图所示，，与，比较即可得出． 【解答】 解：如图所示， ． ， ． 故答案为：． 4.如图所示，三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，． 试用，，表示向量； 若，，，求的长． 【答案】解：，， ，， ； ， ， ． 【解析】本题考查空间向量的模长求解公式，解题的关键是掌握向量加法法则与用空间向量求线段长度的公式，空间向量法求立体几何中距离是空间向量的一个非常重要的运用 由已知条件可得，，再由空间向量加法与减法的三角形法则，表示出即可； 求的长，即求，利用求向量模的方法，求出，即可求得的长． 五、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$